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精讲03 函数的概念与性质(解析版)试卷
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这是一份精讲03 函数的概念与性质(解析版)试卷,共24页。
专题03函数的概念与性质 【专题综述与核心素养要求】函数是现代数学最基本的概念,是描述客观世界中变量关系和规律的最为基本的数学语言和工具,在解决实际问题中发挥着重要作用.函数是贯穿高中数学课程的主线.通过本章的学习,要使学生建立完整的函数概念,不仅把函数理解为刻画变量之间依赖关系的数学语言和工具,而且把函数理解为实数集合之间的对应关系;能用代数运算和函数图象揭示函数的主要性质;在现实问题中,能利用函数构建模型,解决问题;提升数学抽象、直观想象、数学运算和数学建模素养.【重要知识点与题型快速预览】【知识点精解精析】基础知识点一: 函数的定义(1)定义设、是两个非空数集,如果按照某种确定的对应关系,使对于集合中的任意一个数,在集合中都有唯一确定的数和它对应,那么就称:为从集合到集合的一个函数,记作,其中,叫做自变量,的取值范围叫做函数的定义域;与的值相对应的值叫做函数值,函数值的集合叫做函数的值域.显然,.(2)对函数概念的理解①、都是非空数集,因此函数的定义域和值域不能为空集.②定义域、值域、对应关系是函数的三要素,缺一不可,其中对应关系是核心,定义域是根本,当定义域和对应关系确定时,值域也就确定了.③关于对应关系,它是函数的本质特征.④函数定义中强调“三性”:任意性、存在性、唯一性,即对于非空数集中的任意一个(任意性)数,在集合中都有(存在性)唯一(唯一性)的数与之对应.这三性只要有一个不满足,便不能构成函数.基础知识点二:函数相等(1)函数相等的定义如果两个函数的定义域相同,并且对应关系完全一致,我们就称这两个函数相等.(2)如何判定两个函数是相等函数函数含有三个要素,即定义域,值域和对应关系.其中核心是对应关系,它是函数关系的本质特征.只有当两个函数的定义域和对应关系都分别相同时,这两个函数才是同一函数,换言之就是:①定义域不同,两个函数也就不同.②对应关系不同,两个函数也是不同的.③即使定义域和值域都分别相同的两个函数,它们也不一定是同一函数因为函数的定义域和值域不能唯一地确定函数的对应关系.基础知识点三:分段函数(1)定义在函数的定义域中,对于自变量的不同取值范围,有着不同的对应关系,这样的函数通常称为分段函数.如函数就是分段函数.(2)对分段函数的理解①分段函数是一个函数,而不是几个函数.②分段函数的“段”可以是等长的,也可以是不等长的.③画分段函数的图象时,一定要考虑区间端点是否包含在内,若端点包含在内,则用实心点表示,若端点不包含在内,则用空心圆圈表示.④写分段函数时,各定义区间的端点应不重不漏.⑤分段函数的定义域是各段定义区间的并集,分段函数的值域是各段值域的并集.基础知识点四:函数的单调性函数的单调性是在定义域内讨论的,若要证明f(x)在区间[a,b]上是增函数或减函数,必须证明对[a,b]上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1<x2时都有f(x1)<f(x2)或f(x1)>f(x2)成立;若要证明f(x)在区间[a,b]上不是单调函数,只要举出反例,即只要找到两个特殊的x1,x2,不满足定义即可.单调函数具有下面性质:设函数f(x)定义在区间I上,且x1,x2∈I,则(1)若函数f(x)在区间I上是单调函数,则x1=x2⇔f(x1)=f(x2).(2)若函数f(x)在区间I上是单调函数,则方程f(x)=0在区间I上至多有一个实数根.(3)若函数f(x)与g(x)在同一区间的单调性相同,则在此区间内,函数f(x)+g(x)亦与它们的单调性相同.函数单调性的判断方法:①定义法;②图象法.基础知识点五:函数的奇偶性判定函数奇偶性,一是用其定义判断,即先看函数f(x)的定义域是否关于原点对称,再检验f(-x)与f(x)的关系;二是用其图象判断,考查函数的图象是否关于原点或y轴对称去判断,但必须注意它是函数这一大前提.基础知识点六:幂函数的概念(1)一般地,形如的函数叫做幂函数,其中为自变量,为常数.