北师大版高考数学一轮复习第一章 §1.1　集　合

这是一份北师大版高考数学一轮复习第一章 §1.1　集　合，共11页。试卷主要包含了1　集　合，集合的基本关系等内容，欢迎下载使用。


§1.1 集 合
考试要求 1.了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系，能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题.2.理解集合间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.3.在具体情境中，了解全集与空集的含义.4.理解两个集合的并集、交集与补集的含义，会求两个简单集合的并集、交集与补集.5.能使用Venn图表示集合间的基本关系及集合的基本运算．
1．集合与元素
(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．
(2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示．
(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．
(4)常见数集的记法
2.集合的基本关系
(1)子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任何一个元素都是集合B中的元素，就称集合A是集合B的子集，记作A⊆B或B⊇A.
(2)真子集：对于两个集合A与B，如果A⊆B，并且A≠B，我们就说集合A是集合B的真子集，记作AB或BA.
(3)相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B.
(4)空集：不含任何元素的集合，空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．
3．集合的基本运算
微思考
1．若一个集合A中有n个元素，则集合A有几个子集，几个真子集？
提示 2n，2n－1.
2．从A∩B＝A，A∪B＝A中可以分别得到集合A，B有什么关系？
提示 A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝A⇔B⊆A.
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)任何一个集合都至少有两个子集．( × )
(2){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}．( × )
(3)若1∈{x2，x}，则x＝－1或x＝1.( × )
(4)对任意集合A，B，都有(A∩B)⊆(A∪B)．( √ )
题组二 教材改编
2．若集合A＝{x∈N|2x＋10>3x}，则下列结论正确的是( )
A．2eq \r(2)∉A B．8⊆A
C．{4}∈A D．{10}⊆A
答案 A
3．已知集合P＝{1，a}，Q＝{1，a2}，若P＝Q，则a＝________.
答案 0
4．设全集U＝R，集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|1≤y≤3}，则(∁UA)∪B＝________.
答案 (－∞，0)∪[1，＋∞)
解析 因为∁UA＝{x|x>2或x<0}，B＝{y|1≤y≤3}，所以(∁UA)∪B＝(－∞，0)∪[1，＋∞)．
题组三 易错自纠
5．已知集合A＝{x|x－a>0}，B＝{x|x>1}，若AB，则实数a的取值范围是________．
答案 (1，＋∞)
6．已知集合M＝{x|x－a＝0}，N＝{x|ax－1＝0}，若M∩N＝N，则实数a的值是________．
答案 0或1或－1
解析 易得M＝{a}．∵M∩N＝N，∴N⊆M，
∴N＝∅或N＝M，∴a＝0或a＝±1.
题型一 集合的含义与表示
1．已知集合A＝{x|x＝3k－1，k∈Z}，则下列表示正确的是( )
A．－1∉A B．－11∈A
C．3k2－1∈A D．－34∉A
答案 C
解析 当k＝0时，x＝－1，所以－1∈A，所以A错误；
令－11＝3k－1，得k＝－eq \f(10,3)∉Z，所以－11∉A，所以B错误；
因为k∈Z，所以k2∈Z，则3k2－1∈A，所以C正确；
令－34＝3k－1，得k＝－11，所以－34∈A，所以D错误．
2．已知集合U＝{(x，y)|x2＋y2≤1，x∈Z，y∈Z}，则集合U中的元素的个数为( )
A．3 B．4 C．5 D．6
答案 C
解析 当x＝－1时，y＝0；
当x＝0时，y＝－1,0,1；
当x＝1时，y＝0.
所以U＝{(－1,0)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(1,0)}，共有5个元素．
3．若集合A＝{a－3,2a－1，a2－4}，且－3∈A，则实数a＝________.
答案 0或1
解析 ①当a－3＝－3时，即a＝0，此时A＝{－3，－1，－4}，
②当2a－1＝－3时，即a＝－1，此时A＝{－4，－3，－3}舍，
③当a2－4＝－3时，即a＝±1，由②可知a＝－1舍，则a＝1时，A＝{－2,1，－3}，
综上，a＝0或1.
