高中数学专题复习：专题复习（五）——平面解析几何 Word版含解析学案

这是一份高中数学专题复习：专题复习（五）——平面解析几何 Word版含解析学案，共31页。
专题复习（五）—— 平面解析几何
1．直线的倾斜角与斜率
(1)直线的倾斜角
①定义：当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角；
②规定：当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0；③范围：直线的倾斜角α的取值范围是0，π)．
(2)直线的斜率
①定义：当直线l的倾斜角α≠时，其倾斜角α的正切值tan α叫做这条直线的斜率，斜率通常用小写字母k表示，即k＝tan α；
②斜率公式：经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝.
2．直线方程的五种形式
名称
几何条件
方程
适用条件
点斜式
过一点、斜率
y－y0＝k(x－x0)
与x轴不垂
直的直线
斜截式
纵截距、斜率
y＝kx＋b
两点式
过两点
＝
与两坐标轴均不垂直的直线
截距式
纵、横截距
＋＝1
不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线
一般式

Ax＋By＋C＝0
(A2＋B2≠0)
所有直线
注：（1）求直线方程时要注意判断直线斜率是否存在；每条直线都有倾斜角，但不一定每条直线都存在斜率．
（2）根据斜率求倾斜角，一是要注意倾斜角的范围；二是要考虑正切函数的单调性．
（3）截距为一个实数，既可以为正数，也可以为负数，还可以为0，这是解题时容易忽略的一点.
3.线段的中点坐标公式
若点P1，P2的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，线段P1P2的中点M的坐标为(x，y)，则，此公式为线段P1P2的中点坐标公式．
4．两条直线的位置关系
(1)两条直线平行与垂直
①两条直线平行：
a．对于两条不重合的直线l1、l2，若其斜率分别为k1、k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2.
b．当直线l1、l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2.
②两条直线垂直：
a．如果两条直线l1、l2的斜率存在，设为k1、k2，则有l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.
b．当其中一条直线的斜率不存在，而另一条的斜率为0时，l1⊥l2.
(2)两条直线的交点
直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1与l2的交点坐标就是方程组的解．
5．几种距离
(1)两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离|P1P2|＝.
(2)点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝.
(3)两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0(其中C1≠C2)间的距离d＝.
6.几个重要的结论
（1）一般地，与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线方程可设为Ax＋By＋m＝0；与之垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋n＝0.
（2）过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2.
（3）l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0.
则l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0，A1C2－A2C1≠0.
l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.
7. 圆的定义和圆的方程
定义
平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆
方程
标准式
(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)
圆心C(a，b)
半径为r
一般式
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0
充要条件：D2＋E2－4F>0
圆心坐标：
半径r＝
8. 点与圆的位置关系
平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之间存在着下列关系：
(1)d>r⇔M在圆外，即(x0－a)2＋(y0－b)2>r2⇔M在圆外；
(2)d＝r⇔M在圆上，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔M在圆上；
(3)dR＋r
d＝R＋r
R－r2c>0，即a>c>0，则M的轨迹是以F1、F2为两焦点的椭圆，且|F1F2|＝2c是椭圆的焦距．
(3)椭圆的标准方程和几何性质
标准方程
＋＝1(a＞b＞0)
＋＝1(a＞b＞0)
图形


范围
-a≤x≤a
-b≤y≤b
-b≤x≤b
-a≤y≤a
对称性
对称轴：x轴、y轴
对称中心：(0,0)
顶点

A1(-a,0)，A2(a,0)
B1(0,-b)，B2(0,b)
A1(0,-a)，A2(0,a)
B1(-b,0)，B2(b,0)
轴
长轴A1A2的长为2a
短轴B1B2的长为2b
焦距
|F1F2|＝2c
离心率
e＝(00)．
当m>n>0时，方程表示焦点在x轴上的椭圆．
当n>m>0时，方程表示焦点在y轴上的椭圆．
②当椭圆焦点不明确时，要分焦点在x轴上与y轴上两种情况进行讨论求解．
13.双曲线
(1)定义：平面内动点P与两个定点F1、F2(|F1F2|＝2c>0)的距离之差的绝对值为常数2a(00，即c>a>0，则P点的轨迹是以F1、F2为两焦点的双曲线，且|F1F2|＝2c是双曲线的焦距．
(3)双曲线的标准方程和几何性质
标准方程
－＝1
(a＞0，b＞0)
－＝1
(a＞0，b＞0)
图形


