北师大版高考数学一轮复习第二章 §2.2　第2课时　奇偶性、对称性与周期性

这是一份北师大版高考数学一轮复习第二章 §2.2　第2课时　奇偶性、对称性与周期性，共13页。试卷主要包含了函数奇偶性的判定，函数奇偶性的应用，函数的周期性、对称性等内容，欢迎下载使用。

题型一 函数奇偶性的判定
例1 判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝eq \r(3－x2)＋eq \r(x2－3)；
(2)f(x)＝eq \f(lg1－x2,|x－2|－2)；
(3)f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋x，x<0，,－x2＋x，x>0；))
(4)f(x)＝lg2(x＋eq \r(x2＋1))．
解 (1)由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3－x2≥0，,x2－3≥0，))得x2＝3，解得x＝±eq \r(3)，
即函数f(x)的定义域为{－eq \r(3)，eq \r(3)}，关于原点对称．
从而f(x)＝eq \r(3－x2)＋eq \r(x2－3)＝0.
因此f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)，
所以函数f(x)既是奇函数又是偶函数．
(2)由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－x2>0，,|x－2|≠2，))得定义域为(－1,0)∪(0,1)，关于原点对称．
∴x－2<0，∴|x－2|－2＝－x，∴f(x)＝eq \f(lg1－x2,－x).
又∵f(－x)＝eq \f(lg[1－－x2],x)＝－eq \f(lg1－x2,－x)＝－f(x)，
∴函数f(x)为奇函数．
(3)显然函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．
∵当x<0时，－x>0，
则f(－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x＝－f(x)；
当x>0时，－x<0，
则f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－f(x)；
综上可知，对于定义域内的任意x，总有f(－x)＝－f(x)成立，∴函数f(x)为奇函数．
(4)显然函数f(x)的定义域为R，
f(－x)＝lg2[－x＋eq \r(－x2＋1)]
＝lg2(eq \r(x2＋1)－x)
＝lg2(eq \r(x2＋1)＋x)－1
＝－lg2(eq \r(x2＋1)＋x)＝－f(x)，
故f(x)为奇函数．
思维升华 判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件
(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；
(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立．
跟踪训练1 (1)下列函数是偶函数的是( )
A．f(x)＝x3－sin x
B．f(x)＝3x－eq \f(1,3x)
C．f(x)＝x2＋tan x
D．f(x)＝x·ln(eq \r(x2＋1)－x)
答案 D
解析 由函数奇偶性定义知，A中函数为奇函数，B中函数为奇函数，C中函数为非奇非偶函数，D中函数为偶函数．
(2)设函数f(x)，g(x)的定义域为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论正确的是( )
A．f(x)g(x)是偶函数
B．|f(x)g(x)|是奇函数
C．|f(x)|g(x)是偶函数
D．f(|x|)g(x)是奇函数
答案 C
解析 令F1(x)＝f(x)g(x)，
∴F1(－x)＝f(－x)g(－x)＝－f(x)g(x)＝－F1(x)，
∴F1(x)为奇函数，故A错误；
令F2(x)＝|f(x)g(x)|，
∴F2(x)＝|f(－x)g(－x)|＝|－f(x)g(x)|
＝|f(x)g(x)|＝F2(x)，
故F2(x)为偶函数，故B错误；
令F3(x)＝|f(x)|g(x)，
∴F3(－x)＝|f(－x)|g(－x)＝|f(x)|g(x)＝F3(x)，
∴F3(x)为偶函数，故C正确；
令F4(x)＝f(|x|)g(x)，
∴F4(－x)＝f(|－x|)g(－x)＝f(|x|)g(x)＝F4(x)，
∴F4(x)为偶函数，故D错误．
题型二 函数奇偶性的应用
命题点1 利用奇偶性求参数的值
例2 若函数f(x)＝x3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2x－1)＋a))为偶函数，则a的值为________．
答案 eq \f(1,2)
解析 方法一 (定义法)∵f(x)为偶函数，
∴f(－x)＝f(x)，
∴(－x)3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2－x－1)＋a))＝x3·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2x－1)＋a))，
∴2a＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2－x－1)＋\f(1,2x－1)))＝1，
∴a＝eq \f(1,2).
方法二 (特值法)f(x)为偶函数，
∴f(－1)＝f(1)，
又f(－1)＝－a＋2，f(1)＝a＋1，
∴－a＋2＝a＋1，∴a＝eq \f(1,2).
