初中数学人教版九年级上册22.1.1 二次函数教案设计

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第二十二章 二次函数
第9课时 二次函数与定价问题
教学目的
能够表示定价问题中变量之间的二次函数关系，会运用二次函数的顶点坐标求出定价问题的最大值（或最小值）．
教学重点
从定价问题中抽象出二次函数，并利用二次函数解决问题．
教学内容
知识要点
二次函数与定价问题
调整类型：价格调整分涨价和降价．
利润求法：(1)由“总利润＝每件的利润×数量”得到二次函数的解析式；
(2)根据函数的图象和性质求最大值．
二次函数的最值
如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当时，。
如果自变量的取值范围是，那么，首先要看是否在自变量取值范围内，若在此范围内，则当x=时，；若不在此范围内，则需要考虑函数在范围内的增减性。
对应练习
1．某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元/件．试营销阶段发现：当销售单价是25元时，每天的销售量为250件；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件．
（1）写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大；
（3）商场的营销部结合上述情况，提出了A、B两种营销方案：
方案A：该文具的销售单价高于进价且不超过30元；
方案B：每天销售量不少于10件，且每件文具的利润至少为25元
请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由．
春节前夕，万果园超市从厂家购进某种礼盒，已知该礼盒每个成本价为32元．经市场调查发现，该礼盒每天的销售量y（个）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系．当该款礼盒每个售价为50元时，每天可卖出200个；当该款礼盒每个售价为60元时，每天可卖出100个．
（1）求y与x之间的函数解析式（不要求写出x的取值范围）；
（2）若该超市想达到每天不低于240个的销售量，则该礼盒每个售价定为多少元时，每天的销售利润最大，最大利润是多少元？
3．小王电子产品专柜以20元/副的价格批发了某新款耳机，在试销的60天内整理出了销售数据如下
销售数据（第x天）
售价（元）
日销售量（副）
1≤x＜35
x+30
100﹣2x
35≤x≤60
70
100﹣2x
（1）若试销阶段每天的利润为W元，求出W与x的函数关系式；
（2）请同在试销阶段的哪一天销售利润W可以达到最大值？最大值为多少？
当今，越来越多的青少年在观看影片《流浪地球》后，更加喜欢同名科幻小说，该小说销量也急剧上升．书店为满足广大顾客需求，订购该科幻小说若干本，每本进价为20元．根据以往经验：当销售单价是25元时，每天的销售量是250本；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10本，书店要求每本书的利润不低于10元且不高于18元．
（1）直接写出书店销售该科幻小说时每天的销售量y（本）与销售单价x（元）之间的函数关系式及自变量的取值范围．
（2）书店决定每销售1本该科幻小说，就捐赠a（0＜a≤6）元给困难职工，每天扣除捐赠后可获得最大利润为1960元，求a的值．
5．2018年非洲猪瘟疫情爆发后，专家预测，2019年我市猪肉售价将逐月上涨，每千克猪肉的售价y1(元)与月份x(1≤x≤12，且x为整数)之间满足一次函数关系，如下表所示．每千克猪肉的成本y2(元)与月份x(1≤x≤12，且x为整数)之间满足二次函数关系，且3月份每千克猪肉的成本全年最低，为9元，如图所示．
月份x
...
3
4
5
6
...
售价y1/元
...
12
14
16
18
...
(1)求y1与x之间的函数关系式．
(2)求y2与x之间的函数关系式．
(3)设销售每千克猪肉所获得的利润为w(元)，求w与x之间的函数关系式，哪个月份销售每千克猪肉所获得的利润最大？最大利润是多少元？
课后作业
在世界杯足球赛前夕，某体育用品店购进一批单价为40元的球服，如果按单价60元销售，那么一个月内可售出240套．根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高5元，销售量相应减少20套．设销售单价为x(x≥60)元，销售量为y套．
(1)求出y与x的函数关系式．
(2)当销售单价为多少元时，月销售额为14000元；
(3)当销售单价为多少元时，才能在一个月内获得最大利润？最大利润是多少？
2．某品牌手机去年每台的售价y（元）与月份x之间满足函数关系：y＝﹣50x+2600，去年的月销量p（万台）与月份x之间成一次函数关系，其中1﹣6月份的销售情况如下表：
月份（x）
1月
2月
3月
4月
5月
6月
销售量（p）
3. 9万台
4. 0万台
4. 1万台
4. 2万台
4. 3万台
4. 4万台
（1）求p关于x的函数关系式；
（2）求该品牌手机在去年哪个月的销售金额最大？最大是多少万元？
（3）今年1月份该品牌手机的售价比去年12月份下降了m%，而销售量也比去年12月份下降了1. 5m%. 今年2月份，经销商决定对该手机以1月份价格的"八折"销售，这样2月份的销售量比今年1月份增加了1. 5万台. 若今年2月份这种品牌手机的销售额为6400万元，求m的值.
