初中数学北师大版八年级上册第一章 勾股定理3 勾股定理的应用同步达标检测题

北师大版八年级数学上学期第一章　勾股定理的应用

一、选择题

1.已知:如图,一艘轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行,另一艘轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行,离开港口2小时后,两船相距(　　)

A.25海里 B.30海里 C.35海里 D.40海里

2.如图,小亮将升旗的绳子拉直到底端,绳子末端刚好接触到地面,然后将绳子末端拉到距离旗杆8 m处,发现此时绳子末端距离地面2 m,则旗杆的高度(滑轮上方的部分忽略不计)为              (　　)

A.12 m B.13 m C.16 m D.17 m

3. 如图所示,有一个由传感器A控制的灯,要装在门上方离地面4.5 m的墙上,任何东西只要移至该灯5 m及5 m以内时,灯就会自动发光,则一个身高1.5 m的学生走到离墙多远的地方时灯刚好发光              (　　)

A.4 m B.3 m C.5 m D.7 m

二、非选择题

4. 如图,在一个高为3米,长为5米的楼梯表面铺地毯,则地毯的长度至少为　　　　米. 

5.学校有一块长方形的花圃,如图所示,有少数同学为了避开拐角而走“捷径”,在花圃内走出了一条“路”,他们仅仅少走了　　　　步(假设1 m=2步),却踩伤了花草. 

6.如图是某工厂的大门,它是由一个正方形和一个半圆组成的,正方形的边长为5米,一辆装货的卡车的宽为4米,高为6米,则这辆卡车能否通过此大门?请说明理由.

7. 如图,某校将一块三角形废地ABC设计为一个花园,测得AC=

80 m,BC=60 m,AB=100 m.

(1)已知花园的入口D在AB上,且到A,B的距离相等,出口为C,求CD的长;

(2)若从C到AB要修一条水沟,水沟的造价为30元/m,则这条水沟的最低造价是多少?

8.如图所示,如果只给你一把带有刻度的直尺,你能否检验∠MPN是不是直角?简述你的作法,并说明理由.

9.如图是一个三级台阶,它的每一级的长、宽、高分别为20 dm,3 dm,2 dm,A和B是这个台阶两个相对的端点.点A处有一只蚂蚁,它想到点B处去吃可口的食物,则蚂蚁沿着台阶爬到点B的最短路程是　　　　dm. 

10.如图,小红想用一条彩带缠绕一个圆柱,正好从A点绕四圈到正上方的B点.已知圆柱底面周长是12 cm,高是20 cm,那么所需彩带的最短长度是　　　　 cm. 

11.如图,牧童在A处放牛,其家在B处,A,B到河岸的距离分别为AC=400 m,BD=

200 m,CD=800 m,牧童从A处把牛牵到河边饮水后回家,则在何处饮水能使所走的总路程最短?最短总路程是多少?

12.如图,一只蚂蚁从长、宽都是30 cm,高是80 cm的长方体纸箱上的点A处沿纸箱侧面爬到点B,求它爬行的最短路程.

13.如图,公路MN和公路PQ在点P处交会,在公路PQ上的点A处有一所学校,点A到公路MN的距离AB=80 m,现有一拖拉机在公路MN上以18 km/h的速度沿PN方向行驶,拖拉机行驶时周围100 m以内都会受到噪声的影响,则该校受噪声影响的时间为多少秒?

参考答案

一、选择题

1.D　[解析] 如图所示.因为两船行驶的方向分别是东北方向和东南方向,

所以∠BAC=90°.

2小时后,两艘轮船分别行驶了16×2=32(海里),12×2=24(海里).

根据勾股定理,得322+242=402,所以2小时后,两船相距40海里.

故选D.

2.D　[解析] 设旗杆的高度为x m.由题意,得(x-2)2+82=x2,解得x=17.

3.A　[解析] 如图,过点C作CE⊥AB.由题意可知BE=CD=1.5 m,则AE=AB-BE=4.5-1.5=3(m),AC=5 m.

在Rt△ACE中,由勾股定理得CE2=AC2-AE2=52-32=16.所以CE=4 m.

所以一个身高1.5 m的学生走到离墙4 m远的地方时,灯刚好发光.故选A.