命题点2 利用奇偶性求解析式
例3 (2019·全国Ⅱ)设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)＝ex－1，则当x<0时，f(x)等于( )
A．e－x－1 B．e－x＋1
C．－e－x－1 D．－e－x＋1
答案 D
解析 当x<0时，－x>0，
∵当x≥0时，f(x)＝ex－1，
∴f(－x)＝e－x－1.
又∵f(x)为奇函数，
∴f(x)＝－f(－x)＝－e－x＋1.
命题点3 利用奇偶性求函数值
例4 已知函数f(x)＝ax3＋bx5＋2.若f(x)在区间[－t，t]上的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝________.
答案 4
解析 令g(x)＝ax3＋bx5，
则g(x)为奇函数，
当x∈[－t，t]时，g(x)max＋g(x)min＝0，
又f(x)＝g(x)＋2，
∴M＝g(x)max＋2，m＝g(x)min＋2，
∴M＋m＝g(x)max＋2＋g(x)min＋2＝4.
思维升华 利用函数奇偶性可以解决以下问题
(1)求函数值：将待求值利用奇偶性转化为求已知解析式的区间上的函数值．
(2)求解析式：将待求区间上的自变量转化到已知解析式的区间上，再利用奇偶性的定义求出．
(3)求解析式中的参数：利用待定系数法求解，根据f(x)±f(－x)＝0得到关于参数的恒等式，由系数的对等性得方程(组)，进而得出参数的值．
(4)画函数图像：利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图像．
(5)求特殊值：利用奇函数的最大值与最小值之和为零可求一些特殊结构的函数值．
跟踪训练2 (1)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝2x＋x＋b，则f(－1)的值为( )
A．b＋3 B．－b－3 C．－2 D．2
答案 C
解析 ∵f(x)为R上的奇函数，∴f(0)＝0，
即20＋0＋b＝0，∴b＝－1，
∴f(－1)＝－f(1)＝－(21＋1＋b)＝－2.
(2)已知函数f(x)＝asin x＋btan x＋1，若f(a)＝－2，则f(－a)＝________.
答案 4
解析 令g(x)＝asin x＋btan x，
则g(x)为奇函数，且f(x)＝g(x)＋1，
∵f(a)＝g(a)＋1＝－2，∴g(a)＝－3，
∴f(－a)＝g(－a)＋1＝－g(a)＋1＝4.
题型三 函数的周期性、对称性
命题点1 函数的周期性
例5 (1)已知函数f(x)对任意x∈R，都有f(x＋2π)＝f(x)，当x∈(0，π)时，f(x)＝2sin eq \f(x,2)，则f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2 023π,3)))等于( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(3),2) C．1 D.eq \r(3)
答案 C
解析 因为f(x＋2π)＝f(x)，所以f(x)的周期为2π.
所以f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2 023π,3)))＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(674π＋\f(π,3)))＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(337×2π＋\f(π,3)))
＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)))，
又因为当x∈(0，π)时，f(x)＝2sin eq \f(x,2)，
所以f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)))＝2sin eq \f(π,6)＝1.
(2)(2020·西安模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝－f(x＋2)，当x∈(0,2]时，f(x)＝2x＋lg2x，则f(2 020)等于( )
A．5 B.eq \f(1,2) C．2 D．－5
答案 D
解析 ∵f(x)＝－f(x＋2)，
∴f(x)的周期为4，f(2 020)＝f(0)＝－f(2)＝－(22＋lg22)＝－5.
思维升华 函数周期性常用结论
对f(x)定义域内任一自变量的值x：
(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)．
(2)若f(x＋a)＝eq \f(1,fx)，则T＝2a(a>0)．
(3)若f(x＋a)＝－eq \f(1,fx)，则T＝2a(a>0)．
(4)若f(x＋a)＋f(x)＝c，则T＝2a(a>0，c为常数)．
命题点2 函数的对称性
例6 已知函数f(x)的定义域为R，对任意x都有f(2＋x)＝f(2－x)，且f(－x)＝f(x)，下列结论正确的是________．(填序号)
①f(x)的图像关于直线x＝2对称；
②f(x)的图像关于点(2,0)对称；
③f(x)的周期为4；
④y＝f(x＋4)为偶函数．
答案 ①③④
解析 ∵f(2＋x)＝f(2－x)，则f(x)的图像关于直线x＝2对称，故①正确，②错误；
∵函数f(x)的图像关于直线x＝2对称，则f(－x)＝f(x＋4)，又f(－x)＝f(x)，∴f(x＋4)＝f(x)，∴T＝4，故③正确；
∵T＝4且f(x)为偶函数，故y＝f(x＋4)为偶函数，故④正确．
思维升华 对称性的三个常用结论
(1)若函数f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，则y＝f(x)的图像关于直线x＝eq \f(a＋b,2)对称．
(2)若函数f(x)满足f(a＋x)＝－f(b－x)，则y＝f(x)的图像关于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)，0))对称．
(3)若函数f(x)满足f(a＋x)＋f(b－x)＝c，则函数f(x)的图像关于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)，\f(c,2)))对称．
跟踪训练3 (1)设定义在R上的函数f(x)满足f(x＋3)＝f(x)，且当x∈[0,3)时，f(x)＝2x－x2＋1，则f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 021)＝________.
