北师大版高考数学一轮复习第四章 §4.3　第1课时　两角和与差的正弦、余弦和正切公式

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第1课时 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
两角和与差的余弦、正弦、正切公式
(1)公式C(α－β)：cs(α－β)＝cs αcs β＋sin αsin β；
(2)公式C(α＋β)：cs(α＋β)＝cs αcs β－sin αsin β；
(3)公式S(α－β)：sin(α－β)＝sin αcs β－cs αsin β；
(4)公式S(α＋β)：sin(α＋β)＝sin αcs β＋cs αsin β；
(5)公式T(α－β)：tan(α－β)＝eq \f(tan α－tan β,1＋tan αtan β)；
(6)公式T(α＋β)：tan(α＋β)＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β).
微思考
1．诱导公式与两角和与差的三角函数公式有何关系？
提示 诱导公式可以看成和与差公式中β＝k·eq \f(π,2)(k∈Z)时的特殊情形．
2．两角和与差的公式的常用变形有哪些？
提示 (1)sin αsin β＋cs(α＋β)＝cs αcs β.
(2)cs αsin β＋sin(α－β)＝sin αcs β.
(3)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)．
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．( √ )
(2)在锐角△ABC中，sin Asin B和cs Acs B大小不确定．( × )
(3)公式tan(α＋β)＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β)可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立．( × )
(4)eq \r(3)sin α＋cs α＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,3))).( × )
题组二 教材改编
2．若cs α＝－eq \f(4,5)，α是第三象限角，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))等于( )
A．－eq \f(\r(2),10) B.eq \f(\r(2),10) C．－eq \f(7\r(2),10) D.eq \f(7\r(2),10)
答案 C
解析 ∵α是第三象限角，∴sin α＝－eq \r(1－cs2α)＝－eq \f(3,5)，
∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝sin αcs eq \f(π,4)＋cs αsin eq \f(π,4)＝－eq \f(3,5)×eq \f(\r(2),2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,5)))×eq \f(\r(2),2)＝－eq \f(7\r(2),10).
3．cs 17°cs 77°＋cs 73°cs 13°＝ .
答案 eq \f(1,2)
解析 cs 17°cs 77°＋cs 73°cs 13°＝cs 17°sin 13°＋sin 17°cs 13°＝sin(17°＋13°)＝sin 30°＝eq \f(1,2).
4．tan 10°＋tan 50°＋eq \r(3)tan 10°tan 50°＝ .
答案 eq \r(3)
解析 ∵tan 60°＝tan(10°＋50°)＝eq \f(tan 10°＋tan 50°,1－tan 10°tan 50°)，
∴tan 10°＋tan 50°＝tan 60°(1－tan 10°tan 50°)
＝eq \r(3)－eq \r(3)tan 10°tan 50°，
∴原式＝eq \r(3)－eq \r(3)tan 10°tan 50°＋eq \r(3)tan 10°tan 50°＝eq \r(3).
题组三 易错自纠
5．计算：eq \f(1＋tan 15°,1－tan 15°)＝ .
答案 eq \r(3)
解析 eq \f(1＋tan 15°,1－tan 15°)＝eq \f(tan 45°＋tan 15°,1－tan 45°tan 15°)＝tan (45°＋15°)＝tan 60°＝eq \r(3).
6．(2020·潍坊模拟)已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))＝eq \f(3,5)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，则cs α等于( )
A.eq \f(\r(2),10) B.eq \f(3\r(2),10) C.eq \f(\r(2),2) D.eq \f(7\r(2),10)
答案 A
解析 ∵α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，α－eq \f(π,4)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，\f(π,4)))，
∴cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))＝eq \r(1－sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4))))＝eq \f(4,5)，
cs α＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))＋\f(π,4)))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))cs eq \f(π,4)－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))sin eq \f(π,4)＝eq \f(4,5)×eq \f(\r(2),2)－eq \f(3,5)×eq \f(\r(2),2)＝eq \f(\r(2),10).
