八年级上册数学第二次月考含答案电子版人教版

上学期八年级第二次阶段性练习数学

本试卷共25大题，4页，满分120分；考试时间120分钟

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 下列四个图案中，不是轴对称图形

是（    ）

A.  B.

C.  D.

2. 下列计算正确的是（    ）

A.  B.

C.  D.

3. 如图，ABDE，，若添加下列条件，仍不能判断≌的是（    ）

A.  B.  C.  D.

4. 如图，△ABC的两条中线AM、BN相交于点O，已知△ABO的面积为4，△BOM的面积为2，则四边形MCNO的面积为（　　）

A. 4 B. 3

C. 4.5 D. 3.5

5. 在党中央的领导下，经过两年的战斗，新型冠状病毒引发的肺炎疫情得到了有效控制．研究发现，某种新型冠状变异病毒的直径约为224纳米，1纳米米，若用科学记数法表示224纳米，则正确的结果是（    ）

A 米 B. 米

C 米 D. 米

6. 若一个正多边形的内角和为720°，则这个正多边形的每一个内角是（　　）

A. 60° B. 90° C. 108° D. 120°

7. 如图，是的中线，E，F分别是和延长线上的点，且，连接，．下列说法：①；②和面积相等；③；④．其中正确的有（    ）

A 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

8. 如图，从边长为的大正方形中剪掉一个边长为的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成右边的矩形，根据图形的变化过程写出的一个正确的等式是（　）

A.  B.

C.  D.

9. 如图，把一个长方形纸片沿折叠后，点D，C分别落在，的位置．若，则等于（　　）

A.  B.  C.  D.

10. 如图，点E在等边△ABC的边BC上，BE＝4，射线CD⊥BC，垂足为点C，点P是射线CD上一动点，点F是线段AB上一动点，当EP+FP的值最小时，BF＝5，则AB的长为（　　）

A. 7 B. 8 C. 9 D. 10

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11. 若有意义，则___________；若，则___________．

12. 若，，则______．

13. 已知，求＝___________．

14. 因式分解,甲看错了a的值,分解的结果是,乙看错了b的值,分解的结果为,那么分解因式正确的结果为_______．

15. 若等腰三角形的一个角是，则这个等腰三角形的底角为_________°．

16. 如图，在四边形ABCD中，AB＝BC，AD＝CD，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．筝形ABCD的对角线AC、BD相交于点O．已知∠ADC＝120°，∠ABC＝60°，小婵同学得到如下结论：①△ABC是等边三角形；②BD＝2AD；③S四边形ABCD＝AC•BD；④点M、N分别在线段AB、BC上，且∠MDN＝60°，则MN＝AM+CN，其中正确的结论有 _____．（填写所有正确结论的序号）

三、计算题（本大题共3小题，共18.0分）

17. 计算：

；             

．

18. 因式分解：

（1）6（m－n）3 －12（n－m）2

（2）x4－8x2y2＋16y4

19. 解分式方程

（1）

（2）

四、解答题（本大题共6小题，共54.0分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

20. 我们定义：顶角等于36°的等腰三角形为黄金三角形．如图，△ABC中，AB＝AC且∠A＝36°，则△ABC为黄金三角形．

（1）尺规作图：作∠B的角平分线，交AC于点D．（保留作图痕迹，不写作法）．

（2）请判断△BDC是否为黄金三角形，如果是，请给出证明，如果不是，请说明理由．

21. 已知．

（1）化简A；

（2）当满足不等式组，且为整数时，求A的值．

22. 已知：如图，为的角平分线，⊥于点，⊥于点，连接交于点，

求证：垂直平分

23. 在某遥控船模比赛中，其赛道共长100米，“番畅号”和“挑战号”两赛船进入了决赛．在比赛前的一次练习中，两船从起点同时出发，“番畅号”到达终点时，“挑战号”离终点还有5米，已知“番畅号”的平均速度为5米/秒．

（1）求“挑战号”的平均速度；

（2）如果两船重新开始比赛，“番畅号”从起点后退5米，若两船同时出发，可否同时到达终点？若能，请求出两船到达终点时间；若不能，请重新调整一艘船的平均速度使两船能够同时到达终点．

24. 如图，在中，是边上的一点，，平分，交边于点，连接．

（1）求证：；

（2）若，，求的度数．

25. 如图所示，点是线段的中点，，.

