点和圆的位置关系同步检测（新版）新人教版



24.2.1　点和圆的位置关系

基础闯关全练

拓展训练

1.下列条件中,能确定圆的是(　　)

A.以已知点O为圆心

B.以1 cm长为半径

C.经过已知点A,且半径为2 cm

D.以点O为圆心,1 cm为半径

2.(2016江苏邗江校级月考)在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3 cm,BC=4 cm,则它的外心到顶点C的距离为(　　)

A.2.5 cm　　B.5 cm

C.

cm　　D.不能确定

3.点O是△ABC的外心,若∠BOC=80°,则∠BAC的度数为(　　)

A.40°　　B.100°

C.40°或140°　　D.40°或100°

能力提升全练

拓展训练

1.(2017河南安阳林州期末)如图,在矩形ABCD中,AB=5,AD=12,以BC为斜边在矩形外部作Rt△BEC,F为CD的中点,则EF的最大值为(　　)

A.　　　B.　　　C.　　　D.

2.(2017山东威海中考)如图,△ABC为等边三角形,AB=2.若P为△ABC内一动点,且满足∠PAB=∠ACP,则线段PB长度的最小值为　　　　. 

三年模拟全练

拓展训练

1.(2017河北滦县一模,15,★★☆)如图,在矩形ABCD中,AB=4,BC=6,E是矩形内部的一个动点,且AE⊥BE,则线段CE长的最小值为　(　　)

A.　　　B.2-2　　　C.2-2　　　D.4

2.(2018江苏南京建邺期中,15,★★☆)如图,在Rt△ABC 中,∠ACB=90°,AC=6,BC=4,点P是△ABC内部的一个动点,且满足∠PAC=∠PCB,则线段BP长的最小值是　　　　. 

五年中考全练

拓展训练

1.(2016黑龙江龙东中考,17,★★★)若点O是等腰△ABC的外心,且∠BOC=60°,底边BC=2,则△ABC的面积为(　　)

A.2+　　B.

C.2+或2-　　D.4+2或2-

2.如图,将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中,点A、B、C均落在格点上,用一个圆面去覆盖△ABC,能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是　　　　. 

核心素养全练

拓展训练

　(2017江苏无锡江阴期中)如图,数轴上半径为1的☉O从原点O开始以每秒1个单位的速度向右运动,同时,在原点右边7个单位处有一点P以每秒2个单位的速度向左运动,经过　　　　秒后,点P在☉O上. 

24.2.1　点和圆的位置关系

基础闯关全练

拓展训练

1.答案　D　∵圆心、半径都确定,才可以确定圆,∴D选项正确,故选D.

2.答案　A　在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3 cm,BC=4 cm,由勾股定理,得AB===5(cm),斜边的中线长=AB=2.5 cm.因而外心到直角顶点C的距离(即斜边的中线长)为2.5 cm.故选A.

3.答案　C　(1)当点O在三角形的内部时,∠BAC=∠BOC=40°;

(2)当点O在三角形的外部时,∠BAC=180°-∠BOC=180°-40°=140°.

能力提升全练

拓展训练

1.答案　C　由题意知∠BEC=90°,∴点E在以BC为直径的☉O上,连接FO并延长交☉O于点E',当E位于E'的位置时,EF最长,

∵OC=BC=6,FC=CD=,∴OF===,则E'F=OE'+OF=6+=,故选C.

2.答案　

解析　∵△ABC是等边三角形,

∴∠ABC=∠BAC=60°,AC=AB=2.

∵∠PAB=∠ACP,∠PAC+∠PAB=60°,

∴∠PAC+∠ACP=60°,

∴∠APC=120°.

当PB⊥AC时,PB长度最小,延长BP交AC于点D,如图所示.

此时PA=PC,AD=CD=AC=1,∠PAC=∠ACP=30°,∠ABD=∠ABC=30°.

由勾股定理得PD=,BD=.

∴PB=BD-PD=-=.

