-湖北省黄石市大冶市2020-2021学年八年级上学期期末数学试卷（word解析版）

这是一份-湖北省黄石市大冶市2020-2021学年八年级上学期期末数学试卷（word解析版），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年湖北省黄石市大冶市八年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30分）
1．（3分）现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性，下列美术字是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．（3分）下列计算正确的是（　　）
A．a8÷a2＝a4 B．a3•a4＝a7 C．（2a2）3＝6a6 D．（）﹣2＝
3．（3分）解分式方程+＝3时，去分母后变形正确的是（　　）
A．2+（x+2）＝3（x﹣1） B．2﹣x+2＝3（x﹣1）
C．2﹣（x+2）＝3 D．2﹣（x+2）＝3（x﹣1）
4．（3分）某部门组织调运一批物资，一运送物资车开往距离出发地180千米的目的地，出发第一小时内按原计划的速度匀速行驶，一小时后以原来速度的1.5倍匀速行驶，并比原计划提前40分钟到达目的地．设原计划速度为x千米/小时，则方程可列为（　　）
A．＝
B．＝
C．+1＝﹣
D．+1＝+
5．（3分）若a2+2ab+b2﹣c2＝10，a+b+c＝5，则a+b﹣c的值是（　　）
A．2 B．5 C．20 D．9
6．（3分）如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，CA＝CB＝6，CE＝CD，△ACB的顶点A在△ECD的斜边DE上，若AE：AD＝1：2，则两个三角形重叠部分的面积为（　　）

A．6 B．9 C．12 D．14
7．（3分）若一个多边形内角和等于1260°，则该多边形边数是（　　）
A．8 B．9 C．10 D．11
8．（3分）已知4y2﹣my+9是完全平方式，则m的值是（　　）
A．6 B．±6 C．12 D．±12
9．（3分）如图所示，已知AB＝AC，∠A＝40°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，则∠DBC的度数为（　　）

A．40° B．70° C．30° D．50°
10．（3分）根据如图数字之间的规律，问号处应填（　　）

A．61 B．52 C．43 D．37
二、填空题（本大题共6小题，共18分）
11．（3分）数0.0000046用科学记数法表示为：　 　．
12．（3分）一个等腰三角形的一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则它的顶角为：　 　°．
13．（3分）已知a2+b2＝18，ab＝﹣1，则a+b＝　 　．
14．（3分）如图，∠C＝90°，∠A＝30°，BD为角平分线，则S△ABD：S△CBD＝　 　．

15．（3分）一个三角形3条边长分别为xcm、（x+1）cm、（x+2）cm，它的周长不超过39cm，则x的取值范围是　 　．
16．（3分）如图，∠AOB＝30°，点M、N分别是射线OB、OA上的动点，点P为∠AOB内一点，且OP＝8，则△PMN的周长的最小值＝　 　．

三、解答题（本大题共9小题，共72分）
17．（8分）计算：
（1）（4a﹣b2）（﹣2b）；
（2）（15x2y﹣10xy2）÷5xy．
18．（8分）分解因式：
（1）﹣3a2+6ab﹣3b2；
（2）9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）．
19．（7分）解分式方程：．
20．（7分）先化简，再求值：（x+1）÷（2+），其中x＝﹣．
21．（7分）如图，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE＝FE，FC∥AB，求证：△ADE≌△CFE．

22．（8分）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）．
（1）若△A1B1C1与△ABC关于y轴成轴对称，则△A1B1C1三个顶点坐标分别为：A1　 　，B1　 　，C1　 　；
（2）计算△ABC的面积．

23．（8分）为了创建全国卫生城市，某社区要清理一个卫生死角内的垃圾，租用甲、乙两车运送，两车各运12趟可完成，需支付运费4800元．已知甲、乙两车单独运完此堆垃圾，乙车所运趟数是甲车的2倍，且乙车每趟运费比甲车少200元．
（1）求甲、乙两车单独运完此堆垃圾各需运多少趟？
（2）若单独租用一台车，租用哪台车合算？
24．（9分）已知，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D，E．
（1）如图1，求证：DE＝AD+BE；
（2）如图2，点O为AB的中点，连接OD，OE．请判断△ODE的形状？并说明理由．