二、非选择题

4.7　[解析] 将地毯铺平长度正好为直角三角形两直角边长的和.由勾股定理易知另一直角边长为4米,故地毯的长度至少为4+3=7(米).

5.4

6.解:这辆卡车能通过此大门.理由如下:

如图所示,让卡车在门的中央通过,两侧各留0.5米的空隙,故AC=2米,过点C作CB'⊥AC,交半圆于点B,交A'B'于点B',连接AB,则AB=2.5米,CB'=AA'=5米.在Rt△ABC中,BC2=AB2-AC2=2.52-22=2.25,所以BC=1.5(米).所以BB'=BC+CB'=1.5+5=6.5(米).

因为6.5>6,所以这辆卡车能通过此大门.

7.解:(1)如图,过点C作CE⊥AB于点E.

因为在△ABC中,AB=100,BC=60,AC=80,

所以AC2+BC2=802+602=10000.

又因为AB2=10000,所以AC2+BC2=AB2.

所以△ABC是直角三角形,且∠ACB=90°.

所以CE===48.

因为∠CEB=90°,所以根据勾股定理,得BE2=BC2-CE2=602-482=1296.

所以BE=36.

又因为AD=BD=50,所以DE=BD-BE=14.

因为∠CED=90°,所以根据勾股定理,得CD2=DE2+CE2=142+482=2500.

所以CD=50(m).

(2)因为垂线段最短,所以CE为水沟的位置.

所以需要的钱数为48×30=1440(元).

8.解:能检验.

作法:

(1)在射线PM上量取PA=3 cm,确定点A,在射线PN上量取PB=4 cm,确定点B.

(2)连接AB,得到△PAB.

(3)用刻度尺量取AB的长度,如果AB恰好等于5 cm,那么就说明∠MPN是直角,否则∠MPN就不是直角.

理由:因为PA=3 cm,PB=4 cm,所以PA2+PB2=32+42=52.

若AB=5 cm,则PA2+PB2=AB2,

根据直角三角形的判定方法可得△PAB是直角三角形,即∠MPN是直角.

9.25　[解析] 如图,三级台阶平面展开图为长方形,其长为20 dm,宽为(2+3)×3 dm,则蚂蚁沿着台阶爬到点B的最短路程是长方形对角线的长.设其长度为x dm,由勾股定理得x2=202+[(2+3)×3]2=252,所以x=25,故蚂蚁沿着台阶爬到点B的最短路程是25 dm.

10.52　[解析] 侧面展开图如图所示,因为两点之间线段最短,所以所需彩带的最短长度为13×4=52(cm).

11.解:如图,作点A关于直线CD的对称点A',连接A'B交CD于点M,连接AM,则AM=A'M,所以在点M处饮水所走的总路程最短,最短总路程为A'B的长.

过点A'作A'H⊥BD交BD的延长线于点H.

在Rt△A'HB中,A'H=CD=800 m,

故BH=BD+DH=BD+AC=200+400=600(m).

由勾股定理,得A'B2=A'H2+BH2=8002+6002=1000000,故A'B=1000 m.

所以最短总路程为1000 m.

12.解:分三种情况:将长方体的前面和右面(或左面和后面)展开,如图①所示.在Rt△ABC中,AC=30+30=60(cm),BC=80 cm,所以AB2=AC2+BC2=602+802=10000.

所以AB=100 cm.

将长方体的前面和上面(或底面和后面)展开,如图②所示.在Rt△ABC中,AC=

30 cm,BC=30+80=110(cm),

所以AB2=302+1102=13000.

将长方体的右面和底面(或左面和上面)展开,如图③所示.在Rt△ABC中,AC=

30 cm,BC=30+80=110(cm),

所以AB2=302+1102=13000.

因为13000>10000,

所以它爬行的最短路程为100 cm.

13.解:如图,假设拖拉机行驶到C处时,学校开始受到噪声影响,连接AC,则AC=100 m.

所以BC2=1002-802=602.所以BC=60 m.

假设拖拉机行驶到D处时,学校开始脱离噪声影响,连接AD,则AD=100 m,

所以BD=BC=60 m.

所以CD=120 m.

因为÷18=(h), h=24 s,

所以该校受噪声影响的时间为24 s.