2021年人教版八年级上暑期培训 第11讲八年级--角平分线的性质定理和判定定理（教师版）

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1．角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等．
如图1，∵AE平分∠CAB，DM⊥AC，DN⊥AB，∴DM＝DN．
2．角平分线的判定：角内部到角两边的距离相等的点在角的平分线上．
如图1，∵DM⊥AC，DN⊥AB，DM＝DN，∴AE平分∠CAB．
图1图2图3图4
3．与角平分线有关的辅助线作法：
（1）向角两边作垂线—如图1，已知∠1＝∠2，DM⊥AC，DN⊥AB，则DM＝DN；
（2）截取构造对称全等—如图2，已知∠1＝∠2，截AM＝AN，则△AND≌△ADM；
（3）延长垂线构造等腰三角形—如图3，已知∠1＝∠2，DN⊥AE，则AM＝AN；
（4）作角一边的平行线，构造等腰三角形—如图4，已知∠1＝∠2，DM∥AB交AC于点M，则MA＝MD．
二．例题解析
例1．（1）如图，点D是∠CAB的平分线AE上一点，过点D作DM⊥AC于点M，DN⊥AB于点N．
求证：DM＝DN．
（2）如图，DM⊥AC于点M，DN⊥AB于点N，DM＝DN．求证：点D在∠CAB的平分线上．

例2．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，AC＝6，BC＝8，AB＝10，求CD．
例3．如图，在△ABC中，∠A＝60°，∠ABC．∠ACB的角平分线BD．CE交于点O．
求证：（1）BC＝BE＋CD；（2）OE＝OD．
例4．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ADC的平分线DE交AB于点E，CE平分∠DCB．
求证：（1）DE⊥CE；（2）DC＝AD＋BC．
证明：（1）∠EDC＝∠EDA，∠ECD＝∠ECB，∵∠ADC＋∠BCD＝180°，∴∠EDC＋∠ECD＝90°，∴DE⊥CE；（2）在CD上取一点T，使得DA＝DT，连TE，则△DEA≌△DET（SAS），△CET≌△CEB（ASA），∴DC＝AD＋BD．
例5．如图，点C是∠MAN的平分线上一点，AD≠AB，CE⊥AN于点E，AB－AD＝2BE．
求证：CD＝CB．
证明：作CT⊥AD于点T，则CT＝CE，△ACT≌△ACE（AAS），∴AT＝AE，∵AB－AD＝2BE，∴TD＝BE，∴△CTD≌△CEB（SAS），∴CD＝CB．
变式5．如图，点C是∠MAN的平分线上一点，AD≠AB，∠DAB＋∠DCB＝180°．
求证：CD＝CB．
证明：作CT⊥AD于点T，CE⊥AB于点E，则CT＝CE，△ACT≌△ACE（AAS），∴AT＝AE，∵∠DAB＋∠DCB＝180°，∴∠TDC＝∠EBC，∴△CTD≌△CEB（AAS），∴CD＝CB．
例6．如图，等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，CA＝CB，BD平分∠ABC，AE⊥BD，垂足为E．
（1）求证：BD＝2AE；（2）连EC，求∠CEB的度数．
证明：（1）延长AE、BC交于点T，则△BEA≌△BET（ASA）,△ACT≌△BCD（ASA），∴BD＝AT＝2AE；
（2）作CS⊥CE交BD于点S，则△CAE≌△CBS（ASA），∴CE＝CS，∴∠CEB＝45°．
例7．如图，梯形ABCD中，∠A＝90°，AD∥BC，CB＝CD，∠EBF＝∠DCB，若AD＝2，求DF－AE的值．
解：作BT⊥CD于点T，则BT＝BA，∴△BDA≌△BDT（AAS），△BAE≌△BTF（AAS），∴AE＝TF，∴DF－AE＝(DT＋TF)－TF＝DT＝AD＝2．
例8．（1）如图，△ABC的两条角平分线BD．CE交于点O，连接AO．
求证：AO平分∠BAC．
（1）证明：作OT⊥BC，OS⊥AB，OH⊥AC，垂足分别为T、S、H．∵BD、CE是角平分线，∴OT＝OS＝OH，∴AO平分∠BAC．
（2）如图，△ABC的内角∠ACB的平分线和外角∠ABM的平分线交于点O，∠A＝60°．
求∠O的度数．
解：∠O ＝∠A＝30°
三．课堂练习
1．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，点I是△ABC的内角∠CAB和∠CBA的平分线交点，IH⊥CB于点H，CA＝3，CB＝4．
（1）求∠AIB的度数；（2）求AB＋2IH的值．
提示：（1）∠AIB＝135°；（2）作IT⊥AC，IS⊥AB，垂足分别为T、S，则IT＝IH＝IS，可证AT＝AS，CT＝CH，BH＝BS，∴AB＋2HI＝(AS＋SB)＋(CT＋CH)
∴AB＋2IH＝AC＋BC＝7．
2．（1）如图1，在△ABC中，∠C≠90°，AD平分∠CAB，AC＝6，BC＝9，AB＝10，求CD．
（2）如图2，在△ABC中，∠ACB≠90°，AD平分∠CAB的外角交BC延长线于点D，AC＝6，BC＝9，AB＝10，求CD．

