北京市丰台区2019届高三文科数学第二次模拟试卷

这是一份北京市丰台区2019届高三文科数学第二次模拟试卷，共7页。试卷主要包含了 05，06等内容，欢迎下载使用。
2019. 05
（本试卷满分共150分，考试时间120分钟）
注意事项：
1. 答题前，考生务必先将答题卡上的学校、年级、班级、姓名、准考证号用黑色字迹签字笔填写清楚，并认真核对条形码上的准考证号、姓名，在答题卡的“条形码粘贴区”贴好条形码。
2. 本次考试所有答题均在答题卡上完成。选择题必须使用2B铅笔以正确填涂方式将各小题对应选项涂黑，如需改动，用橡皮擦除干净后再选涂其它选项。非选择题必须使用标准黑色字迹签字笔书写，要求字体工整、字迹清楚。
3. 请严格按照答题卡上题号在相应答题区内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试卷、草稿纸上答题无效。
4. 请保持答题卡卡面清洁，不要装订、不要折叠、不要破损。
第一部分 （选择题 共40分）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．若集合，集合，则
（A）（B）
（C）（D）
2．已知，且，那么
（A）（B）（C）（D）
3．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥
的体积为
（A）
（B）
（C）
（D）
4．已知是虚数单位，，则“”是“为纯虚数”的
（A）充分而不必要条件
（B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件
（D）既不充分也不必要条件
5．执行如图所示的程序框图，如果输入的
，那么输出的值不可能为
（A）
（B）
（C）
（D）
6．已知，若点在线段上，则的最大值为
（A）（B）（C）（D）
7．已知函数是定义在上的奇函数，且在区间上单调递减，.设，则满足的的取值范围是
（A）（B）
（C）（D）
8．某快递公司的四个快递点呈环形分布（如图所示），每个快递点均已配备快递车辆10辆．因业务发展需要，需将四个快递点的快递车辆分别调整为5,7,14,14辆，要求调整只能在相邻的两个快递点间进行，且每次只能调整1辆快递车辆，则
（A）最少需要8次调整，相应的可行方案有1种
（B）最少需要8次调整，相应的可行方案有2种
（C）最少需要9次调整，相应的可行方案有1种
（D）最少需要9次调整，相应的可行方案有2种
第二部分 （非选择题 共110分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
9．已知平面向量，，，，则向量的夹角为____．
10．若在区间上随机选取一个数，则事件发生的概率为____．
11．已知函数的单调递减区间为，单调递增区间为，那么____．
12．已知等差数列的前项和为，能够说明“若数列是递减数列，则数列是递减数列”是假命题的数列的一个通项公式为____．
13．在平面直角坐标系中，圆的方程为，若在直线上任取一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆都不存在公共点，则的取值范围是____．
14．在中，角所对的边分别为，已知．
① 的值为____；
② 若，则的取值范围是____．
三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
15．（本小题13分）
已知数列满足，是自然对数的底数.
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）设数列的前项和为，求证：当时，.
16．（本小题13分）
已知函数的部分图象如图所示.
（Ⅰ）求函数的解析式；
（Ⅱ）将函数的图象向左平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求函数的单调递减区间.
17．（本小题13分）
某学校组织高一、高二年级学生进行了“纪念建国70周年”的知识竞赛．从这两个年级各随机抽取了40名学生，对其成绩进行分析，得到了高一年级成绩的频率分布直方图和高二年级成绩的频数分布表．
频率/组距
75 80 85 90 95 100成绩/分
0.06
0.05
0.04
0.03
0.02
高一 高二
（Ⅰ）若成绩不低于80分为“达标”，估计高一年级知识竞赛的达标率；
（Ⅱ）在抽取的学生中，从成绩为[95,100]的学生中随机选取2名学生，代表学校外出参加比赛，求这2名学生来自于同一年级的概率；
（Ⅲ）记高一、高二两个年级知识竞赛的平均分分别为，试估计的大小关系．（只需写出结论）
18．（本小题14分）
在菱形中，，为线段的中点（如图1）．将沿折起到的位置，使得平面平面，为线段的中点（如图2）．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求证：平面；
（Ⅲ）当四棱锥的体积为时，求的值．
图1 图2
19．（本小题14分）
已知椭圆的左、右顶点分别为，长轴长为4，离心率为.过右焦点的直线交椭圆于两点（均不与重合），记直线的斜率分别为.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）是否存在常数，当直线变动时，总有成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
20．（本小题13分）
已知函数．
（Ⅰ）当时，求函数在区间上的最小值；
（Ⅱ）当时，求证：过点恰有2条直线与曲线相切．
（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）
丰台区2018—2019学年度第二学期综合练习（二）
高三数学（文科） 2019.05
一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）
二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分。有两空的小题，第一空3分，第二空2分）
9． 10． 11．4
12．满足,(答案不唯一) 13． 14．6；
三、解答题（共6小题，共80分）
15．（共13分）
解：（Ⅰ）因为，，
所以数列是1为首项，为公比的等比数列，
所以. ………………4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，， ………………5分
所以 ， ………………7分
所以
………………10分
. ………………11分
因为，所以.所以
即 ………………13分