（1）如图1，若，求证是等边三角形；

（2）如图1，在（1）的条件下，若点在射线上，点在点右侧，且是等边三角形，的延长线交直线于点，求的长度；

（3）如图2，在（1）的条件下，若点在线段上，是等边三角形，且点沿着线段从点运动到点，点随之运动，求点的运动路径的长度.

上学期八年级第二次阶段性练习

数学

本试卷共25大题，4页，满分120分；考试时间120分钟

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 下列四个图案中，不是轴对称图形的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形进行分析即可．

【详解】解：A、是轴对称图形，不合题意；

B、不是轴对称图形，符合题意；

C、是轴对称图形，不合题意；

D、是轴对称图形，不合题意．

故选：B．

【点睛】此题主要考查了轴对称图形，正确掌握轴对称图形的性质是解题关键．

2. 下列计算正确的是（    ）

A.  B.

C  D.

【答案】C

【解析】

【分析】利用合并同类项对A进行判断；根据积的乘方对B进行判断；根据分式的减法运算和通分对C进行判断；利用有理数的混合运算对D进行判断．

【详解】A、与不是同类项，不好合并，所以A选项的计算错误；

B、，所以B选项的计算错误；

C、，所以C选项计算正确；

D、，所以D项的计算错误．

故选：C．

【点睛】本题考查了合并同类项、积的乘方、分式的减法运算和通、有理数的混合运算，解决本题的关键是熟练掌握有关运算法则．

3. 如图，ABDE，，若添加下列条件，仍不能判断≌的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据全等三角形的判断方法一一判断即可．

【详解】解：A．缺少全等的条件，本选项符合题意；

B．∵ABDE，

∴∠B＝∠E

∵

∴

∴

∵

∴≌（SAS）

故本选项不符合题意；

C．∵ABDE，

∴∠B＝∠E

∵，

∴≌（ASA）

故本选项不符合题意；

D．∵ABDE，

∴∠B＝∠E，∠ACB＝∠DFE

∵

∴≌（AAS）

故本选项不符合题意．

故选：A．

【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、平行线的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形全等的条件，属于中考常考题型．

4. 如图，△ABC的两条中线AM、BN相交于点O，已知△ABO的面积为4，△BOM的面积为2，则四边形MCNO的面积为（　　）

A. 4 B. 3

C. 4.5 D. 3.5

【答案】A

【解析】

【分析】应用三角形中线平分面积的性质得结论；

【详解】∵AM和BN是中线，

∴S△BNC＝S△ABC＝S△ABM，

即S△ABO＋S△BOM＝S△BOM＋S四边形MCNO，

S△ABO＝S四边形MCNO，

∵△ABO的面积为4，

∴四边形MCNO的面积为4

故选A.

【点睛】本题主要考查了三角形的面积，解题的关键是利用中线找出三角形面积关系．

5. 在党中央的领导下，经过两年的战斗，新型冠状病毒引发的肺炎疫情得到了有效控制．研究发现，某种新型冠状变异病毒的直径约为224纳米，1纳米米，若用科学记数法表示224纳米，则正确的结果是（    ）

A. 米 B. 米

C. 米 D. 米

【答案】D

【解析】

【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数．

【详解】解：∵1纳米米，

∴224纳米米=米，

故选：D．

【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

6. 若一个正多边形的内角和为720°，则这个正多边形的每一个内角是（　　）

A. 60° B. 90° C. 108° D. 120°

【答案】D

【解析】

【分析】根据正多边形的内角和定义（n-2）×180°，先求出边数，再用内角和除以边数即可求出这个正多边形的每一个内角．

【详解】解：（n-2）×180°=720°，

∴n-2=4，

∴n=6．

则这个正多边形每一个内角为720°÷6=120°．

故选D．

【点睛】本题考查了多边形内角与外角．解题的关键是掌握好多边形内角和公式：（n-2）×180°．

7. 如图，是的中线，E，F分别是和延长线上的点，且，连接，．下列说法：①；②和面积相等；③；④．其中正确的有（    ）

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

【答案】D

【解析】

【分析】根据三角形中线的定义可得，然后利用“边角边”证明，根据全等三角形对应边相等可得，根据全等三角形对应角相等可得，再根据内错角相等，两直线平行可得，最后根据等底等高的三角形的面积相等判断出②正确．

