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    专题10 因动点产生的面积问题-版突破中考数学压轴之学霸秘笈大揭秘 学生版+教师版
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    专题10 因动点产生的面积问题-版突破中考数学压轴之学霸秘笈大揭秘 学生版+教师版

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    这是一份专题10 因动点产生的面积问题-版突破中考数学压轴之学霸秘笈大揭秘 学生版+教师版,文件包含专题10二次函数与线段关系及最值定值问题-版突破中考数学压轴之学霸秘笈大揭秘学生版doc、专题10二次函数与线段关系及最值定值问题-版突破中考数学压轴之学霸秘笈大揭秘教师版doc等2份试卷配套教学资源,其中试卷共73页, 欢迎下载使用。

    
    专题10 二次函数与线段关系及最值定值问题
    【类型综述】
    图形运动的过程中,求两条线段之间的函数关系,是中考数学的热点问题.[来源:ZXXK]
    产生两条线段间的函数关系,常见的情况有两种,一是勾股定理,二是比例关系.还有一种不常见的,就是线段全长等于部分线段之和.由比例线段产生的函数关系问题,在两种类型的题目中比较常用.
    一是由平行线产生的对于线段成比例,二是相似三角形的对应边成比例.
    一般步骤是先说理产生比例关系,再代入数值或表示数的字母,最后整理、变形,根据要求写出定义域.关键是寻找比例关系,难点是有的整理、变形比较繁琐,容易出错.
    【方法揭秘】
    由勾股定理产生的函数关系,在两种类型的题目中比较常用.
    类型一,已知“边角边”,至少一边是动态的,求角的对边.如图1,已知点A的坐标为(3, 4),点B是x轴正半轴上的一个动点,设OB=x,AB=y,那么我们在直角三角形ABH中用勾股定理,就可以得到y关于x的函数关系式.
    类型二,图形的翻折.已知矩形OABC在坐标平面内如图2所示,AB=5,点O沿直线EF翻折后,点O的对应点D落在AB边上,设AD=x,OE=y,那么在直角三角形AED中用勾股定理就可以得到y关于x的函数关系式.

    图1 图2
    【典例分析】
    例1 如图1,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,∠B=60°,BC=16cm,AD是斜边BC上的高,垂足为D,BE=1cm,点M从点B出发沿BC方向以1cm/s的速度运动,点N从点E出发,与点M同时同方向以相同的速度运动.以MN为边在BC的上方作正方形MNGH.点M到达点D时停止运动,点N到达点C时停止运动.设运动时间为t(s).
    (1)当t为何值时,点G刚好落在线段AD上?
    (2)设正方形MNGH与Rt△ABC重叠部分的图形的面积为S.当重叠部分的图形是正方形时,求出S关于t的函数关系式并写出自变量t的取值范围;
    (3)设正方形MNGH的边NG所在直线与线段AC交于点P,连结DP,当t为何值时,△CPD是等腰三角形?

    图1
    思路点拨
    1.用含t的式子把直线BC上的线段长都表示出来.
    2.重叠部分的图形是正方形,临界时刻是点H落在AB上,和点G落在AC上.
    3.等腰三角形CPD不存在DP=DC的情况,因为以DC为半径的圆D与线段AC只有一个交点.
    满分解答


    图2 图3

    由AD=,得.解得.所以4≤t≤.

    图4 图5
    (3)等腰三角形CPD存在两种情况:
    ①如图6,当PC=PD时,点P在DC的垂直平分线上,N是DC的中点.
    此时t=3+6=9.
    ②如图7,当CP=CD=12时,在Rt△CPN中,由cos30°=,得.此时t=.

    图6 图7
    考点伸展

    (1)求A、B、C三点的坐标和曲线y2的表达式;
    (2)过点C作CD//x轴交曲线y1于点D,连结AD,在曲线y2上有一点M,使得四边形ACDM为筝形(如果一个四边形的一条对角线被另一条对角线垂直平分,这样的四边形为筝形),请求出点M的横坐标;
    (3)设直线CM与轴交于点N,试问在线段MN下方的曲线y2上是否存在一点P,使△PMN的面积最大?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.

    图1
    思路点拨
    1.由A、C、D的坐标可以得到△ACD是底角为30°的等腰三角形,于是可知直线MN(直线CN)与y轴的夹角为30°.
    2.过点P作x轴的垂线交MN于E,那么△PMN分割为有公共底边PE的两个三角形,这两个三角形的高的和为定值.
    满分解答

    y2上.因此只存在MC垂直平分AD的情况.

    图2 图3
    如图2,如图3,过点A、M分别作x轴的垂线,与直线CD分别交于点G、H,那么
    ∠ADG=∠CMH.
    由于tan∠ADG==,所以∠ADC=30°.因此.
    设M,那么.
    整理,得x2-13x+24=0.解得.所以点M的横坐标为.

    设P,E,那么
    PE==
    =.
    所以当时,PE取得最大值,△PMN面积最大.此时P.

    图4 图5
    考点伸展
    第(3)题也可以这样思考:
    如图5,由于MN是定值,因此点P到MN的距离最大时,△PMN的面积也最大.
    过点P作MN的平行线,当这条直线与抛物线y2只有一个交点时,两条平行线间的距离最大,也就是说方程组只有一组解,即∆=0.解得.
    例3如图1,△ABC为等边三角形,边长为a,点F在BC边上,DF⊥AB,EF⊥AC,垂足分别为D、E.

    (1)求证:△BDF∽△CEF;
    (2)若a=4,设BF=m,四边形ADFE面积为S,求出S与m之间的函数关系,并探究当m为何值时S取得最大值;
    (3)已知A、D、F、E四点共圆,已知tan∠EDF=,求此圆的直径(用含a的式子表示).
    思路点拨
    1.用割补法求四边形ADFE的面积比较简单.
    2.当A、D、F、E四点共圆时,由于∠EDF=∠EAF,那么在△ACF中,两角及夹边就是确定的,可以解这个三角形.
    满分解答

    在Rt△CEF中,∠C=60°,CF=4-m,所以,.
    所以S△CEF==.

    在Rt△ECF中,∠C=60°,所以.因此EC=x.[来源:Zxxk.Com]
    由AC=EA+EC=a,得2x+x=a.所以x=.
    所以在Rt△EAF中,EF=,EA=,由勾股定理,得圆的直径AF=.