16．（共13分）
解:（Ⅰ）由已知图象得
，则 .
因为，
所以. …………2分
因为，
所以. …………4分
所以． …………6分
（Ⅱ）由题可得：． …………8分
故
． …………10分
因为， …………11分
所以.
所以的单调递减区间为. …………13分

17．（共13分）
解：（Ⅰ）高一年级知识竞赛的达标率为
. ………………4分
（Ⅱ）高一年级成绩为的有名，记为，，，，
高二年级成绩为的有2名，记为，. ………………6分
选取2名学生的所有可能为：
，，，，，，，，，，，，，，，共15种；
其中2名学生来自于同一年级的有，，，，，，，共7种； ………………8分
设2名学生来自于同一年级为事件，
所. ………………10分
（Ⅲ）． ………………13分

18．（共14分）
解：（Ⅰ）证明：因为在菱形中，，为线段的中点，
所以． ………………1分
因为平面平面，
平面平面，
平面，
所以平面． ………………4分
因为平面，
所以． ………………5分
（Ⅱ）证明：如图，取为线段的中点，连接，；
因为在中，，分别是线段，的中点，
所以，．
因为是线段的中点，菱形中，，，
所以．
所以，． ………………6分
所以，．
所以四边形为平行四边形， ………………7分
所以，
因为平面，平面，
所以平面； ………………10分
（Ⅲ）解：由（Ⅰ）知平面．
所以是四棱锥的高． ………………11分
因为，
所以． ………………14分
19．（共14分）
解：（Ⅰ）由题知解得 …………………3分
所以求椭圆的方程为． …………………5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知,
当直线的斜率不存在时，直线的方程为．
由解得或
得或；均有．
猜测存在． …………………6分
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，．
由得．
则 …………………8分
故 …………………9分

…………………13分
所以存在常数使得恒成立 …………………14分
20．（共13分）
解：（Ⅰ）当时， ，
． …………………2分
当时，，
所以在区间上单调递减． …………………4分
所以在区间上的最小值为． …………………5分
（Ⅱ）设过点的曲线的切线切点为，
，，
所以
所以．
令，
则
，
令得或，
因为，所以．
的极大值为，
的极小值为，
所以在上有且只有一个零点．
因为，
所以在上有且只有一个零点．
所以在上有且只有两个零点．
即方程有且只有两个不相等实根，
所以过点恰有2条直线与曲线相切． …………………13分
（若用其他方法解题，请酌情给分）
成绩分组
频数
[75，80)
2
[80，85)
6
[85，90)
16
[90，95)
14
[95，100]
2
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
B
B
A
D
C
C
D
1
+
0
0
+
↗
极大值
↘
极小值
↗