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初中数学沪教版 (五四制)八年级上册第十八章 正比例函数和反比例函数第一节 正比例函数18．2 正比例函数授课课件ppt
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这是一份初中数学沪教版 (五四制)八年级上册第十八章 正比例函数和反比例函数第一节 正比例函数18．2 正比例函数授课课件ppt，共60页。PPT课件主要包含了待定系数法，复习回顾，小练习，描点法，Y变大，反比例函数图象性质，请您欣赏，活学活用，探究与发现，面积性质一等内容，欢迎下载使用。
1. 反比例函数的定义：
3. 反比例函数的确定：
4.它的三种常见的表达形式：
2. 反比例函数的特征：
k ≠0， x ≠0. x是－1次
xy = k（k ≠ 0）
y=kx-1（k≠0）
5、请回忆：正比例函数的图象和性质
1、正比例函数y=2x经过第 象限.
2、已知矩形面积为6，则它的长y与宽x之间的函数关系式为 ，y是x的 函数.
3、函数y=2xm+1是反比例函数，则m= .
4、反比例函数 经过点（1， ）.
作函数图象的一般步骤：
有两条曲线共同组成一个反比例函数的图像，叫双曲线.
取自变量x的一些值，计算出相应的函数值y.注意：① x≠0②自变量取值要均匀和对称③选整数较好计算和描点
分别以所取x的值和相应的函数值Y作为点的横坐标和纵坐标，描出这些坐标所对应的点
用光滑的曲线把每一象限描出的点按照横坐标由小到大的顺序联结起来，再向两方伸展
为什么双曲线的每支向两方伸展呢？
双曲线是否会与坐标轴香蕉呢？
图像的两支都无限接近于x轴和y轴，但不会与x轴和y轴相交.
函数图像分别位于哪几个象限？
当 时，函数图像的两支分别在第一、三象限当 时，函数图像的两支分别在第二、四象限
在每个象限内，横坐标逐渐增大纵坐标是怎样变化？
1.函数图象的两个分支分别在第一、三象限
2.在每个象限内，y随x的增大而减小,并且第一象限内的 y 值总大于第三象限内的 y 值；
1.函数图象的两个分支分别在第二、四象限
2.在每个象限内，y随x的增大而增大,并且第二象限内的 y 值总大于第四象限内的 y 值；
3.反比例函数自身都是中心对称图形,对称中心是坐 标原点.
2.反比例函数图象无限接近 x，y 轴，但总不相交；
1.反比例函数的图象是双曲线;
发现函数值y怎样随着自变量x的变化而变化？
2、在整个自变量的取值范围内
3、下列反比例函数图像的一个分支,在第三象限的是( )
2、 下列函数中，其图象位于第二、四象限的有 , 在其图象所在的象限内，y随x的减小而增大的有 .
从画反比例函数图象看,描点法还应注意什么?
反比例函数图象画法步骤：
注意：①列 x与y的对应值表时，X的值不能为零，但仍可以零的基础，左右均匀、对称地取值。
注意：②描点时自左住右用光滑曲线顺次连结，切忌用折线。
注意： ③两个分支合起来才是反比例函数图象。
在同一直角坐标系下，反比例函数y=6/x于y=-6/x的图像关于x轴对称，也关于y轴对称。
.在每个象限内，y随x的增大而减小,第一象限内的 y 值总大于第三象限内的 y 值；
在每个象限内，y随x的增大而增大,第二象限内的 y 值总大于第四象限内的 y 值
1.当k>0时,同一象限内函数值y随自变量x的增大而减小；
2.当k<0时,同一象限内，函数值y随自变量x的增大而增大。
观察反比例函数 的图象,说出y与x之间的变化关系:
2.反比例函数图象无限向 x，y 轴逼近，但总不相交；
反比例函数 的图象上有两点A(x1,y1),B(x2,y2),且X1
若A,B在不同的象限则可能有多种情况出现
数学题目形式灵活多变，大家要善于思考
下列函数中y随x的增大而减小的是（ ）A、
当k>0时:在每一个象限内，y随x的增大而减小
当k<0时:在每一个象限内，y随x的增大而增大
A(x1,y1),B(x2,y2)且x1＜0＜x2
A(-2,y1),B(-1,y2),C(4,y3)
1.下列函数中，其图象位于第一、三象限的有__________;在其所在的每一个象限内，y随x的增大而增大的有_________.