范围
x≥a或x≤－a，y∈R
y≤－a或y≥a，x∈R
对称性
对称轴：坐标轴，对称中心：原点
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线
y＝±x
y＝±x
离心率
e＝，e∈(1，＋∞)
实轴
线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a
a叫做双曲线的半实轴长
虚轴
线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b
b叫做双曲线的半虚轴长
a、b、c的关系
c2＝a2＋b2(c＞a＞0，c＞b＞0)

注：①渐近线为mx±ny＝0对应的双曲线方程为m2x2－n2y2＝λ.
②当双曲线焦点不明确时，要分焦点在x轴上与y轴上两种情况进行讨论求解．
14.抛物线
(1)平面内与一个定点F和一条定直线l(F∉l)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．
(2)其数学表达式：|MF|＝d(其中d为点M到准线的距离)．
(3)抛物线的标准方程和几何性质
图形




标准方程
y2＝2px
(p>0)
y2＝－2px
(p>0)
x2＝2py
(p>0)
x2＝－2py
(p>0)

p的几何意义：焦点F到准线l的距离
顶点
O(0,0)
对称轴
y＝0
x＝0
焦点
F
F
F
F
离心率
e＝1
准线方程
x＝－
x＝
y＝－
y＝
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
开口方向
向右
向左
向上
向下