(2)幂函数的表达式有以下四个特征:①解析式右边是一个幂;②系数为1;③底数为自变量;④指数为常数.(3)幂函数与指数函数的区别:幂函数 →指数为常数,→底数为自变量(取值范围与有关)指数函数 指数为自变量(,取值范围与无关)底数为常数(且) 【必知必会题型深度讲解】必知必会题型一:求函数定义域的常用方法(1)若是整式,则的定义域是.(2)若是分式,则要求分母不为零.(3)若解析式为,则要求.(4)的定义域是.(5)若同时出现上述几种情况,则分别找出各自的定义域,然后求交集.(6)抽象函数的定义域:当所给函数没有解析式,即为抽象函数时,要弄清所给函数间有何关系,进而求解定义域,如:①已知的定义域为,求的定义域,就是求的值域,其中;②已知的定义域为,求的定义域,就是由解出的范围,即为的定义域;(7)当函数是以实际问题给出时,其定义域的确定不仅要考虑其解析式的意义,还要考虑实际意义.【典型例题1】求下列函数的定义域(1);(2).【答案】(1);(2).【解析】(1)无意义,,即.∵分母不为零,被开方数不能为负,,从而.综上所述,函数的定义域为.(2)由题意,得解得∴函数的定义域为.【典型例题2】求下列函数的定义域: (1);(2);(3) .【答案】(1);(2);(3).【解析】(1)要使有意义,
,则,定义域为;(2),要使有意义,
,则且,定义域为;(3)要使有意义,
,则,定义域为【典型例题3】求下列函数的定义域:(1); (2); (3).【答案】(1);(2);(3).【解析】(1)要使函数有意义,只需,即,解得,即定义域为.(2)要使函数有意义,只需,即,可得定义域为.(3)要使函数有意义,只需,即,结合三角函数线,可得,所以定义域为.必知必会题型二:求函数解析式的常用方法(1)代入法已知和的解析式,求的解析式常用代入法.如:,,则.(2)待定系数法有些题目给出函数特征,求函数的解析式,可用待定系数法,比如函数是二次函数,可设,其中,,是待定系数,根据题设条件,列出方程组,解出,,即可.(3)换元法已知的解析式,求时,可设,解出,代入,可得的解析式,将看作,即得的解析式.使用此法时,一定要注意新引入的变量的取值范围.(4)配凑法若已知的解析式,要求的解析式,可从的解析式中配凑出“”,即用来表示,再将解析式两边的用代替即可.(5)解方程组法若已知条件是关于与或或的一个等式,则可把等式中的换成或或得到另一个关于相应两个变量的等式,直接解由两个等式组成的方程组即得结果.【典型例题1】根据下列条件,求f(x)的解析式.(1)f(f(x))=2x-1,其中f(x)为一次函数;(2)f(2x+1)=6x+5;(3)f(x)+2f(-x)=x2+2x.【答案】(1)或;(2)f(x)=3x+2;(3).【解析】(1)由题意,设f(x)=ax+b(a≠0),则f(f(x))=af(x)+b=a(ax+b)+b=a2x+ab+b=2x-1由恒等式性质,得或∴所求函数解析式为或(2)设2x+1=t,则∴f(x)=3x+2.(3)将x换成-x,得f(-x)+2f(x)=x2-2x,∴联立以上两式消去f(-x),得3f(x)=x2-6x,【典型例题2】已知,若,且.(1)求的表达式;(2)求的值.【答案】(1);(2).【解析】(1)由,得,,又,∴,∴,解得.∴.(2)由(1)得,.【典型例题3】已知定义在的一次函数为单调增函数,且值域为.(1)求的解析式;(2)求函数的解析式并确定其定义域.【答案】(1),;(2);定义域为.【解析】(1)根据题意,为一次函数且在单调增函数,设,又由其值域为,则有,解可得,则,;(2)由(1)的结论,,则;又由的定义域为,则有,解可得;则函数的定义域为.必知必会题型三:分段函数已知函数值求参数取值的方法已知分段函数解析式,给出一个函数值,求字母取值的方法:(1)对字母的取值范围分类讨论,然后代入不同的解析式中;(2)通过解方程求出字母的值;(3)检验所求的值是否在所讨论的区间内.【典型例题1】已知,若,则________.【答案】.【解析】当时,,所以;当时,,所以(舍去).故答案为:.【典型例题2】已知函数则满足不等式的的取值范围是_______.【答案】【解析】画出函数的图像如图所示.由,可得或,解得或.故所求的取值范围是.故答案为:.【典型例题3】设函数则当________时,.