2.(1)已知点A(-2,y1),B(-1,y2),C(3,y3)都在反比例函数 的图象上，比较y1、 y2 、y3的大小关系。
解：∵k=4>0 ∴图象在第一、三象限内，每一象限内y随x的增大而减小 ∵x10, ∴点A(-2,y1)，点B(-1,y2)在第三象限点C(3,y3)在第一象限。∴y3>0, y2
变式训练：已知y = k/x(k ≠ 0)上三个点 (a1，y1),(a2，y2)，（a3，y3）,若a1< a2<0< a3, 比较y1，y2，y3的大小
4）反比例函数 的图象上有两点A(x1,y1),B(x2,y2),且X1
则y1，y2的大小关系是__________________
练习2、 已知反比例函数
练习3、 已知反比例函数
上有三点（-2，y1）（-1，y2）
（1，y3）则y1，y2，y3的大小关系是________________
4.在函数 （a为常数）的图象上有三点 ，函数值 的大小关系是 （ ）（A）y2＜y3＜y1． （B）y3＜y2＜y1．（C）y1＜y3＜y2． （D）y3＜y1＜y2．
1．用“＞”或“＜”填空： （1）已知 和 是反比例函数 的两对自变 量与函数的对应值．若 ，则 ． （2）已知 和 是反比例函数 的两对自变 量与函数的对应值．若 ，则 ．
2．已知（ ），（ ），（ ）是反比例函数 的图象上的三个点，并且 ，则 的大小关系是（ ） （A） （B） （C） （D）
3．已知（ ），（ ），（ ）是反比例函数 的图象上的三个点，则 的大小关系是 ．
4．已知反比例函数 ．（1）当x＞5时，0 y 1；（2）当x≤5时，则y 1, （3）当y＞5时，x？
若点（-2，y1）、（-1，y2）、（2，y3）在反比例函数 的图象上，则（ ）
A、y1>y2>y3 B、y2>y1>y3C、y3>y1>y2 D、y3>y2>y1
提示： 利用图像比较大小简单明了。
1、函数 的图象在第________象限,在每一象限内，y 随x 的增大而_________.2、 函数 的图象在第________象限,在每一象限内，y 随x 的增大而_________.3、函数 ,当x>0时,图象在第____象限,y随x 的增大而_________.
4.函数 的图象在第_____象限，5. 双曲线 经过点（-3，___）
6.函数 的图象在二、四象限，则m的取值范围是 ____ .7.对于函数 ，当 x<0时，图象在第 ________象限.
五、大显身手：1、已知反比例函数 （k≠0）的图象经过点P（-1，2），则这个函数的图象位于（ ）。A、第二、三象限 B、第一、三象限 C、第三、四象限 D、 第二、四象限2、已知反比例函数 ，下列结论不正确 的是（ ）。A、 图象经过点（1,1） B、图象在第一、三象限 C、当x＞1时，0＜y＜1 D、 当x＜0时， y随x的增大而增大。
例1:已知反比例函数y= (k≠0）的图象的一支如图。（1）判断k是正数还是负数；（2）求这个反比例函数的解析式；
（3）补画这个反比例函数图象的另一支。
图像的分支在第二象限，所以K ＜0
把(-4,2)代入y= 中，得到K=-8所以反比例函数的解析式；y= -
正、反比例函数的图象与性质的比较：
k＞0，y随x的增大而增大；
k＜0，y随x的增大而减小．
k＞0，在每个象限y随x的增大而减小；
k＜0，在每个象限y随x的增大而增大．
4.反比例函数 ,在每一象限内，y 随 x 的增大而减小，则m=______.
2.反比例函数 的图象经过点(2,-3), 则它必经过点(-1,____).
1.反比例函数 经过点(m,2),则m的值____.
3.对于函数 ,当x>0时，图象在第______象限, y随x的值增大而________,当x<0时图象在第______象限, y随x的值增大而________.
已知反比例函数 ,y随x的增大而减小，求a的值和表达式.