    图2 图3 图4
    考点伸展
    第(2)题也可以求△ADF与△AEF的面积和.
    由于,,所以AD=,S△ADF=.
    由于,,所以AE=,S△AEF=.
    因此S=S△ADF+S△AEF==.
    例4如图1,图2,已知四边形ABCD为正方形,在射线AC上有一动点P,作PE⊥AD(或延长线)于E,作PF⊥DC(或延长线)于F,作射线BP交EF于G.
    (1)在图1中,正方形ABCD的边长为2,四边形ABFE的面积为y,设AP=,求y关于的函数表达式;
    (2)GB⊥EF对于图1,图2都是成立的,请任选一图形给出证明;
    (3)请根据图2证明:△FGC∽△PFB.

    图1 图2
    思路点拨
    1.四边形ABFE可以用大正方形减去两个直角三角形得到.
    2.画直线EP、FP,把正方形分割为两个正方形和两个全等的矩形.
    满分解答
    =4--=.

    图3 图4
    (2)如图4,因为tan∠EFP=,tan∠PBN=,且PE=NP,PF=NB,所以
    ∠EFP=∠PBN.
    又因为∠1=∠2,∠1+∠PBN=90°,所以∠2+∠EFP=90°.所以GB⊥EF.
    (3)如图5,由于GB⊥EF,∠BCF=90°,所以B、C、G、F四点共圆.
    所以∠FCG=∠PBF,∠CGB=∠CFB.
    又因为∠CGF=∠CGB+90°,∠BFP=∠CFB+90°,所以∠CGF=∠BFP.
    所以△FGC∽△PFB.

    图5 图6 图7
    考点伸展
    如图6, 由于tan∠EFP=tan∠PBN, 所以∠EFP=∠PBN.
    又因为∠PBN+∠1=90°,所以∠EFP+∠1=90°.
    因此这种情况下,依然有BG⊥EF.
    第(1)题还有更简便的割补办法:如图7,连结EN.
    由于S四边形NBFE=S△ENF+S△BNF=,
    S△AEN=,所以y=S四边形ABFE=S四边形NBFE+S△AEN=.
    例5已知抛物线y=x2+(2m-1)x+m2-1经过坐标原点,且当<0时,y随x的增大而减小。
    (1)求抛物线的解析式,并写出y < 0时,对应x的取值范围;
    (2)设点A是该抛物线上位于x轴下方的一个动点,过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点D,再作AB⊥x轴于点B, DC⊥x轴于点C.
    ①当BC=1时,直接写出矩形ABCD的周长;
    ②设动点A的坐标为(a, b),将矩形ABCD的周长L表示为a的函数并写出自变量的取值范围,判断周长是否存在最大值,如果存在,求出这个最大值,并求出此时点A的坐标;如果不存在,请说明理由.
    思路点拨
    1.先用含a的式子表示线段AB、AD的长,再把L表示为a的函数关系式.
    2.点A与点D关于抛物线的对称轴对称,根据对称性,点A的位置存在两个情况.
    满分解答

    图1 图2 图3

    考点伸展
    第(2)①题的思路是:如图2,抛物线的对称轴是直线,当BC=1时,点B的坐标为(1, 0),此时点A的横坐标为1,可以求得AB=2。
    第(2)②题中,L随a变化的图像如图4所示。

    图4
    【变式训练】
    1.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+2ax﹣3a(a<0)与x轴相交于A,B两点,与y轴相交于点C,顶点为D,直线DC与x轴相交于点E.
    (1)当a=﹣1时,求抛物线顶点D的坐标,OE等于多少;
    (2)OE的长是否与a值有关,说明你的理由;
    (3)设∠DEO=β,45°≤β≤60°,求a的取值范围;
    (4)以DE为斜边,在直线DE的左下方作等腰直角三角形PDE.设P(m,n),直接写出n关于m的函数解析式及自变量m的取值范围.

    【答案】(1)(﹣1,4),3;(2)结论:OE的长与a值无关.理由见解析;(3)﹣≤a≤﹣1;(4)n=﹣m﹣1(m<1).
    【解析】
    【分析】
    (1)求出直线CD的解析式即可解决问题;
    (2)利用参数a,求出直线CD的解析式求出点E坐标即可判断;
    (3)求出落在特殊情形下的a的值即可判断;
    (4)如图,作PM⊥对称轴于M,PN⊥AB于N.两条全等三角形的性质即可解决问题.
    【详解】
    解:(1)当a=﹣1时,抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3,
    ∴顶点D(﹣1,4),C(0,3),
    ∴直线CD的解析式为y=﹣x+3,
    ∴E(3,0),
    ∴OE=3,

    (3)当β=45°时,OC=OE=3,
    ∴﹣3a=3,
    ∴a=﹣1,
    当β=60°时,在Rt△OCE中,OC=OE=3,
    ∴﹣3a=3,
    ∴a=﹣,
    ∴45°≤β≤60°,a的取值范围为﹣≤a≤﹣1.
    (4)如图,作PM⊥对称轴于M,PN⊥AB于N.


    ∴n=﹣m﹣1,
    当顶点D在x轴上时,P(1,﹣2),此时m的值1,
    ∵抛物线的顶点在第二象限,
    ∴m<1.
    ∴n=﹣m﹣1(m<1).
    故答案为:(1)(﹣1,4),3;(2)OE的长与a值无关;(3)﹣≤a≤﹣1;(4)n=﹣m﹣1(m<1).
    2.如图,抛物线与轴交于,,两点(点在点的左侧),与轴交于点,且,的平分线交轴于点,过点且垂直于的直线交轴于点,点是轴下方抛物线上的一个动点,过点作轴,垂足为,交直线于点.
    (1)求抛物线的解析式;
    (2)设点的横坐标为,当时,求的值;
    (3)当直线为抛物线的对称轴时,以点为圆心,为半径作,点为上的一个动点,求的最小值.

