初中数学人教版九年级上册第二十二章 二次函数22.1 二次函数的图象和性质22.1.1 二次函数教学设计

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第二十二章 二次函数
第6课时 用待定系数法求二次函数的解析
教学目的
利用已知条件设恰当的函数解析式，用待定系数法求二次函数的解析式；
指导学生利用二次函数的解析式和性质解决问题．
教学重点
用待定系数法求二次函数的解析式；
教学内容
知识要点
二次函数的解析式
有顶点坐标和另一个坐标时，用顶点式
有两个交点坐标和另一个坐标时，用交点式
有三个坐标时，用一般式
对应练习
已知抛物线y＝x2+bx﹣3（b是常数）经过点A（﹣1，0）. 求该抛物线的解析式和顶点坐标；
抛物线y＝ax2+bx+6过点A（6，0），B（4，6），与y轴交于点C．求该抛物线的解析式；
在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为(3，0)，与y轴交于C(0，-3)点， 求这个二次函数的表达式．
在平面直角坐标系中，顶点为（2，﹣1）的抛物线交y轴于A点，交x轴于B、C两点（点B在点C的左侧），已知A点坐标为（0，3），连接AB.
求此抛物线的解析式；
5．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象的顶点为D，与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点，点A在原点的左侧，点B的坐标为（3，0），OB＝OC＝3OA．
（1）求这个二次函数的解析式；
6．直线y＝﹣x+4与x轴交于点A，与y轴交于点C，已知二次函数的图象经过点A、C和点B（﹣1，0）．
求该二次函数的关系式；
7．如图，过A（1，0）、B（3，0）作x轴的垂线，分别交直线y＝4﹣x于C、D两点.抛物线y＝ax2+bx+c经过O、C、D三点.
求抛物线的表达式；

如图，抛物线y＝ax2+bx+与直线AB交于点A（﹣1，0），B（4，），点D是抛物线A、B两点间部分上的一个动点（不与点A、B重合），直线CD与y轴平行，交直线AB于点C，连接AD，BD.
求抛物线的表达式；

9．已知：抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x＝﹣1，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中A（﹣3，0），C（0，﹣2）. 求这条抛物线的函数表达式；


10．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的边BC在x轴上，顶点A在y轴的正半轴上，OA＝2，OB＝1，OC＝4. 求过A、B、C三点的抛物线的解析式；
课后作业
1．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点A，B，C，已知点A的坐标为（﹣3，0），点B坐标为（1，0），点C在y轴的正半轴，且∠CAB＝30°．
（1）求抛物线的函数解析式；
2.如图，已知抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，经过A、B、C三点的圆的圆心M（1，m）恰好在此抛物线的对称轴上，⊙M的半径为.设⊙M与y轴交于D，抛物线的顶点为E．
（1）求m的值及抛物线的解析式；
3.如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+2分别与x轴、y轴相交于点B、C，经过点B、C的抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴的另一个交点为A（﹣1，0）.
（1）求这个抛物线的解析式；
（2）已知点D在抛物线上，且横坐标为2，求出△BCD的面积；
4．如图，抛物线y=ax2+2ax+1与x轴仅有一个公共点A，经过点A的直线交该抛物线于点B，交y轴于点C，且点C是线段AB的中点．
（1）求这条抛物线对应的函数解析式；
（2）求直线AB对应的函数解析式．
5．如图，抛物线y=ax2+2x+c经过点A（0，3），B（-1，0），请解答下列问题：
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线的顶点为点D，对称轴与x轴交于点E，连接BD，求BD的长．
6.如图，抛物线y=ax2+bx（a＞0）经过原点O和点A（2，0）．
（1）写出抛物线的对称轴与x轴的交点坐标；
（2）点（x1，y1），（x2，y2）在抛物线上，若x1＜x2＜1，比较y1，y2的大小；
（3）点B（-1，2）在该抛物线上，点C与点B关于抛物线的对称轴对称，求直线AC的函数关系式．
7．已知抛物线y=-x2+bx+c经过点A（3，0），B（-1，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求抛物线的顶点坐标．
8．如图，抛物线y=a（x-1）2+4与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，过点C作CD∥x轴交抛物线的对称轴于点D，连接BD，已知点A的坐标为（-1，0）
（1）求该抛物线的解析式；
（2）求梯形COBD的面积．
9．如图，抛物线y=-x2+bx+c经过坐标原点，并与x轴交于点A(2，0)．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)写出顶点坐标及对称轴；
(3)若抛物线上有一点B，且S△OAB=8，求点B的坐标．