4．已知a，b∈R，若eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(a，\f(b,a)，1))＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(a2，a＋b，0))，则a2 021＋b2 021＝________.
答案 －1
解析 由已知得a≠0，则eq \f(b,a)＝0，所以b＝0，
于是a2＝1，即a＝1或a＝－1，
又由集合中元素的互异性知a＝1应舍去，故a＝－1，
所以a2 021＋b2 021＝(－1)2 021＋02 021＝－1.
思维升华 解决集合含义问题的关键有三点：一是确定构成集合的元素；二是确定元素的限制条件；三是根据元素的特征(满足的条件)构造关系式解决相应问题．
特别提醒：含字母的集合问题，在求出字母的值后，需要验证集合的元素是否满足互异性．
题型二 集合间的基本关系
例1 (1)已知集合A＝{x∈R|x2－3x＋2＝0}，B＝{x∈N|0答案 4
解析 由题意可得，A＝{1,2}，B＝{1,2,3,4}．
又∵A⊆C⊆B，∴C＝{1,2}或{1,2,3}或{1,2,4}或{1,2,3,4}，共4个．
(2)已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m－1≤x≤m＋1}，且B⊆A，则实数m的取值范围是________．
答案 [－1，＋∞)
解析 ∵B⊆A，
①当B＝∅时，2m－1>m＋1，解得m>2，
②当B≠∅时，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2m－1≤m＋1，,2m－1≥－3，,m＋1≤4，))
解得－1≤m≤2.
综上，实数m的取值范围是[－1，＋∞)．
思维升华 (1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系问题时，必须考虑空集的情况，否则易造成漏解．
(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题．
跟踪训练1 (1)已知集合A＝{x|y＝eq \r(1－x2)，x∈R}，B＝{x|x＝m2，m∈A}，则( )
A．AB B．BA C．A⊆B D．A＝B
答案 B
解析 由题意知A＝{x|－1≤x≤1}，
∴B＝{x|x＝m2，m∈A}＝{x|0≤x≤1}，
∴BA，故选B.
(2)已知集合A＝{x|x2－4x－5≤0}，B＝{x|m－5≤x≤2m＋1}，若AB，则实数m的取值范围是________．
答案 [2,4]
解析 A＝{x|(x＋1)(x－5)≤0}＝{x|－1≤x≤5}，
∵AB，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m－5≤－1，,2m＋1>5))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m－5<－1，,2m＋1≥5，))
解得2≤m≤4.
题型三 集合的基本运算
命题点1 集合的运算
例2 (1)(2020·新高考全国Ⅰ)设集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|2A．{x|2C．{x|1≤x<4} D．{x|1答案 C
解析 A∪B＝{x|1≤x≤3}∪{x|2＝{x|1≤x<4}．
(2)已知全集U＝{1,3,5,7}，集合A＝{1,3}，B＝{3,5}，则如图所示的阴影区域表示的集合为( )
A．{3} B．{7} C．{3,7} D．{1,3,5}
答案 B
解析 由题图可知，阴影区域为∁U(A∪B)．由题意知，A∪B＝{1,3,5}，U＝{1,3,5,7}，则由补集的概念知，
∁U(A∪B)＝{7}．
命题点2 利用集合的运算求参数的值(范围)
例3 (1)已知集合A＝{x|x2－3x<0}，B＝{1，a}，且A∩B有4个子集，则实数a的取值范围是( )
A．(0,3) B．(0,1)∪(1,3)
C．(0,1) D．(－∞，1)∪(3，＋∞)
答案 B
解析 因为A∩B有4个子集，所以A∩B中有2个不同的元素，所以a∈A，所以a2－3a<0，解得0(2)(2020·全国Ⅰ)设集合A＝{x|x2－4≤0}，B＝{x|2x＋a≤0}，且A∩B＝{x|－2≤x≤1}，则a等于( )
A．－4 B．－2 C．2 D．4
答案 B
解析 A＝{x|－2≤x≤2}，B＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≤－\f(a,2))))).