    【答案】(1)yx2x﹣3;(2);(3).
    【解析】
    【分析】
    对于(1),结合已知先求出点B和点C的坐标,再利用待定系数法求解即可;
    对于(2),在Rt△OAC中,利用三角函数的知识求出∠OAC的度数,再利用角平分线的定义求出∠OAD的度数,进而得到点D的坐标;接下来求出直线AD的解析式,表示出点P,H,F的坐标,再利用两点间的距离公式可完成解答;对于(3),首先求出⊙H的半径,在HA上取一点K,使得HK=14,此时K(-,);然后由HQ2=HK·HA,得到△QHK∽△AHQ,再利用相似三角形的性质求出KQ=AQ,进而可得当E、Q、K共线时,AQ+EQ的值最小,据此解答.
    【详解】
    (1)由题意A(,0),B(﹣3,0),C(0,﹣3),设抛物线的解析式为y=a(x+3)(x),把C(0,﹣3)代入得到a,∴抛物线的解析式为yx2x﹣3.
    (2)在Rt△AOC中,tan∠OAC,∴∠OAC=60°.

    (3)如图,∵PF是对称轴,∴F(,0),H(,﹣2).
    ∵AH⊥AE,∴∠EAO=60°,∴EOOA=3,∴E(0,3).

    ∵C(0,﹣3),∴HC2,AH=2FH=4,∴QHCH=1,在HA上取一点K,使得HK,此时K().
    ∵HQ2=1,HK•HA=1,∴HQ2=HK•HA,∴.
    ∵∠QHK=∠AHQ,∴△QHK∽△AHQ,∴,∴KQAQ,∴AQ+QE=KQ+EQ,∴当E、Q、K共线时,AQ+QE的值最小,最小值.
    3.如图1,抛物线的顶点A的坐标为(1,4),抛物线与x轴相交于B、C两点,与y轴交于点E(0,3).
    (1)求抛物线的表达式;
    (2)已知点F(0,﹣3),在抛物线的对称轴上是否存在一点G,使得EG+FG最小,如果存在,求出点G的坐标;如果不存在,请说明理由.
    (3)如图2,连接AB,若点P是线段OE上的一动点,过点P作线段AB的垂线,分别与线段AB、抛物线相交于点M、N(点M、N都在抛物线对称轴的右侧),当MN最大时,求△PON的面积.

    【答案】(1)y=﹣x2+2x+3;(2)存在,G(1,0);(3)2.
    【解析】
    【分析】
    (1)根据顶点式可求得抛物线的表达式;
    (2)根据轴对称的最短路径问题,作E关于对称轴的对称点E′,连接E′F交对称轴于G,此时EG+FG的值最小,先求E′F的解析式,它与对称轴的交点就是所求的点G;
    (3)如图2,先利用待定系数法求AB的解析式,过N作NH⊥x轴于H,交AB于Q,设N(m,﹣m2+2m+3),则Q(m,﹣2m+6)(1<m<3),表示NQ=﹣m2+4m﹣3,证明△QMN∽△ADB,列比例式可得MN的表达式,根据配方法可得当m=2时,MN有最大值,证明△NGP∽△ADB,同理得PG的长,从而得OP的长,根据三角形的面积公式可得结论,并将m=2代入计算即可.
    【详解】
    (1)设抛物线的表达式为:y=a(x﹣1)2+4,
    把(0,3)代入得:3=a(0﹣1)2+4,
    a=﹣1,
    ∴抛物线的表达式为:y=﹣(x﹣1)2+4=﹣x2+2x+3;
    (2)存在,如图1,作E关于对称轴的对称点E',连接E'F交对称轴于G,此时EG+FG的值最小.
    ∵E(0,3),∴E'(2,3),
    设EF的解析式为y=k′x+b′,
    把F(0,﹣3),E'(2,3)分别代入,得,解得,
    所以E'F的解析式为:y=3x﹣3,
    当x=1时,y=3×1﹣3=0,∴G(1,0);

    ∴MN(m﹣2)2
    0,
    ∴当m=2时,MN有最大值;
    过N作NG⊥y轴于G,
    ∵∠GPN=∠ABD,∠NGP=∠ADB=90°,∴△NGP∽△ADB,
    ∴,∴PGNGm,
    ∴OP=OG﹣PG=﹣m2+2m+3m=﹣m2m+3,
    ∴S△PONOP•GN(﹣m2m+3)•m,
    当m=2时,S△PON2(﹣4+3+3)=2.

    4.如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线y=x2+x﹣2与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,直线l经过A,C两点,连接BC.
    (1)求直线l的解析式;
    (2)若直线x=m(m<0)与该抛物线在第三象限内交于点E,与直线l交于点D,连接OD.当OD⊥AC时,求线段DE的长;
    (3)取点G(0,﹣1),连接AG,在第一象限内的抛物线上,是否存在点P,使∠BAP=∠BCO﹣∠BAG?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.

    【答案】(1)y=;(2)DE=;(3)存在点P(,),使∠BAP=∠BCO﹣∠BAG,理由见解析.
    【解析】
    【分析】
    (1)根据题目中的函数解析式可以求得点A和点C的坐标,从而可以求得直线l的函数解析式;
    (2)根据题意作出合适的辅助线,利用三角形相似和勾股定理可以解答本题;
    (3)根据题意画出相应的图形,然后根据锐角三角函数可以求得∠OAC=∠OCB,然后根据题目中的条件和图形,利用锐角三角函数和勾股定理即可解答本题.
    【详解】
    (1)∵抛物线y=x2+x-2,
    ∴当y=0时,得x1=1,x2=-4,当x=0时,y=-2,
    ∵抛物线y=x2+x-2与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,
    ∴点A的坐标为(-4,0),点B(1,0),点C(0,-2),
    ∵直线l经过A,C两点,设直线l的函数解析式为y=kx+b,
    ,得,
    即直线l的函数解析式为y=−x−2;
    (2)直线ED与x轴交于点F,如图1所示,

    由(1)可得,
    AO=4,OC=2,∠AOC=90°,
    ∴AC=2,
    ∴OD=,
    ∵OD⊥AC,OA⊥OC,∠OAD=∠CAO,
    ∴△AOD∽△ACO,

    ∴EF=,
    ∴DE=EF-FD=−=;
    (3)存在点P,使∠BAP=∠BCO-∠BAG,
    理由:作GM⊥AC于点M,作PN⊥x轴于点N,如图2所示,


    ∴AM==,
    ∴tan∠GAM=,
    ∴tan∠PAN=,
    设点P的坐标为(n,n2+n-2),
    ∴AN=4+n,PN=n2+n-2,
    ∴,
    解得,n1=,n2=-4(舍去),
    当n=时,n2+n-2=,
    ∴点P的坐标为(,),
    即存在点P(,),使∠BAP=∠BCO-∠BAG.
    5.如图,以D为顶点的抛物线y=﹣x2+bx+c交x轴于A、B两点,交y轴于点C,直线BC的表达式为y=﹣x+3.
    (1)求抛物线的表达式;
    (2)在直线BC上有一点P,使PO+PA的值最小,求点P的坐标;
    (3)在x轴上是否存在一点Q,使得以A、C、Q为顶点的三角形与△BCD相似?若存在,请求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.