图1图2
提示：（1）面积法．AC:AB＝CD:DB，∴设CD＝x，∴6:10＝x:(9－x)，∴x＝，∴CD＝
（2）面积法．AC：AB＝CD：BD，设CD＝x，∴6:10＝x:(9＋x),∴x＝，∴CD＝
3．如图，点C是∠MAN的平分线上一点，AD≠AB，CD＝CB．
求证：∠DAB＋∠DCB＝180°．
提示：在AB上截取AT＝AD，连CT，则△ACD≌△ACT（SAS），∴CD＝CT＝CB，∴∠CBT＝∠CTB，∴∠ADC＋∠ABC＝∠ATC＋∠CTB＝180°，∴∠DAB＋∠DCB＝180°．
4．如图，在△ABC中，∠CAB＝120°，∠C＝40°，BE是△ABC的内角平分线，点D在BC上，且∠CAD＝60°，求∠ADE的度数．
提示：作ET⊥AB，ES⊥BC，EH⊥AD，垂足分别为T、S、H，则ET＝ES＝EH，∴ED平分∠ADC，∴∠ADE＝80°．
5．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB∥CD，点E．F分别边AD．AB上，DF与BE交于点H，BE＝DF．求证：CH平分∠BHD．
提示：作CT⊥BE，CS⊥DF，∵S△BCE＝S△CDF，BE＝DF，∴CT＝CS，∴CH平分∠BHD．
四．课后作业
1．如图，已知，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，AC＝16，AB＝10，BD＝7．
求线段CD的长．
提示：面积法．CD＝．
2．如图，在△ABC中，∠ABC＝3∠C，AD是∠BAC的平分线，BE⊥AD于点E．
求证：BE＝（AC－AB）．
提示：延长BE交AC．
3．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点E．F分别在BD．AD上，EF∥AB，且DE＝CD．求证：EF＝AC．
提示：加倍FD至点T，连CT．
4．分别以△ABC的AB．AC为边向外作等边△ABD和等边△ACE，连接CD．BE交于O.求证：AO平分∠DOE．
提示：△ADC≌△ABE(SAS)，面积法．
5．如图，已知∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于D，DE⊥AB于E，BD＝DF，交CA的延长线于F点．求证：BE＝AE＋AF.
提示：△DEB≌△DCF（HL），∴BE＝CF，∴BE＝AE＋AF.
6．如图，△AOB为等腰直角三角形，点P为动点，PA⊥PB．
（1）如图，P点为在第一象限时，求∠OPA；
（2）如图，P点为在第四象限时，求∠OPA．
提示：（1）作OT⊥OP交PA延长线于点T，∴△OPB≌△OTA（ASA），∴∠OPA＝45°．
（2）作OT⊥OP交AP延长线于点T，∴△OPB≌△OTA（ASA），∴∠OPA＝45°．
7．如图，CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝α．
（1）如图1当α＝60°，且点D在AC上，连BD，AE，相交于点G，求∠BGA；
（2）如图2若0°＜α＜90°，求∠BGA．
提示：（1）∠BGA＝60°．△CBG≌△CAE（SAS）；
（2）∠BGA＝α．△CBG≌△CAE（SAS）．
8．如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP交于点P．
若∠BPC＝40°，则∠CAP＝ ．
提示：∠CAP＝50°．证P是△ABC的旁心，得AP平分∠BAC的外角．
9．如图所示，点A为∠MON的角平分线上一点，过A任作一直线分别与∠MON的两边交于B．C．P为BC的中点，过P作BC的垂线交OA于点D.
（1）若∠MON＝ 90°，如图1，则∠BDC＝ ；
（2）若∠MON＝ 60°，如图2，则∠BDC＝ ；
（3）若∠MON＝，如图3，∠BDC＝ ，请给予证明．
图1 图2 图3
提示：（1）90°；（2）120°；（3）180°－α．作DT⊥OM，DS⊥ON，△DBT≌△DCS（HL），∴∠DBT＝∠DCS，∴∠OBD＋∠OCD＝180°，∴∠BDC＝180°－α．