5.下列函数中y随x的值增大而减小的有( )A.y=3x B.y=3/x C.y=-3/x D.y=-3x6.y=3/x,当x>0时图象在第______象限, y随x的值增大而_____,当x<0时图象在第______象限, y随x的值增大而______
7.下列函数中y随x的值增大而增大的有( )A.y=-2x+1 B.y=3/x C.y=-3/x(x<0) D.y=-2x
x的正负确定反比例函数的象限k的正负决定反比例函数的增减性
例1、已知反比例函数 的图象经过点A（1，4）
（1 ）①求此反比例函数 的解析式； ②画出图像； ③并判断点B（-4，-1）是否在此函数图像上。
（2）根据图像得，若y ﹥ 4, 则x的取值范围-----------若x ﹤ 1，则y的取值范围-----------
（3）若点（x1，y1), （x2，y2), （x3，y3),均在此函数图像上，且x1 ﹤0﹤ x2 ﹤ x3请比较y1、y2、y3的大小
（ 4 ）若过A点作AP⊥x轴于点P，求三角形AOP的面积。
小明在学完反比例函数性质后做课外练习时又遇到了它百思不得其解的题目，你能帮他解决吗？
已知P（2， ）为反比例函数 图象上第一象限的点，过P分别作x轴、y轴的平行线PE、PF,与坐标轴围成的矩形PEOF的面积为多少？
分析：解这道题关键要弄清长、宽
解：依题意得 PE=2 , PF=
S矩形PEOF =PE×PF=2× ＝1
结果一样，注意点在第三象限,求解的过程中要长宽加绝对值
如果题目再变化一下，大家思考一下又该怎样解？
已知点 P 为反比例函数 上的点，过P分别作x轴、y轴的平行线PE、PF,与坐标轴围成的矩形PEOF的面积为多少？
分析：要解这题，关键表达出长、宽即要求PE、PF
你能从本题得到什么启发吗?
无论点在图象上的何位置所围成的矩形面积都是定值
（5）若D、E、F是此反比例函数在第三象限图像上的三个点，过D、E、F分别作x轴的垂线，垂足分别为M，N、K，连接OD、OE、OF，设△ ODM、△OEN、 △OFK 的面积分别为S1、S2、S3，则下列结论成立的是 ( )
A S1﹤S2 ﹤ S3 B S1﹥S2 ﹥ S3 C S1 ﹤ S3 ﹤ S3 D S1=S2=S3
若将此题改为过P点作y轴的垂线段,其结论成立吗?
A. S1＞S2 B．S1
长方形面积 三角形的面积
过反比例函数图象上任意一点向x轴,y轴作垂线,与坐标轴围成的矩形面积等于|k|,若与原点相连,所构成的直角三角形的面积等于|k|/2.
3.已知,点P是反比例函数 图象上的一点,作P A⊥ x轴 于A,若 直角三角形AOP的面积是3，则这个反比例函数的解析式为（ ）
4、如图：四边形OABC是边长为1的正方形，反比例函数 的函数图象过点B，则k的值为（ ）
感悟中考：5、（04’南昌）如图：点P是反比例函数y= - 上的一点，PD⊥x轴于点D，则⊿POD的面积为6、（06’山西）在平面直角坐标系内，从反比例函数y= 的图象上一点分别作x、y轴的垂线段，与x、y轴所围成的矩形的面积是12，则该函数解析式是
y= 或y=-
7、图中两个三角形的面积各是___
8、S⊿ABC的面积=____
S ⊿BOC =S ⊿AOC
S⊿AOC = ∣-4 ∣= 2
2、四边形ABCD的面积=_____
如图，在直角坐标系中，一次函数y=k1x+b的图像 与反比例函数 的图像交于A(1,4), B(3,m)两点 （1）求反比例函数解析式 （2）求△AOB面积
（2）根据函数图象，当x取什么值时，函数值小于0？
(2) x>0时，函数值小于0
（3） 当x=-3时，
由图象知，当-3
已知反比例函数 ． （1）当x＞5时，0 y 1； （2）当x≤5时，则y 1,或y＜ ． （3）当y＞5时，x？
3.如图，正比例函数 的图象与反比例函数 的图象相交于A、B两点，其中点A的坐标为 .
(1)分别写出这两个函数的表达式;(2)你能求出点B的坐标吗?你是怎样求的?与同伴交流?
所以所求的函数表达式为:y=2x,和y=6/x.
