北师大版高考数学一轮复习第十三章 §13.2　第2课时　不等式的证明

这是一份北师大版高考数学一轮复习第十三章 §13.2　第2课时　不等式的证明，共10页。试卷主要包含了比较法，综合法，分析法，反证法，放缩法等内容，欢迎下载使用。

1．比较法
(1)作差比较法
已知a>b⇔a－b>0，a0即可，这种方法称为作差比较法．
(2)作商比较法
由a>b>0⇔eq \f(a,b)>1且a>0，b>0，因此当a>0，b>0时，要证明a>b，只要证明eq \f(a,b)>1即可，这种方法称为作商比较法．
2．综合法
从已知条件出发，利用不等式的性质(或已知证明的不等式)，推出了所要证明的结论，即“由因寻果”的方法，这种证明不等式的方法称为综合法．
3．分析法
从所要证明的结论入手向已知条件反推直至达到已知条件为止，这种证法称为分析法．
4．反证法
先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立．
5．放缩法
证明不等式时，有时可以通过缩小(或放大)分式的分母(或分子)，或通过放大(或缩小)被减式(或减式)来证明不等式，这种证明不等式的方法称为放缩法．
微思考
1．综合法与分析法有何内在联系？
提示 综合法往往是分析法的相反过程，其表述简单、条理清楚，当问题比较复杂时，通常把分析法和综合法结合起来使用，以分析法寻找证明的思路，而用综合法叙述、表达整个证明过程．
2．分析法的过程中为什么要使用“要证”，“只需证”这样的连接“关键词”？
提示 因为“要证”“只需证”这些词说明了分析法需要寻求的是充分条件，符合分析法的思维是逆向思维的特点，因此在证明时，这些词是必不可少的．
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)当a≥0，b≥0时，eq \f(a＋b,2)≥eq \r(ab).( √ )
(2)用反证法证明命题“a，b，c全为0”的假设为“a，b，c全不为0”．( × )
(3)若实数x，y适合不等式xy>1，x＋y>－2，则x>0，y>0.( √ )
(4)若m＝a＋2b，n＝a＋b2＋1，则n≥m.( √ )
题组二 教材改编
2．已知a，b∈R＋，a＋b＝2，则eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)的最小值为( )
A．1 B．2
C．4 D．8
答案 B
解析 因为a，b∈R＋，且a＋b＝2，
所以eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝eq \f(1,2)·(a＋b)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)＋\f(1,b)))
＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2＋\f(b,a)＋\f(a,b)))≥eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2＋2\r(\f(b,a)·\f(a,b))))＝2，
即eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)的最小值为2(当且仅当a＝b＝1时，“＝”成立)．
3．若a，b，m∈R＋，且a>b，则下列不等式一定成立的是( )
A.eq \f(b＋m,a＋m)≥eq \f(b,a) B.eq \f(b＋m,a＋m)>eq \f(b,a)
C.eq \f(b＋m,a＋m)≤eq \f(b,a) D.eq \f(b＋m,a＋m)b.
所以eq \f(b＋m,a＋m)－eq \f(b,a)＝eq \f(ma－b,aa＋m)>0，即eq \f(b＋m,a＋m)>eq \f(b,a).
题组三 易错自纠
4．已知a＋b＋c>0，ab＋bc＋ac>0，abc>0，用反证法求证a>0，b>0，c>0时的假设为( )
A．a1，x＝a＋eq \f(1,a)，y＝b＋eq \f(1,b)，则x与y的大小关系是( )
A．x>y B．xb>1，得ab>1，a－b>0，
所以eq \f(a－bab－1,ab)>0，
即x－y>0，所以x>y.
6．若a＝eq \r(3)－eq \r(2)，b＝eq \r(6)－eq \r(5)，c＝eq \r(7)－eq \r(6)，则a，b，c的大小关系为( )
A．a>b>c B．a>c>b C．b>c>a D．c>a>b
答案 A
解析 “分子”有理化得a＝eq \f(1,\r(3)＋\r(2))，b＝eq \f(1,\r(6)＋\r(5))，
c＝eq \f(1,\r(7)＋\r(6))，∴a>b>c.
题型一 用综合法与分析法证明不等式
例1 (1)已知a>0，用分析法证明：eq \r(a2＋\f(1,a2))－eq \r(2)≥a＋eq \f(1,a)－2；
(2)已知00，a＋eq \f(1,a)≥2显然成立
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(当a＝\f(1,a)＝1时等号成立))，
所以要证的不等式成立．
(2)解 当0＜a＜1时，a4＋1>2eq \r(a4)＝2a2，
由对数函数的单调性，可得lga(a4＋1)＜lga(2a2)，
∴lga(a4＋1)＜lga2＋lgaa2，
∴lga(a4＋1)＜lga2＋2.
思维升华 用综合法证明不等式是“由因导果”，用分析法证明不等式是“执果索因”，它们是两种思路截然相反的证明方法．综合法往往是分析法的逆过程，表述简单、条理清楚，所以在实际应用时，往往用分析法找思路，用综合法写步骤，由此可见，分析法与综合法相互转化，互相渗透，互为前提，充分利用这一辩证关系，可以增加解题思路，开阔视野．
跟踪训练1 已知函数f(x)＝|x－1|.
(1)解不等式f(x)＋f(x＋4)≥8；
(2)若|a||a|·f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)))，
只需证|ab－1|>|b－a|，
只需证(ab－1)2>(b－a)2.
因为|a|