广东省七校联合体2021届高三第三次联考数学试题

七校联合体2021届高三第三次联考试卷（5月）

数  学

命题学校：宝安中学（集团）     命题人：石超     审题人：许世清

注意事项：

1．答题前，考生请务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．复数的虚部是（    ）

A．   B．     C．     D．

2．已知集合，，则（    ）

A．   B．     C．     D．

3．某小区有1000户居民，各户每月的用电量近似服从正态分布，则用电量在320度以上的居民户数估计约为（    ）参考数据：若随机变量服从正态分布，则

，，.

A．17    B．23     C．34     D．46

4．已知函数的图象大致为（    ）

A．    B．   C．   D．

5．设.若是与的等比中项，则的最小值（    ）

A．                B．                 C．       D．

6．中医是中国传统文化的瑰宝.中医方剂不是药物的任意组合，而是根据中药配伍原则，总结临床经验，用若干药物配制组成的药方，以达到取长补短、辨证论治的目的.中医传统名方“八珍汤”是由补气名方“四君子汤”（由人参、白术、茯苓、炙甘草四味药组成）和补血名方“四物汤”（由熟地黄、白芍、当归、川芎四味药组成）两个方共八味药组合而成的主治气血两虚证方剂.现从“八珍汤”的八味药中任取四味，取到的四味药刚好组成“四君子汤”或“四物汤”的概率是（    ）

A．    B．       C．        D．

7．平行四边形中，, 点P在边CD上（含端点），则的取值范围是（    ）

A．[-1,8]    B．       C．[0,8]     D．[-1,0]

8．设是定义在上的奇函数，其导函数为，当时，，则不等式的解集为（    ）

A．       B．

C．       D．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。

9．已知，是两条不重合的直线，，，是三个两两不重合的平面，则下列命题正确的是（    ）

A．若，，，则     B．若，，则

C．若，，，则       D．若，，则

10．已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（   ）

A．函数的图象关于点对称

B．函数的图象关于直线对称

C．函数在单调递减

D．该图象向右平移个单位可得的图象

11．已知、分别为双曲线的左、右焦点，且，点P为双曲线右支一点，I为的内心，若成立，则下列结论正确的有（    ）

A．当轴时，       B．离心率

C．       D．点I的横坐标为定值a

12．已知曲线.从点向曲线引斜率为的切线，切点为.则下列结论正确的是（    ）

A．数列的通项为        B．数列的通项为

C．当时，      D．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知，则____________．

14. 已知点分别是圆及直线上的动点，是坐标原点,则的最小值为____________．

15.一条形“标语”挂在墙上，把“标语”看作线段AB，射线AB与地面交点为D，且AB与地面垂直，米，米，某人直立看“标语”AB，眼睛C距离地面1米，当最大时，此人的脚到D点的距离为____________米．

16. 如图，在四棱锥中，，平面，底面为正方形，且.若四棱锥的每个顶点都在球的球面上，则当CD=1时，球的表面积为____________；当四棱锥的体积取得最大值时，二面角的正切值为____________．

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（10分）在；；,从这三个条件中任选一个，补充到下面的横线上并作答.

问题:在中，内角的对边分别为，且，____________．

求的面积.

18．（12分）数字人民币，是中国人民银行尚未发行的法定数字货币，即“数字货币电子支付”.央行数字货币不计付利息，可用于小额、零售、高频的业务场景，相比于纸币没有任何差别.数字人民币试点地区是深圳、苏州、雄安新区、成都及未来的冬奥场景，为了解居民对数字人民币的了解程度，某社区居委会随机抽取1200名社区居民参与问卷测试，并将问卷得分绘制频率分布表如下：

（1）将居民对数字人民币的了解程度分为“比较了解”（得分不低于60分）和“不太了解”（得分低于60分）两类，完成列联表，并判断是否有的把握认为“数字人民币的了解程度”与“性别”有关？

（2）从参与问卷测试且得分不低于80分的居民中，按照性别进行分层抽样，共抽取10人，连同名男性调查员一起组成3个环保宣传队.若从这中随机抽取3人作为队长，且男性队长人数占的期望不小于2，求的最小值.

附：，.

