2020-2021学年吉林省长春市八年级（上）期末数学试卷（word版 含答案）

这是一份2020-2021学年吉林省长春市八年级（上）期末数学试卷（word版 含答案），共20页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年吉林省长春市八年级（上）期末数学试卷
一、填空题（每小题3分，共24分）
1．（3分）﹣64的立方根是（　　）
A．﹣4 B．8 C．﹣4和4 D．﹣8和8
2．（3分）下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（　　）
A．4，5，6 B．2，3，4 C．，3，4 D．1，，3
3．（3分）下列计算中正确的是（　　）
A．b3•b2＝b6 B．x3+x3＝x6 C．a2÷a2＝0 D．（﹣a3）2＝a6
4．（3分）下列选项中的尺规作图，能推出PA＝PC的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（3分）若（x+a）（x+b）的积中不含x的一次项，那么a与b一定是（　　）
A．互为相反数 B．互为倒数 C．相等 D．a比b大
6．（3分）已知：如图，AD是△ABC的角平分线，且AB：AC＝3：2，则△ABD与△ACD的面积之比为（　　）

A．3：2 B．9：4 C．2：3 D．4：9
7．（3分）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：
①分别以点B和C为圆心，适当长度（大于BC长的一半）为半径作圆弧，两弧相交于点M和N；
②作直线MN交AB于点D，连接CD．
若AB＝9，AC＝4，则△ACD的周长是（　　）

A．12 B．13 C．17 D．18
8．（3分）如图，∠MON＝90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB＝2，BC＝1，运动过程中，点D到点O的最大距离为（　　）

A．+1 B． C． D．
二、填空题（每小题3分，共18分）
9．（3分）计算：25的平方根是　 　．
10．（3分）计算：（）0﹣1＝　 　．
11．（3分）分解因式：4x2﹣1＝　 　．
12．（3分）命题“两直线平行，同位角相等”的逆命题是　 　命题．（填“真”或“假”）
13．（3分）若a﹣b＝3，ab＝1，则a2+b2＝　 　．
14．（3分）如图1，在大正方形中剪去一个小正方形，再将图中的阴影剪拼成一个长方形，如图2，这个长方形的长为24，宽为16，则图2中S2部分的面积是　 　．

三、解答题（共78分）
15．（10分）计算：
（1）（﹣）×；
（2）（x3y+2x2y2）÷xy．
16．（10分）化简：
（1）2a（2a+5）﹣（2a+1）2；
（2）[（2x+y）（2x﹣y）﹣3（2x2﹣xy）+y2]÷（﹣x）．
17．（6分）如图，AB＝AE，∠B＝∠AED，∠1＝∠2，求证：△ABC≌△AED．

18．（6分）如图，延长▱ABCD的边AD到F，使DF＝DC，延长CB到点E，使BE＝BA，分别连接点A、E和C、F．求证：AE＝CF．

19．（6分）如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，
（1）请在所给网格中画一个边长分别为，，的三角形；
（2）此三角形的面积是　 　．

20．（6分）“a2≥0”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式．例如：x2+4x+5＝x2+4x+4+1＝（x+2）2+1，∵（x+2）2≥0，∴（x+2）2+1≥1，∴x2+4x+5≥1．试利用“配方法”解决下列问题：
（1）填空：x2﹣4x+5＝（x　 　）2+　 　；
（2）已知x2﹣4x+y2+2y+5＝0，求x+y的值；
（3）比较代数式：x2﹣1与2x﹣3的大小．
21．（7分）如图，矩形ABCD中，点E在边CD上，将△BCE沿BE折叠，点C落在AD边上的点F处，过点F作FG∥CD交BE于点G，连接CG．
（1）求证：四边形CEFG是菱形；
（2）若AB＝6，AD＝10，求四边形CEFG的面积．

22．（8分）（1）拓展：如图①，在△ABC中，AB＝AC，点D是AB上一点，点E是AC延长线上一点，且BD＝CE．过点D作DF∥AC交BC于点F，连接DE交BC于点M．求证：BD＝FD，FM＝CM．
（2）应用：如图②，在上述“拓展”的条件下，另外增加条件∠A＝90°，然后过点D作DN⊥BC，垂足为点N．若AC＝1，则MN的长为　 　．

