北师大版高考数学一轮复习第四章 §4.2　同角三角函数基本关系式及诱导公式试卷

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1．同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：sin2α＋cs2α＝1.
(2)商数关系：eq \f(sin α,cs α)＝tan αeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z)).
2．三角函数的诱导公式
微思考
1．诱导公式记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”中的奇、偶是何意义？
提示 所有诱导公式均可看作k·eq \f(π,2)±α(k∈Z)和α的三角函数值之间的关系，口诀中的奇、偶指的是此处的k是奇数还是偶数．
2．同角三角函数关系式的常用变形有哪些？
提示 同角三角函数关系式的常用变形(sin α±cs α)2＝1±2sin αcs α；sin α＝tan α·cs α等．
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若α，β为锐角，则sin2α＋cs2β＝1.( × )
(2)若α∈R，则tan α＝eq \f(sin α,cs α)恒成立．( × )
(3)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角．( × )
(4)若sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－α))＝eq \f(1,3)，则cs α＝－eq \f(1,3).( √ )
题组二 教材改编
2．若sin α＝eq \f(\r(5),5)，eq \f(π,2)<α<π，则tan α等于( )
A．－2 B．2 C.eq \f(1,2) D．－eq \f(1,2)
答案 D
解析 ∵eq \f(π,2)<α<π，∴cs α＝－eq \r(1－sin2α)＝－eq \f(2\r(5),5)，
∴tan α＝eq \f(sin α,cs α)＝－eq \f(1,2).
3．已知tan α＝2，则eq \f(3sin α－cs α,sin α＋2cs α)等于( )
A.eq \f(5,4) B．－eq \f(5,4) C.eq \f(5,3) D．－eq \f(5,3)
答案 A
解析 原式＝eq \f(3tan α－1,tan α＋2)＝eq \f(3×2－1,2＋2)＝eq \f(5,4).
4．化简eq \f(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,2))),sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,2)＋α)))·sin(α－π)·cs(2π－α)的结果为 ．
答案 －sin2α
解析 原式＝eq \f(sin α,cs α)·(－sin α)·cs α＝－sin2α.
题组三 易错自纠
5．若sin(π＋α)＝－eq \f(1,2)，则sin(7π－α)＝ ；cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(3π,2)))＝ .
答案 eq \f(1,2) eq \f(1,2)
解析 由sin(π＋α)＝－eq \f(1,2)，得sin α＝eq \f(1,2)，
则sin(7π－α)＝sin(π－α)＝sin α＝eq \f(1,2)，
cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(3π,2)))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(3π,2)－2π))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,2)))
＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))＝sin α＝eq \f(1,2).
6．已知sin θ＋cs θ＝eq \f(4,3)，θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))，则sin θ－cs θ的值为 ．
答案 －eq \f(\r(2),3)
解析 ∵sin θ＋cs θ＝eq \f(4,3)，∴sin θcs θ＝eq \f(7,18).
又∵(sin θ－cs θ)2＝1－2sin θcs θ＝eq \f(2,9)，θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))，
∴sin θ－cs θ＝－eq \f(\r(2),3).
题型一 同角三角函数基本关系式
的应用
1．(2020·北京市西城区模拟)已知α∈(0，π)，cs α＝－eq \f(3,5)，则tan α等于( )
A.eq \f(3,4) B．－eq \f(3,4) C.eq \f(4,3) D．－eq \f(4,3)
答案 D
解析 因为cs α＝－eq \f(3,5)且α∈(0，π)，
所以sin α＝eq \r(1－cs2α)＝eq \f(4,5)，
所以tan α＝eq \f(sin α,cs α)＝－eq \f(4,3).
2．已知α是三角形的内角，且tan α＝－eq \f(1,3)，则sin α＋cs α的值为 ．
答案 －eq \f(\r(10),5)
解析 由tan α＝－eq \f(1,3)，得sin α＝－eq \f(1,3)cs α，
将其代入sin2α＋cs2α＝1，得eq \f(10,9)cs2α＝1，
所以cs2α＝eq \f(9,10)，易知cs α<0，
所以cs α＝－eq \f(3\r(10),10)，sin α＝eq \f(\r(10),10)，
故sin α＋cs α＝－eq \f(\r(10),5).
3．若角α的终边落在第三象限，则eq \f(cs α,\r(1－sin2α))＋eq \f(2sin α,\r(1－cs2α))的值为 ．
答案 －3
解析 由角α的终边落在第三象限，
得sin α<0，cs α<0，
故原式＝eq \f(cs α,|cs α|)＋eq \f(2sin α,|sin α|)＝eq \f(cs α,－cs α)＋eq \f(2sin α,－sin α)＝－1－2＝－3.