题型一 两角和与差的三角函数公式
例1 (1)(2020·全国Ⅲ)已知sin θ＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,3)))＝1，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,6)))等于( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(3),3) C.eq \f(2,3) D.eq \f(\r(2),2)
答案 B
解析 因为sin θ＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,3)))
＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,6)－\f(π,6)))＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,6)＋\f(π,6)))
＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,6)))cs eq \f(π,6)－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,6)))sin eq \f(π,6)＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,6)))cs eq \f(π,6)＋cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,6)))sin eq \f(π,6)
＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,6)))cs eq \f(π,6)
＝eq \r(3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,6)))＝1.
所以sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,6)))＝eq \f(\r(3),3).
(2)已知sin α＝eq \f(3,5)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，tan(π－β)＝eq \f(1,2)，则tan(α－β)的值为( )
A．－eq \f(2,11) B.eq \f(2,11) C.eq \f(11,2) D．－eq \f(11,2)
答案 A
解析 ∵α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，∴cs α＝－eq \f(4,5)，tan α＝－eq \f(3,4)，
又tan(π－β)＝eq \f(1,2)，∴tan β＝－eq \f(1,2)，
∴tan(α－β)＝eq \f(tan α－tan β,1＋tan α·tan β)
＝eq \f(－\f(3,4)＋\f(1,2),1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,4))))＝－eq \f(2,11).
思维升华 两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广，可用α，β的三角函数表示α±β的三角函数，在使用两角和与差的三角函数公式时，特别要注意角与角之间的关系，达到统一角和角与角转换的目的．
跟踪训练1 (1)若sin(2α－β)＝eq \f(1,6)，sin(2α＋β)＝eq \f(1,2)，则sin 2αcs β等于( )
A.eq \f(2,3) B.eq \f(1,3) C.eq \f(1,6) D.eq \f(1,12)
答案 B
解析 由sin(2α－β)＝eq \f(1,6)，sin(2α＋β)＝eq \f(1,2)，
可得sin 2αcs β－cs 2αsin β＝eq \f(1,6)，①
sin 2αcs β＋cs 2αsin β＝eq \f(1,2)，②
由①＋②得2sin 2αcs β＝eq \f(2,3)，
所以sin 2αcs β＝eq \f(1,3).故选B.
(2)已知cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))＝eq \r(3)cs α，tan β＝eq \f(\r(3),3)，则tan(α＋β)＝ .
答案 －eq \f(\r(3),3)
解析 因为cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))＝eq \f(\r(3),2)cs α－eq \f(1,2)sin α＝eq \r(3)cs α，所以－sin α＝eq \r(3)cs α，故tan α＝－eq \r(3)，所以tan(α＋β)＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β)＝eq \f(－\r(3)＋\f(\r(3),3),1＋\r(3)×\f(\r(3),3))＝eq \f(－\f(2\r(3),3),2)＝－eq \f(\r(3),3).
题型二 两角和与差的三角函数公式
的逆用与变形
例2 (1)若α＋β＝－eq \f(3π,4)，则(1＋tan α)(1＋tan β)＝ .
答案 2
解析 taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3π,4)))＝tan(α＋β)＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β)＝1，所以1－tan αtan β＝tan α＋tan β，所以1＋tan α＋tan β＋tan αtan β＝2，即(1＋tan α)·(1＋tan β)＝2.
(2)(2018·全国Ⅱ)已知sin α＋cs β＝1，cs α＋sin β＝0，则sin(α＋β)＝ .
答案 －eq \f(1,2)
解析 ∵sin α＋cs β＝1，①
cs α＋sin β＝0，②
∴①2＋②2得1＋2(sin αcs β＋cs αsin β)＋1＝1，
∴sin αcs β＋cs αsin β＝－eq \f(1,2)，
∴sin(α＋β)＝－eq \f(1,2).