23．（9分）在现今“互联网+”的时代，密码与我们的生活已经紧密相连，密不可分．而诸如“123456”、生日等简单密码又容易被破解，因此利用简单方法产生一组容易记忆的密码就很有必要了．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆，其原理是：将一个多项式分解因式，如将多项式x3+2x2﹣x﹣2因式分解的结果为（x﹣1）（x+1）（x+2），当x＝18时，x﹣1＝17，x+1＝19，x+2＝20，此时可以得到数字密码171920或201719等．
（1）根据上述方法，当x＝21，y＝7时，对于多项式x3﹣xy2分解因式后可以形成哪些数字密码（写出四个即可）？
（2）将多项式x3+（m﹣3n）x2﹣nx﹣21因式分解成三个一次式的乘积后，利用题目中所示的方法，当x＝31时可以得到密码283238，求m，n的值．
24．（10分）定义：如图1，点M，N把线段AB分割成AM，MN和BN，若以AM，MN，BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的勾股分割点．
（1）已知点M，N是线段AB的勾股分割点，若AM＝2，MN＝3，求BN的长．
（2）如图2，在等腰直角△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点M，N为边AB上两点满足∠MCN＝45°，求证：点M，N是线段AB的勾股分割点；阳阳同学在解决第（2）小题时遇到了困难，陈老师对阳阳说：要证明勾股分割点，则需设法构造直角三角形，你可以把△CBN绕点C逆时针旋转90°试一试．请根据陈老师的提示完成第（2）小题的证明过程．


2020-2021学年八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题（每小题3分，共24分）
1．（3分）﹣64的立方根是（　　）
A．﹣4 B．8 C．﹣4和4 D．﹣8和8
【分析】根据立方根的定义即可求出答案．
【解答】解：∵（﹣4）3＝﹣64
∴﹣64的立方根为﹣4，
故选：A．
【点评】本题考查立方根的定义，解题的关键是正确理解立方根的定义，本题属于基础题型．
2．（3分）下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（　　）
A．4，5，6 B．2，3，4 C．，3，4 D．1，，3
【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
【解答】解：A、42+52≠62，不能构成直角三角形，故不符合题意；
B、22+32≠42，不能构成直角三角形，故不符合题意；
C、（）2+32＝42，能构成直角三角形，故符合题意；
D、12+（）2≠32，不能构成直角三角形，故不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．
3．（3分）下列计算中正确的是（　　）
A．b3•b2＝b6 B．x3+x3＝x6 C．a2÷a2＝0 D．（﹣a3）2＝a6
【分析】分别根据同底数幂的乘法法则，合并同类项的法则，同底数幂的除法法则以及积的乘方运算法则逐一判断即可．
【解答】解：b3•b2＝b5，故选项A不合题意；
x3+x3＝2x3，故选项B不合题意；
a2÷a2＝1，故选项C不合题意；
（﹣a3）2＝a6，正确，故选项D符合题意．
故选：D．
【点评】本题主要考查了同底数幂的乘除法，幂的乘方与积的乘方以及合并同类项的法则，熟记相关运算法则是解答本题的关键．
4．（3分）下列选项中的尺规作图，能推出PA＝PC的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据角平分线和线段中垂线的尺规作图及其性质知．
【解答】解：A．由此作图知CA＝CP，不符合题意；
B．由此作图知BA＝BP，不符合题意；
C由此作图知∠ABP＝∠CBP，不符合题意；
D．由此作图知PA＝PC，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了基本作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
5．（3分）若（x+a）（x+b）的积中不含x的一次项，那么a与b一定是（　　）
A．互为相反数 B．互为倒数 C．相等 D．a比b大
【分析】原式利用多项式乘以多项式法则计算，根据结果中不含x的一次项，求出a与b的关系即可．
【解答】解：（x+a）（x+b）
＝x2+ax+bx+ab
＝x2+（a+b）x+ab，
由结果中不含x的一次项，得到a+b＝0，即a与b一定是互为相反数．
故选：A．
【点评】此题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
6．（3分）已知：如图，AD是△ABC的角平分线，且AB：AC＝3：2，则△ABD与△ACD的面积之比为（　　）

