2021年人教版八年级上暑期培训 第10讲全等三角形专题（教师版）

这是一份2021年人教版八年级上暑期培训 第10讲全等三角形专题（教师版），共8页。

先证△AOF≌△DOE，得OA＝OB
再证 △AOB≌△DOC 得∠B＝∠C，即可
练习：如图，AE＝CF，BE＝DF，∠E＝∠F，AD＝BC，求证：AD∥BC．
连BD，易证△ABE≌△CDF ∴ AB＝CD
再证△ABD≌△CDB 得∠ADB＝∠CBD ∴AD∥BC
二、证两线段垂直
例2 如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，且EC⊥AC，EC＝AD．求证：AE⊥BD．
△ABD≌△CAE（SAS） ∴ ∠ABD＝∠CAE
∵∠BAD＝90° ∴ ∠ABD＋∠BAE＝90°
∴ AE⊥BD
练习：如图，BE、CF是△ABC的高，M为BE上一点，且BM＝AC，N为CF延长线上一点，且CN＝AB
（1）求证：△ABM≌△NCA；
（2）求证：AM⊥AN．
证明：（1）∵ ∠ABM＝90°－∠BAC＝∠NCA
∴ △ABM≌△NCA
（2）由（1）可知：∠BAM＝∠CNA
∴ ∠N＋∠NAF＝∠BAM＋∠NAF＝90°
∴ AM⊥AN
模块二 利用全等证明线段或角相等
一、证两角相等
例3 如图，AE交BC于D，AB＝AD，AE＝AC，∠1＝∠2，求证：∠1＝∠3．
证明：△ABE≌△ADC（SAS） ∴∠E＝∠C

∴ ∠2＝∠3
∴ ∠1＝∠3
练习：如图，AB＝AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD交CE于O．求证：AO平分∠BAC．
证明：△ABD≌△ACE（AAS） ∴AD＝AE
∴ △AEO≌△ADO（HL）
∴ AO平分∠BAC
二、证两线段相等
例4 如图，CA＝CB，CD＝CE，∠BCA＝∠DCE，求证：BE＝AD．
证明：∵ ∠BCE＝∠BCA－∠ECA＝∠DCE－∠ECA＝∠ACD
∴ △BCE≌△ACD（SAS）
∴ BE＝AD
练习：如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D是BC的中点，点M是BD上．一点，过C作CN⊥AM于N，交AD于E，求证：BM＝AE．
证明：∵ △ABD≌△ACD（SSS） ∴ ∠BAD＝∠CAD＝∠B＝45°
又∵ ∠BAM＝90°－∠CAN＝∠ACE
∴ △ABM≌△CAE（ASA）
∴ BM＝AE
模块三 作垂线构造全等
例5 已知AC＝BC，AC⊥BC，过C点任意作直线，过A点、B点分别作的垂线AM、BN，垂足为M、N．若AM＝2，BN＝4，求MN的长．
证明：△ACM≌△CBN（AAS） ∴ AM＝CN＝2，CM＝BN＝4 ∴ MN＝6
练习：如图△ACB为等腰直角三角形，A（－1，0），C(1，3)，求B点坐标．
由上例可得B（4，1）
例6 如图，△ACB为等腰直角三角形，∠ACB＝，AC＝BC，AE平分∠BAC，BD⊥AE，垂足为D点．
(1) 求证：CD＝BD；
(2) 求∠CDA的大小．
证明：过C作CM⊥CD交AD于M ，则∠ACM＝∠BCD
∵ ∠CAD＝∠DBC ∴ △ACM≌△BCD（ASA）
∴ CM＝CD ∠CDA＝45°
∵ ∠CMD＝45° ∠CAE＝22.5° ∴ ∠ACM＝22.5°
∴ AM＝CM＝BD＝CD
练习：如图，△ACB为等腰直角三角形，∠ACB＝，AC＝BC，∠CDA＝，求证：AD⊥BD．
证明：过C作CM⊥CD交AD于M ，则∠ACM＝∠BCD
∵ CM＝CD ∴ △ACM≌△BCD
∴ ∠AMC＝∠BDC＝135°
∴ ∠ADB＝90° 即AD⊥BD
课后作业
A 基础训练
1．如图，AD＝BC，BD＝AC，求证：AB∥CD．
证明：△ABD≌△BAC（SSS） ∴ ∠ABD＝∠BAC
△ACD≌△BDC（SSS） ∴ ∠ACD＝∠BDC
∴ ∠ABD＝∠CDB
∴ AB∥CD
2． 如图，已知BE、CF分别是△ABC的AC、AB边上的高. 在BE的延长线上取点P，使BP=AC，在CF的延长线上取点Q，使CQ=AB. 求证：AQ⊥AP．
证明：∵ ∠ACQ＝∠ABP ∴ △ACQ≌△PBA（SAS）
∴ ∠CAQ＝∠BPA ∴ ∠PAQ＝90°
∴ AQ⊥AP
3.如图△ACB为等腰直角三角形，AC＝BC，AC⊥BC，A(0，3)，C(1，0)，求B点的坐标．
解： 过B作BM⊥x轴于M，则△AOC≌△CMB
∴ B（4，1）
4． 如图P(2，2)，BC⊥AP．
(1) 求OM＋OC的值； (2) 求OB－OA的值．
解：过P作PG⊥x轴于G，PH⊥y轴于H，则
△BPH≌△APG △MPH≌△CPG
∴ BH＝AG HM＝GC
∴ （1）OM＋OC＝2OG＝4
（2）OB－OA＝2OH＝4
5.如图，四边形ABCD中，∠B＝∠D＝，AB＝AD，∠EAF＝, ∠BAD＝2．
求证：EF＝BE＋DF．
证明：延长FD至M，使DM＝BE，则△ADM≌△ABE
∴ AM＝AE，∠EAM＝∠BAD＝2
∴ △AEF≌△AMF ∴ EF＝BE＋DF
6．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D是AC边上一动点，CE⊥BD于E．
（1）如图（1），若BD平分∠ABC时，①求∠ECD的度数；②求证：BD＝2EC；
【解答】解：（1）①∵在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠CBA＝45°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBA＝22.5°，
∵CE⊥BD，
∴∠ECD＋∠CDE＝90°，∠DBA＋∠BDA＝90°，
∵∠CDE＝∠BDA，
∴∠ECD＝∠DBA＝22.5°；
②延长CE交BA的延长线于点G，如图1：
∵BD平分∠ABC，CE⊥BD，
∴CE＝GE，
在△ABD与△ACG中，，
∴△ABD≌△ACG（AAS），
∴BD＝CG＝2CE；
（2）如图（2），过点A作AF⊥BE于点F，猜想线段BE，CE，AF之间的数量关系，并证明你的猜想．

