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北师大版高考数学一轮复习第四章 §4.4 三角函数的图像与性质试卷
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这是一份北师大版高考数学一轮复习第四章 §4.4 三角函数的图像与性质试卷,共15页。试卷主要包含了能画出三角函数的图像等内容,欢迎下载使用。
1.用“五点法”作正弦函数和余弦函数的简图
(1)在正弦函数y=sin x,x∈[0,2π]的图像中,五个关键点是:(0,0),eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2),1)),(π,0),eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2),-1)),(2π,0).
(2)在余弦函数y=cs x,x∈[0,2π]的图像中,五个关键点是:(0,1),eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2),0)),(π,-1),eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2),0)),(2π,1).
2.正弦、余弦、正切函数的图像与性质(下表中k∈Z)
微思考
1.正(余)弦曲线相邻两条对称轴之间的距离是多少?相邻两个对称中心的距离呢?
提示 正(余)弦曲线相邻两条对称轴之间的距离是半个周期;相邻两个对称中心的距离也为半个周期.
2.函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A≠0,ω≠0)是奇函数,偶函数的充要条件分别是什么?
提示 (1)f(x)为偶函数的充要条件是φ=eq \f(π,2)+kπ(k∈Z);
(2)f(x)为奇函数的充要条件是φ=kπ(k∈Z).
题组一 思考辨析
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)正切函数y=tan x在定义域内是增函数.( × )
(2)已知y=ksin x+1,x∈R,则y的最大值为k+1.( × )
(3)y=sin|x|是偶函数.( √ )
(4)由sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)+\f(2π,3)))=sin eq \f(π,6)知,eq \f(2π,3)是正弦函数y=sin x(x∈R)的一个周期.( × )
题组二 教材改编
2.函数f(x)=-2taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x+\f(π,6)))的定义域是( )
A.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x∈R\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠\f(π,6)))))
B.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x∈R\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠-\f(π,12)))))
C.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x∈R\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠kπ+\f(π,6)k∈Z))))
D.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x∈R\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠\f(kπ,2)+\f(π,6)k∈Z))))
答案 D
解析 由2x+eq \f(π,6)≠kπ+eq \f(π,2),k∈Z,
得x≠eq \f(kπ,2)+eq \f(π,6),k∈Z.
3.下列函数中,是奇函数的是( )
A.y=|cs x+1| B.y=1-sin x
C.y=-3sin(2x+π) D.y=1-tan x
答案 C
解析 选项A中的函数是偶函数,选项B,D中的函数既不是奇函数,也不是偶函数;因为y=-3sin(2x+π)=3sin 2x,所以是奇函数,选C.
4.函数f(x)=cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x+\f(π,4)))的最小正周期是________.
答案 π
题组三 易错自纠
5.函数y=cs2x+sin x的值域为( )
A.[-1,1] B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1,\f(5,4)))
C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(-1,\f(5,4))) D.[0,1]
答案 C
解析 y=cs2x+sin x=-sin2x+sin x+1
=-eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin x-\f(1,2)))2+eq \f(5,4),
∴当sin x=eq \f(1,2)时,ymax=eq \f(5,4).
当sin x=-1时,ymin=-1.
6.函数y=taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x+\f(π,4)))的图像的对称中心是________.
答案 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(kπ,2)-\f(π,4),0)),k∈Z
解析 由x+eq \f(π,4)=eq \f(kπ,2),k∈Z,得x=eq \f(kπ,2)-eq \f(π,4),k∈Z,
∴对称中心是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(kπ,2)-\f(π,4),0)),k∈Z.
题型一 三角函数的定义域和值域
例1 (1)函数y=eq \r(sin x-cs x)的定义域为________.
答案 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2kπ+\f(π,4),2kπ+\f(5π,4)))(k∈Z)
解析 要使函数有意义,必须使sin x-cs x≥0.利用图像,在同一坐标系中画出[0,2π]上y=sin x和y=cs x的图像,如图所示.
在[0,2π]内,满足sin x=cs x的x为eq \f(π,4),eq \f(5π,4),再结合正弦、余弦函数的周期是2π,所以原函数的定义域为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(2kπ+\f(π,4)≤x≤2kπ+\f(5π,4),k∈Z)))).
(2)当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6),\f(7π,6)))时,函数y=3-sin x-2cs2x的值域为________.
答案 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(7,8),2))
解析 因为x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6),\f(7π,6))),所以sin x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(-\f(1,2),1)).
又y=3-sin x-2cs2x=3-sin x-2(1-sin2x)
=2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin x-\f(1,4)))2+eq \f(7,8),
所以当sin x=eq \f(1,4)时,ymin=eq \f(7,8),当sin x=eq \b\lc\ \rc\ (\a\vs4\al\c1(-\f(1,2)))或sin x=1时,ymax=2.即函数的值域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(7,8),2)).
思维升华 求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型
(1)形如y=asin x+bcs x+c的三角函数化为y=Asin(x+φ)+c的形式,再求值域(最值).
(2)形如y=asin2x+bsin x+c的三角函数,可先设sin x=t,化为关于t的二次函数求值域(最值).
(3)形如y=asin xcs x+b(sin x±cs x)+c的三角函数,可先设t=sin x±cs x,化为关于t的二次函数求值域(最值).
跟踪训练1 (1)函数f(x)=ln(cs x)的定义域为( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ-\f(π,2),kπ+\f(π,2))),k∈Z
B.(kπ,kπ+π),k∈Z
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2kπ-\f(π,2),2kπ+\f(π,2))),k∈Z
D.(2kπ,2kπ+π),k∈Z
答案 C
解析 由题意知,cs x>0,
∴2kπ-eq \f(π,2)
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