A．3：2 B．9：4 C．2：3 D．4：9
【分析】过点D作DE垂直于AB，DF垂直于AC，由AD为角BAC的平分线，根据角平分线定理得到DE＝DF，再根据三角形的面积公式表示出△ABD与△ACD的面积之比，把DE＝DF以及AB：AC的比值代入即可求出面积之比．
【解答】解：过点D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．
∵AD为∠BAC的平分线，
∴DE＝DF，又AB：AC＝3：2，
∴S△ABD：S△ACD＝（AB•DE）：（AC•DF）＝AB：AC＝3：2．
故选：A．

【点评】此题考查了角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等．此类题经常过角平分线上作角两边的垂线，这样可以得到线段的相等，再结合其他的条件探寻结论解决问题．
7．（3分）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：
①分别以点B和C为圆心，适当长度（大于BC长的一半）为半径作圆弧，两弧相交于点M和N；
②作直线MN交AB于点D，连接CD．
若AB＝9，AC＝4，则△ACD的周长是（　　）

A．12 B．13 C．17 D．18
【分析】利用线段的垂直平分线的性质求出，CD+AD＝AB＝9，即可解决问题．
【解答】解：由作图可知，MN垂直平分线段BC，
∴DC＝DB，
∴AD+DC＝AD+DB＝AB＝9，
∴△ADC的周长＝AC+AD+DC＝9+4＝13，
故选：B．
【点评】本题考查作图﹣基本作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
8．（3分）如图，∠MON＝90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB＝2，BC＝1，运动过程中，点D到点O的最大距离为（　　）

A．+1 B． C． D．
【分析】取AB的中点E，连接OE、DE、OD，根据三角形的任意两边之和大于第三边可知当O、D、E三点共线时，点D到点O的距离最大，再根据勾股定理列式求出DE的长，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出OE的长，两者相加即可得解．
【解答】解：如图，取AB的中点E，连接OE、DE、OD，
∵OD≤OE+DE，
∴当O、D、E三点共线时，点D到点O的距离最大，
此时，∵AB＝2，BC＝1，
∴OE＝AE＝AB＝1，
DE＝＝＝，
∴OD的最大值为：+1．
故选：A．

【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到性质，三角形的三边关系，矩形的性质，勾股定理，根据三角形的三边关系判断出点O、E、D三点共线时，点D到点O的距离最大是解题的关键．
二、填空题（每小题3分，共18分）
9．（3分）计算：25的平方根是　±5　．
【分析】根据平方根的定义，结合（±5）2＝25即可得出答案．
【解答】解：∵（±5）2＝25
∴25的平方根±5．
故答案为：±5．
【点评】本题考查了平方根的知识，属于基础题，解答本题的关键是掌握平方根的定义，注意一个正数的平方根有两个且互为相反数．
10．（3分）计算：（）0﹣1＝　0　．
【分析】依据零指数幂的法则和有理数的减法法则计算即可．
【解答】解：原式＝1﹣1
＝0．
故答案为：0．
【点评】本题主要考查的是零指数幂，掌握零指数幂的运算法则是解题的关键．
11．（3分）分解因式：4x2﹣1＝　（2x+1）（2x﹣1）　．
【分析】直接利用平方差公式分解因式即可．平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
【解答】解：4x2﹣1＝（2x+1）（2x﹣1）．
故答案为：（2x+1）（2x﹣1）．
【点评】本题主要考查平方差公式分解因式，熟记公式结构是解题的关键．
12．（3分）命题“两直线平行，同位角相等”的逆命题是　真　命题．（填“真”或“假”）
【分析】将原命题的条件与结论互换即得到其逆命题，然后判断正误即可．
【解答】解：∵原命题的条件为：两直线平行，结论为：同位角相等．
∴其逆命题为：同位角相等，两直线平行，正确，为真命题，
故答案为：真．
【点评】本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．
13．（3分）若a﹣b＝3，ab＝1，则a2+b2＝　11　．
【分析】根据题意，把a﹣b＝3两边同时平方可得，a2﹣2ab+b2＝9，结合题意，将a2+b2看成整体，求解即可．
【解答】解：∵a﹣b＝3，ab＝1，
∴（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2＝9，
∴a2+b2＝9+2ab＝9+2＝11．
故应填：11．
【点评】本题考查对完全平方公式的变形应用能力．
14．（3分）如图1，在大正方形中剪去一个小正方形，再将图中的阴影剪拼成一个长方形，如图2，这个长方形的长为24，宽为16，则图2中S2部分的面积是　64　．