三年模拟全练

拓展训练

1.答案　B　如图,

∵AE⊥BE,

∴点E在以AB为直径的☉O上,

连接CO交☉O于点E',

∴当点E位于点E'的位置时,线段CE长取得最小值,

∵AB=4,∴OA=OB=OE'=2,

在Rt△OBC中,∵BC=6,OB=2,

∴OC===2,

则CE'=OC-OE'=2-2,

即线段CE的最小值为2-2.故选B

2.答案　2

解析　∵∠ACB=90°,∴∠ACP+∠PCB=90°.∵∠PAC=∠PCB,

∴∠PAC+∠ACP=90°,∴∠APC=90°,∴点P在以AC为直径的☉O上.连接OB交☉O于点P',当点P位于点P'的位置时,线段PB长最小.在Rt△CBO中,∵∠OCB=90°,BC=4,OC=3,∴OB==5,∴BP'=OB-OP'=5-3=2. ∴线段BP长的最小值为2.

五年中考全练

拓展训练

1.答案　C　如图所示,

存在两种情况,

当△ABC为△A1BC时,

∵点O是等腰△ABC的外心,

∴OB=OC,又∠BOC=60°,底边BC=2,

∴△OBC为等边三角形,OB=OC=BC=2,

连OA1交BC于D,则OA1⊥BC,

∴CD=1,OD==,

∴===2-.

当△ABC为△A2BC时,

同理可得===2+.

由上可得,△ABC的面积为2-或2+,故选C.

2.答案　

解析　如图所示,作AB、AC的垂直平分线,交于点O,则点O为△ABC外接圆圆心,连接AO,AO为外接圆半径.在Rt△AOD中,AO===,所以能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是.

核心素养全练

拓展训练

答案　2或

解析　设x秒后点P在☉O上,∵☉O从原点O开始以每秒1个单位的速度向右运动,同时,在原点右边7个单位处有一点P以每秒2个单位的速度向左运动,∴当第一次点P在圆上时,有(2+1)x=7-1=6,解得x=2;当第二次点P在圆上时,有(2+1)x=7+1=8,解得x=.故填2或.



《24.2.1 点和圆的位置关系》

一、选择题

1．下列说法正确的是（　　）

A．过一点A的圆的圆心可以是平面上任意点

B．过两点A、B的圆的圆心在一条直线上

C．过三点A、B、C的圆的圆心有且只有一点

D．过四点A、B、C、D的圆不存在

2．若△ABC的外接圆的圆心在△ABC的内部，则△ABC是（　　）

A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定

3．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，则它的外心与顶点C的距离为（　　）

A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm

4．如图所示，一圆弧过方格的格点A、B、C，试在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为（﹣2，4），则该圆弧所在圆的圆心坐标是（　　）

A．（﹣1，2） B．（1，﹣1） C．（﹣1，1） D．（2，1）

5．Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=4，如果以点A为圆心，AC为半径作⊙A，那么斜边中点D与⊙A的位置关系是（　　）

A．点D在⊙A外 B．点D在⊙A上 C．点D在⊙A内 D．无法确定

6．若⊙A的半径为5，圆心A的坐标是（3，4），点P的坐标是（5，8），你认为点P的位置为（　　）

A．在⊙A内 B．在⊙A上 C．在⊙A外 D．不能确定

7．如图，⊙O是△ABC的外接圆，若∠B=30°，AC=，则⊙O的直径为（　　）

A．1 B． C．2 D．

8．用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，首先应该假设这个三角形中（　　）

A．有一个内角小于60° B．每一个内角都小于60°

C．有一个内角大于60° D．每一个内角都大于60°

二、填空题

9．点A在以O为圆心，3cm为半径的⊙O内，则点A到圆心O的距离d的范围是______．

10．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=2cm，BC=4cm，CM为中线，以C为圆心， cm为半径作圆，则A、B、C、M四点在圆外的有______，在圆上的有______，在圆内的有______．