临界值表：

19.（12分）已知数列中，，，其前项和满足（，）．

（1）求数列的通项公式；

（2）设为非零整数，），试确定的值，使得对任意，都有

成立．

20．（12分）如图，在三棱台中，平面平面，，BE=EF=FC=1，

BC=2，AC=3.

（1）求证：BF⊥平面ACFD；

（2）求二面角B－AD－F的平面角的余弦值.

21．（12分）已知函数

（1）若函数在定义域上的最大值为1，求实数a的值；

（2）设函数，当时，对任意的恒成立，求满足条件的

实数b的最小整数值.

22.（12分）已知椭圆的左顶点为，两个焦点与短轴一个顶点构成

等腰直角三角形，过点且与x轴不重合的直线l与椭圆交于M，N不同的两点．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）当AM与MN垂直时，求AM的长；

（Ⅲ）若过点P且平行于AM的直线交直线于点Q，求证：直线NQ恒过定点．

七校联合体2021届高三第三次联考试卷（5月） 数学 参考答案

1．【答案】C【详解】因为，所以虚部为2.

2．【答案】D【详解】,.

3．【答案】 B【详解】由题得所以，

所以，所以求用电量在320度以上的居民户数为1000×0.023=23.

4．【答案】C【详解】因为函数定义域为，且，

所以函数为偶函数，其图象关于轴对称，排除D；

又因为，可排除B；，可排除A．

5．【答案】D【详解】由题意可得：，则：

，当且仅当时等号成立，

综上可得：的最小值是4.

6.【答案】A【详解】记取到的四味药刚好组成“四君子汤”或“四物汤”为事件.依题得.

7．【答案】A【解析】设

则的取值范围是[−1,8]

8．【答案】B【详解】令，∵是定义在上的奇函数，

∴是定义在上的偶函数．

当时，，由，得，

∴，则在上单调递减．

将化为，即，则．

又是定义在上的偶函数．

∴在上单调递增，且．

当时，，将化为，

即，则．

综上，所求不等式的解集为．

9．【答案】AD【详解】对A：若，，则，又，所以，故正确；

对B：若，，则与可能平行，也可能相交，故错误；

对C：若，，，由于没有强调与相交，故不能推出，故错误；

对D：若，，根据面面垂直的判定定理，可得，故正确.

10．【答案】BD【详解】由函数的图象可得，周期，所以，

当时，函数取得最大值，即，

所以，则，又，得，故函数.

对于A，，故A不正确；

对于B，当时，，

即直线是函数的一条对称轴，故B正确；

对于C，当时，，∴函数在区间不单调，故C错误；

对于D，将的图象向右平移个单位后，得的图象，即D正确.

11．【答案】BCD【详解】当轴时，，此时，所以A错误；

∵，∴，整理得（为双曲线的离心率），

∵，∴，所以B正确.

设的内切圆半径为r，由双曲线的定义得，，

，，，

∵，∴，

故，所以C正确.

设内切圆与、、的切点分别为M、N、T，可得，.

由，，

可得，可得T的坐标为，即Ⅰ的横坐标为a，故D正确；

12．【答案】ACD【详解】设直线，联立，得，

则由，即，得（负值舍去）

所以可得，，所以A对，B错；

因为，

所以，故C对；

因为，令，.

可得在上递减，可知在上恒成立.

又. 所以成立. 故D正确.

13．【答案】【详解】令得：，令得：，.

14.【答案】1【详解】因为，表示两点间的距离，

又因为分别是圆及直线上的动点，

所以的最小值为圆心到直线的距离减半径，圆心到直线的距离

所以圆上的点到直线的最小值为所以最小值为1

15. 【答案】【详解】由题设，如图：，且，

∴，

若设米，则，

∴，而，

∴当且仅当时等号成立.

∴由题意，最大时，有，此时人的脚到D点的距离为12米.

16. 【答案】，    【详解】(1)．因为CD=1,则PD=2

∵平面，∴，又，∴平面，

则四棱锥可补形成一个长方体，球的球心为的中点，

从而球的表面积为.

(2)．设，则PD=3-x,四棱锥的体积，

则，当时，；当时，.

故，此时，.

过作于，连接，则为二面角的平面角.

∵，∴.

