精讲02 基本不等式与二次不等式（解析版）试卷

这是一份精讲02 基本不等式与二次不等式（解析版）试卷，共20页。
专题02基本不等式与二次不等式 【专题综述与核心素养要求】与“集合”“常用逻辑用语”一样，“相等关系与不等关系”和“从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式”的内容也是《课程标准（2017年版）》规定的高中数学课程的预备知识.它们的作用都是为高中数学课程做好学习心理、学习方式和知识技能等方面的准备，帮助学生完成初高中数学学习的过渡.为什么“相等关系与不等关系”和“从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式”的内容能发挥这样重要的作用？它们为高中数学课程的学习做了哪些方面的准备呢？首先，相等关系、不等关系是数学中最基本的数量关系，是构建方程、不等式的基础，而方程和不等式都是重要的数学工具，在解决问题中有广泛的应用，因此对方程和不等式内容的学习，主要是为高中数学课程提供工具方面的准备.其次，函数是贯穿高中数学课程的最重要的概念和思想方法，用函数的观点看方程和不等式是要向学生渗透一种重要的思想方法——如何从函数的观点理解其他数学对象，进而把握不同数学对象的共性和相互关系.而这种思想方法对学生高中阶段的数学学习是非常重要的.最后，从学习方法来看，本章要在回顾、梳理等式内容的基础上，提炼等式中蕴含的思想方法，以及用一次函数的观点看一次方程、不等式的思想方法，再把这些思想方法迁移到对不等式内容的学习中.这种“回顾、梳理—提炼—迁移”的学习方法将适用于高中许多内容的学习.【重要知识点与题型快速预览】【知识点精解精析】基础知识点一：不等式的性质 别名性质内容注意性质1对称性可逆性质2传递性同向性质3可加性可逆性质3的推论移项法则可逆性质4可乘性的符号性质5同向可加性同向性质6同向同正可乘性同向，同正性质7可乘方性同正性质8可开方性 基础知识点二：一元二次不等式的解集（1）三个“二次”之间的关系由一元二次不等式的一般形式知，任何一个一元二次不等式整理成一边形式为或，而且我们已经知道对于一元二次方程（，其中），它的解按照可分为三种情况．相应地，二次函数的图象与轴的位置关系也分为三种情况，因此，对应的一元二次不等式（或）的解集我们也分三种情况进行讨论． 二次函数的图象一元二次方程的根有两不同实根有两个相等的实根无实根一元二次不等式的解集的解集或的解集时解集的结构可记为：的解集为“大于大根或小于小根”；的解集为“大于小根且小于大根”．（2）解一元二次不等式的一般步骤①对不等式变形，使一端为零且二次项系数大于零；②计算判别式；③当时，求出相应的一元二次方程的根；④根据二次函数图象写出一元二次不等式的解集．基础知识点三：基本不等式（1）重要不等式，当且仅当时，等号成立．（2）基本不等式如果，那么，当且仅当时，等号成立．其中，叫做正数的算术平均数，叫做正数的几何平均数．因此，基本不等式可以叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．温馨提示①基本不等式成立的条件是．②从不等式成立的条件来看，要求，而对没有要求．例如，当，时，成立，但显然不成立．③事实上，当时，我们分别用代替重要不等式中的，可得，变形可得．④基本不等式可变形为等．⑤由基本不等式，我们可以得到一个常用结论：．【必知必会题型深度讲解】必知必会题型一：一元二次不等式的解法解一元二次不等式的一般步骤如下：（1）化成标准式或．（2）计算对应方程根的判别式．（3）求出对应方程的解．（4）画出相应二次函数的图象．（5）由图象写出不等式的解集．【典型例题1】解下列不等式：（1）；（2）；（3）.【答案】（1）或；（2）；（3）或.【解析】（1）不等式即为，解得或，因此，不等式的解集为或；（2）不等式即为，解得，因此，不等式的解集为；（3）不等式即为，即，解得或.因此，不等式的解集为或.【典型例题2】解下列不等式：（1）2＋3x－2x2>0；（2）x(3－x)≤x(x＋2)－1；（3）x2－2x＋3>0.【答案】（1）；（2）或；（3）R.【解析】（1）原不等式可化为2x2－3x－2<0，所以(2x＋1)(x－2)<0故原不等式的解集是.（2）原不等式可化为2x2－x－1≥0，所以(2x＋1)(x－1)≥0故原不等式的解集为或（3）因为故原不等式的解集是R.【典型例题3】已知不等式的解集为．（1）解不等式；（2）b为何值时，的解集为R？【答案】（1）或；（2）．【解析】（1）由题意知且－3和1是方程的两根，∴解得.∴不等式，即为，解得或.∴所求不等式的解集为或；（2），即为，若此不等式的解集为，则，解得.