北师大版高考数学一轮复习第七章 强化训练6　不等式中的综合问题试卷

这是一份北师大版高考数学一轮复习第七章 强化训练6　不等式中的综合问题试卷，共7页。试卷主要包含了在R上定义运算⊗等内容，欢迎下载使用。
强化训练6　不等式中的综合问题1．若<<0，则下列结论不正确的是(　　)A．a2<b2   B．ab<b2C．a＋b<0   D．|a|＋|b|>|a＋b|答案　D解析　由题意可知b<a<0，所以A，B，C正确，而|a|＋|b|＝－a－b＝|a＋b|，故D错误．2．若不等式x2－(a＋1)x＋a≤0的解集是[－4,3]的子集，则a的取值范围是(　　)A．[－4,1]   B．[－4,3]C．[1,3]   D．[－1,3]答案　B解析　原不等式为(x－a)(x－1)≤0，当a<1时，不等式的解集为[a,1]，此时只要a≥－4即可，即－4≤a<1；当a＝1时，不等式的解为x＝1，此时符合要求；当a>1时，不等式的解集为[1，a]，此时只要a≤3即可，即1<a≤3，综上可得－4≤a≤3.3．已知x，y满足若z＝x＋2y的最大值为4，则实数a的值为(　　)A．－2  B．2  C．－  D.答案　B解析　当a>0时，作出不等式组表示的可行域如图阴影部分(含边界)所示，直线x＋y－3＝0和直线x＋2y－4＝0的交点为(2,1)，所以直线x－ay＝0过点(2,1)，得a＝2.当a≤0时，不符合题意．4．(2020·长沙期中)在R上定义运算⊗：A⊗B＝(A－2)·B，若不等式(t－x)⊗(x＋t)<4对任意的x∈R恒成立，则实数t的取值范围是(　　)A．(－3,1)   B．(－1,2)C．(－1,3)   D．(－∞，－1)∪(3，＋∞)答案　C解析　∵(t－x)⊗(x＋t)＝(t－x－2)(x＋t)，即(t－x)⊗(x＋t)＝(t－x－2)(x＋t)<4对任意实数x恒成立，x2＋2x－t2＋2t＋4>0对任意实数x恒成立，∴Δ＝4－4(－t2＋2t＋4)<0，解得－1<t<3.5．(2020·周市质检)已知各项均为正数的等比数列{an}满足2a1，a3，a2成等差数列，若存在两项am，an使得＝4a1，则＋的最小值为(　　)A．18  B.  C.  D．3答案　D解析　由2a1，a3，a2成等差数列，可得a1q2＝2a1＋a1q，∴q2－q－2＝0，而q>0，∴q＝2.∵＝4a1，∴2m＋n－2＝16＝24，∴m＋n＝6，∴＋＝(m＋n)＝≥＝3，当且仅当＝即m＝2，n＝4时，等号成立．6．已知y＝，则y的最小值为(　　)A．1  B.  C．2  D．3答案　D解析　令t＝x2＋1，则t≥1且x2＝t－1，∴y＝＝＝＝t＋＋1.∵t≥1，∴t＋≥2＝2，当且仅当t＝，即t＝1时，等号成立，∴当x＝0时，y取得最小值3.7．不等式≥0的解集是________．答案　解析　因为4x＋3≠0，所以x≠－，由≥0，即(2－3x)(4x＋3)≥0，(3x－2)(4x＋3)≤0，解得－<x≤.8．(2020·梅河口五中月考)已知正实数a，b，c满足a2＋b2＝2c2，则＋的最小值为________．答案　2解析　因为2c2＝a2＋b2≥2ab，即c2≥ab，所以＋≥2＝2≥2，当且仅当＝，即a＝b＝c时，等号成立，所以＋的最小值为2.9．(2020·江苏邗江中学模拟)中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为a，b，c，三角形的面积S可由公式S＝求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦－秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足a＋b＝6 cm，c＝4 cm，则此三角形面积的最大值为________ cm2.答案　2解析　由已知条件可得p＝＝5(cm)，∴S＝＝≤＝2(cm2)，当且仅当a＝b＝3 cm时，等号成立．因此，该三角形面积的最大值为2 cm2.10．(2020·渭南模拟)已知函数y＝|logax|(a>0，a≠1)与函数y＝b(b>0)存在两个不同的交点，两交点的横坐标分别为x1，x2(x1<x2)，则2x1＋x2的最小值为________．答案　2解析　由题意，根据函数y＝|logax|的特点，可知0＜x1＜1＜x2，且logax1＋logax2＝0，即loga(x1x2)＝0，x1x2＝1，故x2＝，∴2x1＋x2＝2x1＋≥2＝2.当且仅当2x1＝，即x1＝时，等号成立．11．