    【答案】(1)y=﹣x2+2x+3;(2)P ( ,);(3)当Q的坐标为(0,0)或(9,0)时,以A、C、Q为顶点的三角形与△BCD相似.
    【解析】
    【分析】
    (1)先求得点B和点C的坐标,然后将点B和点C的坐标代入抛物线的解析式得到关于b、c的方程,从而可求得b、c的值;(2)作点O关于BC的对称点O′,则O′(3,3),则OP+AP的最小值为AO′的长,然后求得AO′的解析式,最后可求得点P的坐标;(3)先求得点D的坐标,然后求得CD、BC、BD的长,依据勾股定理的逆定理证明△BCD为直角三角形,然后分为△AQC∽△DCB和△ACQ∽△DCB两种情况求解即可.
    【详解】
    (1)把x=0代入y=﹣x+3,得:y=3,
    ∴C(0,3).
    把y=0代入y=﹣x+3得:x=3,
    ∴B(3,0),A(﹣1,0).
    将C(0,3)、B(3,0)代入y=﹣x2+bx+c得: ,解得b=2,c=3.
    ∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3.
    (2)如图所示:作点O关于BC的对称点O′,则O′(3,3).

    ∵O′与O关于BC对称,
    ∴PO=PO′.
    ∴OP+AP=O′P+AP≤AO′.
    ∴OP+AP的最小值=O′A==5.
    O′A的方程为y=
    P点满足解得:
    所以P ( ,)

    又∵∠AOC=DCB=90°,
    ∴△AOC∽△DCB.
    ∴当Q的坐标为(0,0)时,△AQC∽△DCB.
    如图所示:连接AC,过点C作CQ⊥AC,交x轴与点Q.

    ∵△ACQ为直角三角形,CO⊥AQ,
    ∴△ACQ∽△AOC.
    又∵△AOC∽△DCB,
    ∴△ACQ∽△DCB.
    ∴,即,解得:AQ=10.
    ∴Q(9,0).
    综上所述,当Q的坐标为(0,0)或(9,0)时,以A、C、Q为顶点的三角形与△BCD相似.
    6.如图,已知抛物线(>0)与轴交于A,B两点(A点在B点的左边),与轴交于点C。
    (1)如图1,若△ABC为直角三角形,求的值;
    (2)如图1,在(1)的条件下,点P在抛物线上,点Q在抛物线的对称轴上,若以BC为边,以点B,C,P,Q为顶点的四边形是平行四边形,求P点的坐标;
    (3)如图2,过点A作直线BC的平行线交抛物线于另一点D,交轴交于点E,若AE:ED=1:4,求的值.

    【答案】(1);(2)点P的坐标为 ;(3).
    【解析】
    【分析】
    (1)利用三角形相似可求AO•OB,再由一元二次方程根与系数关系求AO•OB构造方程求n;
    (2)求出B、C坐标,设出点Q坐标,利用平行四边形对角线互相平分性质,分类讨论点P坐标,分别代入抛物线解析式,求出Q点坐标;
    (3)设出点D坐标(a,b),利用相似表示OA,再由一元二次方程根与系数关系表示OB,得到点B坐标,进而找到b与a关系,代入抛物线求a、n即可.
    【详解】

    (2)由(1)当=0时
    解得x1=-1,x2=4
    ∴OA=1,OB=4
    ∴B(4,0),C(0,-2)
    ∵抛物线对称轴为直线x=-=−
    ∴设点Q坐标为(,b)
    由平行四边形性质可知
    当BQ、CP为平行四边形对角线时,点P坐标为(,b+2)
    代入y=x2-x-2
    解得b=,则P点坐标为(,)
    当CQ、PB为为平行四边形对角线时,点P坐标为(-,b-2)
    代入y=x2-x-2
    解得b=,则P坐标为(-,)
    综上点P坐标为(,),(-,);

    将点A(-a,0),D(a,a2)代入y=x2-x-n

    解得a=6或a=0(舍去)
    则n= .
    7.(题文)如图,在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,直线l与抛物线相交于A(1,),B(4,0)两点.

    (1)求出抛物线的解析式;
    (2)在坐标轴上是否存在点D,使得△ABD是以线段AB为斜边的直角三角形?若存在,求出点D的坐标;若不存在,说明理由;
    (3)点P是线段AB上一动点,(点P不与点A、B重合),过点P作PM∥OA,交第一象限内的抛物线于点M,过点M作MC⊥x轴于点C,交AB于点N,若△BCN、△PMN的面积S△BCN、S△PMN满足S△BCN=2S△PMN,求出的值,并求出此时点M的坐标.
    【答案】(1);(2)D(1,0)或(0,)或(0,);(3),M(,).
    【解析】
    【分析】
    (1)由A、B两点的坐标,利用待定系数法可求得抛物线解析式;
    (2)分D在x轴上和y轴上,当D在x轴上时,过A作AD⊥x轴,垂足D即为所求;当D点在y轴上时,设出D点坐标为(0,d),可分别表示出AD、BD,再利用勾股定理可得到关于d的方程,可求得d的值,从而可求得满足条件的D点坐标;
    (3)过P作PF⊥CM于点F,利用Rt△ADO∽Rt△MFP以及三角函数,可用PF分别表示出MF和NF,从而可表示出MN,设BC=a,则可用a表示出CN,再利用S△BCN=2S△PMN,可用PF表示出a的值,从而可用PF表示出CN,可求得的值;借助a可表示出M点的坐标,代入抛物线解析式可求得a的值,从而可求出M点的坐标.
    【详解】
    (1)∵A(1,),B(4,0)在抛物线的图象上,∴,解得,∴抛物线解析式为;

    (3)如图2,过P作PF⊥CM于点F,
    ∵PM∥OA,∴Rt△ADO∽Rt△MFP,
    ∴=,∴MF=PF,
    在Rt△ABD中,BD=3,AD=,
    ∴tan∠ABD=,∴∠ABD=60°,
    设BC=a,则CN=a,
    在Rt△PFN中,∠PNF=∠BNC=30°,
    ∴tan∠PNF=,
    ∴FN=PF,∴MN=MF+FN=PF,
    ∵S△BCN=2S△PMN,
    ∴,
    ∴a=PF,
    ∴NC=a=PF,
    ∴==,
    ∴MN=NC==a,
    ∴MC=MN+NC=()a,
    ∴M点坐标为(4﹣a,()a),
    又M点在抛物线上,代入可得=()a,解得a=或a=0(舍去),OC=4﹣a=,MC=,
    ∴点M的坐标为(,).