（2）结论：BE－CE＝2AF．
过点A作AH⊥AE，交BE于点H，如图2：
∵AH⊥AE，
∴∠BAH＋∠HAC＝∠HAC＋∠CAE，
∴∠BAH＝∠CAE，
在△ABH与△ACE中，，
∴△ABH≌△ACE（ASA），
∴CE＝BH，AH＝AE，
∴△AEH是等腰直角三角形，
∴AF＝EF＝HF，
∴BE－CE＝2AF．


B 综合训练
1．如图△ABC为等边三角形，直线a∥AB，D为直线BC上一点，∠ADE交直线a于点E，且∠ADE＝60°．
（1）若D在BC上（如图1）求证CD＋CE＝CA；
【解答】（1）证明：在AC上取点F，使CF＝CD，连接DF．
∵∠ACB＝60°，
∴△DCF为等边三角形．
∴∠3＋∠4＝∠4＋∠5＝60°．
∴∠3＝∠5．
∵∠1＋∠ADE＝∠2＋∠ACE，
∴∠1＝∠2．
在△ADF和△EDC中，，
∴△ADF≌△EDC（AAS）．
∴CE＝AF．
∴CD＋CE＝CF＋AF＝CA．
（2）若D在CB延长线上，CD、CE、CA存在怎样数量关系，给出你的结论并证明．
（2）解：CD、CE、CA满足CE＋CA＝CD；
证明：在CA延长线上取CF＝CD，连接DF．
∵△ABC为等边三角形，
∴∠ACD＝60°，
∵CF＝CD，
∴△FCD为等边三角形．
∵∠1＋∠2＝60°，
∵∠ADE＝∠2＋∠3＝60°，
∴∠1＝∠3．
在△DFA和△DCE中 ，
∴△DFA≌△DCE（ASA）．
∴AF＝CE．
∴CE＋CA＝FA＋CA＝CF＝CD．
注：证法（二）以CD为边向下作等边三角形，可证．
证法（三）过点D分别向CA、CE作垂线，也可证．
2．如图，OA为第一象限的角平分线，点E在轴上，∠OEF＝∠AOF，FE⊥OF交OA于M点．求证：EM＝2OF

证明：如图，△OEG为等腰直角三角形，∴ EG＝OG
∵ ∠OEF＝∠AOF＝∠HEF
∴ △EMG≌△OHG △OEF≌△HEF
∴ EM＝OH＝2OF
3．等腰Rt△ABC中，AC＝AB，∠BAC＝90°，点A、点B分别是y轴、x轴上的两个动点．
（1）如图1，若A（0，2），B（1，0），求C点的坐标；
【解答】解：（1）如图1，过点C作CF⊥y轴于点F，
∵A（0，2），B（1，0），
∴OA＝2，OB＝1，
∵CF⊥y轴于点F，
∴∠CFA＝90°，∠ACF＋∠CAF＝90°，
∵∠CAB＝90°，
∴∠CAF＋∠BAO＝90°，
∴∠ACF＝∠BAO，
在△ACF和△ABO中，
∴△ACF≌△ABO（AAS），
∴CF＝OA＝1，AF＝OB＝2 ∴OF＝1
∴C（－1，－1）；
（2）如图2，当等腰Rt△ABC运动，直角边AC交x轴于点D，斜边BC交y轴于点E，且点D恰为AC中点时，连接DE，求证：∠ADB＝∠CDE；
证明：如图2，过点C作CG⊥AC交y轴于点G，
∵CG⊥AC， ∴∠ACG＝90°，∠CAG＋∠AGC＝90°，
∵∠AOD＝90°，
∴∠ADO＋∠DAO＝90°， ∴∠AGC＝∠ADO，
在△ACG和△ABD中，
∴△ACG≌△ABD（AAS）
∴CG＝AD＝CD，∠ADB＝∠G，
∵∠ACB＝45°，∠ACG＝90°，
∴∠DCE＝∠GCE＝45°，
在△DCE和△GCE中，
∴△DCE≌△GCE（SAS）
∴∠CDE＝∠G， ∴∠ADB＝∠CDE；
（3）如图3，在等腰Rt△ABC不断运动的过程中，直角边AC交x轴于点D，斜边BC交y轴于点E，若BD始终是∠ABC平分线，试探究：线段BD与OA＋OD之间存在的数量关系，并说明理由．
解：如图3，在OB上截取OH＝OD，连接AH，
由对称性得AD＝AH，∠ADH＝∠AHD，
∴∠AHD＝∠ADH＝∠BAO＝∠BEO，
∴∠AEC＝∠BHA，
在△ACE和△BAH中，
∴△ACE≌△BAH（AAS）
∴AE＝BH＝2OA
∵DH＝2OD，
∴BD＝2（OA＋OD）．