反比例函数与正比例函数的交点问题：列方程组，求公共解，即交点坐标利用反比例函数的中心对称性。
总结：正比例函数与反比例函数图象若相交，则两个交点关于原点中心对称。
（3）你能利用图象直接写出不等式的解集吗？
1.在同一直角坐标平面内，如果直线
的关系一定是（ ）
2. 已知k<0,则函数 y1=kx,y2= 在同一坐标系中的图象大致是 ( )
2.若 ，则函数 与 在同一平面直角坐标系中的图象大致是（ ）
6、在同一直角坐标系中，正比例函数y=k1x与反比例函数y= k2∕x没有交点，则两个常数的乘积k1 ·k2的取值范围是 。
⑴直线OA与双曲线的另一交点B的坐标．
⑵△BDA的面积是多少？
在每一个象限内:当k>0时，y随x的增大而减小;当k<0时，y随x的增大而增大.
y=kx(k≠0)( 特殊的一次函数)
当k>0时，y随x的增大而增大;当k<0时，y随x的增大而减小.
2. 反比例函数的图象性质特征：
当k>0时,双曲线分别位于第一,三象限内当k<0时, 双曲线分别位于第二,四象限内
当k>0时,在每一象限内,y随x的增大而减小当k<0时,在每一象限内,y随x的增大而增大
双曲线无限接近于x、y轴,但永远不会与坐标轴相交
双曲线是中心对称图形.
面积不变性 长方形面积 ︳m n︱ ＝︳K︱
一、交点问题： 1、与坐标轴的交点问题： 无限趋近于x、y轴，与x、y轴无交点。2、与正比例函数的交点问题：利用反比例函数的中心对称性。列方程组，求公共解，即交点坐标。
1.己知函数 的图象是双曲线,且y随x的增大而增大,则m=______;
2.如果反比例函数 的图象位于第二、四象限，那么m的范围为 .
3.若反比例函数 的图象与正比例函数 的图象有公共点，则反比例函数 在第_________象限.
动手操作 炼就火眼金睛
1.已知点A(-2,y1),B(-1,y2),C(3,y3)都在y=4/x上,比较y1,y2,y3的大小2.变式练习:已知点A(-2,y1),B(-1,y2),C(3,y3)都在y=k/x上,比较y1,y2,y3的大小.
3.反比例函数y=（m+1）/x经过点A(x1,y1),B(x2,y2),当x1<0y2,则m的取值范围是________
当K>0时, y3>y1>y2 当k<0时,y2>y1>y3
1、反比例函数 的图象在 象限？ 反比例函数 的图象在 象限？ 它们关于 成轴对称。
2、已知反比例函数 当x >5时，y 1； 当x <5时，则y 。
1．反比例函数 的图象经过点（－1，2），那么这个反比例函数的解析式为 ，图象在第 象限， 它的图象关于 成中心对称．2．反比例函数 的图象与正比例函数 的图象 交于点A（1，m），则m＝ ，反比例函数的解析式为 ，这两个图象的另一个交点坐标是 ．
1） 在每一象限内 ,y随x的增大而减小 （ ）
2） 在每一象限内, y随x的增大而增大 （ ）
(注意:做题时审清题目的问法)
3) 若反比例函数 在每一象限内,y随x的增大而 增大,则它的图象经过一、三象限
（ ）
1）反比例函数 ，当x=1时，y＝2，则k= ， y随x的增大而
如右图，点A在反比例函数 的图象上，且点A的横坐标分别为1，AC⊥x轴，垂足为点C，且△AOC的面积为2。（1）求该反比例函数的解析式。（2）若点（－1，y1），（－2，y2）在该反比例函数 的图象上， 试比较y1与y2的大小。
分析:要求解析式和第二问,关键是求K的值,而S△AOC=2这个条件,给了我们一个求解的桥梁.如果可以表示出来AC,OC,而要表示这两边,则需要设出点A的坐标,然后求解K
求出K值第二问就可利用性质去求解.