【详解】解：是的中线，

，

在和中，

，

，故④正确

，，故①正确，

，故③正确，

，点A到、的距离相等，

和面积相等，故②正确，

综上所述，正确的有4个，

故选D．

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定，以及三角形中线的性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法并准确识图．

8. 如图，从边长为的大正方形中剪掉一个边长为的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成右边的矩形，根据图形的变化过程写出的一个正确的等式是（　）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据面积的不同表示方法得到等式即可．

【详解】第一个图形阴影部分的面积是，

第二个图形的面积是．

则．

故选：．

【点睛】此题考查整式乘法的公式，解题关键是用不同代数式表示相同图形的面积列等式．

9. 如图，把一个长方形纸片沿折叠后，点D，C分别落在，的位置．若，则等于（　　）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据，得到，根据折叠，即可得到．

【详解】解：∵四边形为长方形，

∴，

∴，

∵折叠，

∴．

故选B．

【点睛】本题考查了折叠的性质，平行线的性质．熟练掌握折叠的性质，是解题的关键．

10. 如图，点E在等边△ABC的边BC上，BE＝4，射线CD⊥BC，垂足为点C，点P是射线CD上一动点，点F是线段AB上一动点，当EP+FP的值最小时，BF＝5，则AB的长为（　　）

A. 7 B. 8 C. 9 D. 10

【答案】A

【解析】

【分析】作E点关于CD的对称点E'，连接PE,E'P,PF，当E',P,F三点共线，E'F⊥AB时，此时EP+FP的值最小，由题意可得∠FE'B=30°，则BE'=2BF，再由BF=5，BE=4，可得10=2CE+4，解得CE=3，可求BC=7．

【详解】解：作E点关于CD的对称点E'，过E'作E'F⊥AB交于点F，交CD于点P，连接PE，

∴PE=PE'，

∴EP+FP=PE'+PF≥E'F，

当E',P,F三点共线，E'F⊥AB时，

此时EP+FP的值最小，

∵△ABC是正三角形，

∴∠B=60°，

∵E'F⊥AB，

∴∠FE'B=30°，

∴BE'=2BF，

∵BF=5，BE=4，

∴E'B=10，

∵CE=CE'，

∴10=2CE+BE=2CE+4，

∴CE=3，

∴BC=7，

故选：A．

【点睛】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，等边三角形的性质，直角三角形的性质是解题的关键．

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11. 若有意义，则___________；若，则___________．

【答案】    ①.     ②.

【解析】

【分析】根据零指数幂和负整数指数幂的底数不能为0，求x的取值范围．

【详解】解：∵有意义，

∴，

∴；

∵，

∴，

∴．

故答案为：；．

【点睛】本题考查了零指数幂，负整数指数幂，涉及的知识点：负整数指数幂和零指数幂的底数不能为0．

12. 若，，则______．

【答案】52

【解析】

【分析】根据求出结果即可．

【详解】解：∵，，

又∵，

∴．

故答案为：52．

【点睛】本题主要考查了完全平方公式的变形计算，解题的关键是熟练掌握完全平方公式．

13. 已知，求＝___________．

【答案】

【解析】

【详解】已知等式整理得：

，即

则原式

故答案为

14. 因式分解,甲看错了a的值,分解的结果是,乙看错了b的值,分解的结果为,那么分解因式正确的结果为_______．

【答案】(x-6)(x+2)

【解析】

【分析】分别将甲乙两人的分解结果利用多项式乘法公式进行计算，然后取两人没看错的系数进行组合，重新分解因式.

