高中数学专题复习：专题复习（八）——不等式选讲 Word版含解析学案

专题复习（八）—— 不等式选讲

（一）  知识梳理

1．绝对值三角不等式

(1)定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立；

(2)性质：||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|；

注：不等式|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|中“=”成立的条件分别是：不等式|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|，右侧“=”成立的条件是ab≥0，左侧“=”成立的条件是ab≤0且|a|≥|b|;不等式|a|-|b|≤|a-b|≤|a|+|b|，右侧“=”成立的条件是ab≤0，左侧“=”成立的条件是ab≥0且|a|≥|b|．

(3)定理2：如果a，b，c是实数，则|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．

2．绝对值不等式的解法

(1)含绝对值不等式|x|<a与|x|>a的解法：

注：|x|以及|x-a|±|x-b|表示的几何意义：|x|表示数轴上的点x到原点O的距离；

| x-a |±|x-b|）表示数轴上的点x到点a,b的距离之和（差）．

(2)|ax＋b|≤c(c > 0)和|ax＋b|≥c(c > 0)型不等式的解法：

①|ax＋b|≤c ⇔－c≤ax＋b≤c；

②|ax＋b|≥c ⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.

(3)|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c > 0)型不等式的解法

法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；

法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；

法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．

3．基本不等式

定理1：设a，b∈R，则a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．

定理2：如果a，b为正数，则≥，当且仅当a＝b时，等号成立．

定理3：如果a，b，c为正数，则≥，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．

定理4：(一般形式的算术—几何平均不等式)

如果a1，a2，…，an为n个正数，则≥，当且仅当a1＝a2＝…＝an时，等号成立．

注：① 在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正 —— 各项均为正；二定 —— 积或和为定值；三相等 —— 等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．

② 对于公式a＋b≥2，ab ≤ 2，要弄清它们的作用和使用条件及内在联系，两个公式也体现了ab和a＋b的转化关系．

③ 运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如a2＋b2≥2ab逆用就是ab≤；≥(a，b>0)逆用就是ab ≤ 2(a，b>0)等．还要注意“添、拆项”技巧和公式等号成立的条件等．

4．柯西不等式

(1)柯西不等式的代数形式：设a1，a2，b1，b2均为实数，则(a＋a)(b＋b)≥(a1b1＋a2b2)2(当且仅当a1b2＝a2b1时，等号成立)．

(2)柯西不等式的向量形式：设α，β为平面上的两个向量，则|α||β|≥|α·β|.

(3)二维形式的三角不等式：设x1，y1，x2，y2∈R，那么＋≥

(4)柯西不等式的一般形式：设a1，a2，…，an，b1，b2，…bn为实数，则(a＋a＋…＋a)·(b＋b＋…＋b)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2.

注：柯西不等式的代数形式的特点：从形式结构上看，柯西不等式大的一边是两个向量的模平方之积的形式，小的一边是向量数量积的坐标运算的平方形式，可简记为“方和积不小于积和方”．

5．不等式的证明方法

证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法等．

注：比较法是证明不等式的最基本的方法，具体有作差比较和作商比较两种，其基本思想是把难以比较的式子变成其差与0比较大小或其商与1比较大小．当欲证的不等式两端是多项式(或分式)结构时，常用作差比较；当欲证的不等式两端是乘积形式(或幂指数式)时，常用作商比较．

作差法的理论依据是：a－b>0⇔a>b，a－b<0⇔a<b，a－b＝0⇔a＝b；

作商法的理论依据是：若a、b∈R＋，则>1⇔a>b，＝1⇔a＝b，<1⇔a<b.

6．恒成立问题与存在性问题的重要结论：

（二）        典例剖析

考点一：绝对值不等式的解法

例1：设函数f(x)＝|2x－3|－1，g(x)＝|x－1|+|x－3|.

(1)解不等式f(x)<0； (2)解不等式g(x)<3．

解：(1)f(x)<0即为|2x－3|<1.

即－1<2x－3<1.∴1<x<2.

所以不等式f(x)<0的解集为{x|1<x<2}．

(2) 不等式 g(x)<2即为|x－1|+|x－3|<3，可化为：

综上所述，不等式g(x)<3的解集为

考点释疑：解绝对值不等式的基本方法：

(1)利用“零点分段法”求解，通过分类讨论转化为解不含绝对值符号的普通不等式；

(2)当不等式两端均为正号时，可通过两边平方的方法，转化为解不含绝对值符号的普通不等式；

(3)利用绝对值的几何意义，数形结合求解．

考点二：不等式的恒成立与存在性问题

例2：设函数f(x)＝|x－1|＋|x－a|，g(x)＝|x－1|-|x－a|.

(1)如果x∈R，f(x)≥2，求a的取值范围；

(2)如果x∈R，g(x)≥3，求a的取值范围．

解：(1)∵f(x)＝|x－1|＋|x－a|≥|(x－1)－(x－a)|＝|a－1|.

要使∀x∈R，f(x)≥2，则  即|a－1|≥2     ∴a≤－1或a≥3 .