10．如图，二次函数y=ax2-4x+c的图象经过坐标原点，与x轴交于点A（-4，0）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）在抛物线上存在点P，满足S△AOP=8，请直接写出点P的坐标．
11．如图，已知二次函数y=- x2+bx+c的图象经过A(2，0)、B(0，-6)两点．
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)设该二次函数的对称轴与x轴交于点C，连接BA、BC，求△ABC的面积．

12．已知二次函数的图象经过点（0，3），（-3，0），（2，-5），且与x轴交于A、B两点．
（1）试确定此二次函数的解析式；
（2）判断点P（-2，3）是否在这个二次函数的图象上？如果在，请求出△PAB的面积；如果不在，试说明理由．
解：
（1）∵抛物线y＝x2+bx﹣3经过点A（﹣1，0），
∴0＝1﹣b﹣3，解得b＝﹣2，
∴抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3，
∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线顶点坐标为（1，﹣4）；
解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+6过点A（6，0），B（4，6），
∴
解得，
∴，
即该抛物线的解析式为；
解：(1)将B、C两点的坐标代入得，
解得：；
所以二次函数的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3
解：（1）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）2﹣1
把A（0，3）代入得：3＝4a﹣1
解得：a＝1，
故 y＝（x﹣2）2﹣1
＝x2﹣4x+3；
解：（1）由已知得：C（0，﹣3），A（﹣1，0）
将A、B、C三点的坐标代入得
解得：
所以这个二次函数的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3；
解：（1）令y＝0，则x＝3，
∴A（3，0），C（0，4），
∵二次函数的图象过点C（0，4），
∴可设二次函数的关系式为y＝ax2+bx+4．
又∵该函数图象过点A（3，0），B（﹣1，0），
∴，
解得
∴所求二次函数的关系式为y＝﹣x2+x+4．
解：（1）∵过A（1，0）、B（3，0）作x轴的垂线，分别交直线y＝4﹣x于C、D两点，
∴点C（1，3），D（3，1），
∵抛物线y＝ax2+bx+c经过O、C、D三点，
∴c＝0，a+b＝3，9a+3b＝1.
∴a＝﹣，b＝，c＝0，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+x，
解：（1）∵由题意得解得：，
∴y＝﹣x2+2x+.