由A∩B＝{x|－2≤x≤1}，知－eq \f(a,2)＝1，
所以a＝－2.
[高考改编题] 已知集合A＝{x|x2－4≤0}，B＝{x|2x＋a≤0}，若A∪B＝B，则实数a的取值范围是( )
A．a<－2 B．a≤－2
C．a>－4 D．a≤－4
答案 D
解析 集合A＝{x|－2≤x≤2}，B＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≤－\f(a,2)))))，
由A∪B＝B可得A⊆B，作出数轴如图．
可知－eq \f(a,2)≥2，即a≤－4.
思维升华 (1)对于集合的交、并、补运算，如果集合中的元素是离散的，可用Venn图表示；如果集合中的元素是连续的，可用数轴表示，此时要注意端点的情况．
(2)运算过程中要注意集合间的特殊关系的使用，灵活使用这些关系，能简化运算．
跟踪训练2 (1)已知全集U＝R，集合A＝{x|2x>4}，B＝{x|(x－1)(x－3)<0}，则(∁UA)∩B等于( )
A．(1,2) B．(1,2]
C．(1,3) D．(－∞，2]
答案 B
解析 A＝{x|2x>4}＝{x|x>2}，∁UA＝{x|x≤2}，
B＝{x|1∴(∁UA)∩B＝{x|1(2)设集合A＝{x|－1≤x<2}，B＝{x|xA．－12
C．a≥－1 D．a>－1
答案 D
解析 在数轴上画出集合A，B(如图)，
观察可知a>－1.
题型四 集合的新定义问题
例4 (1)已知集合A＝{x∈N|x2－2x－3≤0}，B＝{1,3}，定义集合A，B之间的运算“*”：A*B＝{x|x＝x1＋x2，x1∈A，x2∈B}，则A*B中的所有元素数字之和为( )
A．15 B．16 C．20 D．21
答案 D
解析 由x2－2x－3≤0，得(x＋1)(x－3)≤0，得A＝{0,1,2,3}．因为A*B＝{x|x＝x1＋x2，x1∈A，x2∈B}，所以A*B中的元素有：0＋1＝1,0＋3＝3,1＋1＝2,1＋3＝4,2＋1＝3(舍去)，2＋3＝5,
3＋1＝4(舍去)，3＋3＝6，所以A*B＝{1,2,3,4,5,6}，所以A*B中的所有元素数字之和为21.
(2)若集合A1，A2满足A1∪A2＝A，则称(A1，A2)为集合A的一种分拆，并规定：当且仅当A1＝A2时，(A1，A2)与(A2，A1)是集合A的同一种分拆．若集合A有三个元素，则集合A的不同分拆种数是________．
答案 27
解析 不妨令A＝{1,2,3}，∵A1∪A2＝A，
当A1＝∅时，A2＝{1,2,3}，
当A1＝{1}时，A2可为{2,3}，{1,2,3}共2种，
同理A1＝{2}，{3}时，A2各有两种，
当A1＝{1,2}时，A2可为{3}，{1,3}，{2,3}，{1,2,3}共4种，
同理A1＝{1,3}，{2,3}时，A2各有4种，
当A1＝{1,2,3}时，A2可为A1的子集，共8种，
故共有1＋2×3＋4×3＋8＝27种不同的分拆．
素养提升 解决集合新定义问题的关键是
(1)准确转化：解决新定义问题时，一定要读懂新定义的本质含义，紧扣题目所给定义，结合题目所给定义，结合题目的要求进行恰当转化，切忌同已有概念或定义相混淆．
(2)方法选取：对于新定义问题，可恰当选用特例法、筛选法、一般逻辑推理等方法，并结合集合的相关性质求解．
(3)从新定义出发，结合集合的性质求解，提升逻辑推理核心素养．
跟踪训练3 (2020·西安模拟)定义一种新的集合运算※：A※B＝{x|x∈A且x∉B}．若集合A＝{x|x2－4x＋3<0}，B＝{x|2≤x≤4}，则按运算※，B※A等于( )
A．{x|3C．{x|3答案 B
解析 由题意知，A＝{x|1课时精练
1．已知集合U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{2,3,4,5}，B＝{2,3,6,7}，则B∩(∁UA)等于( )
A．{1,6} B．{1,7} C．{6,7} D．{1,6,7}
