2020届全国各地高考试题分类汇编06选修4-4,4-5

这是一份2020届全国各地高考试题分类汇编06选修4-4,4-5，共14页。试卷主要包含了，C2，，C 与等内容，欢迎下载使用。

复数5
逻辑用语8
函数与导数10
三角函数和解三角形34
平面向量47
07 数列53
不等式和线性规划69
空间立体几何73
平面解析几何98
统计和概率123
\l "_TOC_250001" 极坐标和参数方程142
\l "_TOC_250000" 不等式选讲147
12 极坐标和参数方程
x  csk t,

1.（2020•全国 1 卷）在直角坐标系 xOy 中，曲线C1 的参数方程为 y  sink t
(t 为参数) ．以坐标原点为
极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2 的极坐标方程为4cs16sin 3  0 ．
当 k  1时， C1 是什么曲线？
当 k  4 时，求C1 与C2 的公共点的直角坐标．
C1 1
【答案】（1）曲线 1 表示以坐标原点为圆心，半径为 1 的圆；（2） ( , ) .
4 4
【解析】（1）利用sin2 t  cs2 t  1消去参数t ，求出曲线C1 的普通方程，即可得出结论；
1
（2）当 k  4 时， x  0, y  0 ，曲线C 的参数方程化为

x  cs2 t y  sin2 t
(t 为参数），两式相加消去参数t ，
得C1 普通方程，由cs x, sin y ，将曲线C2 化为直角坐标方程，联立C1, C2 方程，即可求解.
【详解】（1）当 k  1时，曲线C 的参数方程为x  cs t (t 为参数），

1 y  sin t
两式平方相加得 x2  y2  1 ，所以曲线C1 表示以坐标原点为圆心，半径为 1 的圆；
x  cs4 t

（2）当 k  4 时，曲线C1 的参数方程为 y  sin4 t (t 为参数），
x  0, y  0C

所以，曲线 1 的参数方程化为

x  cs2 t y  sin2 t
(t 为参数），
x
y
两式相加得曲线C1 方程为 1 ，
y
x
x
得 1 ，平方得 y  x  2 1, 0  x  1, 0  y  1 ，
曲线C2 的极坐标方程为 4cs16sin 3  0 ，曲线C2 直角坐标方程为4x 16 y  3  0 ，
x
联立C , C 方程  y  x  2
1
x
，整理得12x  32
 13  0 ，解得
 1 或
 13 （舍去），
12
x
x
4x 16 y  3  02 6
 x  1 , y  1 ，C ,C 公共点的直角坐标为( 1 , 1 ) .

44124 4
【点睛】本题考查参数方程与普通方程互化，极坐标方程与直角坐标方程互化，合理消元是解题的关系，
要注意曲线坐标的范围，考查计算求解能力，属于中档题.
x  t  1 ,
x  4 cs2 t
2.（2020•全国 2 卷）已知曲线 C1，C2 的参数方程分别为 C1： y  4 sin2  （θ为参数），C2：1 （t

 y  t 
t
为参数）.
将 C1，C2 的参数方程化为普通方程；
以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.设 C1，C2 的交点为 P，求圆心在极轴上，且经过
极点和 P 的圆的极坐标方程.
【答案】（1） C1
: x  y  4 ； C2
: x2  y2  4 ；（2）  17 cs.
5
【解析】（1）分别消去参数和t 即可得到所求普通方程；
（2）两方程联立求得点 P ，求得所求圆的直角坐标方程后，根据直角坐标与极坐标的互化即可得到所求极坐标方程.
【详解】（1）由cs2  sin2  1得C1 的普通方程为： x  y  4 ；
x  t  1x2  t 2  1  2
tt 2
C22
由1 得： 
，两式作差可得 2 的普通方程为： x  y
 4 .
 y  t  y2  t 2  2
tt 2
x  5
x  y  4
（2）由得：
，即 P  5 , 3  ；设所求圆圆心的直角坐标为a, 0 ，其中 a  0 ，

x2  y2  4


2 2
 y  3
2
5 2
3 2
2
1717
则 a  2 
  0  2 
 a ，解得： a ，
10
所求圆的半径 r ，
10


17 2
 17 2
2
2217
所求圆的直角坐标方程为：  x  10   y
  10 
，即 x  y
x ，
5

所求圆的极坐标方程为 17 cs.
5
【点睛】本题考查极坐标与参数方程的综合应用问题，涉及到参数方程化普通方程、直角坐标方程化极坐
标方程等知识，属于常考题型.
x  2  t  t 2

3.（2020•全国 3 卷）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 y  2  3t  t 2 （t 为参数且 t≠1），C 与
坐标轴交于 A、B 两点．
求| AB | ；
10
以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线 AB 的极坐标方程．
【答案】（1） 4
（2） 3cs sin12  0
【解析】（1）由参数方程得出 A, B 的坐标，最后由两点间距离公式，即可得出 AB 的值；
（2）由 A, B 的坐标得出直线 AB 的直角坐标方程，再化为极坐标方程即可.
【详解】（1）令 x  0 ，则t 2  t  2  0 ，解得t  2 或t 1（舍），则 y  2  6  4  12 ，即 A(0,12) .
令 y  0 ，则t 2  3t  2  0 ，解得t  2 或t 1（舍），则 x  2  2  4  4 ，即 B(4, 0) .
(0  4)2  (12  0)2
 AB 
（2）由（1）可知 kAB
 4
 12  0
0  (4)
；
10
 3 ，
则直线 AB 的方程为 y  3(x  4) ，即3x  y 12  0 .
由 x  cs, y  sin可得，直线 AB 的极坐标方程为3cs sin12  0 .
【点睛】本题主要考查了利用参数方程求点的坐标以及直角坐标方程化极坐标方程，属于中档题.
4.（2020•江苏卷）在极坐标系中，已知点 A(, π) 在直线l : cs 2 上，点 B( , π ) 在圆C :  4 sin