4．已知sin θ＋cs θ＝eq \f(7,13)，θ∈(0，π)，则tan θ＝ .
答案 －eq \f(12,5)
解析 方法一 由sin θ＋cs θ＝eq \f(7,13)，得sin θcs θ＝－eq \f(60,169)，
因为θ∈(0，π)，所以sin θ>0，cs θ<0，
所以sin θ－cs θ＝eq \r(1－2sin θcs θ)＝eq \f(17,13)，
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin θ＋cs θ＝\f(7,13)，,sin θ－cs θ＝\f(17,13)，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin θ＝\f(12,13)，,cs θ＝－\f(5,13)，))
所以tan θ＝－eq \f(12,5).
方法二 因为sin θ＋cs θ＝eq \f(7,13)，
所以sin θcs θ＝－eq \f(60,169)，
由根与系数的关系，知sin θ，cs θ是方程x2－eq \f(7,13)x－eq \f(60,169)＝0的两根，所以x1＝eq \f(12,13)，x2＝－eq \f(5,13).
又sin θcs θ＝－eq \f(60,169)<0，θ∈(0，π)，
所以sin θ>0，cs θ<0.
所以sin θ＝eq \f(12,13)，cs θ＝－eq \f(5,13).
所以tan θ＝eq \f(sin θ,cs θ)＝－eq \f(12,5).
方法三 由sin θ＋cs θ＝eq \f(7,13)，得sin θcs θ＝－eq \f(60,169)，
所以eq \f(sin θcs θ,sin2θ＋cs2θ)＝－eq \f(60,169).
齐次化切，得eq \f(tan θ,tan2θ＋1)＝－eq \f(60,169)，
即60tan2θ＋169tan θ＋60＝0，
解得tan θ＝－eq \f(12,5)或tan θ＝－eq \f(5,12).
又θ∈(0，π)，sin θ＋cs θ＝eq \f(7,13)>0，sin θcs θ＝－eq \f(60,169)<0，
所以θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(3π,4)))，所以tan θ＝－eq \f(12,5).
思维升华 (1)利用sin2α＋cs2α＝1可实现正弦、余弦的互化，开方时要根据角α所在象限确定符号；利用eq \f(sin α,cs α)＝tan α可以实现角α的弦切互化．
(2)应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cs α，sin αcs α，sin α－cs α这三个式子，利用(sin α±cs α)2＝1±2sin αcs α，可以知一求二．
(3)注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cs2α，sin2α＝1－cs2α，cs2α＝1－sin2α.
题型二 诱导公式的应用
例1 (1)在平面直角坐标系xOy中，角α的终边经过点P(3,4)，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(2 021π,2)))等于( )
A．－eq \f(4,5) B．－eq \f(3,5) C.eq \f(3,5) D.eq \f(4,5)
答案 B
解析 由题意知sin α＝eq \f(4,5)，cs α＝eq \f(3,5)，
∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(2 021π,2)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,2)))＝－cs α＝－eq \f(3,5).
(2)已知f(α)＝eq \f(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－α)),cs－π－αtanπ－α)，则f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(25π,3)))的值为 ．
答案 eq \f(1,2)
解析 因为f(α)＝eq \f(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－α)),cs－π－αtanπ－α)
＝eq \f(－sin α－cs α,－cs α\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(sin α,cs α))))＝cs α，
所以f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(25π,3)))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(25π,3)))＝cs eq \f(π,3)＝eq \f(1,2).
思维升华 (1)诱导公式的两个应用
①求值：负化正，大化小，化到锐角为终了．
②化简：统一角，统一名，同角名少为终了．
(2)含2π整数倍的诱导公式的应用
由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算．如cs(5π－α)＝cs(π－α)＝－cs α.
跟踪训练1 (1)已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,3)))＝eq \f(12,13)，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))等于( )
A.eq \f(5,13) B.eq \f(12,13) C．－eq \f(5,13) D．－eq \f(12,13)
答案 B
解析 因为sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,3)))＝eq \f(12,13)，
所以cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))))
＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,3)))＝eq \f(12,13).
(2)(2020·江西临川第一中学等九校联考)已知α∈(0，π)，且cs α＝－eq \f(15,17)，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))·tan(π＋α)等于( )
A．－eq \f(15,17) B.eq \f(15,17) C．－eq \f(8,17) D.eq \f(8,17)
答案 D
解析 sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))·tan(π＋α)＝cs α·tan α＝sin α，因为α∈(0，π)，且cs α＝－eq \f(15,17)，所以sin α＝eq \r(1－cs2α)＝eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(15,17)))2)＝eq \f(8,17)，即sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))·tan(π＋α)＝eq \f(8,17).故选D.