    8.如图,在平面角坐标系中,抛物线C1:y=ax2+bx﹣1经过点A(﹣2,1)和点B(﹣1,﹣1),抛物线C2:y=2x2+x+1,动直线x=t与抛物线C1交于点N,与抛物线C2交于点M.
    (1)求抛物线C1的表达式;
    (2)直接用含t的代数式表示线段MN的长;
    (3)当△AMN是以MN为直角边的等腰直角三角形时,求t的值;
    (4)在(3)的条件下,设抛物线C1与y轴交于点P,点M在y轴右侧的抛物线C2上,连接AM交y轴于点k,连接KN,在平面内有一点Q,连接KQ和QN,当KQ=1且∠KNQ=∠BNP时,请直接写出点Q的坐标.

    【答案】(1)抛物线C1:解析式为y=x2+x﹣1;(2)MN=t2+2;(3)t的值为1或0;(4)满足条件的Q点坐标为:(0,2)、(﹣1,3)、(,)、(,)
    【解析】【分析】(1)利用待定系数法进行求解即可;
    (2)把x=t代入函数关系式相减即可得;
    (3)根据图形分别讨论∠ANM=90°、∠AMN=90°时的情况即可得;
    (4)根据题意画出满足条件图形,可以找到AN为△KNP对称轴,由对称性找到第一个满足条件Q,再通过延长和圆的对称性找到剩余三个点,利用勾股定理进行计算.
    【详解】(1)∵抛物线C1:y=ax2+bx﹣1经过点A(﹣2,1)和点B(﹣1,﹣1),
    ∴,解得:,
    ∴抛物线C1:解析式为y=x2+x﹣1;
    (2)∵动直线x=t与抛物线C1交于点N,与抛物线C2交于点M,
    ∴点N的纵坐标为t2+t﹣1,点M的纵坐标为2t2+t+1,
    ∴MN=(2t2+t+1)﹣(t2+t﹣1)=t2+2;

    (4)由(3)可知t=1时M位于y轴右侧,根据题意画出示意图如图:

    易得K(0,3),B、O、N三点共线,
    ∵A(﹣2,1),N(1,1),P(0,﹣1),
    ∴点K、P关于直线AN对称,
    设⊙K与y轴下方交点为Q2,则其坐标为(0,2),
    ∴Q2与点O关于直线AN对称,
    ∴Q2是满足条件∠KNQ=∠BNP,
    则NQ2延长线与⊙K交点Q1,Q1、Q2关于KN的对称点Q3、Q4也满足∠KNQ=∠BNP,
    由图形易得Q1(﹣1,3),
    设点Q3坐标为(a,b),由对称性可知Q3N=NQ1=BN=2,
    由∵⊙K半径为1,
    ∴,解得:,,
    同理,设点Q4坐标为(a,b),由对称性可知Q4N=NQ2=NO=,
    ∴,解得:,,
    ∴满足条件的Q点坐标为:(0,2)、(﹣1,3)、(,)、(,).
    9.如图,抛物线y=x2+bx+c与直线y=x+3交于A,B两点,交x轴于C、D两点,连接AC、BC,已知A(0,3),C(﹣3,0).
    (1)求抛物线的解析式;
    (2)在抛物线对称轴l上找一点M,使|MB﹣MD|的值最大,并求出这个最大值;
    (3)点P为y轴右侧抛物线上一动点,连接PA,过点P作PQ⊥PA交y轴于点Q,问:是否存在点P使得以A,P,Q为顶点的三角形与△ABC相似?若存在,请求出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.

    【答案】(1)抛物线的解析式是y=x2+x+3;(2)|MB﹣MD|取最大值为;(3)存在点P(1,6).
    【解析】分析:(1)根据待定系数法,可得函数解析式;
    (2)根据对称性,可得MC=MD,根据解方程组,可得B点坐标,根据两边之差小于第三边,可得B,C,M共线,根据勾股定理,可得答案;
    (3)根据等腰直角三角形的判定,可得∠BCE,∠ACO,根据相似三角形的判定与性质,可得关于x的方程,根据解方程,可得x,根据自变量与函数值的对应关系,可得答案.

    ∴B(﹣4,1),
    当点B,C,M共线时,|MB﹣MD|取最大值,即为BC的长,
    过点B作BE⊥x轴于点E,

    在Rt△BEC中,由勾股定理,得
    BC=,
    |MB﹣MD|取最大值为;
    (3)存在点P使得以A,P,Q为顶点的三角形与△ABC相似,
    在Rt△BEC中,∵BE=CE=1,
    ∴∠BCE=45°,
    在Rt△ACO中,
    ∵AO=CO=3,
    ∴∠ACO=45°,
    ∴∠ACB=180°﹣45°﹣45°=90°,
    过点P作PQ⊥y轴于Q点,∠PQA=90°,
    设P点坐标为(x,x2+x+3)(x>0)

    ②当∠PAQ=∠ABC时,△PAQ∽△CBA,
    ∵∠PGA=∠ACB=90°,∠PAQ=∠ABC,
    ∴△PGA∽△ACB,
    ∴,
    即=3,
    ∴,
    解得x1=﹣(舍去),x2=0(舍去)
    ∴此时无符合条件的点P,
    综上所述,存在点P(1,6).
    10.如图,抛物线y=ax2+bx﹣5与坐标轴交于A(﹣1,0),B(5,0),C(0,﹣5)三点,顶点为D.
    (1)请直接写出抛物线的解析式及顶点D的坐标;
    (2)连接BC与抛物线的对称轴交于点E,点P为线段BC上的一个动点(点P不与B、C两点重合),过点P作PF∥DE交抛物线于点F,设点P的横坐标为m.
    ①是否存在点P,使四边形PEDF为平行四边形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由.
    ②过点F作FH⊥BC于点H,求△PFH周长的最大值.

