北师大版高考数学一轮复习第十二章 §12.1　随机事件的概率与古典概型

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考试要求 1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义及频率与概率的区别.2.了解两个互斥事件的概率加法公式.3.理解古典概型及其概率计算公式.4.会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率．
1．随机事件和确定事件
(1)在条件S下，一定会发生的事件，叫作相对于条件S的必然事件．
(2)在条件S下，一定不会发生的事件，叫作相对于条件S的不可能事件．
(3)必然事件与不可能事件统称为相对于条件S的确定事件．
(4)在条件S下可能发生也可能不发生的事件，叫作相对于条件S的随机事件．
(5)确定事件和随机事件统称为事件，一般用大写字母A，B，C…表示．
2．频率与概率
在相同的条件下，大量重复进行同一试验时，随机事件A发生的频率会在某个常数附近摆动，即随机事件A发生的频率具有稳定性．这时，我们把这个常数叫作随机事件A的概率，记作P(A)．
3．事件的关系与运算
互斥事件：在一个随机试验中，我们把一次试验下不能同时发生的两个事件A与B称作互斥事件．
事件A＋B：事件A＋B发生是指事件A和事件B至少有一个发生．
对立事件：不会同时发生，并且一定有一个发生的事件是相互对立事件．
4．概率的几个基本性质
(1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1.
(2)必然事件的概率P(E)＝1.
(3)不可能事件的概率P(F)＝0.
(4)互斥事件概率的加法公式
①如果事件A与事件B互斥，则P(A＋B)＝P(A)＋P(B)．
②若事件A与事件eq \x\t(A)互为对立事件，则P(A)＝1－P(eq \x\t(A))．
5．基本事件的特点
(1)任何两个基本事件是互斥的；
(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和．
6．古典概型
具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．
(1)试验的所有可能结果只有有限个，每次试验只出现其中一个结果；
(2)每一个试验结果出现的可能性相同．
7．如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是eq \f(1,n)；如果某个事件A包括的结果有m个，那么事件A的概率P(A)＝eq \f(m,n).
8．古典概型的概率公式
P(A)＝eq \f(A包含的基本事件的个数,基本事件的总数).
微思考
1．随机事件A发生的频率与概率有何区别与联系？
提示 随机事件A发生的频率是随机的，而概率是客观存在的确定的常数，但在大量随机试验中，事件A发生的频率稳定在事件A发生的概率附近．
2．随机事件A，B互斥与对立有何区别与联系？
提示 当随机事件A，B互斥时，不一定对立；当随机事件A，B对立时，一定互斥．也即两事件互斥是两事件对立的必要不充分条件．
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)在大量重复试验中，概率是频率的稳定值．( √ )
(2)两个事件的和事件是指两个事件都得发生．( × )
(3)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个结果是等可能事件．( × )
(4)试验“口袋中有2个红球，2个白球，每次从中任取一球，观察颜色后放回，直到取出红球”是古典概型．( × )
题组二 教材改编
2．下列事件中，不是随机事件的是( )
A．长度为3,4,5的三条线段可以构成一个直角三角形
B．经过有信号灯的路口，遇上红灯
C．下周六是晴天
D．一枚硬币抛掷两次，两次都正面向上
答案 A
3．某射手在一次射击中，射中10环，9环，8环的概率分别是0.2,0.3,0.1，则该射手在一次射击中不够8环的概率为( )
A．0.9 B．0.3 C．0.6 D．0.4
答案 D
解析 设“该射手在一次射击中不够8环”为事件A，则事件A的对立事件eq \x\t(A)是“该射手在一次射击中不小于8环”．
∵事件eq \x\t(A)包括射中10环，9环，8环，这三个事件是互斥的，
∴P(eq \x\t(A))＝0.2＋0.3＋0.1＝0.6，
∴P(A)＝1－P(eq \x\t(A))＝1－0.6＝0.4，即该射手在一次射击中不够8环的概率为0.4.
4．甲、乙两人做出拳(锤子、剪刀、布)游戏，则甲赢的概率为________．
答案 eq \f(1,3)
解析 设平局(用△表示)为事件A，甲赢(用⊙表示)为事件B，乙赢(用※表示)为事件C.容易得到如图．
甲赢含3个基本事件(图中的⊙)，P(B)＝eq \f(3,9)＝eq \f(1,3).