(4)与焦点弦有关的常用结论
如图，AB是过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点弦．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有
①y1y2＝－p2，x1x2＝，kOA·kOB＝－4(定值)．
②|AB|＝x1＋x2＋p＝×2p＝
(k为直线AB的斜率，θ为倾斜角)，
当θ＝90°时，|AB|＝2p即为通径(最短的焦点弦)．
15.直线与圆锥曲线的相交弦长问题
设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则|AB|＝|x1－x2|＝
＝|y1－y2|＝.
16. “点差法”求解弦中点问题的步骤
—
　↓
—
　↓
—
　↓
—
17.曲线与方程
一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的关系：
(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解．
(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线．
18. 求动点的轨迹方程的一般步骤
(1)建系——建立适当的坐标系．
(2)设点——设轨迹上的任一点P(x，y)．
(3)列式——列出动点P所满足的关系式．
(4)代换——依条件式的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为x，y的方程式，并化简．
(5)证明——证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程．
（二）考点剖析
考点一：求直线的方程
例1：(1)根据基本几何条件求直线方程]求经过点(－2，3)在y轴上的截距为－1的直线l的方程；
(2)待定系数型直线方程]一条直线经过点A(－2,2)，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，求直线的方程．
解：(1)法一：(两点式)直线l即经过两点(－2，3)与(0，－1)
由两点式得＝，即2x＋y＋1＝0.
法二：(点斜式)可设直线l的方程为y－3＝k(x＋2)．
令x＝0得l在y轴上的截距b＝2k＋3.
∴2k＋3＝－1，∴k＝－2.
解得所求的直线方程为y－3＝－2(x＋2)，即2x＋y＋1＝0.
法三：(截距式)可设直线l的方程为＋＝1.
∵l过点(－2,3)，∴＋＝1，解得a＝－
∴所求的直线方程为＋＝1，即2x＋y＋1＝0.
(2)设所求直线的方程为＋＝1.
∵A(－2,2)在此直线上，∴－＋＝1.①
又因直线与坐标轴围成的三角形面积为1，∴|a|·|b|＝1.②
由①②可得或解得或
故所求的直线方程为＋＝1或＋＝1，即x＋2y－2＝0或2x＋y＋2＝0.
考点释疑：求直线方程的两种基本思路
①直接利用直线方程的四种形式；
②根据给出的条件用相应的方程形式设出直线方程，然后利用待定系数法求解，但要注意斜率是否存在．
考点二：两直线平行与垂直
例2：已知直线l1：ax＋2y＋6＝0和l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0.
（1）试判断l1与l2是否平行；
（2）当l1⊥l2时，求a的值．
解：（1）法一：当a＝1时，
直线l1的方程为x＋2y＋6＝0，直线l2的方程为x＝0，l1不平行于l2；
当a＝0时，直线l1的方程为y＝－3，直线l2的方程为x－y－1＝0，l1不平行于l2；
当a≠1且a≠0时，两直线的方程可化为l1：y＝－x－3，l2：y＝x－(a＋1)，
由l1∥l2⇔解得a＝－1.
综上可知，当a＝－1时，l1∥l2，否则l1与l2不平行．
法二：由A1B2－A2B1＝0，得a(a－1)－1×2＝0；
由A1C2－A2C1≠0，得a(a2－1)－1×6≠0，
因此l1∥l2⇔⇔⇒a＝－1，
故当a＝－1时，l1∥l2，否则l1与l2不平行．
（2）法一：当a＝1时，直线l1的方程为x＋2y＋6＝0，直线l2的方程为x＝0，l1与l2不垂直，故a＝1不成立．
当a＝0时，直线l1的方程为y＝－3，直线l2的方程为x－y－1＝0，l1不垂直于l2.
当a≠1且a≠0时，直线l1的方程为y＝－x－3，直线l2的方程为y＝x－(a＋1)，
由(－)·＝－1⇒a＝.
法二：由A1A2＋B1B2＝0，得a＋2(a－1)＝0.∴a＝ .
考点释疑：(1)当含参数的直线方程为一般式时，若要表示出直线的斜率，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件．(2)在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论．(3)根据垂直或平行关系将相关的问题转化与化归或应用方程思想是解决直线与直线垂直或平行问题的关键．
考点三：两直线相交与对称问题
例3：(1)两直线相交]求经过直线l1：3x＋2y－1＝0和l2：5x＋2y＋1＝0的交点，且垂直于直线l3：3x－5y＋6＝0的直线l的方程．
(2)对称问题]已知直线l：3x－y＋3＝0，求：
①点P(4,5)关于直线l的对称点；
②直线x－y－2＝0关于直线l对称的直线方程．
解：(1)法一：先解方程组得l1，l2的交点坐标为(－1,2)，
再由l3的斜率求出l的斜率为－，于是由直线的点斜式方程求出l：