【分析】根据在边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形，以及长方形的长为24，宽为16，得出a+b＝24，a﹣b＝16，进而得出a，b的长，即可得出答案．
【解答】解：设大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，
根据题意得出：，
解得：，
故图2中S2部分的面积是：4×（20﹣4）＝64，
故答案为：64．
【点评】此题主要考查了正方形的性质以及二元一次方程组的应用，根据已知得出a+b＝24，a﹣b＝16是解题关键．
三、解答题（共78分）
15．（10分）计算：
（1）（﹣）×；
（2）（x3y+2x2y2）÷xy．
【分析】（1）先利用二次根式的性质化简，然后进行有理数的混合运算；
（2）根据多项式除以单项式法则运算．
【解答】解：（1）原式＝（×4﹣×3）×2
＝（2﹣2）×2
＝0；
（2）原式＝x2+2xy．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．也考查了整式的运算．
16．（10分）化简：
（1）2a（2a+5）﹣（2a+1）2；
（2）[（2x+y）（2x﹣y）﹣3（2x2﹣xy）+y2]÷（﹣x）．
【分析】（1）根据单项式乘多项式和完全平方公式可以解答本题；
（2）根据平方差公式、单项式乘多项式和多项式除以单项式可以解答本题．
【解答】解：（1）2a（2a+5）﹣（2a+1）2
＝4a2+10a﹣4a2﹣4a﹣1
＝6a﹣1；
（2）[（2x+y）（2x﹣y）﹣3（2x2﹣xy）+y2]÷（﹣x）
＝（4x2﹣y2﹣6x2+3xy+y2）÷（﹣x）
＝（﹣2x2+3xy）×（﹣）
＝﹣2x2×（﹣）+3xy×（﹣）
＝4x﹣6y．
【点评】本题考查整式的混合运算，解答本题的关键是明确整式混合运算的计算方法．
17．（6分）如图，AB＝AE，∠B＝∠AED，∠1＝∠2，求证：△ABC≌△AED．

【分析】根据ASA只要证明∠BAC＝∠EAD即可解决问题；
【解答】证明∵∠1＝∠2，
∴∠BAC＝∠EAD，
在△ABC和△AED中，
，
∴△ABC≌△AED．
【点评】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定，属于中考常考题型．
18．（6分）如图，延长▱ABCD的边AD到F，使DF＝DC，延长CB到点E，使BE＝BA，分别连接点A、E和C、F．求证：AE＝CF．

【分析】根据平行四边形的性质可得AD＝BC，AD∥BC，再证出BE＝DF，得出AF＝EC，进而可得四边形AECF是平行四边形，从而可得AE＝CF．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴AF∥EC，
∵DF＝DC，BE＝BA，
∴BE＝DF，
∴AF＝EC，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AE＝CF．
【点评】此题主要考查了平行四边形的性质和判定，关键是掌握平行四边形对边平行且相等，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
19．（6分）如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，
（1）请在所给网格中画一个边长分别为，，的三角形；
（2）此三角形的面积是　　．