思维升华 运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及变形．公式的逆用和变形应用更能开拓思路，增强从正向思维向逆向思维转化的能力．
跟踪训练2 (1)已知α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，tan α＝sin 76°cs 46°－cs 76°sin 46°，则sin α等于( )
A.eq \f(\r(5),5) B．－eq \f(\r(5),5) C.eq \f(2\r(5),5) D．－eq \f(2\r(5),5)
答案 A
解析 由tan α＝sin 76°cs 46°－cs 76°sin 46°＝sin(76°－46°)＝sin 30°＝eq \f(1,2)，
∵α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，
∴α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(sin α,cs α)＝\f(1,2)，,sin2α＋cs2α＝1，))
解得sin α＝eq \f(\r(5),5).
(2)(1＋tan 20°)(1＋tan 21°)(1＋tan 24°)(1＋tan 25°)＝ .
答案 4
解析 (1＋tan 20°)(1＋tan 25°)＝1＋tan 20°＋tan 25°＋tan 20°tan 25°＝1＋tan(20°＋25°)(1－tan 20°tan 25°)＋tan 20°tan 25°＝2，同理可得(1＋tan 21°)(1＋tan 24°)＝2，所以原式＝4.
题型三 角的变换问题
例3 (1)已知sin α＝eq \f(2\r(5),5)，sin(β－α)＝－eq \f(\r(10),10)，α，β均为锐角，则β等于( )
A.eq \f(5π,12) B.eq \f(π,3) C.eq \f(π,4) D.eq \f(π,6)
答案 C
解析 因为sin α＝eq \f(2\r(5),5)，sin(β－α)＝－eq \f(\r(10),10)，且α，β均为锐角，所以cs α＝eq \f(\r(5),5)，cs(β－α)＝eq \f(3\r(10),10)，所以sin β＝sin[α＋(β－α)]＝sin α·cs(β－α)＋cs αsin(β－α)＝eq \f(2\r(5),5)×eq \f(3\r(10),10)＋eq \f(\r(5),5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(10),10)))＝eq \f(25\r(2),50)＝eq \f(\r(2),2)，所以β＝eq \f(π,4).故选C.
(2)(2020·黑龙江大庆实验中学考前训练)已知α，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)，π))，sin(α＋β)＝－eq \f(3,5)，sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))＝eq \f(24,25)，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝ .
答案 －eq \f(4,5)
解析 由题意知，α＋β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，2π))，sin(α＋β)＝－eq \f(3,5)<0，所以cs(α＋β)＝eq \f(4,5)，因为β－eq \f(π,4)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(3π,4)))，
所以cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))＝－eq \f(7,25)，
cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(α＋β－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))))
＝cs(α＋β)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))＋sin(α＋β)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))＝－eq \f(4,5).
思维升华 常见的角变换：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝eq \f(α＋β,2)＋eq \f(α－β,2)，eq \f(π,3)＋α＝eq \f(π,2)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))＝eq \f(π,2)等．
跟踪训练3 (1)已知α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)，0))，cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))－sin α＝eq \f(4\r(3),5)，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,12)))的值是( )
A．－eq \f(2\r(3),5) B．－eq \f(\r(2),10) C.eq \f(2\r(3),5) D．－eq \f(4,5)
答案 B
解析 由cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))－sin α＝eq \f(4\r(3),5)，
得cs αcs eq \f(π,6)－sin αsin eq \f(π,6)－sin α＝eq \f(4\r(3),5)，
即eq \f(\r(3),2)cs α－eq \f(3,2)sin α＝eq \f(4\r(3),5)，所以eq \f(1,2)cs α－eq \f(\r(3),2)sin α＝eq \f(4,5)，即cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,3)))＝eq \f(4,5).因为α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)，0))，
所以α＋eq \f(π,3)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,3)))，
所以sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,3)))＝eq \r(1－cs2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,3))))＝eq \f(3,5)，
所以sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,12)))＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,3)))－\f(π,4)))
＝eq \f(\r(2),2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,3)))－eq \f(\r(2),2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,3)))＝eq \f(\r(2),2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)－\f(4,5)))
＝－eq \f(\r(2),10).故选B.