y－2＝－(x＋1)，即5x＋3y－1＝0.
法二：由于l⊥l3，故l是直线系5x＋3y＋C＝0中的一条，
而l过l1，l2的交点(－1,2)，故5×(－1)＋3×2＋C＝0，由此求出C＝－1，
故l的方程为5x＋3y－1＝0.
法三：由于l过l1，l2的交点，故l是直线系3x＋2y－1＋λ(5x＋2y＋1)＝0中的一条，
将其整理，得(3＋5λ)x＋(2＋2λ)y＋(－1＋λ)＝0，其斜率为－＝－；解得λ＝，
代入直线系方程得l的方程为5x＋3y－1＝0.
(2)设P(x，y)关于直线l：3x－y＋3＝0的对称点为P′(x′，y′)．
∵kPP′·kl＝－1，即×3＝－1.(ⅰ)
又PP′的中点在直线3x－y＋3＝0上，
∴3×－＋3＝0.(ⅱ)
由(ⅰ)(ⅱ)得.(ⅲ)
①把x＝4，y＝5代入方程组(ⅲ)，得x′＝－2，y′＝7，
∴P(4,5)关于直线l的对称点P′的坐标为(－2,7)．
②将方程组(ⅲ)分别代换x－y－2＝0中的x，y，得关于直线l对称的直线方程为
－－2＝0，化简得7x＋y＋22＝0.
考点释疑：
(1)两直线交点的求法：
求两直线的交点坐标，就是解由两直线方程组成的方程组，以方程组的解为坐标的点即为交点．
(2)关于轴对称问题的处理方法：
①点关于直线的对称
求已知点A(m，n)关于已知直线l：y＝kx＋b的对称点A′(x0，y0)的坐标，一般方法是依据l是线段AA′的垂直平分线，列出关于x0，y0的方程组，由“垂直”得一方程，由“平分”得一方程．
②直线关于直线的对称
此类问题一般转化为点关于直线的对称来解决，有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行．
考点四：求圆的方程
例4：(1)过两点与一条直线确定圆]已知圆心为C的圆经过点A(0，－6)，B(1，－5)，且圆心在直线l：x－y＋1＝0上，求圆的标准方程．
(2)三个条件确定圆]圆心在直线y＝－4x上，且与直线l：x＋y－1＝0相切于点P(3，－2)，求圆的标准方程．
解：(1)法一：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，则圆心坐标为.
由题意可得消去F得，解得，
代入求得F＝－12，所以圆的方程为x2＋y2＋6x＋4y－12＝0，
法二：因为A(0，－6)，B(1，－5)，所以线段AB的中点D的坐标为，
直线AB的斜率kAB＝＝1，
因此线段AB的垂直平分线的方程是y＋＝－，即x＋y＋5＝0.
圆心C的坐标是方程组的解，解得，所以圆心C的坐标是(－3，－2)．
圆的半径长r＝|AC|＝＝5，
所以圆心为C的圆的标准方程是(x＋3)2＋(y＋2)2＝25.
(2)设所求方程为(x－x0)2＋(y－y0)2＝r2，
根据已知条件得解得
因此所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8.
考点释疑：求圆的方程，主要有两种方法：
①几何法：具体过程中要用到平面几何中有关圆的一些常用性质和定理．如：a.圆心在过切点与切线垂直的直线上；b.圆心在任意弦的中垂线上．
②代数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件列出等式，求出相关量．一般地，与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式．不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该有三个独立等式．　
考点五：求椭圆的标准方程
例5：(1)根据定义求标准方程]已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点．若△AF1B的周长为4，求C的标准方程.
(2)根据几何性质求标准方程]求过点(，－)，且与椭圆＋＝1有相同焦点的椭圆的标准方程．
解：　(1)由e＝，得＝①.又△AF1B的周长为4，由椭圆定义，得4a＝4，得a＝，
代入①得c＝1，∴b2＝a2－c2＝2，故C的方程为＋＝1.
(2)法一：椭圆＋＝1的焦点为(0，－4)，(0,4)，即c＝4.
由椭圆的定义知，2a＝＋，
解得a＝2.由c2＝a2－b2可得b2＝4.
∴所求椭圆的标准方程为＋＝1.
法二：∵所求椭圆与椭圆＋＝1的焦点相同，∴其焦点在y轴上，且c2＝25－9＝16.
设它的标准方程为＋＝1(a>b>0)．
∵c2＝16，且c2＝a2－b2，故a2－b2＝16.①
又点(，－)在所求椭圆上，
∴＋＝1，即＋＝1.②
由①②得b2＝4，a2＝20，
∴所求椭圆的标准方程为＋＝1.
考点释疑：(1)求椭圆的方程时，首先利用定义定形状，一定要注意常数2a>|F1F2|这一条件．
(2)求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法，具体过程是先定形，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后再根据条件建立关于a，b的方程组．如果焦点位置不确定，要考虑是否有两解，有时为了解题方便，也可把椭圆方程设为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)的形式．　
考点六：椭圆的离心率
