2021年人教版八年级上暑期培训 第12讲八年级--辅助线之中线倍长和截长补短（教师版）

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1．倍长中线：是指加倍延长中线，使所延长部分与中线相等，然后往往需要连接相应的顶点，则对应角对应边都对应相等．
如图1，△ABC中，AD＝BD，延长CD至点T，使CD＝TD，连AT，则△CDB≌△TDA（SAS）．
2．与中点有关的辅助线作法：
（1）已知中点，加倍中线构全等-----如图1，延长CD至点T，使CD＝TD，连AT，则△CDB≌△TDA（SAS）；
（2）已知中点，加倍类中线构全等-----如图2，E为AC上任意一点，延长ED至点T，连BT，则△ADE≌△BDT（SAS）；
（3）已知中点，双垂构全等-----如图3，D是AB中点，则作AT⊥CD，BS⊥CD，垂足分别点T，S，有△ATD≌△BSD（AAS）
（4）中点遇平行，延长相交构全等-----如图4，AB∥CD，E是CF中点，则延长AE交CD于点T，有△AEF≌△TEC（ASA）
（5）中点遇直角，连接构等腰-----如图5，点C为AB中点，l⊥AB于点C，点D是l上任意一点，则连DA，DB，有DA＝DB．（垂直平分线）
图1图2 图3图4图5
3．截长补短：
（1）截长：将三者中最长的那条线段一分为二，使其中的一条线段等于已知的两条较短线段中的一条，然后证明其中的另一段与已知的另一条线段相等；
（2）补短：将一个已知的较短的线段延长至与另一个已知的较短的长度相等，然后求出延长后的线段与最长的已知线段的关系．
二．例题解析
例1．（1）在△ABC中，AB＝6，AC＝4，求中线AD的取值范围．
（2）已知AD为△ABC的中线，DE⊥DF．求证：BE＋CF＞EF．
解：（1）延长AD至点T，使得AD＝TD，连BT，则△BDT≌△CDA（SAS），∴BT＝AC＝4，在△ABT中，AB－BT＜AT＜AB＋BT，∴2＜AT＜10，∴1＜AD＜5．
（2）延长ED至点T，使得ED＝DT，连CT，FT，则△EDB≌△TDC（SAS），△FDE≌△FDT（SAS），在△FCT中，CF＋CT＞TF，即BE＋CF＞EF．
例2．（1）已知CD＝AB，∠BDA＝∠BAD，AE是△ABD的中线，求证：AC＝2AE．
（1）证明：加倍AE至点T，连TD，则△AEB≌△TED（SAS），△ADT≌△ADC（SAS），∴AC＝AT＝2AE．
（2）如图，AM是△ABC的中线，AE⊥AB，AE＝AB，AG⊥AC，AG＝AC．
求证：①EG＝2AM；②EG⊥AM．
（2）证明：①加倍AM至点T，连BT，则△ABM≌△TCM（SAS），△ABT≌△EAG（SAS），∴EG＝AT＝2AM．
②延长AM交EG于点H，AH⊥EG．
例3．已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE＝AC，延长BE交AC于F，
求证：AF＝EF．
证明：加倍ED至点T，连CT，则△BDE≌△CDT（SAS），∴BE＝CT＝AC，∴FA＝FE．
例4．在四边形ABCD中，AB∥DC，E为BC边的中点，∠BAE＝∠EAF，AF与DC的延长线相交于点F．
求证：AB＝AF＋CF
证明：延长AE，DF交于点T，则△AEB≌△TEC（ASA），FA＝FT，∴AB＝CT，∴AB＝AF＋CF．
例5．如图，△ABC中，AB＝AC，BD＝CE．求证：DP＝EP．

证明：作DT∥AC交BC于点T，则DB＝DT＝CE，∴△DPT≌△EPC（AAS），∴PD＝PE．
例6．（1）如图，在△ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2. 求证：AB＝AC＋CD.
证明：在AB上截取AT＝AC，连TD，则△ADT≌△ADC（SAS），∴DT＝DC＝TB，∴AB＝AC＋CD
（2）如图，△ABC中，CA＝CB，AD是角平分线，∠ACB＝108°．求证：AB＝AC＋BD．
证明：在AB上截取AT＝AC，连TD，则△ADC≌△ADT（SAS），∴∠C＝∠ATD，∴BD＝BT，∴AB＝AC＋BD．
例7．如图，四边形ABCD是正方形（四条边相等，四个角相等），∠FAD＝∠FAE. 求证：BE＋DF＝AE.
证明：延长CB至点T，使得BT＝DF，连AT，则△ABT≌△ADF（SAS），∴∠T＝∠AFD＝∠FAB＝∠EAT，∴EA＝ET＝EB＋DF．
例8．（1）如图，四边形ABCD是正方形，点E，F分别在线段BC，CD上，且∠EAF＝45°．
求证：EF＝BE＋DF．
证明：延长EB至点T，使得BT＝DF，连AT，则△ABT≌△ADF（SAS），△AEF≌△AET（SAS），∴EF＝BE＋DF．
（2）如图，四边形ABCD是正方形，点E，F分别在线段CB，DC的延长线上，∠EAF＝45°．
求证：EF＝DF－BE．
证明：在线段DC取点T，使得DT＝BE，连AT，则△ABE≌△ADT（SAS），△AFE≌△AFT（SAS），∴EF＝DF－BE．
例9．五边形ABCDE中，AB＝AE，BC＋DE＝CD，∠ABC＋∠AED＝180°，求证：AD平分∠CDE
证明：连AC，延长DE至点T，使得ET＝BC，连AT，则△ACB≌△ATE（SAS）,△ADC≌△ADT（SSS），∴AD平分∠CDE．
三．课堂练习
1．如图，∠BAE＝∠FAC＝90°，M是BC的中点，BA＝EA，FA＝CA．求证：AM⊥EF．