【分析】（1）作出AB＝，BC＝，AC＝，即可．
（2）利用分割法求解即可．
【解答】解：（1）如图，△ABC即为所求作．

（2）S△ABC＝3×4﹣×1×3﹣×2×3﹣×1×4＝，
故答案为：
【点评】本题考查作图﹣应用与设计，勾股定理，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
20．（6分）“a2≥0”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式．例如：x2+4x+5＝x2+4x+4+1＝（x+2）2+1，∵（x+2）2≥0，∴（x+2）2+1≥1，∴x2+4x+5≥1．试利用“配方法”解决下列问题：
（1）填空：x2﹣4x+5＝（x　﹣2　）2+　1　；
（2）已知x2﹣4x+y2+2y+5＝0，求x+y的值；
（3）比较代数式：x2﹣1与2x﹣3的大小．
【分析】（1）根据配方法的方法配方即可；
（2）先配方得到非负数和的形式，再根据非负数的性质得到x、y的值，再代入得到x+y的值；
（3）将两式相减，再配方即可作出判断．
【解答】解：（1）x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+1；

（2）x2﹣4x+y2+2y+5＝0，
（x﹣2）2+（y+1）2＝0，
则x﹣2＝0，y+1＝0，
解得x＝2，y＝﹣1，
则x+y＝2﹣1＝1；

（3）x2﹣1﹣（2x﹣3）
＝x2﹣2x+2
＝（x﹣1）2+1，
∵（x﹣1）2≥0，
∴（x﹣1）2+1＞0，
∴x2﹣1＞2x﹣3．
故答案为：﹣2，1．
【点评】考查了配方法的综合应用，配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方．
21．（7分）如图，矩形ABCD中，点E在边CD上，将△BCE沿BE折叠，点C落在AD边上的点F处，过点F作FG∥CD交BE于点G，连接CG．
（1）求证：四边形CEFG是菱形；
（2）若AB＝6，AD＝10，求四边形CEFG的面积．

【分析】（1）根据题意和翻折的性质，可以得到△BCE≌△BFE，再根据全等三角形的性质和菱形的判定方法即可证明结论成立；
（2）根据题意和勾股定理，可以求得AF的长，进而求得EF和DF的值，从而可以得到四边形CEFG的面积．
【解答】（1）证明：由题意可得，
△BCE≌△BFE，
∴∠BEC＝∠BEF，FE＝CE，
∵FG∥CE，
∴∠FGE＝∠CEB，
∴∠FGE＝∠FEG，
∴FG＝FE，
∴FG＝EC，
∴四边形CEFG是平行四边形，
又∵CE＝FE，
∴四边形CEFG是菱形；
（2）∵矩形ABCD中，AB＝6，AD＝10，BC＝BF，
∴∠BAF＝90°，AD＝BC＝BF＝10，
∴AF＝8，
∴DF＝2，
设EF＝x，则CE＝x，DE＝6﹣x，
∵∠FDE＝90°，
∴22+（6﹣x）2＝x2，
解得，x＝，
∴CE＝，
∴四边形CEFG的面积是：CE•DF＝×2＝．
【点评】本题考查翻折变化、菱形的性质和判定、矩形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
22．（8分）（1）拓展：如图①，在△ABC中，AB＝AC，点D是AB上一点，点E是AC延长线上一点，且BD＝CE．过点D作DF∥AC交BC于点F，连接DE交BC于点M．求证：BD＝FD，FM＝CM．
（2）应用：如图②，在上述“拓展”的条件下，另外增加条件∠A＝90°，然后过点D作DN⊥BC，垂足为点N．若AC＝1，则MN的长为　　．