【详解】甲错了a的值，,

,

乙看错了b的值，,

．

分解因式正确的结果：．

故答案为．

【点睛】本题考查了因式分解，根据两人的分解结果得到原本的多项式是解题的关键.

15. 若等腰三角形的一个角是，则这个等腰三角形的底角为_________°．

【答案】65或50

【解析】

【分析】由于不明确的角是等腰三角形的底角还是顶角，故应分的角是顶角和底角两种情况讨论．

【详解】解：分两种情况：

①当的角为等腰三角形的顶角时，

底角的度数；

②当的角为等腰三角形的底角时，其底角为，

故它的底角度数是或．

故答案为：65或50．

【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质及三角形内角和定理；解答此题时要注意50°的角是顶角和底角两种情况，不要漏解，分类讨论是正确解答本题的关键．

16. 如图，在四边形ABCD中，AB＝BC，AD＝CD，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．筝形ABCD的对角线AC、BD相交于点O．已知∠ADC＝120°，∠ABC＝60°，小婵同学得到如下结论：①△ABC是等边三角形；②BD＝2AD；③S四边形ABCD＝AC•BD；④点M、N分别在线段AB、BC上，且∠MDN＝60°，则MN＝AM+CN，其中正确的结论有 _____．（填写所有正确结论的序号）

【答案】①②④

【解析】

【分析】由“筝形”的性质可得AB=BC，AD=CD，可证△ABC是等边三角形，故①正确；由“SSS”可证△ABD≌△CBD，可得∠ABD=∠CBD=30°，∠ADB=∠BDC=60°，由直角三角形的性质可得BD=2AD，故②正确；由面积关系可求S四边形ABCD=×AC×BD，故③错误；延长BC到E，使CE=AM，连接DE，由“SAS”可证△MDN≌△EDN，可得MN=EN，由线段和差关系可得MN=AM+CN，故④正确，即可求解．

【详解】解：∵四边形ABCD是“筝形”四边形，

∴AB=BC，AD=CD，

∵∠ABC=60°，

∴△ABC是等边三角形，故①正确；

∴∠BAC=∠BCA=60°，

∵AD=CD，∠ADC=120°，

∴∠DAC=∠DCA=30°，

∴∠DAB=90°，

∵AD=CD，AB=BC，BD=BD，

∴△ABD≌△CBD（SSS），

∴∠ABD=∠CBD=30°，∠ADB=∠BDC=60°，

∴BD=2AD，故②正确；

∵∠DOC=∠DAC+∠ADB=60°+30°=90°，

∴AC⊥BD，

∵S四边形ABCD=S△ACD+S△ACB，

∴S四边形ABCD=×AC×OD+×AC×OB=×AC×BD，故③错误；

延长BC到E，使CE=AM，连接DE，如图所示：

∵∠DAB=∠DCB=90°，

∴∠DAB=∠DCE=90°，

又∵AM=CE，AD=CD，

∴△ADM≌△CDE（SAS），

∴∠ADM=∠CDE，DM=DE，

∵∠ADC=120°，

∵∠MDN=60°，

∴∠ADM+∠CDN=∠ADC-∠MDN=60°，

∴∠CDE+∠CDN=∠EDN=60°，

∴∠EDN=∠MDN，

又∵DN=DN，

∴△MDN≌△EDN（SAS），

∴MN=EN，

∵EN=CE+CN=AM+CN，

∴AM+CN=MN，故④正确；

故答案为：①②④．

【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，理解“筝形”的性质和添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．