答案 C
解析 ∵U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{2,3,4,5}，
∴∁UA＝{1,6,7}．
又B＝{2,3,6,7}，∴B∩(∁UA)＝{6,7}．
2．设集合M＝{x|x2＝x}，N＝{x|lg x≤0}，则M∪N等于( )
A．[0,1] B．(0,1]
C．[0,1) D．(－∞，1]
答案 A
解析 ∵M＝{0,1}，N＝{x|0∴M∪N＝{x|0≤x≤1}．
3．设集合A＝{(x，y)|x＋y＝2}，B＝{(x，y)|y＝x2}，则A∩B等于( )
A．{(1,1)} B．{(－2,4)}
C．{(1,1)，(－2,4)} D．∅
答案 C
解析 首先注意到集合A与集合B均为点集，
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y＝2，,y＝x2，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝1))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－2，,y＝4.))
从而集合A∩B＝{(1,1)，(－2,4)}．
4．已知集合A＝{x∈N＋|x2－3x－4<0}，则集合A的真子集有( )
A．7个 B．8个 C．15个 D．16个
答案 A
解析 ∵集合A＝{x∈N＋|x2－3x－4<0}＝{x∈N＋|－1∴集合A中共有3个元素，∴真子集有23－1＝7(个)．
5．设集合M＝{x|x2－x>0}，N＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,x)<1))))，则( )
A．MN B．NM
C．M＝N D．M∪N＝R
答案 C
解析 集合M＝{x|x2－x>0}＝{x|x>1或x<0}，N＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,x)<1))))＝{x|x>1或x<0}，所以M＝N.
6．设集合M＝{x|x＝4n＋1，n∈Z}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈Z}，则( )
A．MN B．NM
C．M∈N D．N∈M
答案 A
解析 N＝{x|x＝2n＋1，n∈Z}，
当n＝2k，k∈Z时，N＝{x|x＝4k＋1，k∈Z}＝M，
当n＝2k＋1，k∈Z时，N＝{x|x＝4k＋3，k∈Z}，
所以MN.
7．已知集合A＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x∈Z\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(3,2－x)∈Z))))，则集合A中的元素个数为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
答案 C
解析 因为eq \f(3,2－x)∈Z，且x∈Z，所以2－x的取值有－3，－1,1,3，所以x的值分别为5,3,1，－1，故集合A中的元素个数为4.
8．已知集合A＝{x|－1A．[－2,4] B．(－2,4)
C．(－∞，－2)∪(4，＋∞) D．(－∞，－2]∪[4，＋∞)
答案 D
解析 ∁RA＝{x|x≤－1或x≥3}，
∵B⊆(∁RA)且B≠∅，
∴a＋1≤－1或a－1≥3，
解得a≤－2或a≥4.
9．已知集合A＝{1,3，eq \r(m)}，B＝{1，m}，若B⊆A，则m＝________.
答案 0或3
解析 因为B⊆A，所以m＝3或m＝eq \r(m).即m＝3或m＝0或m＝1，根据集合中元素的互异性可知m≠1，所以m＝0或3.
10．已知集合A＝{x|－5答案 0
解析 ∵A∩B＝(－1，n)，∴m＝－1，n＝1，
∴m＋n＝0.