    【答案】(1)y=x2﹣4x﹣5,顶点坐标为D(2,﹣9);(2)①存在点P(3,﹣2)使四边形PEDF为平行四边形;②△PFH周长的最大值为.
    【解析】【分析】(1)利用待定系数法进行求解即可得;
    (2)①求出直线BC解析式,表示PF,当PF=DE时,平行四边形存在.
    ②利用△PFH∽△BCO,应用相似三角形性质表示△PFH周长,应用函数性质讨论最值即可.
    【详解】(1)把A(﹣1,0),B(5,0)代入抛物线y=ax2+bx﹣5,得
    ,解得:,
    ∴y=x2﹣4x﹣5=(x-2)2-9,
    ∴顶点坐标为D(2,﹣9);

    如图,连接DF,
    ∵PF∥DE,
    ∴当PF=DE时,四边形PEDF为平行四边形,
    即﹣m2+5m=6,
    解得m1=3,m2=2(舍去),
    当m=3时,y=3﹣5=2,
    此时P(3,﹣2),
    ∴存在点P(3,﹣2)使四边形PEDF为平行四边形;
    ②由题意,在Rt△BOC中,OB=OC=5,
    ∴BC=5,
    ∴C△BOC =10+5,
    ∵PF∥DE∥y轴,
    ∴∠FPE=∠DEC=∠OCB,
    ∵FH⊥BC,
    ∴∠FHP=∠BOC=90°,
    ∴△PFH∽△BCO,
    ∴,
    即C△PFH=,
    ∵0<m<5,
    ∴当m=﹣时,△PFH周长的最大值为.

    11.如图,已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴相交于A(﹣1,0),B(3,0)两点,与y轴相交于点C(0,﹣3).
    (1)求这个二次函数的表达式;
    (2)若P是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点,PH⊥x轴于点H,与BC交于点M,连接PC.
    ①求线段PM的最大值;
    ②当△PCM是以PM为一腰的等腰三角形时,求点P的坐标.

    【答案】(1)二次函数的表达式y=x2﹣2x﹣3;(2)①PM最大=;②P(1,﹣4)或(,﹣2﹣1).
    【解析】【分析】(1)根据待定系数法,可得答案;
    (2)①根据平行于y轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标,可得二次函数,根据二次函数的性质,可得答案;
    ②根据等腰三角形的定义,可得方程,根据解方程,可得答案.

    PM=(n﹣3)﹣(n2﹣2n﹣3)=﹣n2+3n=﹣(n﹣)2+,
    当n=时,PM最大=;
    ②当PM=PC时,(﹣n2+3n)2=n2+(n2﹣2n﹣3+3)2,
    解得n1=0(不符合题意,舍),n2=2,
    n2﹣2n﹣3=-3,
    P(2,-3);
    当PM=MC时,(﹣n2+3n)2=n2+(n﹣3+3)2,
    解得n1=0(不符合题意,舍),n2=3+(不符合题意,舍),n3=3-,
    n2﹣2n﹣3=2-4,
    P(3-,2-4);
    综上所述:P(2,﹣3)或(3-,2﹣4).
    12.如图,抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点,B点坐标为(4,0),与y轴交于点C(0,4).
    (1)求抛物线的解析式;
    (2)点P在x轴下方的抛物线上,过点P的直线y=x+m与直线BC交于点E,与y轴交于点F,求PE+EF的最大值;
    (3)点D为抛物线对称轴上一点.
    ①当△BCD是以BC为直角边的直角三角形时,直接写出点D的坐标;
    ②若△BCD是锐角三角形,直接写出点D的纵坐标n的取值范围.

    【答案】(1)抛物线的解析式为y=x2﹣5x+4;(2)PE+EF的最大值为;(3)①符合条件的点D的坐标是(,)或(,﹣);②点D的纵坐标的取值范围为<y<或﹣<y<.
    【解析】【分析】(1)利用待定系数法求抛物线的解析式;
    (2)易得BC的解析式为y=﹣x+4,先证明△ECF为等腰直角三角形,作PH⊥y轴于H,PG∥y轴交BC于G,如图1,则△EPG为等腰直角三角形,PE=PG,设P(t,t2﹣4t+3)(1<t<3),则G(t,﹣t+3),接着利用t表示PF、PE,所以PE+EF=2PE+PF=﹣t2+5t,然后利用二次函数的性质解决问题;
    (3)①如图2,抛物线的对称轴为直线x=﹣点D的纵坐标的取值范围;
    ②由于△BCD是以BC为斜边的直角三角形有4+(y﹣3)2+1+y2=18,解得y1=,y2=,得到此时D点坐标为(,)或(,),然后结合图形可确定△BCD是锐角三角形时点D的纵坐标的取值范围.

    作PH⊥y轴于H,PG∥y轴交BC于G,如图1,△EPG为等腰直角三角形,PE=PG,
    设P(t,t2﹣5t+4)(1<t<4),则G(t,﹣t+4),
    ∴PF=PH=t,PG=﹣t+4﹣(t2﹣5t+4)=﹣t2+4t,
    ∴PE=PG=﹣t2+2t,
    ∴PE+EF=PE+PE+PF=2PE+PF=﹣t2+4t+t=﹣t2+5t=﹣(t﹣)2+,
    当t=时,PE+EF的最大值为;
    (3)①如图2,抛物线的对称轴为直线x=,
    设D(,y),则BC2=42+42=32,DC2=()2+(y﹣4)2,BD2=(4﹣)2+y2=+y2,
    当△BCD是以BC为直角边,BD为斜边的直角三角形时,BC2+DC2=BD2,
    即32+()2+(y﹣4)2=+y2,解得y=5,此时D点坐标为(,);
    当△BCD是以BC为直角边,CD为斜边的直角三角形时,BC2+DB2=DC2,
    即32++y2=()2+(y﹣4)2,解得y=﹣1,此时D点坐标为(,﹣);
    综上所述,符合条件的点D的坐标是(,)或(,﹣);
    ②当△BCD是以BC为斜边的直角三角形时,DC2+DB2=BC2,即()2+(y﹣4)2++y2=32,解得y1=,y2=,此时D点坐标为(,)或(,),
    所以△BCD是锐角三角形,点D的纵坐标的取值范围为<y<或﹣<y<.