例6：(1)代数关系确定离心率]设F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左，右焦点，M是C上一点，且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N.若直线MN的斜率为，求椭圆C的离心率.
(2)几何关系确定离心率]已知F1、F2是椭圆C的左、右焦点，点P在椭圆上，且满足|PF1|＝2|PF2|，∠PF1F2＝30°，求椭圆C的离心率．
解：(1)根据c＝及题设知M(c，)，＝，2b2＝3ac.
将b2＝a2－c2代入2b2＝3ac，解得＝，＝－2(舍去)．
故C的离心率为.
(2)在△PF1F2中，由|PF1|＝2|PF2|，∠PF1F2＝30°，∴∠PF2F1＝.
设|PF2|＝1，则 |PF1|＝2，|F2F1|＝.
∴离心率e＝＝.
考点释疑：求椭圆的离心率问题的一般思路：
求椭圆的离心率或其范围时，一般是依据题设得出一个关于a，b，c的等式(或不等式)，
利用a2＝b2＋c2消去b，即可求得离心率或离心率的范围．
考点七：椭圆中的定值、最值与范围问题
例7：(1)定值问题]如图，椭圆E：＋＝1(a>b>0)经过点A(0，－1)，且离心率为.
①求椭圆E的方程；
②经过点(1,1)，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q(均异于点A)，证明：直线AP与AQ的斜率之和为2.
解：(1)①由题设知＝，b＝1，结合a2＝b2＋c2，解得a＝.
所以椭圆的方程为＋y2＝1.
②证明：由题设知，直线PQ的方程为y＝k(x－1)＋1(k≠2)，代入＋y2＝1，
得(1＋2k2)x2－4k(k－1)x＋2k(k－2)＝0.
由已知Δ>0，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，x1x2≠0，
则x1＋x2＝，x1x2＝.
从而直线AP，AQ的斜率之和kAP＋kAQ＝＋＝＋
＝2k＋(2－k)·
＝2k＋(2－k)
＝2k＋(2－k)
＝2k－2(k－1)＝2.
即直线AP与AQ的斜率之和为2.
(2)最值问题]平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：＋＝1 (a>b>0)右焦点的直线x＋y－＝0交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为 .
①求M的方程；
②C，D为M上的两点，若四边形ACBD的对角线CD⊥AB，求四边形ACBD面积的最大值．
解：①设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，由此可得＝－＝1.
因为x1＋x2＝2x0，y1＋y2＝2y0，＝，所以a2＝2b2.
又由题意知，M的右焦点为(，0)，故a2－b2＝3.
因此a2＝6，b2＝3.所以M的方程为＋＝1.
②由解得或因此|AB|＝.
由题意可设直线CD的方程为y＝x＋n(－0)，由已知得解得
所以b2＝a2－c2＝1.所以椭圆E的方程为＋y2＝1.
(2)假设存在符合条件的点M(m,0)，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
则＝(x1－m，y1)，＝(x2－m，y2)，·＝(x1－m)(x2－m)＋y1y2＝x1x2－m(x1＋x2)＋m2＋y1y2.
①当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x－1)，
由得x2＋2k2(x－1)2－2＝0，即(2k2＋1)x2－4k2x＋2k2－2＝0，
则x1＋x2＝，x1x2＝，
y1y2＝k2(x1－1)(x2－1)＝k2x1x2－(x1＋x2)＋1]＝－，
所以·＝－m·＋m2－＝.
因为对于任意的k的值，·为定值，所以2m2－4m＋1＝2(m2－2)，得m＝.
所以M，此时·＝－.
②当直线l的斜率不存在时，M(，0)，P(1，)，Q(1，－)，·＝(－，)·(－，－)＝－＝－.
综合①②得存在定点M(，0)使得·为定值．
考点释疑：(1)圆锥曲线中定点问题的两种解法
①引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化的量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点．
②特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关．
(2)存在性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在．
解决存在性问题应注意以下几点：
①当条件和结论不唯一时要分类讨论；
②当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；
③当条件和结论都不知，按常规方法解题很难时，要思维开放，采取另外的途径．
考点九：双曲线的定义与标准方程
例9：(1)双曲线的定义及应用]已知F为双曲线C：－＝1的左焦点，P，Q为C上的点．若PQ的长等于虚轴长的2倍，点A(5,0)在线段PQ上，则△PQF的周长为________．
(2)双曲线的标准方程]如图所示，已知双曲线以长方形ABCD的顶点A，B为左、右焦点，且双曲线过C，D两顶点．若AB＝4，BC＝3，则此双曲线的标准方程为___________．
解：(1)由双曲线方程知，b＝4，a＝3，c＝5，则虚轴长为8，则|PQ|＝16.