题组三 易错自纠
5．安排甲、乙、丙、丁四人参加周一至周六的公益活动，每天只需一人参加，其中甲参加三天活动，乙、丙、丁每人参加一天，那么甲连续三天参加活动的概率为( )
A.eq \f(1,15) B.eq \f(1,5) C.eq \f(1,4) D.eq \f(1,2)
答案 B
解析 由题意可得，甲连续三天参加活动的所有情况为：第1～3天，第2～4天，第3～5天，第4～6天，共四种情况，∴所求概率P＝eq \f(4·A\\al(3,3),C\\al(3,6)·A\\al(3,3))＝eq \f(1,5).故选B.
6．抛掷一枚骰子，记A为事件“出现点数是奇数”，B为事件“出现点数是3的倍数”，则P(A＋B)＝________，P(A∩B)＝________.
答案 eq \f(2,3) eq \f(1,6)
解析 由题意知，事件A表示“出现的是1点，3点或5点”；事件B表示“出现的是3点或6点”．
所以事件A＋B表示“出现的是1点，3点，5点或6点”，包含4个基本事件；事件A∩B表示“出现的是3点”，包含1个基本事件．
又抛掷一枚骰子的结果有6种，
所以P(A＋B)＝eq \f(4,6)＝eq \f(2,3)，P(A∩B)＝eq \f(1,6).
题型一 随机事件
命题点1 随机事件的关系
例1 (1)从一堆产品(其中正品与次品都多于2件)中任取2件，下列事件是互斥事件但不是对立事件的是( )
A．恰好有1件次品和恰好有2件次品
B．至少有1件次品和全是次品
C．至少有1件正品和至少有1件次品
D．至少有1件次品和全是正品
答案 A
解析 依据互斥和对立事件的定义知，B，C都不是互斥事件；D不但是互斥事件而且是对立事件；只有A是互斥事件但不是对立事件．
(2)一个人连续射击三次，则事件“至少击中两次”的对立事件是( )
A．恰有一次击中 B．三次都没击中
C．三次都击中 D．至多击中一次
答案 D
解析 根据题意，一个人连续射击三次，事件“至少击中两次”包括“击中两次”和“击中三次”两个事件，其对立事件为“一次都没有击中和击中一次”，即“至多击中一次”．
命题点2 随机事件的频率与概率
例2 某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20,25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率．
(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；
(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率．
解 (1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，当且仅当最高气温低于25，由表中数据可知，最高气温低于25的频率为eq \f(2＋16＋36,90)＝0.6.
所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6.
(2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时，
若最高气温低于20，则Y＝200×6＋(450－200)×2－450×4＝－100；
若最高气温位于区间[20,25)，则Y＝300×6＋(450－300)×2－450×4＝300；
若最高气温不低于25，则Y＝450×(6－4)＝900，
所以，利润Y的所有可能值为－100,300,900.
Y大于零当且仅当最高气温不低于20，由表格数据知，最高气温不低于20的频率为eq \f(36＋25＋7＋4,90)＝0.8.
因此Y大于零的概率的估计值为0.8.
命题点3 互斥事件与对立事件的概率
例3 某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得，1 000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．记1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A，B，C，求：
(1)1张奖券的中奖概率；
(2)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．
解 (1)设“1张奖券中奖”为事件M，则M＝A+B+C，
依题意，P(A)＝eq \f(1,1 000)，P(B)＝eq \f(10,1 000)，P(C)＝eq \f(50,1 000)，
因为A，B，C两两互斥，
所以P(M)＝P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝eq \f(1＋10＋50,1 000)＝eq \f(61,1 000).
故1张奖券的中奖概率为eq \f(61,1 000).
(2)设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N，则事件N与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件，
所以P(N)＝1－P(A＋B)＝1－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,1 000)＋\f(10,1 000)))＝eq \f(989,1 000).
故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为eq \f(989,1 000).
