安徽省合肥市2020-2021学年八年级下学期中数学试卷（word版含答案）

安徽省合肥市2020-2021学年八年级下学期中数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．下列计算正确的是（    ）

A． B． C． D．

2．下列二次根式中能与合并的二次根式是(　　)

A． B． C． D．

3．函数的自变量x的取值范围是（   ）

A．x≠0 B．x≠0且x≥ C．x> D．x≥

4．一个多边形的内角和是外角和的2倍．这个多边形的边数为（   ）

A．5 B．6 C．7 D．8

5．将方程x2-6x+3=0左边配成完全平方式，得到的方程是（     ）

A．（x-3）2=-3                     B．（x-3）2=6                     C．（x-3）2=3                                  D．（x-3）2=12

6．今年来某县加大了对教育经费的投入，2013年投入2500万元，2015年投入3500万元．假设该县投入教育经费的年平均增长率为x，根据题意列方程，则下列方程正确的是（　　）

A． B．

C． D．

7．已知是方程的一个根，则方程的另一个根为（ ）

A．-2 B．2 C．-3 D．3

8．下列各组数据中的三个数作为三角形的边长,其中能构成直角三角形的是(　)

A． B．1,

C．6,7,8 D．2,3,4

9．如图，图中的小正方形的边长为1，△ABC的三个顶点都在小正方形的顶点上，则△ABC的周长为（　　）

A． B．16 C． D．

10．如图，△ABC中，∠ABC＝30°，BC＝6，点D是BC边上一点，且BD＝2，点P是线段AB上一动点，则PC＋PD的最小值为（    ）

A． B． C． D．

二、填空题

11．计算的值是_____．

12．在实数范围内分解因式：x4﹣9＝______．

13．若a为方程x2+x﹣5＝0的解，则2a2+2a+1的值为_____．

14．如图，点A（0，4），点B（3，0），连接AB，点M，N分别是OA，AB的中点，在射线MN上有一动点P，若△ABP是直角三角形，则点P的坐标是____．

三、解答题

15．计算：．

16．解方程：

17．用适当方法解方程：．

18．已知一元二次方程的正实数根也是一元二次方程的根，求k的值．

19．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝15，D是AB 上一点，BD＝9，CD＝12

（1）求证：CD⊥AB；

（2）求AC的长．

20．《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“今有池一丈，葭生其中夹，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其底面是边长是10尺的正方形，一根芦苇AB生长在它的中央，高出水面部分BC为1尺．如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的B'（如图）．水深和芦苇长各多少尺？

21．已知关于x的一元二次方程x2+2x+2k-4=0有两个不相等的实数根．

（1）求k的取值范围；

（2）若x1，x2是该方程的两个根，且（x1-x2）2的值为12，求k的值．

22．某商场销售一批名牌衬衫，现在平均每天能售出20件，每件盈利40元．为了尽快减少库存，商场决定采取降价措施．经调查发现：如果这种衬衫的售价每降低1元时，平均每天能多售出2件．商场要想平均每天盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？

23．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝a，AD是BC边上的中线，将A点翻折与点D重合，得到折痕EF．

（1）若a＝4，求CE的长；

（2）求的值．

参考答案

1．D

【分析】

直接利用二次根式的性质分别化简得出答案．

【详解】

解：A、，故此选项错误；

B、，故此选项错误；

C、，故此选项错误；

D、，正确．

故选：D．

【点睛】

此题主要考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解答此题的关键．

2．C

【分析】

先根据二次根式的性质逐项化简，再根据同类二次根式的定义判断即可；

【详解】

解：A、=3，不能与合并，所以A选项不符合题意；

B、是最简二次根式，不能与合并，所以B选项不符合题意；

C、=4，能与合并，所以C选项符合题意；

D、=3，不能与合并，所以D选项不符合题意．

故选C．

【点睛】

本题考查了二次根式的性质、同类二次根式的定义等知识，属于基础题型，正确化简、明确解答的方法是关键．

3．D

【分析】

根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不为0，列不等式组可求得自变量x的取值范围．

【详解】

解：根据题意得：

解得：x≥且x≠0，

∴x≥．

故选：D．

【点睛】

本题考查的是函数自变量取值范围的求法．函数自变量的范围一般从三个方面考虑：

（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；

（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；

（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．

4．B

【详解】

试题分析:多边形的外角和是360°，则内角和是2×360=720°．设这个多边形是n边形，内角和是（n﹣2）×180°，这样就得到一个关于n的方程组，从而求出边数n的值．