由左焦点F(－5,0)，且A(5,0)恰为右焦点，知线段PQ过双曲线的右焦点，
则P，Q都在双曲线的右支上．
由双曲线的定义可知|PF|－|PA|＝2a，|QF|－|QA|＝2a，两式相加得，|PF|＋|QF|－(|PA|＋|QA|)＝4a，
则|PF|＋|QF|＝4a＋|PQ|＝4×3＋16＝28，故△PQF的周长为28＋16＝44.
(2)设双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)．由题意得B(2,0)，C(2,3)，
∴解得∴双曲线的标准方程为x2－＝1.
考点释疑：(1)双曲线定义的应用主要有两个方面：一是判定平面内动点与两定点满足某种关系的轨迹是否为双曲线(或是双曲线的某一支)，进而根据要求可求出曲线方程；二是在“焦点三角形”中，常利用正、余弦定理，经常结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立与|PF1|·|PF2|的联系．　　　　
(2)待定系数法求双曲线方程具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a，b，c，e及渐近线之间的关系，求出a，b的值．如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可设有公共渐近线的双曲线方程为－＝λ(λ≠0)，再由条件求出λ的值即可．
考点十：双曲线的几何性质
例10：(1)双曲线的基本性质]已知F为双曲线C：x2－my2＝3m(m>0)的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为 . 　
(2)代数关系确定离心率]直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|为C的实轴长的2倍，则C的离心率为 .
(3)几何关系确定离心率]已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为 .
解：(1)双曲线C的标准方程为－＝1(m>0)，其渐近线方程为y＝±x，即y＝±x，不妨选取右焦点F(，0)到其中一条渐近线x－y＝0的距离求解，得d＝＝.
(2)不妨设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，由题意知l的方程为x＝±c.
代入－＝1得，y2＝b2＝，∴y＝±.即|AB|＝.
∴＝4a.则c2－a2＝2a2.＝3. ∴e＝＝
(3)不妨取点M在第一象限，
如图所示，设双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0)，
则|BM|＝|AB|＝2a，∠MBx＝180°－120°＝60°，
所以M点的坐标为2a，a.
因为 M点在双曲线上，所以－＝1，a＝b，
所以c＝a，e＝＝.
考点释疑：(1)利用双曲线的几何性质求解相关问题时要注意点(顶点、焦点、中心)、轴长(实轴长，虚轴长，焦距)、渐近线、离心率之间的关系，根据条件列出关系式．
(2)求双曲线离心率的三种方法：
①代数法：根据a，b，c(c2＝a2＋b2)的关系，整体求出.
②几何法：根据几何条件，建立a，b，c的关系式，从而求出离心率．
③渐近线法：若双曲线的渐近线方程为y＝±kx，当焦点在x轴上，则离心率e＝，当焦点在y轴上，则离心率e＝.
考点十一：抛物线的定义及其应用
例11：(1)定义的基本应用]O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝4x的焦点，P为C上一点，若|PF|＝4，则△POF的面积为 .
(2)在求最值中的应用]已知抛物线y2＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3,2)，求|PA|＋|PF|的最小值，并求出取得最小值时点P的坐标．
解： (1)设P(x0，y0)，则|PF|＝x0＋＝4，∴x0＝3，
∴y＝4x0＝4×3＝24，∴|y0|＝2.
∵F(，0)，∴S△POF＝|OF|·|y0|＝××2＝2.
(2)将x＝3代入抛物线方程y2＝2x，得y＝±.
∵>2，∴A在抛物线内部，如图．
设抛物线上点P到准线l：x＝－的距离为d，由定义知|PA|＋|PF|＝|PA|＋d，
当PA⊥l时，|PA|＋d最小，最小值为，即|PA|＋|PF|的最小值为，
此时P点纵坐标为2，代入y2＝2x，得x＝2，∴点P的坐标为(2,2)．
考点释疑：利用抛物线的定义解决此类问题，应灵活地运用抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的等价转化．“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的有效途径．　
考点十二：抛物线的标准方程与几何性质
例12：(1)求标准方程]抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，O为坐标原点，M为抛物线上一点，且|MF|＝4|OF|，△MFO的面积为4，则抛物线方程为 .
(2)抛物线与其它曲线的关系]已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线C：y2＝8x的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个交点，则|AB|＝ .