思维升华 (1)判断互斥事件、对立事件一般用定义，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；若两个事件中有且仅有一个发生，则这两个事件互为对立事件．对立事件一定是互斥事件．
(2)概率与频率的关系：频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率随着试验次数的增加越来越接近概率，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率作为随机事件概率的估计值．
(3)求复杂互斥事件的概率的两种方法：①将所求事件转化成几个彼此互斥事件的和事件，利用互斥事件概率的加法公式求解概率．②若将一个较复杂的事件转化为几个彼此互斥事件的和事件时分类太多，而其对立面的分类较少，可考虑先求其对立事件的概率，即运用“正难则反”的思想．常用此方法求“至少”“至多”型事件的概率．
跟踪训练1 (1)袋中装有3个白球和4个黑球，从中任取3个球，给出下列四组事件：①“恰有1个白球”和“全是白球”；②“至少有1个白球”和“全是黑球”；③“至少有1个白球”和“至少有2个白球”；④“至少有1个白球”和“至少有1个黑球”．在上述每组事件中，互为对立事件的是( )
A．① B．② C．②③ D．①④
答案 B
解析 ①互斥但不对立；②互为对立事件，③不是互斥事件，④不是互斥事件．
(2)某学校共有教职工120人，对他们进行年龄结构和受教育程度的调查，其结果如下表：
现从该校教职工中任取1人，则下列结论正确的是( )
A．该教职工具有本科学历的概率低于60%
B．该教职工具有研究生学历的概率超过50%
C．该教职工的年龄在50岁以上的概率超过10%
D．该教职工的年龄在35岁及以上且具有研究生学历的概率超过10%
答案 D
解析 A中，该教职工具有本科学历的概率P＝eq \f(75,120)＝eq \f(5,8)＝62.5%>60%，故错误；B中，该教职工具有研究生学历的概率P＝eq \f(45,120)＝eq \f(3,8)＝37.5%300为严重污染．一环保人士记录了某地2020年某月10天的AQI的茎叶图如图所示．
(1)利用该样本估计该地本月空气质量优良(AQI≤100)的天数；(按这个月总共有30天计算)
(2)若从样本中的空气质量不佳(AQI>100)的这些天中，随机地抽取两天深入分析各种污染指标，求这两天的空气质量等级恰好不同的概率．
解 (1)从茎叶图中发现该样本中空气质量优的天数为1，空气质量良的天数为3，故该样本中空气质量优良的频率为eq \f(4,10)＝eq \f(2,5)，估计该月空气质量优良的概率为eq \f(2,5)，从而估计该月空气质量优良的天数为30×eq \f(2,5)＝12.
(2)该样本中为轻度污染的共4天，分别记为a1，a2，a3，a4；
为中度污染的共1天，记为b；为重度污染的共1天，记为c.
从中随机抽取两天的所有可能结果有(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，a4)，(a1，b)，(a1，c)，(a2，a3)，(a2，a4)，(a2，b)，(a2，c)，(a3，a4)，(a3，b)，(a3，c)，(a4，b)，(a4，c)，(b，c)，共15个．
其中空气质量等级恰好不同的结果有(a1，b)，(a1，c)，(a2，b)，(a2，c)，(a3，b)，(a3，c)，(a4，b)，(a4，c)，(b，c)，共9个．
所以这两天的空气质量等级恰好不同的概率为eq \f(9,15)＝eq \f(3,5).
课时精练
1．从6个篮球，2个排球中任选3个球，则下列事件中是必然事件的是( )
A．3个都是篮球 B．至少有1个排球
C．3个都是排球 D．至少有1个篮球
答案 D
解析 根据题意分析可得A，B是随机事件，C是不可能事件，D是必然事件．
2．(2020·全国Ⅰ)设O为正方形ABCD的中心，在O，A，B，C，D中任取3点，则取到的3点共线的概率为( )
A.eq \f(1,5) B.eq \f(2,5) C.eq \f(1,2) D.eq \f(4,5)
答案 A
解析 从O，A，B，C，D这5个点中任取3点，取法有(O，A，B)，(O，A，C)，(O，A，D)，(O，B，C)，(O，B，D)，(O，C，D)，(A，B，C)，(A，B，D)，(A，C，D)，(B，C，D)，共10种，其中取到的3点共线的有(O，A，C)，(O，B，D)，共2种，
所以所求概率为eq \f(2,10)＝eq \f(1,5).
3．(2020·重庆模拟)第六届世界互联网大会发布了15项世界互联网领先科技成果，其中有5项成果均属于芯片领域，分别为华为的鲲鹏920、特斯拉全自动驾驶芯片、寒武纪云端AI芯片、思元270、赛灵思的Versa自适应计算加速平台．现有3名学生从这15项世界互联网领先科技成果中分别任选1项进行了解，且学生之间的选择互不影响，则至少有1名学生选择芯片领域的概率为( )
A.eq \f(89,91) B.eq \f(2,91) C.eq \f(98,125) D.eq \f(19,27)
答案 D
解析 现有3名学生从这15项世界互联网领先科技成果中分别任选1项进行了解，且学生之间的选择互不影响，则基本事件总数n＝15×15×15＝3 375，至少有1名学生选择芯片领域的对立事件是没有学生选择芯片领域，
则至少有1名学生选择芯片领域的概率P＝1－eq \f(103,3 375)＝eq \f(19,27).