25．（10分）等腰Rt△ACB，∠ACB＝90°，AC＝BC，点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上．

（1）如图1，求证：∠BCO＝∠CAO
（2）如图2，若OA＝5，OC＝2，求B点的坐标
（3）如图3，点C（0，3），Q、A两点均在x轴上，且S△CQA＝18．分别以AC、CQ为腰在第一、第二象限作等腰Rt△CAN、等腰Rt△QCM，连接MN交y轴于P点，OP的长度是否发生改变？若不变，求出OP的值；若变化，求OP的取值范围．

2020-2021学年湖北省黄石市大冶市八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，共30分）
1．（3分）现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性，下列美术字是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】利用轴对称图形定义判断即可．
【解答】解：四个汉字中，可以看作轴对称图形的是，
故选：D．
【点评】此题考查了轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的定义是解本题的关键．
2．（3分）下列计算正确的是（　　）
A．a8÷a2＝a4 B．a3•a4＝a7 C．（2a2）3＝6a6 D．（）﹣2＝
【分析】分别根据同底数幂的乘除法法则，幂的乘方与积的乘方运算法则以及负整数指数幂的运算法则逐一判断即可．
【解答】解：A．a8÷a2＝a6，故本选项不合题意；
B．a3．a4＝a7，正确；
C．（2a2）3＝8a6，故本选项不合题意；
D，，故本选项不合题意．
故选：B．
【点评】本题主要考查了同底数幂的乘除法，幂的乘方与积的乘方以及负整数指数幂，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．
3．（3分）解分式方程+＝3时，去分母后变形正确的是（　　）
A．2+（x+2）＝3（x﹣1） B．2﹣x+2＝3（x﹣1）
C．2﹣（x+2）＝3 D．2﹣（x+2）＝3（x﹣1）
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，即可作出判断．
【解答】解：方程变形得：﹣＝3，
去分母得：2﹣（x+2）＝3（x﹣1），
故选：D．
【点评】此题考查了解分式方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
4．（3分）某部门组织调运一批物资，一运送物资车开往距离出发地180千米的目的地，出发第一小时内按原计划的速度匀速行驶，一小时后以原来速度的1.5倍匀速行驶，并比原计划提前40分钟到达目的地．设原计划速度为x千米/小时，则方程可列为（　　）
A．＝
B．＝
C．+1＝﹣
D．+1＝+
【分析】设原计划速度为x千米/小时，根据“一运送物资车开往距离出发地180千米的目的地”，则原计划的时间为：，根据“出发第一小时内按原计划的速度匀速行驶，一小时后以原来速度的1.5倍匀速行驶”，则实际的时间为：+1，
根据“实际比原计划提前40分钟到达目的地”，列出关于x的分式方程，即可得到答案．
【解答】解：设原计划速度为x千米/小时，
根据题意得：
原计划的时间为：，
实际的时间为：+1，
∵实际比原计划提前40分钟到达目的地，
∴+1＝﹣，
故选：C．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，正确找出等量关系，列出分式方程是解题的关键．
5．（3分）若a2+2ab+b2﹣c2＝10，a+b+c＝5，则a+b﹣c的值是（　　）
A．2 B．5 C．20 D．9
【分析】根据完全平方公式和平方差公式将a2+2ab+b2﹣c2＝10的左边因式分解得到（a+b+c）（a+b﹣c）＝10，再将a+b+c＝5整体代入即可求解．
【解答】解：a2+2ab+b2﹣c2＝10，
（a+b）2﹣c2＝10，
（a+b+c）（a+b﹣c）＝10，
∵a+b+c＝5，
∴5（a+b﹣c）＝10，
解得a+b﹣c＝2．
故选：A．
【点评】考查了因式分解的应用，关键是熟练掌握完全平方公式和平方差公式，注意整体思想的应用．
6．（3分）如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，CA＝CB＝6，CE＝CD，△ACB的顶点A在△ECD的斜边DE上，若AE：AD＝1：2，则两个三角形重叠部分的面积为（　　）