【分析】（1）方法一可以根据等腰三角形的性质证明BD＝FD，方法二可以利用相似三角形的判定与性质证明BD＝FD，根据△FDM≌△CEM，可得FM＝CM；
（2）根据等腰三角形的性质可得BC＝BF+CF＝2FN+2FM＝2MN，根据AB＝AC＝1，利用勾股定理即可得结论．
【解答】（1）证明：方法一：
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠BCA，
∵DF∥AC，
∴∠BFD＝∠BCA，∠FDM＝∠CEM，
∴∠B＝∠BFD，
∴BD＝FD，
方法二：
∵DF∥AC，
∴△BFD∽△BCA，
∵AB＝AC，
∴BD＝FD；
∵BD＝CE，
∴DF＝CE，
在△FDM和△CEM中，
，
∴△FDM≌△CEM（AAS），
∴FM＝CM；
（2）解：∵BD＝DF，DN⊥BC，
∴BN＝FN，
∵FM＝CM，
∴BC＝BF+CF＝2FN+2FM＝2MN，
∵AB＝AC＝1，
∴BC＝＝＝，
∴MN＝BC＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，解决本题的关键是综合运用以上知识．
23．（9分）在现今“互联网+”的时代，密码与我们的生活已经紧密相连，密不可分．而诸如“123456”、生日等简单密码又容易被破解，因此利用简单方法产生一组容易记忆的密码就很有必要了．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆，其原理是：将一个多项式分解因式，如将多项式x3+2x2﹣x﹣2因式分解的结果为（x﹣1）（x+1）（x+2），当x＝18时，x﹣1＝17，x+1＝19，x+2＝20，此时可以得到数字密码171920或201719等．
（1）根据上述方法，当x＝21，y＝7时，对于多项式x3﹣xy2分解因式后可以形成哪些数字密码（写出四个即可）？
（2）将多项式x3+（m﹣3n）x2﹣nx﹣21因式分解成三个一次式的乘积后，利用题目中所示的方法，当x＝31时可以得到密码283238，求m，n的值．
【分析】（1）当x＝21，y＝7时，x﹣y＝14，x+y＝28，代入x3﹣xy2＝x（x﹣y）（x+y）即可；
（2）由题意，得x3+（m﹣3n）x2﹣nx﹣21＝（x﹣3）（x+1）（x+7），则有即可求m、n．
【解答】解：（1）x3﹣xy2＝x（x﹣y）（x+y），
当x＝21，y＝7时，x﹣y＝14，x+y＝28，
形成的数字密码可以是211428、212814、142128、142821、282114或281421（任写4个即可）；
（2）由题意，得x3+（m﹣3n）x2﹣nx﹣21＝（x﹣3）（x+1）（x+7），
因为（x﹣3）（x+1）（x+7）＝x3+5x2﹣17x﹣21，所以，
解得，
故m，n的值分别是56，17．
【点评】本题考查因式分解的应用；理解题意，从题目中获取信息，列出正确的代数式，再由数的特点求解是解题的关键．
24．（10分）定义：如图1，点M，N把线段AB分割成AM，MN和BN，若以AM，MN，BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的勾股分割点．
（1）已知点M，N是线段AB的勾股分割点，若AM＝2，MN＝3，求BN的长．
（2）如图2，在等腰直角△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点M，N为边AB上两点满足∠MCN＝45°，求证：点M，N是线段AB的勾股分割点；阳阳同学在解决第（2）小题时遇到了困难，陈老师对阳阳说：要证明勾股分割点，则需设法构造直角三角形，你可以把△CBN绕点C逆时针旋转90°试一试．请根据陈老师的提示完成第（2）小题的证明过程．

【分析】（1）分两种情况，利用勾股定理即可解决问题；
（2）如图，把△CBN绕点C逆时针旋转90°，得到△CAN'，连接MN'，得出△AN'C≌△BNC，推出CN'＝CN，∠ACN'＝∠BCN，再证明△MN'C≌△MNC，可得MN'＝MN，由此即可解决问题．
【解答】（1）解：当MN最长时，BN＝＝＝；
当BN最长时，BN＝＝＝，
综合以上可得BN的长为或；
（2）证明：如图，把△CBN绕点C逆时针旋转90°，得到△CAN'，连接MN'，

∴△AN'C≌△BNC，
∴CN'＝CN，∠ACN'＝∠BCN，∠CBN＝∠CAN'，
∵∠MCN＝45°，
∴∠N'CA+∠ACM＝∠ACM+∠BCN＝45°，
∴∠MCN'＝∠BCM，
∴△MN'C≌△MNC（SAS），
∴MN'＝MN，
∵AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴∠B＝∠CAM＝45°，
∴∠CAN'＝45°，
∴∠MAN'＝∠CAN'+∠CAM＝45°+45°＝90°，
在Rt△MN'A中，AN'2+AM2＝N'M2，
∴BN2+AM2＝MN2，
∴点M，N是线段AB的勾股分割点．
【点评】本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．