4．(2020·西安模拟)现有甲、乙、丙、丁4名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动，则乙、丙两人恰好参加同一项活动的概率为( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(1,3) C.eq \f(1,6) D.eq \f(1,12)
答案 B
解析 基本事件总数n＝eq \f(C\\al(2,4)C\\al(2,2),A\\al(2,2))·Aeq \\al(2,2)＝6，乙、丙两人恰好参加同一项活动包含的基本事件个数m＝Ceq \\al(2,2)Ceq \\al(2,2)·Aeq \\al(2,2)＝2，∴乙、丙两人恰好参加同一项活动的概率P＝eq \f(m,n)＝eq \f(2,6)＝eq \f(1,3).
5．围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为eq \f(1,7)，都是白子的概率是eq \f(12,35)，则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是( )
A.eq \f(1,7) B.eq \f(12,35) C.eq \f(17,35) D．1
答案 C
解析 设“从中取出2粒都是黑子”为事件A，“从中取出2粒都是白子”为事件B，“任意取出2粒恰好是同一色”为事件C，则C＝A＋B，且事件A与B互斥．所以P(C)＝P(A)＋P(B)＝eq \f(1,7)＋eq \f(12,35)＝eq \f(17,35).即任意取出2粒恰好是同一色的概率为eq \f(17,35).
6．将A，B，C，D这4名同学从左至右随机地排成一排，则“A与B相邻且A与C之间恰好有1名同学”的概率是( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(1,4) C.eq \f(1,6) D.eq \f(1,8)
答案 B
解析 A，B，C，D 4名同学排成一排有Aeq \\al(4,4)＝24(种)排法．当A，C之间是B时，有2×2＝4(种)排法，当A，C之间是D时，有2种排法，所以所求概率为eq \f(4＋2,24)＝eq \f(1,4).
7．(2019·江苏)从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是________．
答案 eq \f(7,10)
解析 记3名男同学为A，B，C,2名女同学为a，b，则从中任选2名同学的情况有(A，B)，(A，C)，(A，a)，(A，b)，(B，C)，(B，a)，(B，b)，(C，a)，(C，b)，(a，b)，共10种，其中至少有1名女同学的情况有(A，a)，(A，b)，(B，a)，(B，b)，(C，a)，(C，b)，(a，b)，共7种，故所求概率为eq \f(7,10).
8．据统计，某食品企业在一个月内被消费者投诉次数为0,1,2的概率分别为0.4,0.5,0.1.则该企业在一个月内被消费者投诉不超过1次的概率为________．
答案 0.9
解析 方法一 记“该食品企业在一个月内被消费者投诉的次数为0”为事件A，“该食品企业在一个月内被消费者投诉的次数为1”为事件B，“该食品企业在一个月内被消费者投诉的次数为2”为事件C，“该食品企业在一个月内被消费者投诉的次数不超过1”为事件D，而事件D包含事件A与B，所以P(D)＝P(A)＋P(B)＝0.4＋0.5＝0.9.
方法二 记“该食品企业在一个月内被消费者投拆的次数为2”为事件C，“该食品企业在一个月内被消费者投诉不超过1次”为事件D，由题意知C与D是对立事件，所以P(D)＝1－P(C)＝1－0.1＝0.9.