解：设这个多边形是n边形，根据题意，得

（n﹣2）×180°=2×360，

解得：n=6．

即这个多边形为六边形．

故选B．

考点：多边形内角与外角．

5．B

【详解】

试题分析：移项，得x2－6x＝－3，

等式两边同时加上一次项系数一半的平方(－3)2，得

x2－6x＋(－3)2＝－3＋(－3)2，

即(x－3)2＝6．

故选B．

点睛：配方法的一般步骤：

（1）把常数项移到等号的右边；

（2）把二次项的系数化为1；

（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．

6．B

【分析】

根据2013年教育经费额×（1＋平均年增长率）2＝2015年教育经费支出额，列出方程即可．

【详解】

设增长率为x，根据题意得2500×（1＋x）2＝3500，

故选：B．

【点睛】

本题考查一元二次方程的应用−−求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2＝b．（当增长时中间的“±”号选“＋”，当下降时中间的“±”号选“−”）．

7．B

【分析】

根据一元二次方程根与系数的关系求解．

【详解】

设另一根为m，则
1•m=2，解得m=2．
故选B．

【点睛】

考查了一元二次方程根与系数的关系．根与系数的关系为：x1+x2=-，x1•x2= ．要求熟练运用此公式解题．

8．B

【详解】

试题解析：A．（）2+（）2≠（）2，故该选项错误；

B．12+（）2=（）2,故该选项正确；

C．62+72≠82，故该选项错误；

D．22+32≠42，故该选项错误.

故选B.

考点：勾股定理.

9．A

【分析】

根据勾股定理分别求出AC、BC，根据三角形的周长公式计算即可．

【详解】

解：如图：AB=7，

由勾股定理得，AC==5，BC==4，

则△ABC的周长=7+5+4=12+4.

故选A．

【点睛】

本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．

10．A

【分析】

先确定DC′＝DP＋PC′＝DP＋CP的值最小，然后根据勾股定理计算．

【详解】

解：过点C作CM⊥AB于M，延长CM到C′，使MC′＝MC，连接DC′，交AB于P，连接CP，如图：

此时DP＋CP＝DP＋PC′＝DC′的值最小．

∵∠ABC＝30°，

∴CM＝BC，∠BCC′＝60°，

∴CC′＝2CM＝BC，

∴△BCC′是等边三角形，

作C′E⊥BC于E，

∴BE＝EC＝BC＝3，C′E＝BC＝3，

∵BD＝2，

∴DE＝1，

根据勾股定理可得．

故选：A．

【点睛】

本题考查了在三角形中的两边之和的最小值的动点问题，解题的关键是：利用等边三角形的性质，通过等量代换，再根据三点共线时距离最短，最后利用勾股定理建立等式求解．

11．

【分析】

根据二次根式的混合运算顺序，首先计算乘法，然后计算减法，求出算式的值是多少即可．

【详解】

解：

＝

＝

＝

即的值是．

故答案为：．

【点睛】

本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是：熟练掌握二次根式的混合运算的运算法则．

12．（x﹣）（x+）（x2+3）

【分析】

根据平方差公式将x4﹣9写成（x2）2﹣32的形式，再利用平方差公式进行分解．

【详解】

解：x4﹣9

＝（x2）2﹣32

＝（x2﹣3）（x2+3）

＝（x﹣）（x+）（x2+3）．

故答案为：（x﹣）（x+）（x2+3）．

【点睛】

本题考查实数范围内的因式分解，因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式．在实数范围内进行因式分解的式子的结果一般要分到出现无理数为止．

13．11

【分析】

把x＝a代入已知方程，求得（a2+a）的值，然后将其代入所求的代数式求值即可．

【详解】

解：根据题意，得

a2+a﹣5＝0，即a2+a＝5

则2a2+2a+1＝2（a2+a）+1＝2×5+1＝11．

故答案是：11．

【点睛】

考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．方程的根即方程的解，就是能使方程左右两边相等的未知数的值．

14．（4，2）或（，2）

【分析】

分、两种情况，根据直角三角形的性质、勾股定理列式计算即可．

【详解】

解：∵点M、N分别是OA、AB的中点，点A（0，4），

∴MN∥OB，MN＝OB＝1.5，OM＝2，

①当时，

在中，，

∵∠APB＝90°，点N是AB的中点，

∴PN＝AB＝2.5，

则PM＝PN＋MN＝4，

∴点P的坐标是（4，2）；

②当时，过P作轴于E，连接AP，

设BE＝x，则PM＝OE＝x＋3，

由勾股定理得，，

在中，，

则，

解得，，

∴，

∴，

故答案是：（4，2）或（，2）．

．

【点睛】

本题考查了利用勾股定理解直角三角形过程，解题的关键是：进行分类讨论，然后利用勾股定理解直角三角形．

15．．

【分析】

先利用完全平方公式和平方差公式计算，再进一步计算即可．

【详解】

解：

．

【点睛】

本题考查了完全平方公式，平方差公式和二次根式的混合运算，能正确利用完全平方公式和平方差公式进行化简是解题的关键．

16．

【分析】

根据公式法即可求解.