17．【答案】条件性选择见解析，

【详解】选①，由正弦定理得，因为，所以，

所以，化简得，所以，

因为，所以，                 ……5分

因为，

所以，                 ……8分

所以；          ……10分

选②因为，

所以，所以，

因为为三角形的内角，所以，                                              ……5分

因为，

所以，                 ……8分

所以；          ……10分

选③因为，所以由正弦定理可得:，

可得，              

可得，

因为，所以解得，因为，所以，   ……5分

因为，

所以，                 ……8分

所以.          ……10分

18．【答案】（1）表格见解析，有；（2）2.

【详解】（1）由题意得列联表如下：

      ……2分

的观测值，       ……4分

因为，所以有的把握认为居民对数字人民币的了解程度与性别有关. ……5分

（2）由题意知，分层抽样抽取的10人中，男性6人，女性4人，

随机变量的所有可能取值为0，1，2，3，

其中，，，，

所以随机变量的分布列为

……9分

，，

可得，，

，，得，

∴的最小值为2.                ……12分

19．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】（1）由已知，（，），

即（，），且．

∴数列是以为首项，公差为1的等差数列．∴．     ……5分

（2）∵，∴，要使恒成立，

∴恒成立，    ……7分

∴恒成立，

∴恒成立．       ……9分

（ⅰ）当为奇数时，即恒成立，当且仅当时，有最小值为1，∴．

（ⅱ）当为偶数时，即恒成立，当且仅当时，有最大值，∴．

即，又为非零整数，则．     

综上所述，存在，使得对任意，都有．       ……12分

20．【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ） ．

【详解】（Ⅰ）延长， ， 相交于一点，如图所示．

因为平面平面，且，平面，

平面平面，所以平面，

因为平面，因此．

由三棱台可得四边形为梯形，

而，，

故四边形为梯形为等腰梯形，如图，过作的垂线，垂足分别为，则，故.

所以为等边三角形，因为为的中点，则．

而，所以平面．          ……5分

（Ⅱ）方法一：如图，延长， ， 相交于一点，由（Ⅰ）得为等边三角形．

取的中点，则，又平面平面，所以平面．

以点为原点，分别以射线， 的方向为， 的正方向，建立空间直角坐标系．

由题意得， ， ，

， , ．                              ……6分

因此，，，．

设平面的法向量为，

由，得，取；      ……8分

平面的法向量为 ．

由，得，取．      ……10分

于是， ．             ……11分

所以，二面角的平面角的余弦值为．         ……12分

方法二：过点作于Q，连结．

因为平面，平面，所以，而，

则平面，而平面，所以．

所以是二面角的平面角．          ……8分

因为平面，平面，故，

在中， ， ，故，

所以，得．        ……10分

在中， ，，得．     

所以二面角的平面角的余弦值为．         ……12分

21．【答案】（1）；（2）.

【详解】（1）由题意，函数的定义域为，，

当时，，函数在区间上单调递增，

此时，函数在定义域上无最大值；           ……1分

当时，令，得，

由，得，由，得，

此时，函数的单调递增区间为，单调减区间为.

所以函数，即为所求；  ……4分

（3）只需对任意的恒成立即可.

构造函数，

，          

∵，∴，且单调递增，        ……6分

∵，

∴一定存在唯一的，使得，即，    ……7分

且当时，

，即；当时，，即.

所以，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，

∴，      ……9分

∵，∴在上单调递增，

∴，则，

因此b的最小整数值为.              ……12分

22．【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析.

【详解】（1）因为，所以  因为两个焦点与短轴一个顶点构成等腰直角三角形，所以 ,

又 , 所以 ，

所以椭圆方程为 .              ……3分

（2）方法一：设,， , ,

, ，（舍） 所以.     ……6分

方法二：设，因为与垂直，所以点在以为直径的圆上，

又以为直径的圆的圆心为，半径为，方程为,

， ，（舍） 所以      ……6分

方法三：设直线的斜率为， ，其中  

  化简得

当时， 得 ，

显然直线存在斜率且斜率不为0.

因为与垂直，所以 , 得，， ,

所以              ……6分

（3）直线恒过定点, 设，，由题意，设直线的方程为，

由 得，

显然，，则，，         ……7分

因为直线与平行，所以，则的直线方程为，

令，则，即 ,       ……8分

，          

直线的方程为,      ……10分

令，得,

因为，故，

所以直线恒过定点.              ……12分