A．6 B．9 C．12 D．14
【分析】设AB交CD于O，连接BD，证明△ECA≌△DCB（SAS），得出∠E＝∠CDB＝45°，AE＝BD，作OM⊥DE于M，ON⊥BD于N．求出△ABC的面积．再求出OA与OB的比值即可解决问题
【解答】解：设AB交CD于O，连接BD，作OM⊥DE于M，ON⊥BD于N，
如图所示：

∵∠ECD＝∠ACB＝90°，
∴∠ECA＝∠DCB，
在△ECA和△DCB中，，
∴△ECA≌△DCB（SAS），
∴∠E＝∠CDB＝45°，AE＝BD，
∵∠EDC＝45°，
∴∠CDB＝∠EDC，
∵AE：AD＝1：2，
∴BD：AD＝1：2，
在Rt△ADB中，CA＝CB＝6，
∴S△ABC＝×6×6＝18，
∵OD平分∠ADB，OM⊥DE于M，ON⊥BD于N，
∴OM＝ON，
∵＝＝＝＝2，
∴S△AOC＝18×＝12；
故选：C．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、角平分线的性质等知识，解题的关键是学会利用面积法确定线段之间的关系，属于中考选择题中的压轴题．
7．（3分）若一个多边形内角和等于1260°，则该多边形边数是（　　）
A．8 B．9 C．10 D．11
【分析】设多边形的边数为n，根据多边形内角和定理得出（n﹣2）•180°＝1260°，求出即可．
【解答】解：设多边形的边数为n，
则（n﹣2）•180°＝1260°，
解得：n＝9，
故选：B．
【点评】本题考查了多边形内角和定理，能熟．记多边形内角和公式是解此题的关键
8．（3分）已知4y2﹣my+9是完全平方式，则m的值是（　　）
A．6 B．±6 C．12 D．±12
【分析】先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定m的值．
【解答】解：4y2﹣my+9＝（2y）2﹣my+32，
∴﹣my＝±2×2y×3，
解得m＝±12．
故选：D．
【点评】本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟记完全平方公式对解题非常重要．
9．（3分）如图所示，已知AB＝AC，∠A＝40°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，则∠DBC的度数为（　　）

A．40° B．70° C．30° D．50°
【分析】根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理求出∠ABC，根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DB，得到∠DBA＝∠A＝40°，计算即可．
【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝40°，
∴∠ABC＝∠C＝70°，
∵MN是AB的垂直平分线，
∴DA＝DB，
∴∠DBA＝∠A＝40°，
∴∠DBC＝30°，
故选：C．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
10．（3分）根据如图数字之间的规律，问号处应填（　　）

A．61 B．52 C．43 D．37
【分析】由图可知每个圆中的规律为左边与上边对应的数相乘得到的积再加上右边的数，所得结果为最下边的数．
【解答】解：由图可知每个圆中的规律为：1×2+2＝4，2×3+3＝9，3×5+4＝19，4×7+5＝33，
∴最后一个圆中5×11+6＝61，
∴？号所对应的数是61，
故选：A．
【点评】本题考查数字的变化规律；能够通过图形找到每个圆中的四个数之间的关系是解题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，共18分）
11．（3分）数0.0000046用科学记数法表示为：　4.6×10﹣6　．
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.0000046＝4.6×10﹣6，
故答案为：4.6×10﹣6．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
12．（3分）一个等腰三角形的一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则它的顶角为：　50或130　°．
【分析】等腰三角形分为锐角、直角、钝角等腰三角形，当为等腰直角三角形时不可能出现题中所说情况，所以舍去不计，另外两种情况可以根据垂直的性质及外角的性质求出顶角的度数．
【解答】解：①当为锐角三角形时，如图，
高与右边腰成40°夹角，由三角形内角和为180°可得，顶角为50°；
②当为钝角三角形时，如图，此时垂足落到三角形外面，
因为三角形内角和为180°，
由图可以看出等腰三角形的顶角的补角为50°，
所以三角形的顶角为130°．
故答案为50°或130°．