题型三 同角三角函数基本关系式
和诱导公式的综合应用
例2 (1)(2021·聊城模拟)已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋β))＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，则sin α的值是( )
A.eq \f(3\r(5),5) B.eq \f(3\r(7),7) C.eq \f(3\r(10),10) D.eq \f(1,3)
答案 C
解析 由已知得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3sin β－2tan α＋5＝0，,tan α－6sin β－1＝0.))
消去sin β，得tan α＝3，
∴sin α＝3cs α，代入sin2α＋cs2α＝1，
化简得sin2α＝eq \f(9,10)，则sin α＝eq \f(3\r(10),10)(α为锐角)．
(2)已知－π解 由已知，得sin x＋cs x＝eq \f(1,5)，
两边平方得sin2x＋2sin xcs x＋cs2x＝eq \f(1,25)，
整理得2sin xcs x＝－eq \f(24,25).
∵(sin x－cs x)2＝1－2sin xcs x＝eq \f(49,25)，
由－π又sin xcs x＝－eq \f(12,25)<0，
∴cs x>0，∴sin x－cs x<0，
故sin x－cs x＝－eq \f(7,5).
∴eq \f(sin 2x＋2sin2x,1－tan x)＝eq \f(2sin xcs x＋sin x,1－\f(sin x,cs x))
＝eq \f(2sin xcs xcs x＋sin x,cs x－sin x)
＝eq \f(－\f(24,25)×\f(1,5),\f(7,5))＝－eq \f(24,175).
思维升华 (1)利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形．
(2)注意角的范围对三角函数符号的影响．
跟踪训练2 (1)(2020·潍坊调研)已知3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(33π,14)＋α))＝－5cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,14)＋α))，则taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,14)＋α))等于( )
A．－eq \f(5,3) B．－eq \f(3,5) C.eq \f(3,5) D.eq \f(5,3)
答案 A
解析 由3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(33π,14)＋α))＝－5cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,14)＋α))，
得sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,14)＋α))＝－eq \f(5,3)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,14)＋α))，
所以taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,14)＋α))＝eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,14)＋α)),cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,14)＋α)))＝eq \f(－\f(5,3)cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,14)＋α)),cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,14)＋α)))
＝－eq \f(5,3).
(2)已知函数f(x)＝asin(πx＋α)＋bcs(πx＋β)，且f(4)＝3，则f(2 021)的值为 ．
答案 －3
解析 因为f(x)＝asin(πx＋α)＋bcs(πx＋β)，
所以f(4)＝asin(4π＋α)＋bcs(4π＋β)
＝asin α＋bcs β＝3，
所以f(2 021)＝asin(2 021π＋α)＋bcs(2 021π＋β)
＝asin(π＋α)＋bcs(π＋β)
＝－asin α－bcs β＝－3.
课时精练
1．sin 1 050°等于( )
A.eq \f(1,2) B．－eq \f(1,2) C.eq \f(\r(3),2) D．－eq \f(\r(3),2)
答案 B
解析 sin 1 050°＝sin(3×360°－30°)＝－sin 30°＝－eq \f(1,2).
2．已知α是第四象限角，tan α＝－eq \f(8,15)，则sin α等于( )
A.eq \f(15,17) B．－eq \f(15,17) C.eq \f(8,17) D．－eq \f(8,17)
答案 D
解析 因为tan α＝－eq \f(8,15)，所以eq \f(sin α,cs α)＝－eq \f(8,15)，
所以cs α＝－eq \f(15,8)sin α，
代入sin2α＋cs2α＝1，得sin2α＝eq \f(64,289)，
又α是第四象限角，所以sin α＝－eq \f(8,17).
3．(2020·杭州学军中学模拟)已知cs 31°＝a，则sin 239°·tan 149°的值为( )
A.eq \f(1－a2,a) B.eq \r(1－a2) C.eq \f(a2－1,a) D．－eq \r(1－a2)
答案 B
解析 sin 239°·tan 149°＝sin(270°－31°)·tan(180°－31°)＝－cs 31°·(－tan 31°)＝sin 31°＝eq \r(1－a2).