答案 2 696
解析 ∵f(x＋3)＝f(x)，∴T＝3，
又x∈[0,3)时，f(x)＝2x－x2＋1，
∴f(0)＝1，f(1)＝2，f(2)＝1，
∴f(0)＋f(1)＋f(2)＝1＋2＋1＝4，
∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 021)
＝674×4＝2 696.
(2)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x)为奇函数，其图像关于直线x＝2对称．当x∈[0,4]时，f(x)＝x2－4x，则f(2 022)＝________.
答案 4
解析 ∵f(x)的图像关于直线x＝2对称，
∴f(－x)＝f(x＋4)，
又f(x)为奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)，
故f(x＋4)＝－f(x)，∴T＝8，
又∵2 022＝252×8＋6，
∴f(2 022)＝f(6)＝f(－2)＝－f(2)＝－(4－8)＝4.
我们把不给出具体解析式，只给出函数的特殊条件或特征的函数称为抽象函数，一般用y＝f(x)表示，抽象函数问题可以全面考查函数的概念和性质，将函数定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、图像集于一身，是考查函数的良好载体．
例1 若函数f(2x)的定义域是[－1,1]，则f(lg2x)的定义域为________．
答案 [eq \r(2)，4]
解析 对于函数y＝f(2x)，－1≤x≤1，
∴2－1≤2x≤2.
则对于函数y＝f(lg2x)，2－1≤lg2x≤2，
∴eq \r(2)≤x≤4.
故y＝f(lg2x)的定义域为[eq \r(2)，4]．
例2 已知函数f(x)对任意非零实数a，b，都有f(ab)＝f(a)＋f(b)成立．
(1)求f(1)，f(－1)的值；
(2)求证：f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝－f(x)；
(3)若f(2)＝p，f(3)＝q(p，q均为常数)，求f(36)的值．
(1)解 令a＝1，b＝1，
得f(1)＝f(1)＋f(1)，解得f(1)＝0，
令a＝b＝－1，
∴f(1)＝f(－1)＋f(－1)，∴f(－1)＝0.
(2)证明 令a＝eq \f(1,x)，b＝x，
得f(1)＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＋f(x)＝0，
∴f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝－f(x)．
(3)解 令a＝b＝2，得f(4)＝f(2)＋f(2)＝2p，
令a＝b＝3，得f(9)＝f(3)＋f(3)＝2q，
令a＝4，b＝9，得f(36)＝f(4)＋f(9)＝2p＋2q.
例3 已知函数y＝f(x)的定义域为R，并且满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))＝1，且当x>0时，f(x)>0.
(1)求f(0)的值；
(2)判断函数的奇偶性并证明；
(3)判断函数的单调性，并解不等式f(x)＋f(2＋x)<2.
解 (1)令x＝y＝0，
则f(0)＝f(0)＋f(0)，
∴f(0)＝0.
(2)f(x)是奇函数，证明如下：
令y＝－x，得f(0)＝f(x)＋f(－x)＝0，
∴f(－x)＝－f(x)，
故函数f(x)是R上的奇函数．
(3)f(x)是R上的增函数，证明如下：
任取x1，x2∈R，x10，
∴f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1＋x1)－f(x1)
＝f(x2－x1)＋f(x1)－f(x1)
＝f(x2－x1)>0，
∴f(x1)故f(x)是R上的增函数，
∵f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))＝1，
∴f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)＋\f(1,3)))＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))＝2，
∴f(x)＋f(2＋x)＝f(x＋(2＋x))＝f(2x＋2)
又由y＝f(x)是定义在R上的增函数，得2x＋2解得x<－eq \f(2,3)，故x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(2,3))).