【答案】1或4【解析】结合函数的解析式分类讨论:当时,,不合题意,舍去;当时,,(不合题意,舍去);当时,,满足题意.综上可得:的值为1或4.必知必会题型四:函数奇偶性的判断方法(1)定义法第一步,确定函数的定义域第二步,判断其定义域是否关于原点对称第三步,若是,则确定与的关系;若不是,则既不是奇函数也不是偶函数第四步,得出结论(2)图象法利用奇偶函数图像的对称性来判断分段函数奇偶性的判断常用图像法(3)性质法若、在相同定义域上具有奇偶性,则奇奇奇;奇奇偶,偶偶偶,偶偶偶,奇偶奇.(4)复合函数奇偶性的判断:若复合函数由若干个函数复合而成,则复合函数的奇偶性可根据若干个函数的奇偶性而定,概括为“同奇为奇,一偶则偶”(5)抽象函数奇偶性的判断:应充分利用定义,巧妙赋值,通过合理、灵活的变形配凑来判断.【典型例题1】判断函数的奇偶性.【答案】奇函数【解析】解:该函数为奇函数,证明如下:,,,该函数的定义域为,,,,,该函数为奇函数.【典型例题2】求证:函数是奇函数.【答案】证明见解析【解析】证明:由题意知的定义域为,关于原点对称,当时,则,,即;当时,则,,即;所以对任意的,成立,所以函数为奇函数;【典型例题3】已知函数定义在上,满足:任意,都有成立,.(1)求的值.(2)判断的奇偶性,并加以证明;【答案】(1);(2)奇函数;证明见解析.【解析】(1)令得,,解得:,令得,,又,所以可得;(2)令,则有,所以,所以函数为上的奇函数.必知必会题型五:应用函数奇偶性解题的方法(1)已知函数的奇偶性求函数值利用函数的奇偶性将待求值转化为已知区间上的函数值求解.(2)已知函数的奇偶性求解析式将待求区间上的自变量转化到已知区间上,再利用奇偶性求.(3)已知函数的奇偶性求解析式中参数的值解此类题常常利用待定系数法:利用得到恒等式,由系数的对等性可得参数的值.(4)已知偶函数在上的单调性,求解不等式已知是偶函数,则有.【典型例题1】已知定义域为R的函数满足,当x>0时,.(1)求函数的解析式;(2)解关于x的不等式:.【答案】(1);(2).【解析】(1)由得函数为奇函数,当时,,则, ,.(2)由(1)知当时,,为减函数,可将不等式转化为,, 所以不等式的解集为.【典型例题2】已知函数是定义在上的奇函数,且.(1)确定函数的解析式;(2)判断并证明函数的单调性.【答案】(1);(2)在定义域内单调递增,证明见解析.【解析】(1)是定义在上的奇函数,,解得:;又,,.(2)在定义域内单调递增,证明如下:设,,由知:,,,,,在定义域内单调递增.【典型例题3】已知函数=是定义在(-1,1)上的奇函数,且.(1)确定函数的解析式;(2)用定义证明在(-1,1)上是增函数;(3)解不等式:.【答案】(1);(2)证明见详解;(3).【解析】(1)在(-1,1)上为奇函数,且有,解得,=,此时为奇函数,故=;(2)证明:任取-1<x1<x2<1,则而,且,即,∴,在(-1,1)上是增函数.(3),又在(-1,1)上是增函数∴-1<t-1<-t<1,解得0<t<∴不等式的解集为必知必会题型六:求函数值域的常用方法遇到求值域的问题时,应首先考虑有哪几种基本方法,一般方法是什么,特殊方法是什么,在多种方法中选出最优方法.求函数值域没有通用方法和固定模式,要靠自己积累经验,掌握规律,函数的值域问题常常化归为求函数的最值问题,要注意不等式、二次函数及函数的单调性在确定函数最值中的应用.求函数值域,不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域的制约作用.(1)观察法函数解析式结构简单,可直接看出其单调性或某一部分的范围,可结合不等式求出其值域.(2)配方法形如或这一类的函数可考虑用配方法求值域.(3)分离常数法分子、分母是一次式的有理函数,可用分离常数法.(4)换元法运用换元法,将所给函数化成值域容易确定的另一函数,从而求得原函数的值域形如(,,,均为常数,且)的函数常用此法求解.(5)函数单调性法确定函数在定义域(或定义域的某个子集)上的单调性,进而确定函数的值域。【典型例题1】已知函数的定义域为.求函数的值域.【答案】【解析】设,在上单调递增,.函数可化为,在上单调递减,在上单调递增.,又由计算可知,.函数的值域为.【典型例题2】求下列函数的值域.(1);(2);(3).