【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，做题时，考虑问题要全面，进行分类讨论是正确解答本题的关键，难度适中．
13．（3分）已知a2+b2＝18，ab＝﹣1，则a+b＝　±4　．
【分析】根据完全平方和公式：（a+b）2＝a2+2ab+b2，的变形进行计算．
【解答】解：（a+b）2＝a2+2ab+b2＝（a2+b2）+2ab＝18﹣2＝16，则a+b＝±4；
故答案是：±4．
【点评】本题主要考查完全平方公式，熟记公式的几个变形公式对解题大有帮助．
14．（3分）如图，∠C＝90°，∠A＝30°，BD为角平分线，则S△ABD：S△CBD＝　2：1　．

【分析】作DH⊥AB于H．证明AD＝2CD即可解决问题．
【解答】解：作DH⊥AB于H．

∵BD平分∠ABC，DC⊥BC，DH⊥AB，
∴DC＝DH，
∵∠DHA＝90°，∠A＝30°，
∴AD＝2DH，
∴AD＝2DC，
∴S△ABD：S△CBD═2：1．
故答案为2：1．
【点评】本题考查角平分线的性质，直角三角形30度角的性质等知识，证得AD＝2CD是解题的关键．
15．（3分）一个三角形3条边长分别为xcm、（x+1）cm、（x+2）cm，它的周长不超过39cm，则x的取值范围是　1＜x≤12　．
【分析】根据三角形的三边关系以及周长列出不等式组，求出x的取值范围即可．
【解答】解：∵一个三角形的3边长分别是xcm，（x+1）cm，（x+2）cm，它的周长不超过39cm，
∴，
解得1＜x≤12．
故答案为：1＜x≤12．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，在解答此题时要注意三角形的三边关系．
16．（3分）如图，∠AOB＝30°，点M、N分别是射线OB、OA上的动点，点P为∠AOB内一点，且OP＝8，则△PMN的周长的最小值＝　8　．

【分析】设点P关于OA的对称点为C，关于OB的对称点为D，当点M、N在CD上时，△PMN的周长最小．
【解答】解：分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OP、OC、OD、PM、PN．
∵点P关于OA的对称点为C，关于OB的对称点为D，
∴PM＝CM，OP＝OC，∠COA＝∠POA；
∵点P关于OB的对称点为D，
∴PN＝DN，OP＝OD，∠DOB＝∠POB，
∴OC＝OD＝OP＝8cm，∠COD＝∠COA+∠POA+∠POB+∠DOB＝2∠POA+2∠POB＝2∠AOB＝60°，
∴△COD是等边三角形，
∴CD＝OC＝OD＝8．
∴△PMN的周长的最小值＝PM+MN+PN＝CM+MN+DN≥CD＝8．
故答案为：8．

【点评】此题主要考查轴对称﹣﹣最短路线问题，熟知两点之间线段最短是解答此题的关键．
三、解答题（本大题共9小题，共72分）
17．（8分）计算：
（1）（4a﹣b2）（﹣2b）；
（2）（15x2y﹣10xy2）÷5xy．
【分析】（1）根据单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加进行计算即可；
（2）根据多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加进行计算即可．
【解答】解：（1）原式＝﹣8ab+2b3；

（2）原式＝15x2y÷5xy﹣10xy2÷5xy
＝3x﹣2y．
【点评】此题主要考查了整式的乘除，关键是掌握计算法则．
18．（8分）分解因式：
（1）﹣3a2+6ab﹣3b2；
（2）9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）．
【分析】（1）原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可；
（2）原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：（1）原式＝﹣3（a2﹣2ab+b2）＝﹣3（a﹣b）2；
（2）原式＝（x﹣y）（3a+2b）（3a﹣2b）．
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
19．（7分）解分式方程：．
【分析】两边同乘分式方程的最简公分母，将分式方程转化为整式方程，再解答，然后检验．
【解答】解：去分母得：3x+x+2＝4，
解得：x＝，
经检验，x＝是原方程的解．
【点评】本题考查了解分式方程，找到最简公分母将分式方程转化为整式方程是解题的关键．
20．（7分）先化简，再求值：（x+1）÷（2+），其中x＝﹣．
【分析】根据分式的加法和除法可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题．
【解答】解：（x+1）÷（2+）
＝（x+1）÷
＝（x+1）
＝，
当x＝﹣时，原式＝＝．
【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
21．（7分）如图，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE＝FE，FC∥AB，求证：△ADE≌△CFE．