课时精练
1．(2020·重庆一中月考)下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上是增加的是( )
A．y＝x－1 B．y＝|x|＋1
C．y＝eq \f(cs x,x) D．y＝－x2
答案 B
2．若函数f(x)＝eq \f(k－2x,1＋k·2x)在定义域上为奇函数，则实数k的值为( )
A．－2 B．0 C．1或－1 D．2
答案 C
解析 因为f(x)在定义域上为奇函数，
所以f(－x)＝－f(x)，即eq \f(k－2－x,1＋k·2－x)＝eq \f(2x－k,1＋k·2x)，
即eq \f(k·2x－1,2x＋k)＝eq \f(2x－k,k·2x＋1)，
根据等式恒成立可得，k＝±1.
3．(2020·南昌联考)函数f(x)＝eq \f(9x＋1,3x)的图像( )
A．关于x轴对称 B．关于y轴对称
C．关于坐标原点对称 D．关于直线y＝x对称
答案 B
解析 f(x)＝eq \f(32x＋1,3x)＝3x＋3－x，f(－x)＝3－x＋3x，
∴f(－x)＝f(x)，故f(x)为偶函数，其图像关于y轴对称．
4．已知函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当0A．－2 B．0 C．2 D．1
答案 A
解析 ∵函数f(x)为定义在R上的奇函数，且周期为2，
∴f(1)＝－f(－1)＝－f(－1＋2)＝－f(1)，
∴f(1)＝0，
f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,2)))＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝－f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝－＝－2，
∴f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,2)))＋f(1)＝－2.
5.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，其最小正周期为4，且当x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，0))时，f(x)＝lg2(－3x
＋1)，则f(2 021)等于( )
A．4 B．2 C．－2 D．lg27
答案 C
解析 ∵函数f(x)是定义在R上的奇函数，其最小正周期为4，∴f(2 021)＝f(4×505＋1)＝f(1)＝－f(－1)．∵－1∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，0))，且当x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，0))时，
f(x)＝lg2(－3x＋1)，
∴f(－1)＝lg2[－3×(－1)＋1]＝2，
∴f(2 021)＝－f(－1)＝－2.
6．若定义域为R的函数f(x)在(4，＋∞)上为减函数，且函数y＝f(x＋4)为偶函数，则下列结论不成立的是( )
A．f(2)>f(3) B．f(2)＝f(6)
C．f(3)＝f(5) D．f(3)>f(6)
答案 A
解析 ∵y＝f(x＋4)为偶函数，
∴f(－x＋4)＝f(x＋4)，
∴y＝f(x)的图像关于直线x＝4对称，
∴f(2)＝f(6)，f(3)＝f(5)．
又y＝f(x)在(4，＋∞)上为减函数，
∴f(5)>f(6)，∴f(3)>f(6)，f(3)>f(2)，
故A错误，B，C，D正确．
7．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是________．
答案 eq \f(1,3)
解析 f(x)＝ax2＋bx为偶函数，则b＝0，
又定义域[a－1,2a]关于原点对称，则a－1＋2a＝0，
∴a＝eq \f(1,3)，∴a＋b＝eq \f(1,3).
8．(2021·咸阳模拟)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－ax，x≤0，,ax2＋x，x>0))为奇函数，则a＝________.
答案 －1
解析 由题意，得f(－x)＝－f(x)，
则f(－1)＝－f(1)，即1＋a＝－a－1，得a＝－1(经检验符合题意)．
9．已知函数f(x)对任意x∈R满足f(1－x)＝f(1＋x)，f(x＋2)＝－f(x)，且f(0)＝0，则f(26)＝________.
答案 0
解析 ∵f(x＋2)＝－f(x)，
∴f(x)的周期为4，
∴f(26)＝f(2)．
∵对任意x∈R有f(1－x)＝f(1＋x)，
∴f(x)的图像关于直线x＝1对称，
∴f(2)＝f(0)＝0，即f(26)＝0.
10．已知函数f(x)＝x3＋x，对任意的m∈[－2,2]，f(mx－2)＋f(x)<0恒成立，则x的取值范围为________．
答案 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2，\f(2,3)))
解析 易知原函数在R上是增加的，且为奇函数，故f(mx－2)＋f(x)<0⇒f(mx－2)<－f(x)＝
f(－x)，此时应有mx－2<－x⇒mx＋x－2<0对所有m∈[－2,2]恒成立．
令g(m)＝xm＋x－2，此时只需eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(g－2<0，,g2<0))即可，
解得－211．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x2＋2x，x>0，,0，x＝0，,x2＋mx，x<0))是奇函数．
(1)求实数m的值；
(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上是增加的，求实数a的取值范围．
解 (1)设x<0，则－x>0，
所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.
