北师大版高考数学一轮复习第十一章 §11.3　变量间的相关关系、统计案例

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1．相关性
(1)通常将变量所对应的点描出来，这些点就组成了变量之间的一个图，通常称这种图为变量之间的散点图．
(2)从散点图上可以看出，如果变量之间存在着某种关系，这些点会有一个集中的大致趋势，这种趋势通常可以用一条光滑的曲线来近似，这样近似的过程称为曲线拟合．
(3)若两个变量x和y的散点图中，所有点看上去都在一条直线附近波动，则称变量间是线性相关的，若所有点看上去都在某条曲线(不是一条直线)附近波动，则称此相关是非线性相关的．如果所有的点在散点图中没有显示任何关系，则称变量间是不相关的．
2．线性回归方程
(1)最小二乘法
如果有n个点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，可以用[y1－(a＋bx1)]2＋[y2－(a＋bx2)]2＋…＋[yn－(a＋bxn)]2来刻画这些点与直线y＝a＋bx的接近程度，使得上式达到最小值的直线y＝a＋bx就是所要求的直线，这种方法称为最小二乘法．
(2)线性回归方程
方程y＝bx＋a是两个具有线性相关关系的变量的一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)的线性回归方程，其中a，b是待定参数．
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(b＝\f(\(∑,\s\up10(n),\s\d10(i＝1)) xi－\x\t(x)yi－\x\t(y),\(∑,\s\up10(n),\s\d10(i＝1)) xi－\x\t(x)2)＝\f(\(∑,\s\up10(n),\s\d10(i＝1))xiyi－n\x\t(x) \x\t(y),\(∑,\s\up10(n),\s\d10(i＝1))x\\al(2,i)－n\x\t(x)2)，,a＝\x\t(y)－b\x\t(x).))
3．回归分析
(1)定义：对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法．
(2)样本点的中心
对于一组具有线性相关关系的数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)中，(eq \x\t(x)，eq \x\t(y))称为样本点的中心．
(3)相关系数
①r＝eq \f(\(∑,\s\up10(n),\s\d10(i＝1)) xi－\x\t(x)yi－\x\t(y),\r(\(∑,\s\up10(n),\s\d10(i＝1)) xi－\x\t(x)2) \r(\(∑,\s\up10(n),\s\d10(i＝1)) yi－\x\t(y)2))
＝eq \f(\(∑,\s\up10(n),\s\d10(i＝1))xiyi－n\x\t(x) \x\t(y),\r(\(∑,\s\up10(n),\s\d10(i＝1))x\\al(2,i)－n\x\t(x)2) \r(\(∑,\s\up10(n),\s\d10(i＝1))y\\al(2,i)－n\x\t(y)2))；
②当r>0时，表明两个变量正相关；
当r2.706时，有90%的把握判定变量A，B有关联；
当χ2>3.841时，有95%的把握判定变量A，B有关联；
当χ2>6.635时，有99%的把握判定变量A，B有关联．
微思考
1．变量的相关关系与变量的函数关系有什么区别？
提示 相同点：两者均是指两个变量的关系．
不同点：①函数关系是一种确定的关系，相关关系是一种非确定的关系．
②函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系．
2．线性回归方程是否都有实际意义？根据回归方程进行预报是否一定准确？
提示 (1)不一定都有实际意义．回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法，只有在散点图大致呈线性时，求出的线性回归方程才有实际意义，否则，求出的线性回归方程毫无意义．
(2)根据回归方程进行预报，仅是一个预报值，而不是真实发生的值．
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)散点图是判断两个变量相关关系的一种重要方法和手段．( √ )
(2)回归方程y＝bx＋a至少经过点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)中的一个点．( × )
(3)相关系数的绝对值越接近1，样本数据的线性相关程度越强．( √ )
(4)若事件X，Y关系越密切，则由观测数据计算得到的χ2的观测值越小．( × )
题组二 教材改编
2．下列四个散点图中，变量x与y之间具有负的线性相关关系的是( )
答案 D
解析 观察散点图可知，只有D选项的散点图表示的是变量x与y之间具有负的线性相关关系．
3．下面是2×2列联表：
则表中a，b的值分别为( )
A．94,72 B．52,50
C．52,74 D．74,52
答案 C
解析 ∵a＋21＝73，∴a＝52.
又a＋22＝b，∴b＝74.
4．已知x，y的对应取值如下表，从散点图可以看出y与x线性相关，且线性回归方程为y＝0.95x＋a，则a等于( )
B．2.6 C．2.2 D．0
答案 B
解析 回归直线过点(2,4.5)，
∴4.5＝0.95×2＋a，∴a＝2.6.
题组三 易错自纠
5．在统计中，由一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)利用最小二乘法得到两个变量的线性回归方程为y＝bx＋a，那么下列说法不正确的是( )
A．相关系数r不可能等于1
B．回归直线y＝bx＋a必经过点(eq \x\t(x)，eq \x\t(y))
C．回归直线y＝bx＋a表示最接近y与x之间真实关系的一条直线
D．相关系数为r，且|r|越接近1，样本数据的线性相关程度越强；|r|越接近0，样本数据的线性相关程度越弱
答案 A
解析 相关系数的取值范围是|r|≤1，故A错；回归直线y＝bx＋a必过样本点的中心，即点(eq \x\t(x)，eq \x\t(y))，故B正确；回归直线y＝bx＋a是利用最小二乘法求解出的直线方程，接近真实关系，故C正确；相关系数r的绝对值越接近1，表示样本数据的线性相关程度越强，越接近0，样本数据的线性相关程度越弱，故D正确．
6．随着国家二孩政策的全面放开，为了调查一线城市和非一线城市的二孩生育意愿，某机构用简单随机抽样的方法从不同地区调查了100位育龄妇女，结果如下表．
由χ2＝eq \f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，
得χ2＝eq \f(100×45×22－20×132,58×42×35×65)≈9.616.
参照下表：
正确的结论是( )
A．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“生育意愿与城市级别有关”
B．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“生育意愿与城市级别无关”
C．有99%以上的把握认为“生育意愿与城市级别有关”
D．有99%以上的把握认为“生育意愿与城市级别无关”
答案 C
题型一 相关关系的判断
1．(2020·昆明诊断)某商家今年上半年各月的人均销售额(单位：千元)与利润率统计表如下：
根据表中数据，下列说法正确的是( )
A．利润率与人均销售额成正相关关系
B．利润率与人均销售额成负相关关系
C．利润率与人均销售额成正比例函数关系
D．利润率与人均销售额成反比例函数关系
答案 A
解析 由统计表可得利润率与人均销售额不是正比例关系，也不是反比例关系，排除C和D；其属于正相关关系，A正确，B错误．
2．对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，关于其相关系数的比较，正确的是( )
A．r2