【分析】利用AAS证明：△ADE≌CFE．
【解答】证明：∵FC∥AB，
∴∠A＝∠FCE，∠ADE＝∠F，
在△ADE与△CFE中：
∵，
∴△ADE≌△CFE（AAS）．
【点评】本题考查了三角形全等的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法是关键，三角形全等的判定方法有：AAS，SSS，SAS，ASA．
22．（8分）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）．
（1）若△A1B1C1与△ABC关于y轴成轴对称，则△A1B1C1三个顶点坐标分别为：A1　（﹣1，1）　，B1　（﹣4，2）　，C1　（﹣3，4）　；
（2）计算△ABC的面积．

【分析】（1）依据轴对称的性质，即可得到△A1B1C1三个顶点坐标；
（2）依据割补法进行计算，即可得到△ABC的面积．
【解答】解：（1）若△A1B1C1与△ABC关于y轴成轴对称，
则△A1B1C1三个顶点坐标分别为：A1（﹣1，1），B1（﹣4，2），C1（﹣3，4）；
故答案为：（﹣1，1），（﹣4，2），（﹣3，4）；
（2）△ABC的面积为：3×3﹣﹣﹣
＝9﹣1.5﹣1﹣3
＝3.5．
【点评】本题主要考查了关于y轴对称的点的坐标特征，关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变．
23．（8分）为了创建全国卫生城市，某社区要清理一个卫生死角内的垃圾，租用甲、乙两车运送，两车各运12趟可完成，需支付运费4800元．已知甲、乙两车单独运完此堆垃圾，乙车所运趟数是甲车的2倍，且乙车每趟运费比甲车少200元．
（1）求甲、乙两车单独运完此堆垃圾各需运多少趟？
（2）若单独租用一台车，租用哪台车合算？
【分析】（1）假设甲车单独运完此堆垃圾需运x趟，则乙车单独运完此堆垃圾需运2x趟，根据工作总量＝工作时间×工作效率建立方程求出其解即可；
（2）分别表示出甲、乙两车单独运每一趟所需费用，再根据关键语句“两车各运12趟可完成，需支付运费4800元”可得方程，再解出方程，再分别计算出利用甲或乙所需费用进行比较即可．
【解答】解：（1）设甲车单独运完此堆垃圾需运x趟，则乙车单独运完此堆垃圾需运2x趟，根据题意得出：
12（+）＝1，
解得：x＝18，
经检验得出：x＝18是原方程的解，
则乙车单独运完此堆垃圾需运：2x＝36，
答：甲车单独运完需18趟，乙车单独运完需36趟；

（2）设甲车每一趟的运费是a元，由题意得：
12a+12（a﹣200）＝4800，
解得：a＝300，
则乙车每一趟的费用是：300﹣200＝100（元），
单独租用甲车总费用是：18×300＝5400（元），
单独租用乙车总费用是：36×100＝3600（元），
3600＜5400，
故单独租用一台车，租用乙车合算．
答：单独租用一台车，租用乙车合算．
【点评】此题主要考查了分式方程的应用以及一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．
24．（9分）已知，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D，E．
（1）如图1，求证：DE＝AD+BE；
（2）如图2，点O为AB的中点，连接OD，OE．请判断△ODE的形状？并说明理由．

【分析】（1）根据条件可以得出∠E＝∠ADC＝90°，进而得出△CEB≌△ADC，就可以得出BE＝DC，AD＝CE；
（2）如图2，连接OC，由等腰直角三角形的性质可得AO＝BO＝CO，∠CAB＝∠CBA＝45°，CO⊥AB，由“SAS”可证△DCO≌△EBO，△ADO≌△CEO，可得EO＝DO，∠EOB＝∠DOC，∠AOD＝∠COE，可证△DOE是等腰直角三角形．
【解答】（1）证明：如图1，

∵BE⊥CE，AD⊥CE，
∴∠E＝∠ADC＝90°，
∴∠EBC+∠BCE＝90°．
∵∠BCE+∠ACD＝90°，
∴∠EBC＝∠DCA．
在△CEB和△ADC中，
，
∴△CEB≌△ADC（AAS），
∴BE＝DC，AD＝CE．
∴DE＝DC+CE＝AD+BE，即DE＝AD+BE；