又f(x)为奇函数，
所以f(－x)＝－f(x)，
于是x<0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，
所以m＝2.
(2)要使f(x)在[－1，a－2]上是增加的，结合f(x)的图像(如图所示)知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a－2>－1，,a－2≤1，))所以1故实数a的取值范围是(1,3]．
12．设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)．当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2.
(1)求证：f(x)是周期函数；
(2)当x∈[2,4]时，求f(x)的解析式．
(1)证明 ∵f(x＋2)＝－f(x)，
∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)．
∴f(x)是周期为4的周期函数．
(2)解 ∵x∈[2,4]，∴－x∈[－4，－2]，
∴4－x∈[0,2]，
∴f(4－x)＝2(4－x)－(4－x)2＝－x2＋6x－8.
∵f(4－x)＝f(－x)＝－f(x)，
∴－f(x)＝－x2＋6x－8，
即当x∈[2,4]时，f(x)＝x2－6x＋8.
13．若f(x)＝ex－ae－x为奇函数，则满足f(x－1)>eq \f(1,e2)－e2的x的取值范围是( )
A．(－2，＋∞) B．(－1，＋∞)
C．(2，＋∞) D．(3，＋∞)
答案 B
解析 ∵f(x)是定义域为R的奇函数，
∴f(0)＝1－a＝0，∴a＝1，
∴f(x)＝ex－e－x，
∴f(x)为R上的增函数，
又f(－2)＝e－2－e2＝eq \f(1,e2)－e2，
∴原不等式可化为f(x－1)>f(－2)，
∴x－1>－2，即x>－1.
14．已知函数f(x)对任意实数x满足f(－x)＋f(x)＝2，若函数y＝f(x)的图像与y＝x＋1有三个交点(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，则y1＋y2＋y3＝________.
答案 3
解析 因为f(－x)＋f(x)＝2，
则f(x)的图像关于点(0,1)对称，
又直线y＝x＋1也关于点(0,1)对称，
因为y＝f(x)与y＝x＋1有三个交点，
则(0,1)是一个交点，另两个交点关于(0,1)对称，
则y1＋y2＋y3＝2＋1＝3.
15．已知f(x)是定义域为R的奇函数，且函数f(x＋2)为偶函数，则下列结论错误的是( )
A．函数y＝f(x)的图像关于直线x＝1对称
B．f(4)＝0
C．f(x＋8)＝f(x)
D．若f(5)＝－1，则f(2 021)＝－1
答案 A
解析 根据题意，f(x)是定义域为R的奇函数，
则f(－x)＝－f(x)，
又由函数f(x＋2)为偶函数，
则函数f(x)的图像关于直线x＝2对称，
则有f(－x)＝f(4＋x)，则有f(x＋4)＝－f(x)，
即f(x＋8)＝－f(x＋4)＝f(x)，
则函数f(x)是周期为8的周期函数；
据此分析选项：
对于A，函数f(x)的图像关于直线x＝2对称，A错误；
对于B，f(x)是定义域为R的奇函数，则f(0)＝0，又由函数f(x)的图像关于直线x＝2对称，则f(4)＝0，B正确；
对于C，函数f(x)是周期为8的周期函数，即f(x＋8)＝f(x)，C正确；
对于D，若f(5)＝－1，则f(2 021)＝f(5＋2 016)＝f(5)＝－1，D正确．
16．函数f(x)的定义域为D＝{x|x≠0}，且满足对于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)．
(1)求f(1)的值；
(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论；
(3)如果f(4)＝1，f(x－1)<2，且f(x)在(0，＋∞)上单调递增，求x的取值范围．
解 (1)因为对于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，
所以令x1＝x2＝1，得f(1)＝2f(1)，
所以f(1)＝0.
(2)f(x)为偶函数，证明如下：
f(x)的定义域关于原点对称，
令x1＝x2＝－1，
有f(1)＝f(－1)＋f(－1)，
所以f(－1)＝eq \f(1,2)f(1)＝0.
令x1＝－1，x2＝x，得f(－x)＝f(－1)＋f(x)，
所以f(－x)＝f(x)，
所以f(x)为偶函数．
(3)依题设有f(4×4)＝f(4)＋f(4)＝2，
由(2)知f(x)是偶函数，
所以f(x－1)<2等价于f(|x－1|)又f(x)在(0，＋∞)上是增加的，
所以0<|x－1|<16，
解得－15所以x的取值范围是(－15,1)∪(1,17)．