某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为y＝x2－200x＋80 000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使单位不亏损？解　(1)由题意可知，二氧化碳每吨的平均处理成本为＝x＋－200≥2－200＝200，当且仅当x＝，即x＝400时等号成立，故该单位月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为200元．(2)不获利．设该单位每月获利为S元，则S＝100x－y＝100x－＝－x2＋300x－80 000＝－(x－300)2－35 000，因为x∈[400,600]，所以S∈[－8 0000，－40 000]．故该单位每月不获利，需要国家每月至少补贴40 000元才能不亏损．12．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0，b∈R，c∈R)．(1)若函数f(x)的最小值是f(－1)＝0，且c＝1，F(x)＝求F(2)＋F(－2)的值；(2)若a＝1，c＝0，且|f(x)|≤1在区间(0,1]上恒成立，求b的取值范围．解　(1)因为f(x)的最小值是f(－1)＝0，且c＝1，所以得所以f(x)＝x2＋2x＋1＝(x＋1)2，因为F(x)＝所以F(2)＋F(－2)＝8.(2)由题知f(x)＝x2＋bx，原命题等价于－1≤x2＋bx≤1在x∈(0,1]上恒成立，即b≤－x且b≥－－x在x∈(0,1]上恒成立，根据单调性可得g(x)＝－x的最小值为0，h(x)＝－－x的最大值为－2，所以－2≤b≤0.13．已知直线ax＋by＋c－1＝0(b>0，c>0)经过圆x2＋y2－2y－5＝0的圆心，则＋的最小值是(　　)A．9  B．8  C．4  D．2答案　A解析　圆x2＋y2－2y－5＝0化成标准方程为x2＋(y－1)2＝6，所以圆心为C(0,1)．因为直线ax＋by＋c－1＝0经过圆心C，所以a×0＋b×1＋c－1＝0，即b＋c＝1.因此＋＝(b＋c)＝＋＋5.因为b>0，c>0，所以＋≥2＝4.当且仅当＝时等号成立．由此可得b＝2c，且b＋c＝1，即当b＝，c＝时，＋取得最小值9.14．已知变量x，y满足则z＝的最小值为(　　)A.  B.  C.  D.答案　B解析　由题意作出可行域，如图，因为z＝＝2＋，所以求z的最小值，即求可行域内的动点(x，y)与定点A(0，－1)连线斜率的最小值再加2，数形结合可得，zmin＝kAB＋2，由可得点B(4,1)，所以zmin＝2＋＝.15．(2020·上海市建平中学模拟)已知有限集A＝{a1，a2，…，an}(n≥2，n∈N)，如果A中元素ai(i＝1,2，…，n)满足：a1×2a2×…×nan＝a1＋2a2＋…＋nan，就称A为n元“均衡集”．若{a1，a2}是二元“均衡集”，则2a1＋a2的取值范围是________________．答案　解析　由题可知，a1×2a2＝a1＋2a2，则a1×2a2－a1＝2a2，即a1(2a2－1)＝2a2，若a2＝，不符合题意，舍去；若a2≠，则a1＝，则2a1＋a2＝＋a2＝＋a2＝2＋＋a2＝＋＋a2－，当a2>，即a2－>0时，＋a2－≥2＝2，当且仅当＝a2－，即a2＝时，等号成立，故2a1＋a2≥＋2＝，此时a1＝，不符合集合中元素的互异性；当a2<，即a2－<0时，－≥2＝2，当且仅当＝a2－时，即a2＝－，等号成立，此时a1＝，符合集合的性质，故＋a2－≤－2，故2a1＋a2≤－2＝.综上，2a1＋a2的取值范围是.16.(2020·郑州模拟)如图，在某小区内有一形状为正三角形的草地，该正三角形的边长为20米，在C点处有一喷灌喷头，该喷头喷出的水的射程为10米，其喷射的水刚好能洒满以C为圆心，以10米为半径的圆，在△ABC内部的扇形CPQ区域内，现要在该三角形内修一个直线型步行道，该步行道的两个端点M，N分别在线段CA，CB上，并且与扇形的弧相切于△ABC内的T点，步道宽度忽略不计，设∠MCT＝α.(1)试用α表示该步行道MN的长度；(2)试求出该步行道MN的长度的最小值，并指出此时α的值．解　(1)因为∠ACB＝，所以∠NCT＝－α，因为MN与扇形弧PQ相切于点T，所以CT⊥MN.在Rt△CMT中，因为CT＝10，所以MT＝10tan α，在Rt△CNT中，∠NCT＝－α，所以NT＝10tan，所以MN＝10tan α＋10tan，其中0<α<.(2)因为0<α<，所以0<tan α<，MN＝10tan α＋10tan＝10，令1＋tan α＝t，其中1<t<4，则MN＝10＝10＝≥，当且仅当t＝，即t＝2，α＝时，MN的最小值为，故当α＝时，步行道的长度有最小值米．