初中数学北京课改版九年级上册20.5 测量与计算教案

这是一份初中数学北京课改版九年级上册20.5 测量与计算教案，共7页。教案主要包含了教学目标，教学重点，教学难点，教学过程等内容，欢迎下载使用。

【教学目标】
1．知识与技能：
使学生了解坡度、坡角的概念，使学生根据直角三角形的知识解决实际问题。
2．过程与方法：
让学生经历探索解直角三角形的应用解决有关坡度、坡角问题的过程。
3．情感态度：
逐步培养分析问题、解决问题的能力和转化的数学思想方法的应用。
【教学重点】
要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而解决问题。
【教学难点】
要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而解决问题。
【教学过程】
教师活动
学生活动
设计意图
环节一：
（一）复习引入
1．解直角三角形的概念和依据是什么？
概念：由直角三角形中除直角外的两个已知元素（其中至少一个是边）求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形。
解直角三角形的依据：
（1）三边间关系：a2+b2=c2
（2）锐角间关系：∠A+∠B=90°
（3）边角之间函数关系：
sinA =ac csA =bc tanA =ab
sinB = bc csB = ac tanB = ba
2．仰角、俯角的概念。
当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角。
3．利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程有哪些？
（1）将实际问题抽象为数学问题；(画出平面图形，转化为解直角三角形的问题)
（2）根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形；
（3）得到数学问题的答案；
（4）得到实际问题的答案。
学生回答
理解直角三角形的概念和解题方法。
环节二：
（二）探究新知：
探究一：坡度、坡角的概念。
在修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度。
如图，坡面的铅垂高度（h）和水平长度（l）的比叫做坡面坡度（或坡比）。记作i，即 。坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，即 =tanα。
显然，坡度越大，坡角α就越大，坡面就越陡。
坡度通常写成1∶m的形式，如i=1∶6。
探究二：例题解析
例1、如图，一山坡的坡度为i=1∶2。小刚从山脚A出发，沿山坡向上走了240m到达点C。这座山坡的坡角是多少度？小刚上升了多少米？（角度精确到0.01°，长度精确到0.1m）
解：用α表示坡角的大小，由题意可得
，
因此α≈26．57°。
在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=26．57°，AC=240，
因此
从而BC=240×sin26．57°≈107．3（ｍ）。
答：这座山坡的坡角约为26．57°，小刚上升了约107．3m。
例2．同学们，如果你是修建三峡大坝的工程师，现在有这样一个问题请你解决：如图，水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB的坡度i＝1∶3，斜坡CD的坡度i＝1∶2．5，求斜坡AB的坡面角α，坝底宽AD和斜坡AB的长(精确到0.1m)。
∵
∴
答：斜坡AB的坡角α约为18°26′，坝底宽AD为132．5米，
斜坡AB的长约为72．7米。
学生自学坡度、坡角概念。
分析思路，选择方法，
写出解答过程。
学生交流讨论，然后解答。
让学生理解坡度、坡角概念。
探索解直角三角形问题的初步应用。
让学生理解利用两个直角三角形解决问题的方法。
环节三：
（三）巩固练习：
1．如图，已知梯形护坡坝AB的坡度为i=1：4，坡高BC=2m，则斜坡AB的长为m。
解析：∵梯形护坡坝AB的坡度为i=1：4，坡高BC=2m，
∴，
∴AC=8m，
根据勾股定理，得
AB=m。
2．如图所示，一水库迎水坡AB的坡度i=1：3，则该坡的坡角α=。
分析：因为水库迎水坡AB的坡度i=1：3，所以tanα=i =33，所以α=30°。
3．如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，根据图中数据求坡角a和。
解：在Rt△AFB中，∠AFB=90°
在Rt△CDE中，∠CED=90°
学生自主解答。
学生自主解答
学生自主解答
巩固方法
巩固解题方法
巩固解题方法
环节四：
（四）归纳总结，知识回顾
通过本节课的学习，你的收获和体会是什么？
1．了解了坡度、坡角的概念；
2．掌握了利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程；
3．会利用解直角三角形的应用解决有关坡度、坡角问题。
学生畅所欲言，相互进行补充，尽量用自己的语言进行归纳总结。
巩固本节课所学。
环节五
课后练习：拓展自我
如图，某校八年级（1）班学生利用寒假期间到郊区进行社会实践活动，活动之余，同学们准备攀登附近的一个小山坡，从B点出发，沿坡角15°的坡面以5千米/时的速度行至D点，用了10分钟，然后沿坡比为1：的坡面以3千米/时的速度达到山顶A点，用了5分钟，求小山坡的高（即AC的长度）（精确到0.01千米）（sin15°≈0.2588，cs15°≈0.9659，≈1．732）
解：过D作DF⊥BC于F，DE⊥AC于点E
∵沿坡比为1：的坡面以3千米/时的速度达到山顶A点，∴=
∴∠ADE=30°
∵BD=560×10=56（km），AD=360×5=14（km）
∴AC=AE+EC=AE+DF=ADsin30°+BDsin15°=14×12+56×0.2588≈0.34（千米）。
答：小山坡的高为0.34千米。
学生探究
增加难度，巩固所学。