4．(2020·天津西青区模拟)已知sin α＋cs α＝－eq \r(2)，则tan α＋eq \f(1,tan α)等于( )
A．2 B.eq \f(1,2) C．－2 D．－eq \f(1,2)
答案 A
解析 由已知得1＋2sin αcs α＝2，
∴sin αcs α＝eq \f(1,2)，
∴tan α＋eq \f(1,tan α)＝eq \f(sin α,cs α)＋eq \f(cs α,sin α)
＝eq \f(sin2α＋cs2α,sin αcs α)＝eq \f(1,\f(1,2))＝2.
5．已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－α))＝eq \f(1,3)，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)－α))等于( )
A.eq \f(1,3) B．－eq \f(1,3) C.eq \f(2\r(2),3) D．－eq \f(\r(2),3)
答案 B
解析 由题意知，cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)－α))＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－α))))＝－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－α))＝－eq \f(1,3).
6．(2020·北京东城区模拟)在平面直角坐标系中，动点M在单位圆上按逆时针方向作匀速圆周运动，每12分钟转动一周．若点M的初始位置坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，则运动到3分钟时，动点M所处位置的坐标是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)，\f(1,2))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2)，\f(1,2))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2)，－\f(1,2)))
答案 C
解析 每12分钟转动一周，则运动到3分钟时，转过的角为eq \f(3,12)×2π＝eq \f(π,2).
设点M的初始位置的坐标为(cs α，sin α)，
则cs α＝eq \f(1,2)，sin α＝eq \f(\r(3),2)，
运动到3分钟时动点M所处位置的坐标是
M′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,2)))，sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,2)))))，
由诱导公式可得cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,2)))＝－sin α＝－eq \f(\r(3),2)，
sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,2)))＝cs α＝eq \f(1,2)，
所以点M′的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2)，\f(1,2))).
7．(2020·河北九校联考)已知点P(sin 35°，cs 35°)为角α终边上一点，若0°≤α<360°，则α＝ .
答案 55°
解析 由题意知cs α＝sin 35°＝cs 55°，
sin α＝cs 35°＝sin 55°，P在第一象限，
∴α＝55°.
8．sin eq \f(4π,3)·cs eq \f(5π,6)·taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4π,3)))的值是 ．
答案 －eq \f(3\r(3),4)
解析 原式＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π＋\f(π,3)))·cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π－\f(π,6)))·taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－π－\f(π,3)))
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－sin \f(π,3)))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－cs \f(π,6)))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－tan \f(π,3)))
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2)))×(－eq \r(3))＝－eq \f(3\r(3),4).
9．(2020·上饶模拟)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,12)))＝eq \f(1,3)，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(17π,12)))＝ .
答案 eq \f(1,3)
解析 由sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,12)))＝eq \f(1,3)，
得cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(17π,12)))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(3π,2)－\f(π,12)))
＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,12)))＝eq \f(1,3).
10．若3sin α＋cs α＝0，则cs2α＋2sin αcs α的值为 ．
答案 eq \f(3,10)
解析 3sin α＋cs α＝0⇒cs α≠0⇒tan α＝－eq \f(1,3)，
所以eq \f(cs2α＋2sin αcs α,1)＝eq \f(cs2α＋2sin αcs α,sin2α＋cs2α)＝eq \f(1＋2tan α,1＋tan2α)＝eq \f(1－\f(2,3),1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)))2)＝eq \f(3,10).
11．已知f(α)＝eq \f(sinπ－αcs2π－αtanα＋π,tan－α－πsin－α－π).
(1)若cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(3π,2)))＝eq \f(1,5)，α是第三象限角，求f(α)的值；
(2)若α＝－eq \f(31π,3)，求f(α)的值．
解 f(α)＝eq \f(sin α·cs α·tan α,－tan α·sin α)＝－cs α.
(1)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(3π,2)))＝－sin α＝eq \f(1,5)，
∴sin α＝－eq \f(1,5).
∵α是第三象限角，
∴cs α＝－eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,5)))2)＝－eq \f(2\r(6),5).
f(α)＝－cs α＝eq \f(2\r(6),5).
(2)f(α)＝－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(31π,3)))＝－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)))＝－eq \f(1,2).
12．已知－eq \f(π,2)<α<0，且函数f(α)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)＋α))－sin α·eq \r(\f(1＋cs α,1－cs α))－1.
(1)化简f(α)；
(2)若f(α)＝eq \f(1,5)，求sin αcs α和sin α－cs α的值．
解 (1)f(α)＝sin α－sin α·eq \r(\f(1＋cs α2,1－cs2α))－1
＝sin α＋sin α·eq \f(1＋cs α,sin α)－1＝sin α＋cs α.