11．若AB=4cm，则过点A、B且半径为3cm的圆有______个．

12．在△ABC中，BC=24cm，外心O到BC的距离为6cm，则△ABC外接圆的半径为______．

13．一点和⊙O上的最近点距离为4cm，最远距离为9cm，则这个圆的半径是______．

14．阅读下面材料：对于平面图形A，如果存在一个圆，使图形A上的任意一点到圆心的距离都不大于这个圆的半径，则称图形A被这个圆所覆盖．回答下列问题：

（1）边长为1cm的正方形被一个半径为r的圆所覆盖，r的最小值是______ cm；

（2）边长为1cm的等边三角形被一个半径为r的圆所覆盖，r的最小值是______ cm．

15．若Rt△ABC的两条直角边a，b是方程x2﹣3x+1=0的两根，则Rt△ABC的外接圆面积是______．

三、解答题

16．已知圆的半径等于5cm，根据下列点P到圆心的距离：（1）4cm；（2）5cm；（3）6cm，判定点P与圆的位置关系，并说明理由．

17．在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3m，AC=4m，以B为圆心，以BC为半径作⊙B，D、E是AB、AC中点，A、C、D、E分别与⊙O有怎样的位置关系？（画出图形，写过程）

18．（教材变式题）如图所示，△ABC中，AB=AC=10，BC=12，求△ABC外接圆的半径．

19．如图，AD为△ABC外接圆的直径，AD⊥BC，垂足为点F，∠ABC的平分线交AD于点E，连接BD，CD．

（1）求证：BD=CD；

（2）请判断B，E，C三点是否在以D为圆心，以DB为半径的圆上？并说明理由．

20．某公园有一个边长为4米的正三角形花坛，三角形的顶点A、B、C上各有一棵古树．现决定把原来的花坛扩建成一个圆形或平行四边形花坛，要求三棵古树不能移动，且三棵古树位于圆周上或平行四边形的顶点上．以下设计过程中画图工具不限．

（1）按圆形设计，利用图1画出你所设计的圆形花坛示意图；

（2）按平行四边形设计，利用图2画出你所设计的平行四边形花坛示意图；

（3）若想新建的花坛面积较大，选择以上哪一种方案合适？请说明理由．

《24.2.1 点和圆的位置关系》

参考答案与试题解析

一、选择题

1．下列说法正确的是（　　）

A．过一点A的圆的圆心可以是平面上任意点

B．过两点A、B的圆的圆心在一条直线上

C．过三点A、B、C的圆的圆心有且只有一点

D．过四点A、B、C、D的圆不存在

【解答】解：A、过一点A的圆的圆心可以是平面上任意点（A点外），故本选项错误，

B、过两点A、B的圆的圆心在一条直线上，错误，

C、正确，

D、过四点A、B、C、D的圆可以存在，故本选项错误，

故选：B．

2．若△ABC的外接圆的圆心在△ABC的内部，则△ABC是（　　）

A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定

【解答】解：△ABC的外接圆的圆心在△ABC的内部，则△ABC是锐角三角形．

故选A．

3．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，则它的外心与顶点C的距离为（　　）

A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm

【解答】解：∵∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，

∴AB==10cm，

∵Rt△ABC的外心为斜边AB的中点，

∴Rt△ABC的外接圆半径为5cm，

∴它的外心与顶点C的距离为5cm．

故选A．

4．如图所示，一圆弧过方格的格点A、B、C，试在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为（﹣2，4），则该圆弧所在圆的圆心坐标是（　　）

A．（﹣1，2） B．（1，﹣1） C．（﹣1，1） D．（2，1）

【解答】解：如图所示，

∵AW=1，WH=3，

∴AH==；

∵BQ=3，QH=1，

∴BH==；

∴AH=BH，

同理，AD=BD，

所以GH为线段AB的垂直平分线，

易得EF为线段AC的垂直平分线，

H为圆的两条弦的垂直平分线的交点，

则BH=AH=HC，

H为圆心．

于是则该圆弧所在圆的圆心坐标是（﹣1，1）．

故选C．

5．Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=4，如果以点A为圆心，AC为半径作⊙A，那么斜边中点D与⊙A的位置关系是（　　）