解：(1)依题意，设M(x，y)，|OF|＝，所以|MF|＝2p，x＋＝2p，x＝，y＝p，
又△MFO的面积为4，所以××p＝4，解得p＝4，所以抛物线方程为y2＝8x.
(2)抛物线y2＝8x的焦点为(2,0)，∴ 椭圆中c＝2，又＝，
∴ a＝4，b2＝a2－c2＝12，从而椭圆方程为＋＝1.
∵ 抛物线y2＝8x的准线为x＝－2，∴ xA＝xB＝－2，
将xA＝－2代入椭圆方程可得|yA|＝3，由图象可知|AB|＝2|yA|＝6.
考点释疑：(1)求抛物线的标准方程的方法：
①求抛物线的标准方程常用待定系数法，因为未知数只有p，所以只需一个条件确定p值即可．
②因为抛物线方程有四种标准形式，因此求抛物线方程时，需先定位，再定量．
(2)确定及应用抛物线性质的技巧：
①利用抛物线方程确定其焦点、准线等性质时，关键是将抛物线方程化成标准方程．
②要结合图形分析，灵活运用平面几何的性质以图助解．
(3)利用抛物线的对称性可以较简便解决与圆、椭圆、双曲线相关的问题．　
考点十三：抛物线的焦点弦
例13：(1)求焦点弦长](2014·高考新课标全国卷Ⅱ)设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，则|AB|＝ .
(2)焦点弦的性质]设抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴．证明：直线AC经过原点O.
解：(1)∵F为抛物线C：y2＝3x的焦点，∴F，
∴AB的方程为y－0＝tan 30°，即y＝x－.
联立得x2－x＋＝0.
∴x1＋x2＝－＝，即xA＋xB＝.
由于|AB|＝xA＋xB＋p，所以|AB|＝＋＝12.
(2)证明：设AB：x＝my＋，代入y2＝2px，得y2－2pmy－p2＝0.
由根与系数的关系，得yAyB＝－p2，即yB＝－.
∵BC∥x轴，且C在准线x＝－上，∴C(－，yB)．
则kOC＝＝＝＝kOA. ∴直线AC经过原点O.
考点释疑：求焦点弦的三种方法：
①定义法：|AB|＝x1＋x2＋p；
②倾角法：|AB|＝；
③斜率法：|AB|＝×2p.　
考点十四：弦长问题
例14：设F1，F2分别是椭圆E：x2＋＝1(0＜b＜1)的左、右焦点，过F1的直线l与E相交于A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列．
(1)求|AB|；
(2)若直线l的斜率为1，求b的值．
解：(1)由椭圆定义知|AF2|＋|AB|＋|BF2|＝4，
又2|AB|＝|AF2|＋|BF2|，得|AB|＝.
(2)设直线l的方程为y＝x＋c，其中c＝.A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则A，B两点坐标满足方程组化简得(1＋b2)x2＋2cx＋1－2b2＝0.
则x1＋x2＝，x1x2＝.
因为直线AB的斜率为1，所以|AB|＝|x2－x1|，即＝|x2－x1|.
则＝(x1＋x2)2－4x1x2＝－＝，
因为0＜b＜1，所以b＝.
考点释疑：弦长的计算方法
(1)定义法：过圆锥曲线的焦点的弦长问题，利用圆锥曲线的定义，可优化解题．
(2)点距法：将直线的方程和圆锥曲线的方程联立，求出两交点的坐标，再运用两点间距离公式求弦长．
(3)弦长公式法：它体现了解析几何中设而不求的思想，其实质是利用两点之间的距离公式以及一元二次方程根与系数的关系得到的．　
考点十五：中点弦问题
例15：已知双曲线C的两个焦点坐标分别为F1(－2,0)，F2(2,0)，双曲线C上一点P到F1，F2距离差的绝对值等于2.
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)经过点M(2,1)作直线l交双曲线C的右支于A，B两点，且M为AB的中点，求直线l的方程．
解： (1)依题意，得双曲线C的实半轴长为a＝1，焦半距为c＝2，所以其虚半轴长b＝＝.
又其焦点在x轴上，所以双曲线C的标准方程为x2－＝1.
(2)设A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
则两式相减，得3(x1－x2)(x1＋x2)－(y1－y2)(y1＋y2)＝0.
因为M(2,1)为AB的中点，所以
所以12(x1－x2)－2(y1－y2)＝0，即kAB＝＝6.
故AB所在直线l的方程为y－1＝6(x－2)，即6x－y－11＝0.
考点释疑：中点弦问题的两种思路
(1)点差法：即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有x1＋x2，y1＋y2，三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式即可求得斜率．
(2)设弦所在的直线方程，代入曲线C：f(x，y)＝0，利用根与系数的关系与中点坐标公式列出式子求解．　
（三）历年高考真题训练
1、（2011年高考全国卷Ⅰ）在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0,-1)，B点在直线y = -3上，M点满足， ，M点的轨迹为曲线C.
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）P为C上的动点，l为C在P点处得切线，求O点到l距离的最小值.



