    13.如图,在平面直角坐标系中,已知,两点的坐标分别为,,是线段上一点(与,点不重合),抛物线()经过点,,顶点为,抛物线()经过点,,顶点为,,的延长线相交于点.
    (1)若,,求抛物线,的解析式;
    (2)若,,求的值;
    (3)是否存在这样的实数(),无论取何值,直线与都不可能互相垂直?若存在,请直接写出的两个不同的值;若不存在,请说明理由.

    【答案】(1)抛物线L1的解析式为y=,抛物线L2的解析式为y=(2)m=±2(3)存在
    【解析】[来源:Z.X.X.K]
    (3)根据前面的解答,直接写出即可.
    试题解析:(1)由题意得
    解得
    所以抛物线L1的解析式为y=
    同理,
    解得
    ∴所以抛物线L2的解析式为y=


    ∵AF⊥BF,DG⊥x轴,EH⊥x轴
    ∴∠AFB=∠AGD=∠EHB=90°
    ∴∠ADG=∠ABF=90°-∠BAF
    ∴△ADG∽△EBH


    解得m=±2
    (3)存在,例如:a=-,a=-.(答案不唯一)
    考点:二次函数的综合[来源:Z#xx#k.Com]
    14.如图,在矩形纸片中,已知,,点在边上移动,连接,将多边形沿直线折叠,得到多边形,点、的对应点分别为点、.
    (1)当恰好经过点时(如图1),求线段的长;
    (2)若分别交边、于点、,且(如图2),求的面积;
    (3)在点从点移动到点的过程中,求点运动的路径长.

    【答案】(1) ;(2);(3).
    【解析】
    试题解析:
    (1)如图1,由折叠得,,,,,
    由勾股定理得,,
    所以,
    因为,所以 ,
    又因,所以
    又,所以
    所以,即,所以

    (2)如图2-1,连接AC,因为∠BAC=,所以∠BAC=60°,

    (3) 如图2-2,连接A,则,
    所以点的运动路径是以点A为圆心,以AC为半径的圆弧;当点E运动到点D时,点恰好在CD的延长线上,此时,
    所以点的运动路径长是.

    15.如图1,在平面直角坐标系中,是坐标原点,抛物线与轴正半轴交于点,与轴交于点,连接,点分别是的中点.,且始终保持边经过点,边经过点,边与轴交于点,边与轴交于点.
    (1)填空,的长是 ,的度数是 度
    (2)如图2,当,连接
    ①求证:四边形是平行四边形;
    ②判断点是否在抛物线的对称轴上,并说明理由;
    (3)如图3,当边经过点时(此时点与点重合),过点作,交延长线上于点,延长到点,使,过点作,在上取一点,使得(若在直线的同侧),连接,请直接写出的长.




    【答案】(1)8,30;(2)①详见解析;②点D在该抛物线的对称轴上,理由详见解析;(3)12 .
    【解析】[来源:ZXXK]
    试题分析:(1)根据抛物线的解析式求得点A的坐标为(8,0),点B的坐标为(0,线,所以点D在该抛物线的对称轴上;
    试题解析:(1)8,30;
    (2)①证明:∵,
    ∴,
    又∵OM=AM,
    ∴OH=BH,
    又∵BN=AN

    ∴四边形AMHN是平行四边形
    ②点D在该抛物线的对称轴上,理由如下:
    如图,过点D作DRy轴于点R,

    ∴∠NHB=∠AOB=90°,
    ∵,
    ∴∠DHB=∠OBA=30°,
    又∵
    ∴∠HDG=∠OBA=30°,
    ∴∠HDG=∠DHB=30°,
    ∴∠HGN=2∠HDG=60°,
    ∴∠HNG=90°-∠HGN=90°-60°=30°,
    ∴∠HDN=∠HND,

    ∴点D在该抛物线的对称轴上.
    (3)12 .

    考点:二次函数综合题.
    16.如图所示,在平面直角坐标系中,⊙C经过坐标原点O,且与x轴,y轴分别相交于M(4,0),N(0,3)两点.已知抛物线开口向上,与⊙C交于N,H,P三点,P为抛物线的顶点,抛物线的对称轴经过点C且垂直x轴于点D.
    (1)求线段CD的长及顶点P的坐标;
    (2)求抛物线的函数表达式;
    (3)设抛物线交x轴于A,B两点,在抛物线上是否存在点Q,使得S四边形OPMN=8S△QAB,且△QAB∽△OBN成立?若存在,请求出Q点的坐标;若不存在,请说明理由.

    【答案】(1) CD=, P(2,﹣1);(2) y=x2﹣4x+3;(3) 存在满足条件的点Q,其坐标为(2,﹣1).
    试题解析:
    (1)如图,连接OC,

    ∵M(4,0),N(0,3),
    ∴OM=4,ON=3,
    ∴MN=5,
    ∴OC=MN=,
    ∵CD为抛物线对称轴,
    ∴OD=MD=2,
    在Rt△OCD中,由勾股定理可得CD==,
    ∴PD=PC﹣CD=﹣=1,
    ∴P(2,﹣1);
    (2)∵抛物线的顶点为P(2,﹣1),
    ∴设抛物线的函数表达式为y=a(x﹣2)2﹣1,
    ∵抛物线过N(0,3),
    ∴3=a(0﹣2)2﹣1,解得a=1,

    设Q点纵坐标为y,则×2×|y|=1,解得y=1或y=﹣1,
    当y=1时,则△QAB为钝角三角形,而△OBN为直角三角形,不合题意,舍去,
    当y=﹣1时,可知P点即为所求的Q点,
    ∵D为AB的中点,
    ∴AD=BD=QD,
    ∴△QAB为等腰直角三角形,
    ∵ON=OB=3,
    ∴△OBN为等腰直角三角形,
    ∴△QAB∽△OBN,
    综上可知存在满足条件的点Q,其坐标为(2,﹣1).
    考点:二次函数综合题.
    17. 如图,直线y=kx+b(k、b为常数)分别与x轴、y轴交于点A(-4,0)、B(0,3),抛物线y=-x2+2x+1与y轴交于点C.
    (1)求直线y=kx+b的解析式;
    (2)若点P(x,y)是抛物线y=-x2+2x+1上的任意一点,设点P到直线AB的距离为d,求d关于x的函数解析式,并求d取最小值时点P的坐标;
    (3)若点E在抛物线y=-x2+2x+1的对称轴上移动,点F在直线AB上移动,求CE+EF的最小值.