【答案】(1)(2)(3)【解析】因为,所以,所以,故函数的值域为.(2)因为,设,则,所以,故函数的值域为.(3)设,则,因为,所以,所以,因为,所以,故函数的值域为.【典型例题3】求下列函数的值域(1),;(2);(3),;(4)..【答案】(1);(2);(3);(4).【解析】(1)由于,,,,,故值域为.(2)y===1-,∵x2+1≥1,∴0<≤2,∴-1≤1-<1,故值域为.(3)因为,,画出其图象如图:观察图象可知值域为.(4)设t=,则且x=,∴y=+t=,在上为单调递增函数,所以,所以函数的值域为.必知必会题型七:复合函数单调区间的求法对于复合函数,若称为内层函数,为外层函数,则复合函数的单调性符合下表:外层函数的单调性内层函数的单调性函数的单调性增增增减减减增减减增即复合函数的单调性符合“同增异减”的法则.注意:求复合函数的单调区间时应首先求出函数的定义域.讨论复合函数的单调性的步骤:(1)求复合函数的定义域;(2)把复合函数分解为基本初等函数;(3)把自变量的变化范围转化成中间变量的变化范围;(4)判断各基本初等函数的单调性;(5)由复合函数的单调性法则判断其单调性.【典型例题1】已知函数,试求的单调区间.【答案】的单调递减区间是,单调递增区间是.【解析】令,则.又在上为减函数,在上为增函数.令,解得或;令,解得.当时,为增函数,而,故为减函数,所以为减函数;当时,为增函数,而,故为增函数,所以为增函数;当时,为减函数,而,故为增函数,所以为减函数;当时,为减函数,而,故为减函数,所以为增函数.所以函数的单调递减区间是,单调递增区间是.【典型例题2】求函数的单调区间.【答案】单调增区间为,单调减区间为.【解析】解:函数的定义域为R,令,,在,上单调递减,的值域为,且在上单调递减,在上单调递增,所以函数,的单调增区间为,单调减区间为.【典型例题3】已知函数(1)若,求的单调区间;(2)若的最大值为3,求实数a的值;【答案】(1)单调递减区间是,单调递增区间是;(2)1.【解析】(1)当时,令,由于在上单调递减,在单调递增,而在R上为减函数,所以在上单调递增,在上单调递减,即函数的单调递减区间是,单调递增区间是.(2)令,则,因为的最大值为3,所以的最小值为-1,当时,,无最大值;当时,有,解得,所以当的最大值为3时.实数a的值为1.必知必会题型八:函数单调性应用问题的常见类型及解题方法(1)比较大小比较函数值的大小应将自变量转化到同一个单调区间内,然后利用函数的单调性解决(2)解含“”的不等式首先根据函数的性质把不等式转化为的形式,然后根据函数的单调性去掉“”,转化为具体的不等式,此时要注意与的取值应在外层函数的定义域内.(3)利用单调性求参数的取值范围①单调性定义法:设单调区间内,由(或)恒成立求参数的范围.②利用具体函数本身所具有的特征:如二次函数图象的对称轴把定义域分为两个单调区间,根据所给区间的单调性,确定对称轴与区间的位置关系,从而列不等式(组)求解.【典型例题1】如果函数,对任意实数都有,试比较、、的大小;【答案】【解析】因为函数,且对任意实数都有,所以函数的图象是以直线为对称轴,开口朝上的抛物线,即函数在上单调递增,所以,,所以.【典型例题2】已知函数的定义域为,且满足,.又当时,.(1)求,,的值;(2)若有成立,求x的取值范围.【答案】(1),,;(2).【解析】解:(1)因为,,令,,则,即,解得,令,,则,解得,令,,则,解得,所以,,(2)当时,.所以函数在上单调递增,因为,所以又因为,所以,又因为,所以,即又因为函数在上单调递增,所以,解得 所以x的取值范围:【典型例题3】已知定义域为R的函数是奇函数.(1)求函数的解析式;(2)若对任意的t∈R,不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恒成立,求k的取值范围. 【答案】(1) (2)【解析】(1)因为是上的奇函数,所以,即,解得.从而有.又由知,解得.当时,,满足题意所以(2)由(1)知,设,则因为函数在R上是增函数且,∴又,∴即所以在上为减函数,又因为是奇函数,从而不等式等价于.因为是上的减函数,由上式推得.即对一切有,从而,解得.所以k的取值范围是
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