3.某实验器材专营店为迎接我市理化生实验的到来，购进一批电学实验盒子，一台电学实验盒的成本是30元，当售价定为每盒50元时，每天可以卖出20盒. 但由于电学实验盒是特殊时期的销售产品，专营店准备对它进行降价销售. 根据以往经验，售价每降低3元，销量增加6盒. 设售价降低了x（元），每天销量为y（盒）.
（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）总利润用W（元）来表示，请说明售价为多少元时获得最大利润，最大利润是多少？
4.我国中东部地区雾霾天气趋于严重，环境治理已刻不容缓．我市某电器商场根据民众健康需要，代理销售某种家用空气净化器，其进价是200元/台．经过市场销售后发现：在一个月内，当售价是400元/台时，可售出200台，且售价每降低10元，就可多售出50台．若供货商规定这种空气净化器售价不能低于300元/台，代理销售商每月要完成不低于450台的销售任务．
（1）试确定月销售量y（台）与售价x（元/台）之间的函数关系式；并求出自变量x的取值范围；
（2）当售价x（元/台）定为多少时，商场每月销售这种空气净化器所获得的利润w（元）最大？最大利润是多少？
5．某服装超市购进单价为30元的童装若干件，物价部门规定其销售单价不低于每件30元，不高于每件60元．销售一段时间后发现：当销售单价为60元时，平均每月销售量为80件，而当销售单价每降低10元时，平均每月能多售出20件．同时，在销售过程中，每月还要支付其他费用450元．设销售单价为x元，平均月销售量为y件．
（1）求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
（2）当销售单价为多少元时，销售这种童装每月可获利1800元？
（3）当销售单价为多少元时，销售这种童装每月获得利润最大？最大利润是多少？
6．某宾馆有50个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天180元时，房间会全部住满．当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．房价定为多少时，宾馆利润最大？
7．"母亲节"前夕，我市某校学生积极参与"关爱贫困母亲"的活动，他们购进了一批单价为20元的"孝文化衫"在课余时间进行义卖，并将所得利润捐给贫困母亲.在义卖的过程中发现"这种文化衫每天的销售件数y（件）与销售单价x（元）满足一次函数关系：y＝﹣3x+108（20＜x＜36）".如果义卖这种文化衫每天的利润为p（元），那么销售单价定为多少元时，每天获得的利润最大？最大利润是多少？
8．小李在景区销售一种旅游纪念品，已知每件进价为6元，当销售单价定为8元时，每天可以销售200件.市场调查反映：销售单价每提高1元，日销量将会减少10件，物价部门规定：销售单价不能超过12元，设该纪念品的销售单价为x（元），日销量为y（件），日销售利润为w（元）.
（1）求y与x的函数关系式.
（2）要使日销售利润为720元，销售单价应定为多少元？
（3）求日销售利润w（元）与销售单价x（元）的函数关系式，当x为何值时，日销售利润最大，并求出最大利润.
9．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利50元，为了扩大销售，增加赢利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件.求：
（1）若商场平均每天要赢利1600元，每件衬衫应降价多少元？
（2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天赢利最多？
10．（10分）由于雾霾天气对人们健康的影响，市场上的空气净化器成了热销产品.某公司经销一种空气净化器，每台净化器的成本价为200元.经过一段时间的销售发现，每月的销售量y（台）与销售单价x（元）的关系为y＝﹣2x+1000.