必知必会题型二：含参数的一元二次不等式的解法在解含有参数的一元二次不等式时，往往要对参数进行分类讨论，为了做到分类“不重不漏”，一般从如下三个方面进行考虑：（1）关于不等式类型的讨论：二次项的系数；（2）关于不等式对应的方程的根的讨论：两根（），无根（）；（3）关于不等式对应的方程根的大小的讨论：．【典型例题1】求关于x的不等式的解集，其中a是常数.【答案】当a<－1时，原不等式的解集为(a，－1)；当a=－1时，原不等式的解集为；当a>－1时，原不等式的解集为(－1，a).【解析】解依题意知方程的根为x1=，x2=a，且一元二次函数y=x2+(1-a)x-a的图象是开口向上的抛物线.当a<时，如图，一元二次函数y=x2十(1－a)x－a的图象与x轴从左至右有两个交点(a，0)与(，0)，所以原不等式的解集为(a，).当a=时，如图，一元二次函数y=x2+(1－a)x－a的图象与x轴只有一个交点(－1，0).所以原不等式的解集为.当a－1时，如图，一元二次函数y=x2十(1－a)x-a的图象与x轴从左至右有两个交点(－1，0)与(a，0).所以原不等式的解集为(－1，a).综上所述，当a<－1时，原不等式的解集为(a，－1)；当a=－1时，原不等式的解集为；当a－1时，原不等式的解集为(－1，a)．【典型例题2】解关于的不等式:.【答案】见解析【解析】不等式可化为.①当时,,解集为，或；②当时,,解集为；③当时,,解集为，或.综上所述,当时,原不等式的解集为，或；当时,原不等式的解集为；当时,原不等式的解集为，或.【典型例题3】解下列含参数的不等式：（1）；（2）；（3）．【答案】（1）见解析（2）见解析（3）见解析【解析】（1）原不等式等价于，对应方程两根为，比较两根的大小情况，可得当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为．（2）当时，不等式化为．解得．当时，方程的两根为，．①时，分情况讨论：时，；时，；时，．②时，．综上，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为．（3）．①，即或时，不等式的解集为；②，即或时，不等式的解集为；③，即时，不等式的解集为.必知必会题型三：不等式中恒成立问题的解法（1）含参数的不等式的恒成立问题通过分离参数，把参数的范围问题转化为函数的最值问题．在的最大值与最小值存在的条件下，恒成立；恒成立．（2）一元二次不等式的恒成立问题①对任意实数均成立对任意实数均成立②若（或）在时恒成立，可利用单调性或分离参数法等求解．【典型例题1】当时，一元二次不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】【解析】对于二次函数，抛物线开口向上，当时，一元二次不等式恒成立，则当时函数值，且当时函数值.得，解得.所以的取值范围是.【典型例题2】已知不等式在时恒成立，求实数a的取值范围.【答案】【解析】设，则对成立.当时，，显然成立；当时，要使恒成立，需函数开口向上，且与x轴没有交点，即解得.综上知，实数a的取值范围为.【典型例题3】要使函数在时恒成立，求a的取值范围.【答案】【解析】由于在时恒成立，则在时恒成立.又∵，当时，，令，则，函数在上为减函数，，∴为满足在时恒成立，需.故a的取值范围为.必知必会题型四：比较数（式）的大小的方法（1）比较两个实数与的大小，作差法需归结为判断它们的差的符号，因此，因式分解时越彻底越好，若用配方法化成和的形式，则各项符号需相同．（2）用作商法比较大小时，被除数与除数同号，否则不等号方向由可能弄错．（3）比较两个数或代数式（均大于零）的大小，也可化为比较两个数平方的大小．（4）在比较两个数的大小时，若作差后不易变形，则可与中间量（如0或1等）进行比较，再由不等式的传递性得到两数的大小关系．（5）在比较两个数的大小时，若差式中变量较多，不易变形，则应考虑消元，减少式中变量，以利于判断，差式的符号．【典型例题1】比较下面两组数的大小:(1)与4;(2)与.【答案】(1)(2)【解析】解:(1),因为,所以,所以.(2),因为,所以,所以.【典型例题2】已知，，试比较与的大小．【答案】当时，；当时，.【解析】.因为，，所以，，得当时，；当时，.【典型例题3】比较下列各组中两个代数式的大小：（1）与；（2）当，且时，与.【答案】（1）；（2）.【解析】（1），因此，；（2）.①当时，即，时，，；②当时，即，时，，.综上所述，当，且时，.必知必会题型五：利用基本不等式证明不等式（1）对于条件不等式的证明，充分利用条件是关键，要注意“1”的整体代换及几个“＝”必须保证同时成立．（2）证明不等式时要注意灵活变形，可以多次利用基本不等式的变形形式．【典型例题1】已知都是正实数，求证：.【答案】见解析【解析】证明：，，，当且仅当时取等号；，当且仅当时取等号；，当且仅当时取等号；上述三式相加可得，即.当且仅当时，等号成立.【典型例题2】已知a，b，c是不全相等的正数，求证：.