【例】如下图，点A、B在反比例函数的图象上，且点A、B的横坐标分别为a，2a（a>0），AC⊥x轴，垂足为点C，BD⊥x轴，垂足为点D，且△AOC的面积为2。（1）求该反比例函数的解析式。（2）若点（-a，y1），（-2a，y2）在该反比例函数的图象上，试比较y1与y2的大小。（3）试求Rt△BOD的面积。
【例5】如下图，点A、B在反比例函数的图象上，且点A、B的横坐标分别为a，2a（a>0），AC⊥x轴，垂足为点C，BD⊥x轴，垂足为点D，且△AOC的面积为2。（1）求该反比例函数的解析式。（2）若点（-a，y1），（-2a，y2）在该反比例函数的图象上，试比较y1与y2的大小。（3）试求Rt△BOD的面积。
（2）∵a>0 ∴2a>a，即-2a<-a<0由于点（-a，y1），（-2a，y2），在双曲线上，根据反比例函数的性质k>0，y随x增大而减小知y1
1. 反比例函数的定义：
3. 反比例函数的确定：
4.它的三种常见的表达形式：
2. 反比例函数的特征：
k ≠0， x ≠0. x是－1次
xy = k（k ≠ 0）
y=kx-1（k≠0）
5、请回忆：正比例函数的图象和性质
1、正比例函数y=2x经过第 象限.
2、已知矩形面积为6，则它的长y与宽x之间的函数关系式为 ，y是x的 函数.
3、函数y=2xm+1是反比例函数，则m= .
4、反比例函数 经过点（1， ）.
作函数图象的一般步骤：
有两条曲线共同组成一个反比例函数的图像，叫双曲线.
取自变量x的一些值，计算出相应的函数值y.注意：① x≠0②自变量取值要均匀和对称③选整数较好计算和描点
分别以所取x的值和相应的函数值Y作为点的横坐标和纵坐标，描出这些坐标所对应的点
用光滑的曲线把每一象限描出的点按照横坐标由小到大的顺序联结起来，再向两方伸展
为什么双曲线的每支向两方伸展呢？
双曲线是否会与坐标轴香蕉呢？
图像的两支都无限接近于x轴和y轴，但不会与x轴和y轴相交.
函数图像分别位于哪几个象限？
当 时，函数图像的两支分别在第一、三象限当 时，函数图像的两支分别在第二、四象限
在每个象限内，横坐标逐渐增大纵坐标是怎样变化？
1.函数图象的两个分支分别在第一、三象限
2.在每个象限内，y随x的增大而减小,并且第一象限内的 y 值总大于第三象限内的 y 值；
1.函数图象的两个分支分别在第二、四象限
2.在每个象限内，y随x的增大而增大,并且第二象限内的 y 值总大于第四象限内的 y 值；
3.反比例函数自身都是中心对称图形,对称中心是坐 标原点.
2.反比例函数图象无限接近 x，y 轴，但总不相交；
1.反比例函数的图象是双曲线;
发现函数值y怎样随着自变量x的变化而变化？
2、在整个自变量的取值范围内
3、下列反比例函数图像的一个分支,在第三象限的是( )
2、 下列函数中，其图象位于第二、四象限的有 , 在其图象所在的象限内，y随x的减小而增大的有 .
从画反比例函数图象看,描点法还应注意什么?
反比例函数图象画法步骤：
注意：①列 x与y的对应值表时，X的值不能为零，但仍可以零的基础，左右均匀、对称地取值。
注意：②描点时自左住右用光滑曲线顺次连结，切忌用折线。
注意： ③两个分支合起来才是反比例函数图象。
在同一直角坐标系下，反比例函数y=6/x于y=-6/x的图像关于x轴对称，也关于y轴对称。
.在每个象限内，y随x的增大而减小,第一象限内的 y 值总大于第三象限内的 y 值；
在每个象限内，y随x的增大而增大,第二象限内的 y 值总大于第四象限内的 y 值
1.当k>0时,同一象限内函数值y随自变量x的增大而减小；
2.当k<0时,同一象限内，函数值y随自变量x的增大而增大。
观察反比例函数 的图象,说出y与x之间的变化关系:
2.反比例函数图象无限向 x，y 轴逼近，但总不相交；
反比例函数 的图象上有两点A(x1,y1),B(x2,y2),且X1
若A,B在不同的象限则可能有多种情况出现
数学题目形式灵活多变，大家要善于思考
下列函数中y随x的增大而减小的是（ ）A、
当k>0时:在每一个象限内，y随x的增大而减小
当k<0时:在每一个象限内，y随x的增大而增大
A(x1,y1),B(x2,y2)且x1＜0＜x2
A(-2,y1),B(-1,y2),C(4,y3)
1.下列函数中，其图象位于第一、三象限的有__________;在其所在的每一个象限内，y随x的增大而增大的有_________.