A．点D在⊙A外 B．点D在⊙A上 C．点D在⊙A内 D．无法确定

【解答】解：根据勾股定理求得斜边AB==2，

则AD=，

∵＞2，

∴点在圆外．

故选A．

6．若⊙A的半径为5，圆心A的坐标是（3，4），点P的坐标是（5，8），你认为点P的位置为（　　）

A．在⊙A内 B．在⊙A上 C．在⊙A外 D．不能确定

【解答】解：∵AP==2＜5，

∴点P在⊙A内，

故选A．

7．如图，⊙O是△ABC的外接圆，若∠B=30°，AC=，则⊙O的直径为（　　）

A．1 B． C．2 D．

【解答】解：作直径AD，连结CD，如图，

∵AD为直径，

∴∠ACD=90°，

∵∠D=∠B=30°，

∴AD=2AC=2．

故选D．

8．用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，首先应该假设这个三角形中（　　）

A．有一个内角小于60° B．每一个内角都小于60°

C．有一个内角大于60° D．每一个内角都大于60°

【解答】解：用反证法证明“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，

应先假设三角形中每一个内角都不小于或等于60°，即每一个内角都大于60°．

故选：D．

二、填空题

9．点A在以O为圆心，3cm为半径的⊙O内，则点A到圆心O的距离d的范围是　0≤d＜3cm　．

【解答】解：∵点A在以O为圆心，3cm为半径的⊙O内，

∴点A到圆心O的距离d的范围是：0≤d＜3cm．

故答案为：0≤d＜3cm．

10．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=2cm，BC=4cm，CM为中线，以C为圆心， cm为半径作圆，则A、B、C、M四点在圆外的有　点B；　，在圆上的有　点M；　，在圆内的有　点A、C．　．