（1）该公司每月的利润为w元，写出利润w与销售单价x的函数关系式；
（2）若要使每月的利润为40000元，销售单价应定为多少元？
（3）公司要求销售单价不低于250元，也不高于400元，求该公司每月的最高利润和最低利润分别为多少？
对应练习答案
1.解答：
解：（1）由题意得，销售量＝250﹣10（x﹣25）＝﹣10x+500，
则w＝（x﹣20）（﹣10x+500）
＝﹣10x2+700x﹣10000；
（2）w＝﹣10x2+700x﹣10000＝﹣10（x﹣35）2+2250．
∵﹣10＜0，
∴函数图象开口向下，w有最大值，
当x＝35时，w最大＝2250，
故当单价为35元时，该文具每天的利润最大；
（3）A方案利润高．理由如下：
A方案中：20＜x≤30，
故当x＝30时，w有最大值，
此时wA＝2000；
B方案中：，
故x的取值范围为：45≤x≤49，
∵函数w＝﹣10（x﹣35）2+2250，对称轴为直线x＝35，
∴当x＝45时，w有最大值，
此时wB＝1250，
∵wA＞wB，
∴A方案利润更高．
2.解答：
解：（1）设y与x之间的函数解析式为y＝kx+b，
由题意得，，
解得：，
∴y与x之间的函数解析式为y＝﹣10x+700；
（2）设每天的销售利润为W元，
由如图得，W＝（x﹣32）（﹣10x+700）＝﹣10x2+1020x﹣22400＝﹣10（x﹣51）2+3610，
∵﹣10x+700≥240，
解得：x≤46，
∴32＜x≤46，
∵a＝﹣10＜0，
∴当x＜51时，W随x的增大而增大，
∴当x＝46时，W有最大值，最大利润是﹣10×（46﹣51）2+3610＝3560，
答：该礼盒每个售价定为46元时，每天的销售利润最大，最大利润是3560元．
3.解答：
解：（1）①当1≤x＜35时，W1＝（x+30﹣20）（100﹣2x）
即W1＝﹣2（x﹣20）2+1800；
②当35≤x≤60时，W2＝（70﹣20）（100﹣2x）
即W2＝﹣100x+5000；
故W与x之间的函数关系式为W＝；
（2）∵W1＝﹣2（x﹣20）2+1800（1≤x＜35），
∴在试销的第一阶段，在第20天时，利润最大为1800元，
∵W2＝﹣100x+5000（35≤x≤60），
∴在试销的第二阶段，在第35天时，销售利润最大为1500元，
综上可知，在试销阶段的第20天时W最大，最大值为1800元．
4.解答：
解：（1）根据题意得，y＝250﹣10（x﹣25）＝﹣10x+500（30≤x≤38）；
（2）设每天扣除捐赠后可获得利润为w元．
w＝（x﹣20﹣a）（﹣10x+500）＝﹣10x2+（10a+700）x﹣500a﹣10000（30≤x≤38）
对称轴为x＝35+a，且0＜a≤6，则30a≤38，
则当x＝35+a时，w取得最大值，
∴（35+a﹣20﹣a）[﹣10（35+a）+500]＝1960
∴a1＝2，a2＝58（不合题意舍去），
∴a＝2．
5.解答：
解：(1)设y1与x之间的函数关系式为y1=kx+b，
将(3，12)(4，14)代入y1得，，
解得：，
∴y1与x之间的函数关系式为：y1=2x+6；
(2)由题意得，抛物线的顶点坐标为(3，9)，
∴设y2与x之间的函数关系式为：y2=a(x-3)2+9，
将(5，10)代入y2=a(x-3)2+9得a(5-3)2+9=10，
解得：a=，
∴y2=(x-3)2+9=x2-x+；
(3)由题意得，w=y1-y2=2x+6-x2+x-=-x2+x-，
∵-＜0，
∴w由最大值，
∴当x=-=-=7时，w最大=-×72+×7-=7．
所以7月份销售每千克猪肉所获得的利润最大，最大利润是每千克7元．
课后作业答案
解答：
(1)y=240- ×20，
∴y=-4x+480(x≥60)；
(2)根据题意可得，x(-4x+480)=14000，
解得，x1=70，x2=50(不合题意舍去)，
∴当销售价为70元时，月销售额为14000元．
(3)设一个月内获得的利润为w元，根据题意，得
w=(x-40)(-4x+480)，
=-4x2+640x-19200，
=-4(x-80)2+6400，
当x=80时，w的最大值为6400
∴当销售单价为80元时，才能在一个月内获得最大利润，最大利润是6400元．
解答：
解：（1）设p＝kx+b，
把p＝3. 9，x＝1；p＝4. 0，x＝2分别代入p＝kx+b中，
得：，
解得：，
∴p＝0. 1x+3. 8；
（2）设该品牌手机在去年第x个月的销售金额为w万元，
w＝（﹣50x+2600）（0. 1x+3. 8）
＝﹣5x2+70x+9880
＝﹣5（x﹣7）2+10125，
当x＝7时，w最大＝10125，
答：该品牌手机在去年七月份的销售金额最大，最大为10125万元；
（3）当x＝12时，y＝2000，p＝5，
1月份的售价为：2000（1﹣m%）元，则2月份的售价为：0. 8×2000（1﹣m%）元；
1月份的销量为：5×（1﹣1. 5m%）万台，则2月份的销量为：[5×（1﹣1. 5m%）+1. 5]万台；
∴0. 8×2000（1﹣m%）×[5×（1﹣1. 5m%）+1. 5]＝6400，
解得：m1%＝（舍去），m2%＝，
∴m＝20，
答：m的值为20.