2.(1)已知点A(-2,y1),B(-1,y2),C(3,y3)都在反比例函数 的图象上，比较y1、 y2 、y3的大小关系。
解：∵k=4>0 ∴图象在第一、三象限内，每一象限内y随x的增大而减小 ∵x1
变式训练：已知y = k/x(k ≠ 0)上三个点 (a1，y1),(a2，y2)，（a3，y3）,若a1< a2<0< a3, 比较y1，y2，y3的大小
4）反比例函数 的图象上有两点A(x1,y1),B(x2,y2),且X1
则y1，y2的大小关系是__________________
练习2、 已知反比例函数
练习3、 已知反比例函数
上有三点（-2，y1）（-1，y2）
（1，y3）则y1，y2，y3的大小关系是________________
4.在函数 （a为常数）的图象上有三点 ，函数值 的大小关系是 （ ）（A）y2＜y3＜y1． （B）y3＜y2＜y1．（C）y1＜y3＜y2． （D）y3＜y1＜y2．
1．用“＞”或“＜”填空： （1）已知 和 是反比例函数 的两对自变 量与函数的对应值．若 ，则 ． （2）已知 和 是反比例函数 的两对自变 量与函数的对应值．若 ，则 ．
2．已知（ ），（ ），（ ）是反比例函数 的图象上的三个点，并且 ，则 的大小关系是（ ） （A） （B） （C） （D）
3．已知（ ），（ ），（ ）是反比例函数 的图象上的三个点，则 的大小关系是 ．
4．已知反比例函数 ．（1）当x＞5时，0 y 1；（2）当x≤5时，则y 1, （3）当y＞5时，x？
若点（-2，y1）、（-1，y2）、（2，y3）在反比例函数 的图象上，则（ ）
A、y1>y2>y3 B、y2>y1>y3C、y3>y1>y2 D、y3>y2>y1
提示： 利用图像比较大小简单明了。
1、函数 的图象在第________象限,在每一象限内，y 随x 的增大而_________.2、 函数 的图象在第________象限,在每一象限内，y 随x 的增大而_________.3、函数 ,当x>0时,图象在第____象限,y随x 的增大而_________.
4.函数 的图象在第_____象限，5. 双曲线 经过点（-3，___）
6.函数 的图象在二、四象限，则m的取值范围是 ____ .7.对于函数 ，当 x<0时，图象在第 ________象限.
五、大显身手：1、已知反比例函数 （k≠0）的图象经过点P（-1，2），则这个函数的图象位于（ ）。A、第二、三象限 B、第一、三象限 C、第三、四象限 D、 第二、四象限2、已知反比例函数 ，下列结论不正确 的是（ ）。A、 图象经过点（1,1） B、图象在第一、三象限 C、当x＞1时，0＜y＜1 D、 当x＜0时， y随x的增大而增大。
例1:已知反比例函数y= (k≠0）的图象的一支如图。（1）判断k是正数还是负数；（2）求这个反比例函数的解析式；
（3）补画这个反比例函数图象的另一支。
图像的分支在第二象限，所以K ＜0
把(-4,2)代入y= 中，得到K=-8所以反比例函数的解析式；y= -
正、反比例函数的图象与性质的比较：
k＞0，y随x的增大而增大；
k＜0，y随x的增大而减小．
k＞0，在每个象限y随x的增大而减小；
k＜0，在每个象限y随x的增大而增大．
4.反比例函数 ,在每一象限内，y 随 x 的增大而减小，则m=______.
2.反比例函数 的图象经过点(2,-3), 则它必经过点(-1,____).
1.反比例函数 经过点(m,2),则m的值____.
3.对于函数 ,当x>0时，图象在第______象限, y随x的值增大而________,当x<0时图象在第______象限, y随x的值增大而________.
已知反比例函数 ,y随x的增大而减小，求a的值和表达式.