∴a的取值范围为(－∞，－1]∪3，＋∞)．

(2) ∵g(x)＝|x－1|-|x－a|≤|(x－1)－(x－a)|＝|a－1|.

要使x∈R，g(x)≥3，则

即|a－1|≥3     ∴a≤－2或a≥4 .   ∴a的取值范围为(－∞，－2]∪4，＋∞)．

考点释疑：①不等式有解是含参数的不等式存在性问题，只要求存在满足条件的x即可；不等式的解集为R是指不等式的恒成立问题，而不等式的解集为∅的对立面(如f(x)>m的解集是空集，则f(x)≤m恒成立)也是不等式的恒成立问题，此两类问题都可转化为最值问题，即f(x)<a恒成立⇔a>f(x)max，f(x)>a恒成立⇔a<f(x)min.　

②对于求y＝|x－a|＋|x－b|或y＝|x－a|－|x－b|型的最值问题利用绝对值三角不等式||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|更方便．形如y＝|x－a|＋|x－b|的函数只有最小值，形如y＝|x－a|－|x－b|的函数既有最大值又有最小值．

考点三：基本不等式

例3：(1)已知x＜0，则f(x)＝2+＋x的最大值为 _____．

(2)若正数x，y满足x＋2y＝2，则的最小值为 _____．

(3)若,则的最小值为 _____．

解：(1)   

当且仅当，即时等号成立.的最大值为 -2 .

(2)

当且仅当，即时等号成立.的最小值为.

(3)

当且仅当，即时等号成立.的最小值为4.

考点释疑：1.使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是对其前提“一正、二定、三相等”的忽视.要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可.

2.在运用基本不等式时，还要特别注意“拆”“拼” “凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定” “等”的条件.

考点四：柯西不等式

例4：（1）已知实数满足，求的最小值 .

（2）已知实数满足，求的最小值 .

解：（1）     

当且仅当，即时等号成立.的最小值为.

（2）    

当且仅当，即时左等号成立.的最小值为.

考点释疑：使用柯西不等式的关键是恰当变形，化为符合它的结构形式，当一个式子与柯西不等式的左边或右边具有一致形式时，就可使用柯西不等式进行求解．

（三）     历年高考真题训练

1、（2011年高考全国卷Ⅰ）设函数，其中.

（Ⅰ）当时，求不等式的解集；

（Ⅱ）若不等式的解集为 ，求的值.

2、（2012年高考全国卷Ⅰ）已知函数

（Ⅰ）当时，求不等式的解集；

（Ⅱ）若的解集包含，求的取值范围.

3、（2013年高考全国卷Ⅰ）已知函数f(x)＝|2x－1|＋|2x＋a|，g(x)＝x＋3.

（Ⅰ）当a＝－2时，求不等式f(x)＜g(x)的解集；

（Ⅱ）设a＞－1，且当x∈时，f(x)≤g(x)，求a的取值范围．

4、（2014年高考全国卷Ⅰ）若，且.

（Ⅰ）求的最小值；

（Ⅱ）是否存在，使得？并说明理由.

5、（2015年高考全国卷Ⅰ）已知函数=|x+1|-2|x-a|，a>0.

（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）>1的解集；

（Ⅱ）若f（x）的图像与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围.

6、（2016年高考全国卷Ⅰ）已知函数．

（Ⅰ）在答题卡第（24）题图中画出的图像；

（Ⅱ）求不等式的解集．

7、（2017年高考全国卷Ⅰ）已知函数f（x）= –x2+ax+4，g(x)=│x+1│+│x–1│.

（Ⅰ）当a=1时，求不等式的解集；

（Ⅱ）若不等式的解集包含–1，1]，求a的取值范围.

历年高考真题训练参考答案

1、解：（Ⅰ）当时，可化为

即

不等式的解集为或.

（Ⅱ）由 得 可化为：

综上所述，不等式的解集为

由题设可得= ，故.

2、解：（Ⅰ）当时，可化为：

综上所述，不等式的解集为.

     （Ⅱ）的解集包含

在上恒成立

在上恒成立

在上恒成立

的取值范围为.

3、解：（Ⅰ）当时，不等式即可化为：

综上所述，不等式的解集为.

（Ⅱ）当时，.

不等式可化为.

对任意都成立．

又   

的取值范围是.

4、解：（Ⅰ）

（当且仅当时等号成立）

（当且仅当时两等号成立）

的最小值为.

（Ⅱ）不存在，使得.

理由如下：

不存在，使得.

5、解：（Ⅰ）当时，不等式可化为：

不等式的解集为. 

（Ⅱ）由题设可得，，

函数的图像与轴围成的三角形的三个顶点分别为，，

.

由题设得＞6，解得.

的取值范围为（2，+∞）. 

6、解：（Ⅰ）由已知，得

画出的图像如图所示：

（Ⅱ）由（Ⅰ）知， 

则不等式可化为：

综上所述，不等式的解集为.

7、解：（Ⅰ）当时，不等式可化为：

综上所述，不等式的解集为.

（Ⅱ）当时，

的解集包含对任意恒成立

又在的最小值必为与之一

的取值范围为.