9．下列说法正确的序号是________．
①若事件A与B互斥，则A＋B是必然事件；
②《西游记》《三国演义》《水浒传》《红楼梦》是我国四大名著．若在这四大名著中，甲、乙、丙、丁分别任取一本进行阅读，设事件E＝“甲取到《红楼梦》”，事件F＝“乙取到《红楼梦》”，则E与F是互斥但不对立事件；
③掷一枚骰子，记录其向上的点数，记事件A＝“向上的点数不大于5”，事件B＝“向上的点数为质数”，则B⊆A；
④10个产品中有2个次品，从中抽取一个产品检查其质量，则含有2个基本事件．
答案 ②③④
解析 对于①，事件A与B互斥时，A＋B不一定是必然事件，故①不正确；对于②，事件E与F不会同时发生，所以E与F是互斥事件，但除了事件E与F之外还有“丙取到红楼梦”“丁取到红楼梦”，所以E与F不是对立事件，故E与F是互斥但不对立事件，②正确；对于③，事件A＝{1,2,3,4,5}，事件B＝{2,3,5}，所以B包含于A，③正确；对于④，基本事件为{正品，次品}，有2个，故④正确．
10．已知甲、乙、丙各有一张自己的身份证，现把三张身份证收起来后，再随机分给甲、乙、丙每人一张，则恰有一人取到自己身份证的概率为________．
答案 eq \f(1,2)
解析 甲、乙、丙各有一张自己的身份证，现把三张身份证收起来后，再随机分给甲、乙、丙每人一张，基本事件总数n＝Aeq \\al(3,3)＝6，
恰有一人取到自己身份证包含的基本事件个数m＝Ceq \\al(1,3)Ceq \\al(1,1)Ceq \\al(1,1)＝3，
所以恰有一人取到自己身份证的概率为P＝eq \f(m,n)＝eq \f(3,6)＝eq \f(1,2).
11．海关对同时从A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量(单位：件)如下表所示．工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测．
(1)求这6件样品中来自A，B，C各地区商品的数量；
(2)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率．
解 (1)A，B，C三个地区商品的总数量为50＋150＋100＝300，抽样比为eq \f(6,300)＝eq \f(1,50)，
所以样本中包含三个地区的个体数量分别是
50×eq \f(1,50)＝1,150×eq \f(1,50)＝3,100×eq \f(1,50)＝2.
所以A，B，C三个地区的商品被选取的件数分别是1,3,2.
(2)方法一 设6件来自A，B，C三个地区的样品分别为A；B1，B2，B3；C1，C2.
则从6件样品中抽取的这2件商品构成的所有基本事件为{A，B1}，{A，B2}，{A，B3}，{A，C1}，{A，C2}，{B1，B2}，{B1，B3}，{B1，C1}，{B1，C2}，{B2，B3}，{B2，C1}，{B2，C2}，{B3，C1}，{B3，C2}，{C1，C2}，共15个．
每个样品被抽到的机会相等，因此这些基本事件的出现是等可能的．
记事件D为“抽取的这2件商品来自相同地区”，则事件D包含的基本事件有{B1，B2}，{B1，B3}，{B2，B3}，{C1，C2}，共4个．
所以P(D)＝eq \f(4,15)，
即这2件商品来自相同地区的概率为eq \f(4,15).
方法二 这2件商品来自相同地区的概率为eq \f(C\\al(2,3)＋C\\al(2,2),C\\al(2,6))＝eq \f(3＋1,15)＝eq \f(4,15).
12．某学校的篮球队、羽毛球队、乒乓球队各有10名队员，某些队员不止参加一支球队，具体情况如图所示，现从中随机抽取一名队员，求：
(1)该队员只属于一支球队的概率；
(2)该队员最多属于两支球队的概率．
解 分别令“抽取一名队员只属于篮球队、羽毛球队、乒乓球队”为事件A，B，C.由图知3支球队共有球员20名．
则P(A)＝eq \f(5,20)，P(B)＝eq \f(3,20)，P(C)＝eq \f(4,20).
(1)令“抽取一名队员，该队员只属于一支球队”为事件D.
则D＝A＋B＋C，因为事件A，B，C两两互斥，
所以P(D)＝P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝eq \f(5,20)＋eq \f(3,20)＋eq \f(4,20)＝eq \f(3,5).
(2)令“抽取一名队员，该队员最多属于两支球队”为事件E，则eq \x\t(E)为“抽取一名队员，该队员属于3支球队”，所以P(E)＝1－P(eq \x\t(E))＝1－eq \f(2,20)＝eq \f(9,10).
13．已知A＝{1,2,3}，B＝{x∈R|x2－ax＋b＝0，a∈A，b∈A}，则A∩B＝B的概率是( )
A.eq \f(2,9) B.eq \f(1,3) C.eq \f(8,9) D．1
答案 C
解析 因为a∈A，b∈A，所以可用列表法得到基本事件的个数为9(如下表所示)．
因为A∩B＝B，所以B可能是∅，{1}，{2}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}．
当B＝∅时，a2－4b