北师大版高考数学一轮复习第十二章 §12.3　离散型随机变量的分布列、均值与方差

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1．离散型随机变量的分布列
(1)将随机现象中试验(或观测)的每一个可能的结果都对应于一个数，这种对应称为一个随机变量．
(2)离散型随机变量：随机变量的取值能够一一列举出来，这样的随机变量称为离散型随机变量．
(3)设离散型随机变量X的取值为a1，a2，…随机变量X取ai的概率为pi(i＝1,2，…)，记作：P(X＝ai)＝pi(i＝1,2，…)，
或把上式列表：
称为离散型随机变量X的分布列．
(4)性质：
①pi>0，i＝1,2，…；
②p1＋p2＋…＝1.
2．离散型随机变量的均值与方差
若离散型随机变量X的分布列为P(X＝ai)＝pi(i＝1,2，…r)．
(1)均值
EX＝a1p1＋a2p2＋…＋arpr，均值EX刻画的是X取值的“中心位置”．
(2)方差
DX＝E(X－EX)2为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值EX的平均偏离程度．
3．均值与方差的性质
(1)E(aX＋b)＝aEX＋b.
(2)D(aX＋b)＝a2DX.(a，b为常数)
4．超几何分布
一般地，设有N件产品，其中有M(M≤N)件次品．从中任取n (n≤N)件产品，用X表示取出的n件产品中次品的件数，那么
P(X＝k)＝eq \f(C\\al(k,M)C\\al(n－k,N－M),C\\al(n,N)) (其中k为非负整数)．
如果一个随机变量的分布列由上式确定，则称X服从参数为N，M，n的超几何分布．
微思考
1．某电子元件的使用寿命x1，掷一枚骰子，正面向上的点数x2，思考x1，x2可作为离散型随机变量吗？
提示 x1不可作为离散型随机变量，x2可作为离散型随机变量．
2．期望和算术平均数有何区别？
提示 期望刻画了随机变量取值的平均水平；而算术平均数是针对若干个已知常数来说的．
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)离散型随机变量的概率分布列描述了由这个随机变量所刻画的随机现象．( √ )
(2)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离均值的平均程度越小．( √ )
(3)从4名男演员和3名女演员中选出4人，其中女演员的人数X服从超几何分布．( √ )
(4)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此对立的．( × )
题组二 教材改编
2．设随机变量X的分布列如下：
则p为( )
A.eq \f(1,6) B.eq \f(1,3) C.eq \f(1,4) D.eq \f(1,12)
答案 C
解析 由分布列的性质知，eq \f(1,12)＋eq \f(1,6)＋eq \f(1,3)＋eq \f(1,6)＋p＝1，
∴p＝1－eq \f(3,4)＝eq \f(1,4).
3．已知X的分布列为
设Y＝2X＋3，则EY的值为( )
A.eq \f(7,3) B．4 C．－1 D．1
答案 A
解析 EX＝－eq \f(1,2)＋eq \f(1,6)＝－eq \f(1,3)，
EY＝E(2X＋3)＝2EX＋3＝－eq \f(2,3)＋3＝eq \f(7,3).
4．若随机变量X满足P(X＝c)＝1，其中c为常数，则DX的值为________．
答案 0
解析 ∵P(X＝c)＝1，∴E(X)＝c×1＝c，
∴DX＝(c－c)2×1＝0.
题组三 易错自纠
5．袋中有3个白球、5个黑球，从中任取2个，可以作为随机变量的是( )
A．至少取到1个白球 B．至多取到1个白球
C．取到白球的个数 D．取到的球的个数
答案 C
解析 选项A，B表述的都是随机事件；选项D是确定的值2，并不随机；选项C是随机变量，可能取值为0,1,2.
6．若随机变量X的分布列为
则当P(X