三、计算题（本大题共3小题，共18.0分）

17. 计算：

；             

．

【答案】；

【解析】

【分析】（1）直接根据单项式乘以单项式的运算法则进行计算即可得到答案；

（2）原式根据完全平方公式和平方差公式把括号展开，再合并即可得到答案．

【详解】解：（1）

；

（2）

．

【点睛】此题考查了整式的运算，掌握整式的运算法则是解题的关键，有乘方的先算乘方，再算乘除，根据同底数幂相除，底数不变，指数相减．同时一定要熟练掌握乘法公式．

18. 因式分解：

（1）6（m－n）3 －12（n－m）2

（2）x4－8x2y2＋16y4

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）利用提公因式法进行分解，即可求解；

（2）先利用完全平方公式计算，再利用平方差公式计算，即可求解．

【小问1详解】

解：6（m－n）3 －12（n－m）2

【小问2详解】

解：x4－8x2y2＋16y4

【点睛】本题主要考查了多项式的因式分解，熟练掌握多项式的因式分解的方法，并灵活选用合适的方法解答是解题的关键．

19. 解分式方程

（1）

（2）

【答案】（1）   

（2）无解

【解析】

【分析】（1）先去分母，移项、合并同类项，系数化为1，再验根，即得到答案．

（2）先去分母，移项、合并同类项，系数化为1，再验根，即得到答案．

【小问1详解】

解：

等式两边同时乘，即得：

整理，得：

经检验是原方程的根，

所以原方程的解为．

【小问2详解】

等式两边同时乘，即得：

整理得：

解得：．

经检验是增根，故原方程无解．

【点睛】本题考查解分式方程．掌握解分式方程的方法是解题关键．注意解分式方程要验根．

四、解答题（本大题共6小题，共54.0分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

20. 我们定义：顶角等于36°的等腰三角形为黄金三角形．如图，△ABC中，AB＝AC且∠A＝36°，则△ABC为黄金三角形．

（1）尺规作图：作∠B的角平分线，交AC于点D．（保留作图痕迹，不写作法）．

（2）请判断△BDC是否为黄金三角形，如果是，请给出证明，如果不是，请说明理由．

【答案】（1）见解析    （2）△BDC是黄金三角形，理由见解析

【解析】

【分析】（1）作∠ABC的角平分线，交AC于点D；

（2）由角平分线的定义得∠ABD=∠CBD=36°，再由等腰三角形的性质得∠ABC=∠C=72°，然后证证∠BDC=∠C，则BD=BC，即可得出结论．

【小问1详解】

解：如图所示，BD即为所求；

【小问2详解】

△BDC是黄金三角形，理由如下：

∵BD是∠ABC的平分线，

∴∠ABD=∠CBD=36°，

∵∠A=36°，AB=AC，

∴∠ABC=∠C=（180°-36°）=72°，

又∵∠BDC=∠A+∠ABD=72°，

∴∠BDC=∠C，

∴BD=BC，

∴△BDC是黄金三角形．

【点睛】本题考查了黄金三角形的判定、等腰三角形的判定与性质以及尺规作图等知识；熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键．

21. 已知．

（1）化简A；

（2）当满足不等式组，且为整数时，求A的值．

【答案】（1）；（2）1

【解析】

【分析】（1）根据分式四则混合运算的运算法则，把A式进行化简即可．

（2）首先求出不等式组的解集，然后根据x为整数求出x的值，再把求出的x的值代入化简后的A式进行计算即可．

【详解】解：（1）原式=

=

=

=；

（2）解不等式得，

解不等式得，

故不等式组的解集为1≤x＜3，

∵x为整数，

∴x＝1或x＝2，

①当x＝1时，

∵x﹣1≠0，

∴A＝中x≠1，

∴当x＝1时，A＝无意义．

②当x＝2时，

A＝＝

【点睛】本题考查了分式的化简求值、一元一次不等式组，解题的关键是掌握相应的运算法则．

22. 已知：如图，为角平分线，⊥于点，⊥于点，连接交于点，

求证：垂直平分

【答案】见解析

【解析】

【分析】根据平分，，，可得，，则可证，并得，可证得，根据，，得到点、点在的垂直平分线上，可证垂直平分．

【详解】证明∵平分，，，

∴，，

∴，

∴，

∴

∴，

∵，，

∴点、点在的垂直平分线上，

∴垂直平分．

【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，角平分线的性质，熟悉相关性质是解题的关键．

23. 在某遥控船模比赛中，其赛道共长100米，“番畅号”和“挑战号”两赛船进入了决赛．在比赛前的一次练习中，两船从起点同时出发，“番畅号”到达终点时，“挑战号”离终点还有5米，已知“番畅号”的平均速度为5米/秒．