5.下列函数中y随x的值增大而减小的有( )A.y=3x B.y=3/x C.y=-3/x D.y=-3x6.y=3/x,当x>0时图象在第______象限, y随x的值增大而_____,当x<0时图象在第______象限, y随x的值增大而______
7.下列函数中y随x的值增大而增大的有( )A.y=-2x+1 B.y=3/x C.y=-3/x(x<0) D.y=-2x
x的正负确定反比例函数的象限k的正负决定反比例函数的增减性
例1、已知反比例函数 的图象经过点A（1，4）
（1 ）①求此反比例函数 的解析式； ②画出图像； ③并判断点B（-4，-1）是否在此函数图像上。
（2）根据图像得，若y ﹥ 4, 则x的取值范围-----------若x ﹤ 1，则y的取值范围-----------
（3）若点（x1，y1), （x2，y2), （x3，y3),均在此函数图像上，且x1 ﹤0﹤ x2 ﹤ x3请比较y1、y2、y3的大小
（ 4 ）若过A点作AP⊥x轴于点P，求三角形AOP的面积。
小明在学完反比例函数性质后做课外练习时又遇到了它百思不得其解的题目，你能帮他解决吗？
已知P（2， ）为反比例函数 图象上第一象限的点，过P分别作x轴、y轴的平行线PE、PF,与坐标轴围成的矩形PEOF的面积为多少？
分析：解这道题关键要弄清长、宽
解：依题意得 PE=2 , PF=
S矩形PEOF =PE×PF=2× ＝1
结果一样，注意点在第三象限,求解的过程中要长宽加绝对值
如果题目再变化一下，大家思考一下又该怎样解？
已知点 P 为反比例函数 上的点，过P分别作x轴、y轴的平行线PE、PF,与坐标轴围成的矩形PEOF的面积为多少？
分析：要解这题，关键表达出长、宽即要求PE、PF
你能从本题得到什么启发吗?
无论点在图象上的何位置所围成的矩形面积都是定值
（5）若D、E、F是此反比例函数在第三象限图像上的三个点，过D、E、F分别作x轴的垂线，垂足分别为M，N、K，连接OD、OE、OF，设△ ODM、△OEN、 △OFK 的面积分别为S1、S2、S3，则下列结论成立的是 ( )
A S1﹤S2 ﹤ S3 B S1﹥S2 ﹥ S3 C S1 ﹤ S3 ﹤ S3 D S1=S2=S3
若将此题改为过P点作y轴的垂线段,其结论成立吗?
A. S1＞S2 B．S1
长方形面积 三角形的面积
过反比例函数图象上任意一点向x轴,y轴作垂线,与坐标轴围成的矩形面积等于|k|,若与原点相连,所构成的直角三角形的面积等于|k|/2.
3.已知,点P是反比例函数 图象上的一点,作P A⊥ x轴 于A,若 直角三角形AOP的面积是3，则这个反比例函数的解析式为（ ）
4、如图：四边形OABC是边长为1的正方形，反比例函数 的函数图象过点B，则k的值为（ ）
感悟中考：5、（04’南昌）如图：点P是反比例函数y= - 上的一点，PD⊥x轴于点D，则⊿POD的面积为6、（06’山西）在平面直角坐标系内，从反比例函数y= 的图象上一点分别作x、y轴的垂线段，与x、y轴所围成的矩形的面积是12，则该函数解析式是
y= 或y=-
7、图中两个三角形的面积各是___
8、S⊿ABC的面积=____
S ⊿BOC =S ⊿AOC
S⊿AOC = ∣-4 ∣= 2
2、四边形ABCD的面积=_____
如图，在直角坐标系中，一次函数y=k1x+b的图像 与反比例函数 的图像交于A(1,4), B(3,m)两点 （1）求反比例函数解析式 （2）求△AOB面积
（2）根据函数图象，当x取什么值时，函数值小于0？
(2) x>0时，函数值小于0
（3） 当x=-3时，
由图象知，当-3
已知反比例函数 ． （1）当x＞5时，0 y 1； （2）当x≤5时，则y 1,或y＜ ． （3）当y＞5时，x？
3.如图，正比例函数 的图象与反比例函数 的图象相交于A、B两点，其中点A的坐标为 .
(1)分别写出这两个函数的表达式;(2)你能求出点B的坐标吗?你是怎样求的?与同伴交流?
所以所求的函数表达式为:y=2x,和y=6/x.
反比例函数与正比例函数的交点问题：列方程组，求公共解，即交点坐标利用反比例函数的中心对称性。
总结：正比例函数与反比例函数图象若相交，则两个交点关于原点中心对称。
（3）你能利用图象直接写出不等式的解集吗？
1.在同一直角坐标平面内，如果直线
的关系一定是（ ）
2. 已知k<0,则函数 y1=kx,y2= 在同一坐标系中的图象大致是 ( )
2.若 ，则函数 与 在同一平面直角坐标系中的图象大致是（ ）
6、在同一直角坐标系中，正比例函数y=k1x与反比例函数y= k2∕x没有交点，则两个常数的乘积k1 ·k2的取值范围是 。
⑴直线OA与双曲线的另一交点B的坐标．
⑵△BDA的面积是多少？
在每一个象限内:当k>0时，y随x的增大而减小;当k<0时，y随x的增大而增大.
y=kx(k≠0)( 特殊的一次函数)
当k>0时，y随x的增大而增大;当k<0时，y随x的增大而减小.