【详解】

解：其中，

得

即或

所以原方程的根是

【点睛】

此题主要考查一元二次方程的求解，解题的关键是熟知公式法的运用.

17．

【分析】

利用因式分解法求解即可．

【详解】

解：，

移项得：，

提公因式：，

解得：．

【点睛】

本题考查了利用因式分解求解一元二次方程，解题的关键是：具备因式分解的能力．

18．6

【分析】

先利用因式分解法解方程求出其正实数根，再将其代入到方程中，解之即可．

【详解】

解：∵，

，

解得：，

根据题意将代入方程，得：，

解得．

【点睛】

本题考查了一元二次方程的求解，解题的关键是：会对一元二次方程进行求解，再根据题目要求解题．

19．（1）证明见解析；（2）

【分析】

（1）由证明从而可得答案；

（2）设 则 再利用勾股定理列方程：解方程可得答案．

【详解】

证明：（1）

（2）

设 则

【点睛】

本题考查的是勾股定理的应用，勾股定理的逆定理的应用，掌握勾股定理与勾股定理的逆定理是解题的关键．

20．水深12尺，芦苇长13尺

【分析】

依题意画出图形，设芦苇长AB=AB'=x尺，则水深AC=（x-1）尺，因为B'E=10尺，所以B'C=5尺，利用勾股定理求出x的值即可得到答案．

【详解】

解：依题意画出图形，如下图，

设芦苇长AB=AB'=x尺，则水深AC=（x-1）尺，

因为B'E=10尺，所以B'C=5尺，

在Rt△ACB'中，52+（x-1）2=x2，

解得：x=13，

即水深12尺，芦苇长13尺．

【点睛】

此题考查勾股定理的实际应用，正确理解题意，构建直角三角形利用勾股定理解决问题是解题的关键．

21．（1）k＜；（2）k=1

【分析】

（1）根据方程有两个不相等的实数根可得△=4-4（2k-4）＞0，解不等式求出k的取值范围；

（2）由根与系数的关系可得x1+x2=-2，x1•x2=2k-4，代入（x1-x2）2=12得到关于k的方程，结合k的取值范围解方程即可．

【详解】

解：（1）由题意可得△=4-4（2k-4）＞0，

解得k＜；

（2）∵x1，x2为该方程的两个实数根，

∴x1+x2=-2，x1•x2=2k-4，

∵（x1-x2）2=12，

∴（x1+x2）2-4x1•x2=12，

∴4-4（2k-4）=12，

解得k=1．

∵k＜，

∴k=1符合题意．

【点睛】

此题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式和根与系数的关系的应用，解题的关键是熟知根的判别式和根与系数的关系.

22．20元．

【分析】

利用衬衣平均每天售出的件数×每件盈利=每天销售这种衬衣利润列出方程解答即可．

【详解】

解：设每件衬衫应降价x元．

根据题意，得（40﹣x）（20+2x）=1200

整理，得x2﹣30x+200=0

解得x1=10，x2=20．

∵扩大销售量，减少库存，

∴x1=10应略去，

∴x=20，

答：每件衬衫应降价20元．

【点睛】

本题考查了一元二次方程的应用，属于常考题型，正确理解题意、找准相等关系是解题的关键．

23．（1）CE＝1.5；（2）

【分析】

（1）设CE＝x，根据勾股定理列出方程，解方程求出x，计算即可；

（2）设CE＝y，根据勾股定理列出方程，解方程求出x、y的关系，计算即可．

【详解】

解：（1）设，

，AD是BC边上的中线，

∴CD＝2，

由翻转变换的性质可知，，

由勾股定理得，，

解得，，

则CE＝1.5.

（2）设，

∵，AD是BC边上的中线，

，

由翻转变换的性质可知，，

由勾股定理得，，

解得，，

则，

∴

【点睛】

本题考查了利用勾股定理解直角三角形的过程，解题的关键是：在直角三角形中利用勾股定理建立等式。进行求解．