（1）求“挑战号”的平均速度；

（2）如果两船重新开始比赛，“番畅号”从起点后退5米，若两船同时出发，可否同时到达终点？若能，请求出两船到达终点的时间；若不能，请重新调整一艘船的平均速度使两船能够同时到达终点．

【答案】（1）“挑战号”的平均速度为4.75米/秒   

（2）把“挑战号”的平均速度增加米/秒，或把“番畅号”的平均速度降低米/秒，可以使两船能够同时到达终点

【解析】

【分析】（1）设“挑战号”的平均速度为x米/秒，由题意列出分式方程，解方程即可；

（2）“番畅号”从起点后退5米，分别求出两船到达终点的时间，得出两船同时出发，不能同时到达终点；有两种方案，分别列分式方程求解即可．

【小问1详解】

设“挑战号”的平均速度为x米/秒，由题意得：

，

解得：，

经检验，是原方程的解，

答：“挑战号”的平均速度为4.75米/秒；

【小问2详解】

不能同时到达，理由如下：

∵“番畅号”到达终点所用的时间为（秒），

“挑战号”到达终点所用的时间为（秒），

∴“番畅号”从起点后退5米，若两船同时出发，不能同时到达终点；

“番畅号”从起点后退5米，若两船同时出发，同时到达终点，调整一艘船的平均速度有两种方案：

方案一：增加“挑战号”的平均速度，

设调整后“挑战号”的平均速度增加y米/秒，

由题意得：，

解得：，

经检验，是原方程的解；

方案二：降低“番畅号”的速度，

设调整后“番畅号”的平均速度降低z米/秒，

由题意得：，

解得：，

经检验，是原方程的解；

综上所述，把“挑战号”的平均速度增加米/秒，或把“番畅号”的平均速度降低米/秒，可以使两船能够同时到达终点．

【点睛】本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是仔细审题，找到等量关系，列出分式方程．

24. 如图，在中，是边上的一点，，平分，交边于点，连接．

（1）求证：；

（2）若，，求的度数．

【答案】(1)见解析；（2）

【解析】

【分析】（1）由角平分线定义得出，由证明即可；

（2）由三角形内角和定理得出，由角平分线定义得出，在中，由三角形内角和定理即可得出答案．

【详解】（1）证明：平分，

，

在和中，，

；

（2），，

，

平分，

，

在中，．

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的定义、三角形内角和定理；熟练掌握三角形内角和定理和角平分线定义，证明三角形全等是解题的关键．

25. 如图所示，点是线段的中点，，.

（1）如图1，若，求证是等边三角形；

（2）如图1，在（1）的条件下，若点在射线上，点在点右侧，且是等边三角形，的延长线交直线于点，求的长度；

（3）如图2，在（1）的条件下，若点在线段上，是等边三角形，且点沿着线段从点运动到点，点随之运动，求点的运动路径的长度.

【答案】（1）证明见解析；（2）18；（3）18.

【解析】

【分析】（1）利用垂直平分线的性质可得BA=BC，再得，即可证明是等边三角形；

（2）证明，得出，继而得到，即可求得PC的长度；

（3）取BC的中点H，分两种情况证明，得出或，可知点N的运动路径是一条线段，据此求解即可.

【详解】解：（1）∵，，

，

是线段中点，，

，

是等边三角形；

（2）∵、是等边三角形，

∴，AB=BC，BD=BQ，，

∴，

∴，

，

，

，

，

，

；

（3）取BC的中点H，连接OH,连接CN，

分两种情况讨论：

当M在线段上时，如图2，

∵H是BC的中点，,

∴,

∴是等边三角形,

∵是等边三角形,

∴，OM=ON， ，

∴,

∴，

点从起点到做直线运动,

∵当点M在点B时，CN=BH=9,

∴点M从B运动到H时，点N运动路径的长度等于9；

当点M线段上时，如图3，

∵H是BC的中点，,

∴,

∴是等边三角形,

∵是等边三角形,

∴，OM=ON， ，

∴,

∴，

点从到终点做直线运动,

∵当点M在点C时，CN=CH=9,

∴点M从H运动到C时，点N运动路径的长度等于9；

综上所述，的路径长度为：.