(2)方法一 由f(α)＝sin α＋cs α＝eq \f(1,5)，平方可得sin2α＋2sin α·cs α＋cs2α＝eq \f(1,25)，即2sin α·cs α＝－eq \f(24,25).
∴sin α·cs α＝－eq \f(12,25).
又－eq \f(π,2)<α<0，∴sin α<0，cs α>0，∴sin α－cs α<0，
∵(sin α－cs α)2＝1－2sin α·cs α＝eq \f(49,25)，
∴sin α－cs α＝－eq \f(7,5).
方法二 联立方程eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin α＋cs α＝\f(1,5)，,sin2α＋cs2α＝1，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin α＝－\f(3,5)，,cs α＝\f(4,5)))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin α＝\f(4,5)，,cs α＝－\f(3,5).))
∵－eq \f(π,2)<α<0，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin α＝－\f(3,5)，,cs α＝\f(4,5)，))
∴sin αcs α＝－eq \f(12,25)，sin α－cs α＝－eq \f(7,5).
13．(2020·河北六校联考)若sin α是方程5x2－7x－6＝0的根，则eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－α－\f(3π,2)))sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－α))tan22π－α,cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))sinπ＋α)等于( )
A.eq \f(3,5) B.eq \f(5,3) C.eq \f(4,5) D.eq \f(5,4)
答案 B
解析 方程5x2－7x－6＝0的两根为x1＝－eq \f(3,5)，x2＝2，则sin α＝－eq \f(3,5).
原式＝eq \f(cs α－cs αtan2α,sin α－sin α－sin α)＝－eq \f(1,sin α)＝eq \f(5,3).
14．已知θ是第四象限角，且sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))＝eq \f(3,5)，则taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,4)))＝ .
答案 －eq \f(4,3)
解析 因为θ是第四象限角，且sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))＝eq \f(3,5)，
所以θ＋eq \f(π,4)为第一象限角，
所以cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))＝eq \f(4,5)，
所以cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－θ))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))＝eq \f(3,5)，
sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－θ))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))＝eq \f(4,5)，
则taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,4)))＝－taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－θ))＝－eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－θ)),cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－θ)))＝－eq \f(\f(4,5),\f(3,5))＝－eq \f(4,3).
15.如图是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若直角三角形中较小的内角为θ，大正方形的面积是1，小正方形的面积是eq \f(1,25)，则sin2θ－cs2θ的值是 ．
答案 －eq \f(7,25)
解析 由题意可知，拼图中的每个直角三角形的长直角边为cs θ，短直角边为sin θ，
小正方形的边长为cs θ－sin θ，
∵小正方形的面积是eq \f(1,25)，
∴(cs θ－sin θ)2＝eq \f(1,25)，
∵θ为直角三角形中较小的锐角，
∴cs θ>sin θ，
∴cs θ－sin θ＝eq \f(1,5)，
又∵(cs θ－sin θ)2＝1－2sin θcs θ＝eq \f(1,25)，
∴2sin θcs θ＝eq \f(24,25)，
∴1＋2sin θcs θ＝eq \f(49,25)，即(cs θ＋sin θ)2＝eq \f(49,25)，
∴cs θ＋sin θ＝eq \f(7,5)，
∴sin2θ－cs2θ＝(cs θ＋sin θ)(sin θ－cs θ)＝－eq \f(7,25).
16．已知sin α＝1－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋β))，求sin2α＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－β))＋1的取值范围．
解 因为sin α＝1－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋β))＝1－cs β，
所以cs β＝1－sin α.
因为－1≤cs β≤1，
所以－1≤1－sin α≤1,0≤sin α≤2，
又－1≤sin α≤1，所以sin α∈[0,1]．
所以sin2α＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－β))＋1＝sin2α＋cs β＋1＝sin2α－sin α＋2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin α－\f(1,2)))2＋eq \f(7,4).(*)
又sin α∈[0,1]，所以当sin α＝eq \f(1,2)时，(*)式取得最小值eq \f(7,4)；当sin α＝1或sin α＝0时，(*)式取得最大值2，故所求取值范围为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(7,4)，2)).公式
一
二
三
四
五
六
角
2kπ＋α(k∈Z)
π＋α
－α
π－α
eq \f(π,2)－α
eq \f(π,2)＋α
正弦
sin α
－sin α
－sin α
sin α
cs α
cs α
余弦
cs α
－cs α
cs α
－cs α
sin α
－sin α
正切
tan α
tan α
－tan α
－tan α
口诀
奇变偶不变，符号看象限