2、（2012年高考全国卷Ⅰ）设抛物线的焦点为，准线为，为上一点，已知以为圆心，为半径的圆交于两点.
（Ⅰ）若，的面积为，求的值及圆的方程；
（Ⅱ）若三点在同一直线上，直线与平行，且与之有一个公共点，求坐标原点到距离的比值.

















3、（2013年高考全国卷Ⅰ）已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|.











4、（2014年高考全国卷Ⅰ）已知点（0，-2），椭圆：的离心率为，是椭圆的右焦点，直线的斜率为，为坐标原点.
（Ⅰ）求的方程；
（Ⅱ）设过点的直线与相交于两点，当的面积最大时，求的方程.











5、（2015年高考全国卷Ⅰ）在直角坐标系中，曲线C：y=与直线（＞0）交与M,N两点，
（Ⅰ）当k=0时，分别求C在点M和N处的切线方程；
（Ⅱ）y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM=∠OPN？说明理由.













6、（2016年高考全国卷Ⅰ）设圆的圆心为A，直线l过点B（1,0）且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.
（Ⅰ）证明为定值，并写出点E的轨迹方程；
（Ⅱ）设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M,N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围.















7、（2017年高考全国卷Ⅰ）已知椭圆C：（a>b>0），四点P1（1,1），P2（0,1），P3（–1，），P4（1，）中恰有三点在椭圆C上.
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点。若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1，证明：l过定点.
















历年高考真题训练参考答案
1、解：（Ⅰ）设M(x,y)，由已知得B(x,-3)，A(0,-1).
所以=（-x,-1-y）, =(0,-3-y), =(x,-2).
再由题意可知（+）• =0，即（-x,-4-2y）• (x,-2)=0.
所以曲线C的方程式为y=x-2.
（Ⅱ）设P(x，y)为曲线C上一点，因为y=x，所以的斜率为x
因此直线的方程为，即.
则O点到的距离.又
所以
当=0时取等号，所以O点到距离的最小值为2.
2、解：（Ⅰ）由对称性知：是等腰直角三角形，斜边
点到准线的距离

圆的圆心为，半径
圆的方程为
（Ⅱ）由对称性设，则
点关于点对称得：
得：，直线
切点
直线
坐标原点到距离的比值为.
3、解：由已知得圆M的圆心为M(－1,0)，半径r1＝1；圆N的圆心为N(1,0)，半径r2＝3.
设圆P的圆心为P(x，y)，半径为R.
（Ⅰ）因为圆P与圆M外切并且与圆N内切，
所以|PM|＋|PN|＝(R＋r1)＋(r2－R)＝r1＋r2＝4.
由椭圆的定义可知，曲线C是以M，N为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为的椭圆(左顶点除外)，其方程为(x≠－2)．
（Ⅱ）对于曲线C上任意一点P(x，y)，由于|PM|－|PN|＝2R－2≤2，
所以R≤2，当且仅当圆P的圆心为(2,0)时，R＝2.
所以当圆P的半径最长时，其方程为(x－2)2＋y2＝4.
若l的倾斜角为90°，则l与y轴重合，可得|AB|＝.
若l的倾斜角不为90°，由r1≠R知l不平行于x轴，设l与x轴的交点为Q，则，可求得Q(－4,0)，所以可设l：y＝k(x＋4)．
由l与圆M相切得，
解得k＝.
当k＝时，将代入，
并整理得7x2＋8x－8＝0，
解得x1,2＝.
所以|AB|＝.
当时，由图形的对称性可知|AB|＝.
综上，|AB|＝或|AB|＝.
4、解：（Ⅰ）由已知得
（Ⅱ）当直线垂直于x轴时，不存在
令直线的方程为与联立消去y有：

令

整理得，令点O到直线l的距离为d,则
的面积 ，令
则
此时直线l的方程为或
5、解：（Ⅰ）由题设可得，，或，.
∵，故在=处的导数值为，C在处的切线方程为
，即.
故在=-处的导数值为-，C在处的切线方程为
，即.
故所求切线方程为或.
（Ⅱ）存在符合题意的点，证明如下：
设P（0，b）为符合题意的点，，，直线PM，PN的斜率分别为.
将代入C的方程整理得.
∴.
∴==.
当时，有=0，则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补
故∠OPM=∠OPN，所以符合题意.
6、解：（Ⅰ）因为，，故，
所以，故.
又圆的标准方程为，从而，
所以.
由题设得，，，
由椭圆定义可得点的轨迹方程为：（）.
（Ⅱ）当与轴不垂直时，设的方程为，，.
由得.
则，.
所以.
过点且与垂直的直线：，到的距离为，
所以.
故四边形的面积.
可得当与轴不垂直时，四边形面积的取值范围为.
当与轴垂直时，其方程为，，，四边形的面积为12.
综上，四边形面积的取值范围为.
7、解：（Ⅰ）根据椭圆对称性可得，P1（1,1）P4（1，）不可能同时在椭圆上，
P3（–1，），P4（1，）一定同时在椭圆上，
因此可得椭圆经过P2（0,1），P3（–1，），P4（1，），
代入椭圆方程可得：，
故而可得椭圆的标准方程为：。
（Ⅱ）由题意可得直线P2A与直线P2B的斜率一定存在，
不妨设直线P2A为：,P2B为：.
联立，假设，此时可得：
，
此时可求得直线的斜率为：，
化简可得，此时满足.
① 当时，AB两点重合，不合题意；
② 当时，直线方程为：，
即，当时，，因此直线恒过定点.