解答：
解：（1）由题意可得，y＝20+×6＝20+2x，
∴y与x之间的函数表达式是y＝2x+20；
（2）由题意得，W＝（50﹣30﹣x）（20+2x）＝（20﹣x）（20+2x）＝﹣2（x﹣5）2+450，
当x＝5时，W有最大值450，
∴当售价为45元，利润最大为450元；
解答：
解：（1）根据题中条件销售价每降低10元，月销售量就可多售出50台，
则月销售量y（台）与售价x（元/台）之间的函数关系式：y＝200+50×，化简得：y＝﹣5x+2200；
供货商规定这种空气净化器售价不能低于300元/台，代理销售商每月要完成不低于450台，
则，
解得：300≤x≤350．
∴y与x之间的函数关系式为：y＝﹣5x+2200（300≤x≤350）；
（2）W＝（x﹣200）（﹣5x+2200），
整理得：W＝﹣5（x﹣320）2+72000．
∵x＝320在300≤x≤350内，
∴当x＝320时，最大值为72000，
即售价定为320元/台时，商场每月销售这种空气净化器所获得的利润w最大，最大利润是72000元．
解答：
解：（1）由题意得：y＝80+20×
∴函数的关系式为：y＝﹣2x+200（30≤x≤60）
（2）由题意得：
（x﹣30）（﹣2x+200）﹣450＝1800
解得x1＝55，x2＝75（不符合题意，舍去）
答：当销售单价为55元时，销售这种童装每月可获利1800元．
（3）设每月获得的利润为w元，由题意得：
w＝（x﹣30）（﹣2x+200）﹣450
＝﹣2（x﹣65）2+2000
∵﹣2＜0
∴当x≤65时，w随x的增大而增大
∵30≤x≤60
∴当x＝60时，w最大＝﹣2（60﹣65）2+2000＝1950
答：当销售单价为60元时，销售这种童装每月获得利润最大，最大利润是1950元．
解答：
解：设房价为（180+10x）元，则定价增加了10x元，此时空闲的房间为x，
由题意得，y＝（180+10x）（50﹣x）﹣（50﹣x）×20＝﹣10x2+340x+8000＝﹣10（x﹣17）2+10890
故可得当x＝17，即房间定价为180+170＝350元的时候利润最大．
答：房间定价为350元时，利润最大．
解答：
解：根据题意得：
P＝（﹣3x+108）（x﹣20）
＝﹣3x2+168x﹣2160
＝﹣3（x﹣28）2+192.
∵a＝﹣3＜0，
∴当x＝28时，利润最大＝192元；
答：当销售单价定为28元时，每天获得的利润最大，最大利润是192元.
解答：
解：（1）根据题意得，y＝200﹣10（x﹣8）＝﹣10x+280，
故y与x的函数关系式为y＝﹣10x+280；
（2）根据题意得，（x﹣6）（﹣10x+280）＝720，解得：x1＝10，x2＝24（不合题意舍去），
答：要使日销售利润为720元，销售单价应定为10元；
（3）根据题意得，w＝（x﹣6）（﹣10x+280）＝﹣10（x﹣17）2+1210，
∵﹣10＜0，
∴当x＜17时，w随x的增大而增大，
当x＝12时，w最大＝960，
答：当x为12时，日销售利润最大，最大利润960元.
解答：
解：（1）设每件衬衫应降价x元，
根据题意得（50﹣x）（20+2x）＝1600，
整理得2x2﹣80x+600＝0
解得x1＝30，x2＝10.
因为要尽量减少库存，在获利相同的条件下，降价越多，销售越快，
故每件衬衫应降30元.
答：每件衬衫应降价30元.
（2）设商场平均每天赢利y元，则
y＝（20+2x）（50﹣x）
＝﹣2x2+80x+1000
＝﹣2（x2﹣40x﹣400）＝﹣2[（x﹣20）2﹣625]
＝﹣2（x﹣20）2+1800.
∴当x＝20时，y取最大值，最大值为1800.
答：每件衬衫降价20元时，商场平均每天赢利最多，最大利润为1800元.
解答：
解：（1）由题意得：w＝（x﹣200）y＝（x﹣200）（﹣2x+1000）＝﹣2x2+1400x﹣200000；
（2）令w＝﹣2x2+1400x﹣200000＝40000，
解得：x＝300或x＝400，
故要使每月的利润为40000元，销售单价应定为300或400元；
（3）y＝﹣2x2+1400x﹣200000＝﹣2（x﹣350）2+45000，
当x＝250时y＝﹣2×2502+1400×250﹣200000＝25000；
故最高利润为45000元，最低利润为25000元.