    【答案】(1) y=x+3;(2)P(,);(3).
    【解析】
    试题解析:
    解:(1)∵y=kx+b经过A(-4,0)、B(0,3),
    ∴,解得k=,b=3.
    ∴y=x+3.
    (2)过点P作PH⊥AB于点H,过点H作x轴的平行线MN,分别过点A、P作MN的垂线段,垂足分别为M、N.


    整理得:,所以当x=,即P(,).
    (3)作点C关于直线x=1的对称点C′,过点C′作C′F⊥AB于F.过点F作JK∥x轴,,分别过点A、C′作AJ⊥JK于点J,C′K⊥JK于点K.则C′(2,1)

    设F(m,m+3)
    ∵C′F⊥AB,∠AFJ+∠C′FK=90°,∵CK⊥JK,∴∠C′+∠C′FK=90°.
    ∴∠C′=∠AFJ,∵∠J=∠K=90°,∴△AFJ∽△FC′K.
    ∴,∴,解得m=或-4(不符合题意).
    ∴F(,),∵C′(2,1),∴FC′=.
    ∴CE+EF的最小值=C′E=.
    18.如图,抛物线与x轴交于A,B两点(点B在点A左侧),与y轴交于点C,点D是抛物线上的一个动点,且位于第四象限,连接OD、BD、AC、AD,延长AD交y轴于点E。
    (1)若为等腰直角三角形,求的值;
    (2)若对任意,两点总关于原点对称,求点的坐标(用含的式子表示);
    (3)当点运动到某一位置时,恰好使得,且点为线段的中点,此时对于该抛物线上任意一点总有成立,求实数的最小值.

    【答案】(1)m=(2)点D的坐标为(8,-16m)(3)
    【解析】
    [来源:Zxxk.Com]
    物线解析式求出m=,得到抛物线的解析式为 ,最后根据P为抛物线上任意一点,从而必有,然后根据二次函数的最值问题可求解.
    m=,令t=-4m-12-50=-2-12-50
    由题意可知只要n+即可
    由于t=-2-12-50=-2(+3)2+4
    又由于
    ∴=--2(+3)2+4=
    ∴n+≥,解得n的最小值为

    即点D的坐标为(8,-16m)
    (3)当∠ODB=∠OAD时,又因为∠DOB=∠AOD,所以可得△ODB∽△OAD,则OD2=OA·OB=x1·x2=48,解得OD=4,
    由于点D为Rt△OAE的斜边AE的中点,所以AE=8
    又因为OA=12,所以OE=4,∠OAE=30°[来源:Zxxk.Com]
    从而求得点D的坐标为(6,-2)
    将点D的坐标代入抛物线解析式,得m=
    所以抛物线的解析式为
    因为P为抛物线上任意一点,从而必有
    m=,令t=-4m-12-50=-2-12-50
    [来源:]
    [来源:ZXXK]
    考点:二次函数的综合
    19.如图,直线与轴交于点,与轴交于点,抛物线经过点,.

    (1)求点B的坐标和抛物线的解析式;
    (2)M(m,0)为x轴上一个动点,过点M垂直于x轴的直线与直线AB和抛物线分别交于点P、N,
    ①点在线段上运动,若以,,为顶点的三角形与相似,求点的坐标;
    ②点在轴上自由运动,若三个点,,中恰有一点是其它两点所连线段的中点(三点重合除外),则称,,三点为“共谐点”.请直接写出使得,,三点成为“共谐点”的的值.
    【答案】(1)B(0,2),;(2)①点M的坐标为(,0)或M(,0);②m=-1或m=或m=.
    【解析】
    试题解析:
    (1)直线与轴交于点,
    ∴,解得c=2[来源:Z,xx,k.Com]
    ∴B(0,2),
    ∵抛物线经过点,
    ∴,∴b=
    ∴抛物线的解析式为;
    (2)∵轴,M(m,0),∴N( )
    ①有(1)知直线AB的解析式为,OA=3,OB=2
    ∵在△APM中和△BPN中,∠APM=∠BPN, ∠AMP=90°,
    若使△APM中和△BPN相似,则必须∠NBP=90°或∠BNP =90°,
    分两种情况讨论如下:
    (I)当∠NBP=90°时,过点N作NC轴于点C,
    则∠NBC+∠BNC=90°,NC=m,
    BC=

    ∴M(,0);
    综上,点M的坐标为(,0)或M(,0);
    ②m=-1或m=或m=.
    考点:二次函数综合题.
    20.已知二次函数y=﹣x2+bx+c+1,
    ①当b=1时,求这个二次函数的对称轴的方程;
    ②若c=b2﹣2b,问:b为何值时,二次函数的图象与x轴相切?
    ③若二次函数的图象与x轴交于点A(x1,0),B(x2,0),且x1<x2,与y轴的正半轴交于点M,以AB为直径的半圆恰好过点M,二次函数的对称轴l与x轴、直线BM、直线AM分别交于点D、E、F,且满足,求二次函数的表达式.

    【答案】①.二次函数的对称轴的方程为x=; ②.b为2+或2﹣时,二次函数的图象与x轴相切;③. 二次函数的表达式为y=﹣x2+x+1.
    【解析】
    4x1,由x1•x2=﹣(c+1)=﹣1,得出方程组,解方程组求出b的值即可.
    试题解析:①二次函数y=﹣x2+bx+c+1的对称轴为x=,当b=1时,=,
    ∴当b=1时,求这个二次函数的对称轴的方程为x=.
    ②二次函数y=﹣x2+bx+c+1的顶点坐标为(,),
    ∵二次函数的图象与x轴相切且c=b2﹣2b,
    ∴,解得:b=2+或b=2﹣,
    ∴b为2+或2﹣时,二次函数的图象与x轴相切.

    ∴AD=BD,DF=4DE,DF∥OM,∴△BDE∽△BOM,△AOM∽△ADF,
    ∴,∴DE=,DF=,∴×4,∴OB=4OA,即x2=﹣4x1,
    ∵x1•x2=﹣(c+1)=﹣1,∴,解得:,∴b=﹣+2=,
    ∴二次函数的表达式为y=﹣x2+x+1.
    考点:二次函数综合题;二次函数的性质.
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