11．设集合M＝{y|y＝2cs x，x∈[0,5]}，N＝{x|y＝lg2(x－1)}，则M∩N＝________.
答案 {x|1解析 ∵M＝{y|y＝2cs x，x∈[0,5]}＝{y|－2≤y≤2}，N＝{x|y＝lg2(x－1)}＝{x|x>1}，
∴M∩N＝{y|－2≤y≤2}∩{x|x>1}＝{x|112．已知集合A＝{a，b,2}，B＝{2，b2，2a}，若A＝B，则a＋b＝________.
答案 eq \f(3,4)或1
解析 由A＝B，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝2a，,b＝b2))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝b2，,b＝2a.))
解eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝2a，,b＝b2，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝0，,b＝0))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝0，,b＝1，))
解eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝b2，,b＝2a，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝0，,b＝0))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝\f(1,4)，,b＝\f(1,2)，))
又由集合中元素的互异性，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝0，,b＝1))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝\f(1,4)，,b＝\f(1,2)，))
所以a＋b＝1或a＋b＝eq \f(3,4).
13．已知集合A＝{x∈R||x＋2|<3}，集合B＝{x∈R|(x－m)(x－2)<0}，且A∩B＝(－1，n)，则m＝______，n＝________.
答案 －1 1
解析 A＝{x∈R||x＋2|<3}＝{x∈R|－5由A∩B＝(－1，n)，可知m<1，
则B＝{x|m14．已知集合A＝{x|(x－1)(x－a)≥0}，B＝{x|x≥a－1}，若A∪B＝R，则实数a的取值范围为________．
答案 (－∞，2]
解析 当a>1时，A＝(－∞，1]∪[a，＋∞)，B＝[a－1，＋∞)，当a－1≤1时，A∪B＝R，故1[1，＋∞)，B＝[a－1，＋∞)，又∵a－1(－∞，2]．
15．当两个集合有公共元素，且互不为对方的子集时，我们称这两个集合“相交”．对于集合M＝{x|ax2－1＝0，a>0}，N＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(1,2)，1))，若M与N“相交”，则a＝________.
答案 1
解析 M＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(－\f(1,\r(a))，\f(1,\r(a))))，由eq \f(1,\r(a))＝eq \f(1,2)，得a＝4，由eq \f(1,\r(a))＝1，得a＝1.
当a＝4时，M＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(1,2)))，此时M⊆N，不合题意；
当a＝1时，M＝{－1,1}，满足题意．
16．已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2－ax＋3a－5＝0}，若A∩B＝B，则实数a的取值范围是________．
答案 [2,10)
解析 由题意，可得A＝{x|x2－3x＋2＝0}＝{1,2}，
因为A∩B＝B，所以B⊆A.
(1)当B＝∅时，方程x2－ax＋3a－5＝0无解，则Δ＝a2－4(3a－5)<0，解得2(2)当B≠∅时，若B⊆A，则B＝{1}或{2}或{1,2}．
①当B＝{1}时，1－a＋3a－5＝0，得a＝2，此时B＝{x|x2－2x＋1＝0}＝{1}，满足题意；
②当B＝{2}时，4－2a＋3a－5＝0，得a＝1，此时B＝{x|x2－x－2＝0}＝{－1,2}，不满足题意，即a≠1；
③当B＝{1,2}时，根据根与系数的关系可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1＋2＝a，,1×2＝3a－5，))此时无解．
综上得，实数a的取值范围为[2,10)．集合
非负整数集(或自然数集)
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
N
N＋(或N*)
Z
Q
R
表示
运算
文字语言
集合语言
图形语言
记法
交集
既属于集合A又属于集合B的所有元素组成的集合
{x|x∈A，且x∈B}
A∩B
并集
由属于集合A或属于集合B的所有元素组成的集合
{x|x∈A，或x∈B}
A∪B
补集
全集U中所有不属于集合A的元素组成的集合叫作U中子集A的补集
{x|x∈U，且x∉A}
∁UA