（2）△DOE等腰直角三角形，
理由如下：如图2，连接OC，

∵AC＝BC，∠ACB＝90°，点O是AB中点，
∴AO＝BO＝CO，∠CAB＝∠CBA＝45°，CO⊥AB，
∴∠AOC＝∠BOC＝∠ADC＝∠BEC＝90°，
∵∠BOC+∠BEC+∠ECO+∠EBO＝360°，
∴∠EBO+∠ECO＝180°，且∠DCO+∠ECO＝180°，
∴∠DCO＝∠EBO，且DC＝BE，CO＝BO，
∴△DCO≌△EBO（SAS），
∴EO＝DO，∠EOB＝∠DOC，
同理可证：△ADO≌△CEO，
∴∠AOD＝∠COE，
∵∠AOD+∠DOC＝90°，
∴∠DOC+∠COE＝90°，
∴∠DOE＝90°，且DO＝OE，
∴△DOE是等腰直角三角形．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，添加恰当辅助线是本题的关键．
25．（10分）等腰Rt△ACB，∠ACB＝90°，AC＝BC，点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上．

（1）如图1，求证：∠BCO＝∠CAO
（2）如图2，若OA＝5，OC＝2，求B点的坐标
（3）如图3，点C（0，3），Q、A两点均在x轴上，且S△CQA＝18．分别以AC、CQ为腰在第一、第二象限作等腰Rt△CAN、等腰Rt△QCM，连接MN交y轴于P点，OP的长度是否发生改变？若不变，求出OP的值；若变化，求OP的取值范围．
【分析】（1）根据同角的余角相等得出结论即可；
（2）先过点B作BD⊥y轴于D，再判定△CDB≌△AOC（AAS），求得BD＝CO＝2，CD＝AO＝5，进而得出OD＝5﹣2＝3，即可得到B点的坐标；
（3）先过N作NH∥CM，交y轴于H，再△HCN≌△QAC（ASA），得出CH＝AQ，HN＝QC，然后根据点C（0，3），S△CQA＝18，求得AQ＝12，最后判定△PNH≌△PMC（AAS），得出CP＝PH＝CH＝6，即可求得CP＝3+6＝9（定值）．
【解答】解：（1）如图1，∵∠ACB＝90°，∠AOC＝90°，
∴∠BCO+∠ACO＝90°＝∠CAO+∠ACO，
∴∠BCO＝∠CAO；

（2）如图2，过点B作BD⊥y轴于D，则∠CDB＝∠AOC＝90°，
在△CDB和△AOC中，
，
∴△CDB≌△AOC（AAS），
∴BD＝CO＝2，CD＝AO＝5，
∴OD＝5﹣2＝3，
又∵点B在第三象限，
∴B（﹣2，﹣3）；

（3）OP的长度不会发生改变．
理由：如图3，过N作NH∥CM，交y轴于H，则
∠CNH+∠MCN＝180°，
∵等腰Rt△CAN、等腰Rt△QCM，
∴∠MCQ+∠ACN＝180°，
∴∠ACQ+∠MCN＝360°﹣180°＝180°，
∴∠CNH＝∠ACQ，
又∵∠HCN+∠ACO＝90°＝∠QAC+∠ACO，
∴∠HCN＝∠QAC，
在△HCN和△QAC中，
，
∴△HCN≌△QAC（ASA），
∴CH＝AQ，HN＝QC，
∵QC＝MC，
∴HN＝CM，
∵点C（0，3），S△CQA＝18，
∴×AQ×CO＝18，即×AQ×3＝18，
∴AQ＝12，
∴CH＝12，
∵NH∥CM，
∴∠PNH＝∠PMC，
∴在△PNH和△PMC中，
，
∴△PNH≌△PMC（AAS），
∴CP＝PH＝CH＝6，
又∵CO＝3，
∴OP＝3+6＝9（定值），
即OP的长度始终是9．



【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形的面积计算以及等腰直角三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应边相等进行推导计算．解题时注意：等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．