2. 反比例函数的图象性质特征：
当k>0时,双曲线分别位于第一,三象限内当k<0时, 双曲线分别位于第二,四象限内
当k>0时,在每一象限内,y随x的增大而减小当k<0时,在每一象限内,y随x的增大而增大
双曲线无限接近于x、y轴,但永远不会与坐标轴相交
双曲线是中心对称图形.
面积不变性 长方形面积 ︳m n︱ ＝︳K︱
一、交点问题： 1、与坐标轴的交点问题： 无限趋近于x、y轴，与x、y轴无交点。2、与正比例函数的交点问题：利用反比例函数的中心对称性。列方程组，求公共解，即交点坐标。
1.己知函数 的图象是双曲线,且y随x的增大而增大,则m=______;
2.如果反比例函数 的图象位于第二、四象限，那么m的范围为 .
3.若反比例函数 的图象与正比例函数 的图象有公共点，则反比例函数 在第_________象限.
动手操作 炼就火眼金睛
1.已知点A(-2,y1),B(-1,y2),C(3,y3)都在y=4/x上,比较y1,y2,y3的大小2.变式练习:已知点A(-2,y1),B(-1,y2),C(3,y3)都在y=k/x上,比较y1,y2,y3的大小.
3.反比例函数y=（m+1）/x经过点A(x1,y1),B(x2,y2),当x1<0
当K>0时, y3>y1>y2 当k<0时,y2>y1>y3
1、反比例函数 的图象在 象限？ 反比例函数 的图象在 象限？ 它们关于 成轴对称。
2、已知反比例函数 当x >5时，y 1； 当x <5时，则y 。
1．反比例函数 的图象经过点（－1，2），那么这个反比例函数的解析式为 ，图象在第 象限， 它的图象关于 成中心对称．2．反比例函数 的图象与正比例函数 的图象 交于点A（1，m），则m＝ ，反比例函数的解析式为 ，这两个图象的另一个交点坐标是 ．
1） 在每一象限内 ,y随x的增大而减小 （ ）
2） 在每一象限内, y随x的增大而增大 （ ）
(注意:做题时审清题目的问法)
3) 若反比例函数 在每一象限内,y随x的增大而 增大,则它的图象经过一、三象限
（ ）
1）反比例函数 ，当x=1时，y＝2，则k= ， y随x的增大而
如右图，点A在反比例函数 的图象上，且点A的横坐标分别为1，AC⊥x轴，垂足为点C，且△AOC的面积为2。（1）求该反比例函数的解析式。（2）若点（－1，y1），（－2，y2）在该反比例函数 的图象上， 试比较y1与y2的大小。
分析:要求解析式和第二问,关键是求K的值,而S△AOC=2这个条件,给了我们一个求解的桥梁.如果可以表示出来AC,OC,而要表示这两边,则需要设出点A的坐标,然后求解K
求出K值第二问就可利用性质去求解.
【例】如下图，点A、B在反比例函数的图象上，且点A、B的横坐标分别为a，2a（a>0），AC⊥x轴，垂足为点C，BD⊥x轴，垂足为点D，且△AOC的面积为2。（1）求该反比例函数的解析式。（2）若点（-a，y1），（-2a，y2）在该反比例函数的图象上，试比较y1与y2的大小。（3）试求Rt△BOD的面积。
【例5】如下图，点A、B在反比例函数的图象上，且点A、B的横坐标分别为a，2a（a>0），AC⊥x轴，垂足为点C，BD⊥x轴，垂足为点D，且△AOC的面积为2。（1）求该反比例函数的解析式。（2）若点（-a，y1），（-2a，y2）在该反比例函数的图象上，试比较y1与y2的大小。（3）试求Rt△BOD的面积。
（2）∵a>0 ∴2a>a，即-2a<-a<0由于点（-a，y1），（-2a，y2），在双曲线上，根据反比例函数的性质k>0，y随x增大而减小知y1
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