证明：加倍AM至点T，连TB．
2．如图，点C是线段AB上的一点，分别以AC，BC为斜边向上作等腰直角△ADC和等腰直角△CBE，DA＝DC,EC＝EB，∠ADC＝90°，∠CEB＝90°，M是AB中点．求证：（1）DM＝EM；（2）DM⊥EM．
证明：加倍DM至点T，使DM＝MT，连TB，TE，则△ADM≌△BTM（SAS），△EDC≌△ETB（SAS），得证．
3．如图，AB＝AE，∠ABC＝∠AED，BC＝ED，点F是CD的中点．求证：AF⊥CD．
证明：连AC，AD，则△ABC≌△AED（SAS），∴AC＝AD，∴AF⊥CD．
4．如图，△BDE是等边三角形，A在BE延长线上，C在BD的延长线上，且AD＝AC，求证：DE＋DC＝AE．
证明：延长BC至点T，使得CT＝BD，连AT，则△ADB≌△ACT（SAS），∴AB＝AT，∴△ABT是等边△，∴BT＝BA，∴DE＋DC＝BC＝DT＝AE．
5．如图，点M为正三角形ABC的边所在直线上的任意一点(点除外)，作∠CMN＝60°，射线MN与∠CBA外角的平分线交于点N，CM与MN有怎样的数量关系?
证明：在AC上截取AT＝AM，连TM，则TC＝MB，△MBN≌△CTM（ASA），∴CM＝NM．
四．课后作业
1．在△ABC中，AB＝5，AC＝8，求中线AD的取值范围．
提示：加倍AD．
2．如图，△ABC中，点D是BC的中点，点E是BD的中点．
求证：∠DAE＝∠DAC．
提示：加倍AE至T，连DT．
3．如图，AM⊥EG，AE⊥AB，AE＝AB，AG⊥AC，AG＝AC．
求证：BM＝CM．
提示：作CT∥AB交AM延长线于点T．
4．如图，在△ABC中，AB＝CD－BD，AD⊥BC，求证：∠B＝2∠C．
提示：在CD上截取DT＝DB，连AT，△ATC是等腰△．
5．如图，四边形ABCD是正方形，点E，F分别在线段BC，CD上，
且∠AEB＝∠AEF．求证：EF＝BE＋DF．
提示：作AT⊥EF于点T，Rt△AET≌Rt△AEB（HL），Rt△AFD≌Rt△AFT（HL）．
6．如图，△ABC是等边三角形，E在BA延长线上，D在BC边上，
且BD＝AE．求证：ED＝EC．
提示：延长BC至点T，使CT＝BD，连AT，则△EDB≌△ECT（SAS）．
7．如图，分别以△ABC的边AB、AC为斜边向外侧构造等腰直角△ABD和等腰直角△ACE，M是BC中点．
求证：DM＝ME，DM⊥ME．
提示：加倍DM至点T，连TC，TE，则△DMB≌△TMC（SAS），△DAE≌△TCE（SAS）．
8．如图，△ABC为等腰三角形，AB＝AC，∠BAC＝α（0°＜α＜180°），分别过点B．C作AB．AC垂线交于点D，点E．F是直线AB．AC上的动点，且满足∠EDF＝90°－α．
（1）如图1，若α＝60°时，点E、F在线段AB，AC上时，探究BE．EF．FC三条线段之间的关系并说明理由；
（2）如图2，若α＝60°时，点E、F在线段AB，CA延长线上时，请问（1）中的结论是否成立？如果不成立，请说明理由；
（3）如图3，在（1）的条件下，若BC＝5，BM＝1，请直接写出CF的长为___________．
图1 图2 图3
提示：（1）EF＝EB＋FC；延长FC至点T，使CT＝BE，连TD．△DBE≌△DCT（SAS），△DFE≌△DFT（SAS）．
（2）EF＝CF－EB．在AC上截取CT＝BE，连TD，
则△DBE≌△DCT（SAS），△DFE≌△DFT（SAS）．
（3）3．作FT∥AB交ED于点T，交BC于点N．