(2)已知eq \f(π,2)<β<αA.eq \f(56,65) B．－eq \f(56,65) C.eq \f(16,65) D．－eq \f(16,65)
答案 B
解析 因为eq \f(π,2)<β<α课时精练
1．－sin 133°cs 197°－cs 47°cs 73°等于( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(3),3) C.eq \f(\r(2),2) D.eq \f(\r(3),2)
答案 A
解析 －sin 133°cs 197°－cs 47°cs 73°＝－sin 47°·(－cs 17°)－cs 47°sin 17°＝sin(47°－17°)＝sin 30°＝eq \f(1,2).
2．在△ABC中，cs Acs B>sin Asin B，则△ABC的形状是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等边三角形
答案 C
解析 依题意可知cs Acs B－sin Asin B＝cs(A＋B)>0，所以－cs C>0，所以cs C<0，所以C为钝角．故选C.
3．已知α，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，tan α，tan β是方程x2＋12x＋10＝0的两根，则tan(α＋β)等于( )
A.eq \f(4,3) B．－2或eq \f(1,2) C.eq \f(1,2) D．－2
答案 A
解析 因为α，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，tan α，tan β是方程x2＋12x＋10＝0的两根，所以tan α＋tan β＝－12，tan α·tan β＝10，所以tan(α＋β)＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β)＝eq \f(－12,1－10)＝eq \f(4,3).故选A.
4．已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))＝eq \f(3,5)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(5π,4)))，则sin α等于( )
A.eq \f(7\r(2),10) B．－eq \f(\r(2),10) C．±eq \f(\r(2),10) D．－eq \f(\r(2),10)或eq \f(7\r(2),10)
答案 B
解析 因为α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(5π,4)))，所以α－eq \f(π,4)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，π))，
又sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))＝eq \f(3,5)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(\r(2),2)))，
所以α－eq \f(π,4)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)，\f(5π,6)))，
所以cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))＝－eq \f(4,5)，
所以sin α＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))＋\f(π,4)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))cs eq \f(π,4)＋cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))sin eq \f(π,4)＝eq \f(3,5)×eq \f(\r(2),2)－eq \f(4,5)×eq \f(\r(2),2)＝－eq \f(\r(2),10).
5．(2020·全国Ⅲ)已知2tan θ－taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))＝7，则tan θ等于( )
A．－2 B．－1 C．1 D．2
答案 D
解析 2tan θ－taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))＝2tan θ－eq \f(1＋tan θ,1－tan θ)＝7，
解得tan θ＝2.
6．已知cs α＝eq \f(1,7)，cs(α＋β)＝－eq \f(11,14)，且α，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，则β等于( )
A.eq \f(π,6) B.eq \f(π,4) C.eq \f(π,3) D.eq \f(3π,4)
答案 C
解析 因为α，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))且cs α＝eq \f(1,7)，
cs(α＋β)＝－eq \f(11,14)，
所以α＋β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，
所以sin α＝eq \r(1－cs2α)＝eq \f(4\r(3),7)，
sin(α＋β)＝eq \r(1－cs2α＋β)＝eq \f(5\r(3),14).
又因为β＝(α＋β)－α，
所以cs β＝cs [(α＋β)－α]
＝cs(α＋β)cs α＋sin(α＋β)sin α
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(11,14)))×eq \f(1,7)＋eq \f(5\r(3),14)×eq \f(4\r(3),7)＝eq \f(1,2).
又因为β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，所以β＝eq \f(π,3).
7．(2020·浙江改编)已知tan θ＝2，则taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,4)))＝ .
答案 eq \f(1,3)
解析 ∵tan θ＝2，
∴taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,4)))＝eq \f(tan θ－tan \f(π,4),1＋tan θtan \f(π,4))＝eq \f(tan θ－1,1＋tan θ)＝eq \f(2－1,1＋2)＝eq \f(1,3).