1 32 6
上（其中 0 ， 0  2）．
（1）求1 ， 2 的值
（2）求出直线l 与圆C 的公共点的极坐标．
(2 2,)
4

【答案】（1） 1  4，2  2 （2）
【解析】(1)将 A,B 点坐标代入即得结果；（2）联立直线与圆极坐标方程，解得结果.
【详解】（1）以极点为原点，极轴为 x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，
 cs   2,  4 ，因为点 B 为直线 上，故其直角坐标方程为 y 3 x ，
13163
又 4 sin对应的圆的直角坐标方程为： x2  y2  4y  0 ，

 y  3 x
x  0x 
由3
解得 y  0 或，
3

x2  y2  4 y  0
 y  1
对应的点为0, 0,  3,1 ，故对应的极径为2  0 或2  2 .
（2）cs 2,  4 sin, 4 sincs 2,sin 2 1，
2
[0, 2), , 5，当 时 2；
444
2
 5

当4 时 2 0 ，舍；即所求交点坐标为当(2 2, 4 ),
【点睛】本题考查极坐标方程及其交点，考查基本分析求解能力，属基础题.
13 不等式选讲
1.（2020•全国 1 卷）已知函数 f (x) | 3x  1| 2 | x 1| ．
画出 y 
f ( x) 的图像；
求不等式 f (x)  f (x 1) 的解集．
【答案】（1）详解解析；（2）  ,  7  .
6 

【解析】（1）根据分段讨论法，即可写出函数 f  x  的解析式，作出图象；
（2）作出函数 f  x 1的图象，根据图象即可解出．

 x  3,

x  1
1

【详解】（1）因为 f  x   5x 1,

 x  1 ，作出图象，如图所示：
3
 x  3, x   1
3
（2）将函数 f  x  的图象向左平移1个单位，可得函数 f  x 1的图象，如图所示：
由x  3  5 x 1 1 ，解得 x   7 ．所以不等式 f (x)  f (x 1) 的解集为 ,  7  ．
66 

【点睛】本题主要考查画分段函数的图象，以及利用图象解不等式，意在考查学生的数形结合能力，属于
基础题．
2.（2020•全国 2 卷）已知函数 f (x) 
x  a2  | x  2a 1| .
当 a  2 时，求不等式 f (x)4 的解集；
若 f (x)4 ，求 a 的取值范围.
【答案】（1） x x  3 或 x  11 ；（2） , 13,  .
2
2


【解析】（1）分别在 x  3 、3  x  4 和 x  4 三种情况下解不等式求得结果；
（2）利用绝对值三角不等式可得到 f  x  a 12 ，由此构造不等式求得结果.
【详解】（1）当 a  2 时， f  x 
x  4  x  3 .
当 x  3 时， f  x  4  x  3  x  7  2x  4 ，解得： x ≤ 3 ；
2
当3  x  4 时， f  x  4  x  x  3  1  4 ，无解；
当 x  4 时， f  x  x  4  x  3  2x  7  4 ，解得： x 11 ；
2
综上所述： f  x  4 的解集为x x  3 或 x  11 .
2
2


（2） f  x 
x  a2
 x  2a 1   x  a2   x  2a 1  a2  2a 1  a 12 （当且仅当
2a  1  x  a2 时取等号），a 12  4 ，解得： a  1 或 a  3 ，
a 的取值范围为, 13, .
【点睛】本题考查绝对值不等式的求解、利用绝对值三角不等式求解最值的问题，属于常考题型.
3.（2020•全国 3 卷）设 a，b，c R，a+b+c=0，abc=1．
证明：ab+bc+ca<0；
用 max{a，b，c}表示 a，b，c 中的最大值，证明：max{a，b，c}≥ 3 4 ．
【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析.
【解析】（1）由(a  b  c)2  a2  b2  c2  2ab  2ac  2bc  0 结合不等式的性质，即可得出证明；
b  c2b2  c2  2bc
（2）不妨设max{a, b, c}  a ，由题意得出 a  0,b, c  0 ，由 a3  a2  a ，结
bcbc
合基本不等式，即可得出证明.
【详解】（1） (a  b  c)2  a 2  b2  c2  2ab  2ac  2bc  0 ，
2
ab  bc  ca   1 a2  b2  c2 
2
 abc  1, a, b, c 均不为0 ，则 a2  b2  c2  0 ，ab  bc  ca   1 a2  b2  c2   0 ；
（2）不妨设max{a, b, c}  a ，
由 a  b  c  0, abc  1可知， a  0, b  0, c  0 ，
1b  c 2b2  c2  2bc2bc  2bc
 a  b  c, a ， a3  a2  a  4 .
bc
bcbcbc
当且仅当b  c 时，取等号，
3 4
a ，即max{a,b, c}3 4 .
【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质以及基本不等式的应用，属于中档题.
4.（2020•江苏卷）设 x  R ，解不等式 2 | x 1|  | x | 4 ．
【答案】 2, 2
3
【解析】根据绝对值定义化为三个方程组，解得结果
【详解】
x  1
 1  x  0
或或
x  0



2x  2  x  4
2x  2  x  4
2x  2  x  4
2  x  1或1≤ x ≤ 0 或0  x  2 ,所以解集为2, 2
33
【点睛】本题考查分类讨论解含绝对值不等式，考查基本分析求解能力，属基础题.