解：（1）由题意得，
解得，
∴此抛物线的解析式为y＝x2+x﹣2.
解：（1）由题意可知；A（0，2）、B（﹣1，0）、C（4，0）.
设过A、B、C三点的抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c
则，解得：.
所以抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+2.
作业答案
1.
解：（1）如图1，连结AC，在Rt△AOC中，∠CAB＝30°，
∵A（﹣3，0），即OA＝3，
∴OC＝，即C（0，），
设抛物线解析式为，
将A（﹣3，0），B（1，0）代入得．
解得．
∴；
2. 解：（1）由题意可知C（0，﹣3），﹣＝1，
∴抛物线的解析式为y＝ax2﹣2ax﹣3（a＞0），
过M作MN⊥y轴于N，连接CM，则MN＝1，CM＝，
∴CN＝2，于是m＝﹣1．
同理可求得B（3，0），
∴a×32﹣2a×3﹣3＝0，得a＝1．
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3．
3. 解：（1）∵直线y＝﹣x+2分别与x轴、y轴相交于点B、C，
∴B（3，0），C（0，2），
将A（﹣1，0），C（0，2）代入y＝﹣x2+bx+c得，
，解得.
故此抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+2.
（2）∵点D在抛物线上，且横坐标为2，
∴y＝﹣×22+×2+2＝2，
∴D（2，2），
∵C（0，2），
∴CD∥AB，
∴四边形OBDC是梯形，
∴S△BCD＝CD•OC＝×2×2＝2；
4：
{
-k+b=0
k+b=4
{
k=2
b=2
解：（1）∵抛物线y=ax2+2ax+1与x轴仅有一个公共点A，
∴△=4a2-4a=0，解得a1=0（舍去），a2=1，
∴抛物线解析式为y=x2+2x+1；
（2）∵y=（x+1）2，
∴顶点A的坐标为（-1，0），
∵点C是线段AB的中点，
即点A与点B关于C点对称，
∴B点的横坐标为1，
当x=1时，y=x2+2x+1=1+2+1=4，则B（1，4），
设直线AB的解析式为y=kx+b，
把A（-1，0），B（1，4）代入得 ，解得 ，
∴直线AB的解析式为y=2x+2．
5.解：（1）∵抛物线y=ax2+2x+c经过点A（0，3），B（-1，0），
∴将A与B坐标代入得：
{
3=c
0=a-2+c
， 解得：
{
a=-1
c=3
，
则抛物线解析式为y=-x2+2x+3；
（2）点D为抛物线顶点，由顶点坐标（- ， ） 得，D（1，4），
∵对称轴与x轴交于点E，
∴DE=4，OE=1，
∵B（-1，0），
∴BO=1，
∴BE=2，
在Rt△BED中，根据勾股定理得：BD= √BE2+DE2
= √22+42
=2 √5 ．
6.解答：
解：（1）根据图示，由抛物线的对称性可知，抛物线的对称轴与x轴的交点坐标（1，0）；
（2）抛物线的对称轴是直线x=1．
根据图示知，当x＜1时，y随x的增大而减小，
所以，当x1＜x2＜1时，y1＞y2；
（3）∵对称轴是直线x=1，点B（-1，2）在该抛物线上，点C与点B关于抛物线的对称轴对称，
∴点C的坐标是（3，2）．
设直线AC的关系式为y=kx+b（k≠0）．则解得
∴直线AC的函数关系式是：y=2x-4．
7.解答：
解：（1）∵抛物线y=-x2+bx+c经过点A（3，0），B（-1，0）．
∴抛物线的解析式为；y=-（x-3）（x+1），
即y=-x2+2x+3，
（2）∵抛物线的解析式为y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，
∴抛物线的顶点坐标为：（1，4）．
8.解答：
(1+3)×3
2
解：（1）将A（-1，0）代入y=a（x-1）2+4中，得：0=4a+4，
解得：a=-1，
则抛物线解析式为y=-（x-1）2+4；
（2）对于抛物线解析式，令x=0，得到y=3，即OC=3，
∵抛物线解析式为y=-（x-1）2+4的对称轴为直线x=1，
∴CD=1，
∵A（-1，0），
∴B（3，0），即OB=3，
则S梯形COBD= =6．
{
c=0
-4+2b=0
9.解答：
b
2a
解：(1)把(0，0)，(2，0)代入y=-x2+bx+c，得 ，解得b=2，c=0，
所以解析式为y=-x2+2x；
(2)∵a=-1，b=2，c=0， ∴- =1，
1
2
=1，
∴顶点为(1，1)，
对称轴为直线x=1；
(3)设点B的坐标为(a，b)，则 ×2|b|=8，
∴b=8或b=-8，
∵顶点纵坐标为1，8＞1(或-x2+2x=8中，x无解)，
∴b=-8，
∴-x2+2x=-8，
解得x1=4，x2=-2，
所以点B的坐标为(-2，-8)或(4，-8 )．
10.
解：（1）由已知条件得 ， 解得
所以，此二次函数的解析式为y=-x2-4x；
（2）∵点A的坐标为（-4，0），
∴AO=4，
设点P到x轴的距离为h，
则S△AOP=×4h=8，
解得h=4，
①当点P在x轴上方时，-x2-4x=4，
解得x=-2，
所以，点P的坐标为（-2，4），
②当点P在x轴下方时，-x2-4x=-4，
解得x1=-2+2√2，x2=-2-2√2，
所以，点P的坐标为（-2+2√2，-4）或（-2-2√2，-4），
综上所述，点P的坐标是：（-2，4）、（-2+2√2，-4）、（-2-2√2，-4）．
11.
解：(1)把A(2，0)、B(0，-6)代入y=-x2+bx+c，
得：解得
∴这个二次函数的解析式为y=- x2+4x-6．
(2)∵该抛物线对称轴为直线x=-=4，
∴点C的坐标为(4，0)，
∴AC=OC-OA=4-2=2，
∴S△ABC=×AC×OB=×2×6=6．
12.解：（1）设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c；
∵二次函数的图象经过点（0，3），（-3，0），（2，-5），则有：，解得；
∴y=-x2-2x+3
（2）∵-（-2）2-2×（-2）+3=-4+4+3=3
∴点P（-2，3）在这个二次函数的图象上
∵-x2-2x+3=0，
∴x1=-3，x2=1；
∴与x轴的交点为：（-3，0），（1，0）
∴S△PAB= ×4×3=6．