8．化简：sin(α＋β)cs(γ－β)－cs(β＋α)sin(β－γ)＝ .
答案 sin(α＋γ)
解析 sin(α＋β)cs(γ－β)－cs(β＋α)sin(β－γ)
＝sin(α＋β)cs(β－γ)－cs(α＋β)sin(β－γ)
＝sin[(α＋β)－(β－γ)]＝sin(α＋γ)．
9．已知3cs α－eq \r(3)sin α＝2eq \r(3)cs(α＋φ)，其中－π<φ<π，则φ＝ .
答案 eq \f(π,6)
解析 ∵3cs α－eq \r(3)sin α＝2eq \r(3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)cs α－\f(1,2)sin α))，
＝2eq \r(3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs αcs \f(π,6)－sin αsin \f(π,6)))＝2eq \r(3)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))，
又∵3cs α－eq \r(3)sin α＝2eq \r(3)cs(α＋φ)且－π<φ<π，
∴φ＝eq \f(π,6).
10．已知sin α＝eq \f(\r(5),5)，sin(α－β)＝－eq \f(\r(10),10)，α，β均为锐角，则β＝ .
答案 eq \f(π,4)
解析 因为α，β均为锐角，所以－eq \f(π,2)<α－β又sin(α－β)＝－eq \f(\r(10),10)，所以cs(α－β)＝eq \f(3\r(10),10).
又sin α＝eq \f(\r(5),5)，所以cs α＝eq \f(2\r(5),5)，
所以sin β＝sin[α－(α－β)]
＝sin αcs(α－β)－cs αsin(α－β)
＝eq \f(\r(5),5)×eq \f(3\r(10),10)－eq \f(2\r(5),5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(10),10)))＝eq \f(\r(2),2).
所以β＝eq \f(π,4).
11．已知A，B均为钝角，且sin A＝eq \f(\r(5),5)，sin B＝eq \f(\r(10),10)，求A＋B的值．
解 因为A，B均为钝角，且sin A＝eq \f(\r(5),5)，sin B＝eq \f(\r(10),10)，
所以cs A＝－eq \r(1－sin2A)＝－eq \f(2\r(5),5)，
cs B＝－eq \r(1－sin2B)＝－eq \f(3\r(10),10)，
所以cs(A＋B)＝cs Acs B－sin Asin B＝－eq \f(2\r(5),5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3\r(10),10)))－eq \f(\r(5),5)×eq \f(\r(10),10)＝eq \f(\r(2),2).又因为eq \f(π,2)12．已知α，β均为锐角，且sin α＝eq \f(3,5)，tan(α－β)＝－eq \f(1,3).
(1)求sin(α－β)的值；
(2)求cs β的值．
解 (1)∵α，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，∴－eq \f(π,2)＜α－β＜eq \f(π,2).
又∵tan(α－β)＝－eq \f(1,3)＜0，
∴－eq \f(π,2)＜α－β＜0.
∴sin(α－β)＝－eq \f(\r(10),10).
(2)由(1)可得，cs(α－β)＝eq \f(3\r(10),10).
∵α为锐角，且sin α＝eq \f(3,5)，∴cs α＝eq \f(4,5).
∴cs β＝cs [α－(α－β)]
＝cs αcs(α－β)＋sin αsin(α－β)
＝eq \f(4,5)×eq \f(3\r(10),10)＋eq \f(3,5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(10),10)))＝eq \f(9\r(10),50).
13．若cs2α－cs2β＝a，则sin(α＋β)sin(α－β)等于( )
A．－eq \f(a,2) B.eq \f(a,2) C．－a D．a
答案 C
解析 sin(α＋β)sin(α－β)＝(sin αcs β＋cs αsin β)·(sin αcs β－cs αsin β)＝sin2αcs2β－cs2αsin2β＝(1－cs2α)cs2β－cs2α(1－cs2β)＝cs2β－cs2α＝－a.