【答案】证明见解析【解析】，，.             ①同理，           ②.               ③，b，c不全相等，故①②③式中至少有一式不能取等号，.【典型例题3】已知,求证:.【答案】见解析【解析】设,则,且.同理,.所以原不等式的左边.当且仅当,且,即时,等号成立.必知必会题型六：利用基本不等式求最值（1）利用基本不等式求最值的条件利用基本不等式求最值，必须同时满足以下三个条件，一正、二正、三相等．即：①都是正数．②积（或和）为定值（有时需通过“配凑、拆分”找出定值）．③与必须能够相等（等号能够取到）．特别地，当式子中等号不成立时，不能应用基本不等式，而应改用函数的单调性求最值．（2）构造定值条件的常用技巧①加项变换；②拆项变换；③统一换元；④平方后利用基本不等式．（2）基本不等式与最值设是正数，①若（和为定值），则当时，积取得最大值；②若（积为定值），则当时，和取得最小值．【典型例题1】是否存在正实数a和b，同时满足下列条件：①；②(x>0，y>0)且的最小值为18，若存在，求出a，b的值；若不存在，说明理由．【答案】存在，a＝2，b＝8或a＝8，b＝2【解析】因为(x>0，y>0),所以，又的最小值为18，所以.由得或,故存在实数a＝2，b＝8或a＝8，b＝2满足条件．【典型例题2】求下列函数的最大值和最小值：（1）； （2）；（3）； （4）.【答案】（1），无最大值；（2）， ；（3） ，；（4），无最小值【解析】对于（1），当时成立，令，故，，故当时，，无最大值.对于（2）；该函数为对勾函数，当时，在上单调递减，在上单调递增，故当时，，当时，；对于（3），整理为，明显地，这是两个增函数相加，所以，对于，在上单调递增，所以，当时，，当时，对于（4），因为，所以，令，，则，故可化简为：，明显地，，当时，即时，，该函数在时无最小值.【典型例题3】已知函数．（1）当时，求函数在上的最小值；（2）若对任意的恒成立．试求实数a的取值范围；（3）若时，求函数在上的最小值．【答案】（1）；（2）；（3）【解析】（1）当时，，当时，，当且仅当即时等号成立，所以的最小值为2；（2）根据题意可得在上恒成立，等价于在上恒成立，因为在上单调递增，在上单调递减，所以，所以；（3），设，，，即，在单调递减，同理可证在单调递增，当时，，函数在上单调递增，；当时，，函数在上单调递减，在上单调递增，.所以.必知必会题型七：基本不等式的实际应用应用基本不等式解决实际问题的步骤：（1）仔细阅读题目，透彻理解提议；（2）分析实际问题中的数量关系，引入未知数，并用它表示其他的变量，把要求最值的变量表示为关于未知数的函数；（3）应用基本不等式求出函数的最值；（4）还原实际问题，作答．对于实际问题一定要注意变量的取值范围．【典型例题1】为迎北京冬奥会，某校要设计如图所示的一张矩形宣传广告牌，该广告牌含有大小相等的左、中、右三个矩形栏目，这三个矩形栏目的面积之和为，四周空白的宽度为，栏与栏之间的中缝空白的宽度为，怎样确定广告矩形栏目长与宽的尺寸（单位：），使整个矩形广告牌面积最小?【答案】当矩形栏目的长为，宽为时，可使整个矩形广告牌的面积最小；【解析】解：设矩形栏目的长为，宽为，则，，整个矩形广告牌的长为，宽为（其中，），整个矩形广告牌的面积，当且仅当，即时，取等号，此时.故当矩形栏目的长为，宽为时，可使整个矩形广告牌的面积最小.【典型例题2】如图，某房地产开发公司计划在一栋楼区内建造一个矩形公园，公园由矩形的休闲区（阴影部分）和环公园人行道组成，已知休闲区的面积为1000平方米，人行道的宽分别为4米和10米，设休闲区的长为x米．（1）求矩形所占面积S（单位：平方米）关于x的函数解析式；（2）要使公园所占面积最小，问休闲区的长和宽应分别为多少米？【答案】（1）；（2）休闲区的长和宽应分别为米，米.【解析】（1）因为休闲区的长为x米，休闲区的面积为1000平方米，所以休闲区的宽为米；从而矩形长与宽分别为米米，因此矩形所占面积，（2）当且仅当时取等号，此时因此要使公园所占面积最小，休闲区的长和宽应分别为米，米.【典型例题3】某小区要建一个八边形的休闲区，如图所示，它的主要造型平面图是由两个相同的矩形和构成的面积为的十字形区域.计划在正方形上建一个花坛，造价为4200元/，在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺设花岗岩地面，造价为210元/，再在四个等腰直角三角形上铺设草坪，造价为80元/.求当的长度为多少时，建设这个休闲区的总价最低.【答案】当的长度为时，建设休闲区总价最低【解析】设的长度为，建设休闲区的总价为y元，则中间正方形区域面积为，四个矩形面积之和为，，四块等腰直角三角形的面积之和为.∴.由，，可得.，当且仅当，即时，等号成立.所以，当的长度为时，建设休闲区总价最低.