【解答】解：∵△ABC中，∠ACB=90°，AC=2cm，BC=4cm，

∴AB==2，

∵CM为中线，

∴CM=AB=，

∴AC＜cm，BC＞cm，

∴在圆外的有点B，在圆上的有点M，在圆内的有点C和点A，

故答案为：点B； 点M； 点A、C．

11．若AB=4cm，则过点A、B且半径为3cm的圆有　两　个．

【解答】解：这样的圆能画2个．如图，作AB的垂直平分线l，再以点A为圆心，3cm为半径作圆交l于O1和O2，然后分别以O1和O2为圆心，以3cm为半径作圆，

则⊙O1和⊙O2为所求圆．

故答案为：两．

12．在△ABC中，BC=24cm，外心O到BC的距离为6cm，则△ABC外接圆的半径为　　．

【解答】解：过O作OD⊥BC，由垂径定理得，

BD=BC=12cm，

在Rt△OBD中，OD=6cm，BD=12cm，

∴OB==cm，

即△ABC外接圆的半径为cm．

13．一点和⊙O上的最近点距离为4cm，最远距离为9cm，则这个圆的半径是　6.5cm或2.5cm　．

【解答】解：点P应分为位于圆的内部与外部两种情况讨论：

①当点P在圆内时，最近点的距离为4cm，最远点的距离为9cm，则直径是4+9=13cm，因而半径是6.5cm；

②当点P在圆外时，最近点的距离为4cm，最远点的距离为9cm，则直径是9﹣4=5cm，因而半径是2.5cm．

故答案为6.5cm或2.5cm．

14．阅读下面材料：对于平面图形A，如果存在一个圆，使图形A上的任意一点到圆心的距离都不大于这个圆的半径，则称图形A被这个圆所覆盖．回答下列问题：

（1）边长为1cm的正方形被一个半径为r的圆所覆盖，r的最小值是　　 cm；

（2）边长为1cm的等边三角形被一个半径为r的圆所覆盖，r的最小值是　　 cm．

【解答】解：（1）正方形ABCD的边长为1cm，则正方形ABCD被一个半径为r的圆所覆盖，r的最小值为其外接圆的半径，如图1，正方形ABCD的外接圆为⊙0，

∵∠B=90°，

∴AC为直径，

∴AC=AB=，

∴OA=，

∴r的最小值是cm；

（2）边长为1cm的等边三角形ABC被一个半径为r的圆所覆盖，r的最小值为其外接圆的半径，如图2，等边三角形ABC的外接圆为⊙0，

连结OB，作OD⊥BC于D，

∵点O为等边三角形ABC的外心，

∴OB平分∠ABC，

∴∠OBD=30°，

∵OD⊥BC，

∴BD=BC=，

在Rt△BOD中，∵cos∠OBD=，

∴OB===，

∴r的最小值是cm．

故答案为；．

15．若Rt△ABC的两条直角边a，b是方程x2﹣3x+1=0的两根，则Rt△ABC的外接圆面积是　π　．

【解答】解：∵圆的半径r=c，

根据两直角边a、b分别是一元二次方程x2﹣3x+1=0的两根，可得

a+b=3，a•b=1，

∴c2=a2+b2=（a+b）2﹣2a•b=7，

∴Rt△的外接圆的面积为πr2=π×（）2=π．

故答案为：π．

三、解答题

16．已知圆的半径等于5cm，根据下列点P到圆心的距离：（1）4cm；（2）5cm；（3）6cm，判定点P与圆的位置关系，并说明理由．

【解答】解：（1）当d=4 cm时，

∵d＜r，

∴点P在圆内；

（2）当d=5 cm时，

∵d=r，

∴点P在圆上；

（3）当d=6 cm时，

∵d＞r，

∴点P在圆外．

17．在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3m，AC=4m，以B为圆心，以BC为半径作⊙B，D、E是AB、AC中点，A、C、D、E分别与⊙O有怎样的位置关系？（画出图形，写过程）

【解答】解：∵BC=3=R，

∴点C在⊙B上，

∵AB=5＞3，

∴点A在⊙B外，

∵D为BA中点，

∴，

∴点D在⊙B内，

∵E为AC中点，

∴，

连结BE，

∴BE===＞3m，

∴E在⊙B外．

18．（教材变式题）如图所示，△ABC中，AB=AC=10，BC=12，求△ABC外接圆的半径．

【解答】解：如图，作AD⊥BC，垂足为D，则O一定在AD上，

所以AD==8；

设OA=r，OB2=OD2+BD2，

即r2=（8﹣r）2+62，

解得r=．

答：△ABC外接圆的半径为．

19．如图，AD为△ABC外接圆的直径，AD⊥BC，垂足为点F，∠ABC的平分线交AD于点E，连接BD，CD．

（1）求证：BD=CD；

（2）请判断B，E，C三点是否在以D为圆心，以DB为半径的圆上？并说明理由．

【解答】（1）证明：∵AD为直径，AD⊥BC，

∴由垂径定理得：

∴根据圆心角、弧、弦之间的关系得：BD=CD．

（2）解：B，E，C三点在以D为圆心，以DB为半径的圆上．

理由：由（1）知：，

∴∠1=∠2，

又∵∠2=∠3，

∴∠1=∠3，

∴∠DBE=∠3+∠4，∠DEB=∠1+∠5，

∵BE是∠ABC的平分线，

∴∠4=∠5，

∴∠DBE=∠DEB，

∴DB=DE．

由（1）知：BD=CD

∴DB=DE=DC．

∴B，E，C三点在以D为圆心，以DB为半径的圆上．（7分）

20．某公园有一个边长为4米的正三角形花坛，三角形的顶点A、B、C上各有一棵古树．现决定把原来的花坛扩建成一个圆形或平行四边形花坛，要求三棵古树不能移动，且三棵古树位于圆周上或平行四边形的顶点上．以下设计过程中画图工具不限．

（1）按圆形设计，利用图1画出你所设计的圆形花坛示意图；

（2）按平行四边形设计，利用图2画出你所设计的平行四边形花坛示意图；

（3）若想新建的花坛面积较大，选择以上哪一种方案合适？请说明理由．

【解答】解：

（1）（2）

；

（3）连接OB，OA，并延长AO交BC于D，

∵r=OB==，

∴S⊙O=πr2=≈16.75，

又S平行四边形=2S△ABC=2××42×sin60°=8≈13.86，

∵S⊙O＞S平行四边形，

∴选择建圆形花坛面积较大．