14．若α，β为锐角，且sin α＝eq \f(\r(5),5)，sin β＝eq \f(\r(10),10)，则sin(α＋β)＝ ，α＋β＝ .
答案 eq \f(\r(2),2) eq \f(π,4)
解析 ∵α，β为锐角，sin α＝eq \f(\r(5),5)，sin β＝eq \f(\r(10),10)，
∴cs α＝eq \f(2\r(5),5)，cs β＝eq \f(3\r(10),10)，
∴cs(α＋β)＝cs αcs β－sin αsin β
＝eq \f(2\r(5),5)×eq \f(3\r(10),10)－eq \f(\r(5),5)×eq \f(\r(10),10)＝eq \f(\r(2),2).
又0<α＋β<π，
∴sin(α＋β)＝eq \f(\r(2),2)，α＋β＝eq \f(π,4).
15．(2020·山西省运城市康杰中学模拟)已知α－β＝eq \f(π,6)，tan α－tan β＝3，则cs(α＋β)的值为( )
A.eq \f(1,2)＋eq \f(\r(3),3) B.eq \f(1,2)－eq \f(\r(3),3) C.eq \f(1,3)＋eq \f(\r(3),2) D.eq \f(1,3)－eq \f(\r(3),2)
答案 D
解析 由tan α－tan β＝3，得eq \f(sin α,cs α)－eq \f(sin β,cs β)＝3，
即eq \f(sin αcs β－cs αsin β,cs αcs β)＝3.
∴sin(α－β)＝3cs αcs β.
又知α－β＝eq \f(π,6)，∴cs αcs β＝eq \f(1,6).
而cs(α－β)＝cs αcs β＋sin αsin β＝eq \f(\r(3),2)，
∴sin αsin β＝eq \f(\r(3),2)－eq \f(1,6).
∴cs(α＋β)＝cs αcs β－sin αsin β＝eq \f(1,6)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)－\f(1,6)))＝eq \f(1,3)－eq \f(\r(3),2).
16.如图，在平面直角坐标系xOy中，顶点在坐标原点，以x轴非负半轴为始边的锐角α与钝角β的终边与单位圆O分别交于A，B两点，x轴的非负半轴与单位圆O交于点M，已知S△OAM＝eq \f(\r(5),5)，点B的纵坐标是eq \f(\r(2),10).
(1)求cs(α－β)的值；
(2)求2α－β的值．
解 (1)由题意知，|OA|＝|OM|＝1，
因为S△OAM＝eq \f(1,2)|OA|·|OM|sin α＝eq \f(\r(5),5)，
所以sin α＝eq \f(2\r(5),5)，
又α为锐角，所以cs α＝eq \f(\r(5),5).
因为点B是钝角β的终边与单位圆O的交点，且点B的纵坐标是eq \f(\r(2),10)，所以sin β＝eq \f(\r(2),10)，cs β＝－eq \f(7\r(2),10)，
所以cs(α－β)＝cs αcs β＋sin αsin β
＝eq \f(\r(5),5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(7\r(2),10)))＋eq \f(2\r(5),5)×eq \f(\r(2),10)＝－eq \f(\r(10),10).
(2)因为sin α＝eq \f(2\r(5),5)，cs α＝eq \f(\r(5),5)，cs(α－β)＝－eq \f(\r(10),10)，sin(α－β)＝sin αcs β－cs αsin β＝eq \f(2\r(5),5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(7\r(2),10)))－eq \f(\r(5),5)×eq \f(\r(2),10)＝－eq \f(3\r(10),10)，
所以sin(2α－β)＝sin[α＋(α－β)]＝sin αcs(α－β)＋cs αsin(α－β)＝－eq \f(\r(2),2)，
因为α为锐角，sin α＝eq \f(2\r(5),5)>eq \f(\r(2),2)，
所以α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))，所以2α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，
又β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，所以2α－β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，
所以2α－β＝－eq \f(π,4).