2020-2021学年第一章 有理数综合与测试教案

有理数的乘方

    教学内容

    课本第41页至第42页．

    教学目标

    1．知识与技能
    （1）正确理解乘方、幂、指数、底数等概念．

    （2）会进行有理数乘方的运算．

    2．过程与方法

    通过对乘方意义的理解，培养学生观察、比较、分析、归纳、概括的能力，渗透转化思想．

    3．情感态度与价值观

    培养探索精神，体验小组交流、合作学习的重要性．

    重、难点与关键

    1．重点：正确理解乘方的意义，掌握乘方运算法则．

    2．难点：正确理解乘方、底数、指数的概念，并合理运算．

    3．关键：弄清底数、指数、幂等概念，注意区别－an与（－a）n的意义．

    教学过程

    一、复习提问

    1．几个不等于零的有理数相乘，积的符号是怎样确定的？

    答：几个不等于零的有理数相乘，积的符号由负因数的个数确定，当负因数的个数为奇数时，积为负；当负因数的个数为偶数时，积为正．

    2．正方形的边长为2，则面积是多少？棱长为2的正方体，则体积为多少？

    答：边长为2时，正方形的面积为2×2=22=4，棱长为2的正方体的体积为2×2×2=23=8．

    二、新授

    边长为a的正方形的面积是a·a，棱长为a的正方体的体积是a·a·a．

    a·a简记作a2，读作a的平方（或二次方）．

    a·a·a简记作a3，读作a的立方（或三次方）．

让我们再看一个例子，某种细胞每过30分钟便由1个分裂成2个，经过5个时，这种细胞由1个分裂成多少个？

1个细胞30分钟分裂成2个，1小时后分裂成2×2，1.5小时后分裂成2×2×2，…，5小时后要分裂10次，分裂成

=1024（个）

    为了简便，可将记作210．

    一般地，几个相同的因数a相乘，记作an．即=an
    这种求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂．

在an中，a叫底数，n叫做指数，当an看作a的n次方的结果时，也可以读作a的n次幂．

    例如，在94中，底数是9，指数是4，94读作9的4次方，或9的4次幂，它表示4个9相乘，即9×9×9×；又如（－2）4的底数是－2，指数是4，读作－2的4次方（或－2的4次幂），它表示（－2）×（－2）×（－2）×（－2）．

    思考：32与23有什么不同？（－2）3与－23的意义是否相同？其中结果是否一样？（－2）4与－24呢？（）2与呢？

    答：32的底数是3，指数是2，读作3的2次幂，表示3×3，结果是9；23的底数是2，指数是3，读作2的3次幂，表示2×2×2，结果是8．

    （－2）3的底数是－2，指数是3，读作－2的3次幂，表示（－2）×（－2）×（－2），结果是－8；－23的底数是2，指数是3，读作2的3次幂的相反数，表示为－（2×2×2），结果是－8．

    （－2）3与－23的意义不相同，其结果一样．

（－2）4的底数是－2，指数是4，读作－2的四次幂，表示

（－2）×（－2）×（－2）×（－2），

结果是16；－24的底数是2，指数是4，读作2的4次幂的相反数，表示为

－（2×2×2×2），其结果为－16．

    （－2）4与－24的意义不同，其结果也不同．

    （）2的底数是，指数是2，读作的二次幂，表示×，结果是；表示32与5的商，即，结果是．

    因此，当底数是负数或分数时，一定要用括号把底数括起来．

    一个数可以看作这个数本身的一次方，例如5就是51，指数1通常省略不写．

    因为an就是n个a相乘，所以可以利用有理数的乘方运算来进行有理数的乘方运算．

    例1：计算：

（1）（－4）3； （2）（－2）4； （3）（－）5；

（4）33； （5）24； （6）（－）2．

    解：（1）（－4）3=（－4）×（－4）×（－4）=－64

    （2）（－2）4=（－2）×（－2）×（－2）×（－2）=16

    （3）（－）5=（－）×（－）×（－）×（－）×（－）=－

    （4）33=3×3×3=27

    （5）24=2×2×2×2=16

    （6）（－）2=（－）×（－）=

    例2：用计算器计算（－8）5和（－3）6．

    解：用带符号键（－）的计算器．

    开启计算器后按照下列步骤进行：

    （  （－）  8  ）   ∧  5  =

    显示：（－8）^ 5

    －32768  即（－8）5=－32768

    （  （－）  3  ）   ∧   6  =

    显示：（－3）^  6

    729  即（－3）6=729

    用带符号转换键 +/－ 的计算器：

    8  +/－    ∧   5  =

    显示：－32768

    3  +/－   ∧   6  =

    显示：729

    所以（－8）5=－32768  （－3）6=729

    从例1和例2，你能发现正数的幂、负数的幂的正负有什么规律？

    底数为正数时，不论指数是偶数还是奇数，其结果都是正数．

    若底数为负数，当指数是偶数时，其结果是正数，当指数是奇数时其结果为负数．

    实际上这可以根据有理数的乘法法则，积的符号由负因数的个数来确定，负因数是奇数个时，积为负数，负因数个数为偶数时，积为正．

    因此，可以得出：负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；正数的任何非零次幂都是正数；0的任何非零次幂都是0．

    三、巩固练习

    1．课本第52页练习1、2．

    2．补充练习．

    （1）下面各式计算正确的是（  ）．

      A．－22=－4    B．－（－2）2=4     C．（－3）2=6    D．（－3）3=1

    （2）下列各式是否正确，若有错误，请改正过来．

      ①∵43=4×3=13，34=3×4=12，∴43=34

      ②∵（－3）2=－3×3=－9，－32=－3×3=－9，∴（－3）2=－92

    （3）如果（－2）m>0，则（－1）m=_______；如果（－）n<0，则（－1）n=_____．

    四、课堂小结

    正确理解乘方的意义，a n表示n个a相乘的积．注意（－a）n与－a n 两者的区别及相互关系：（－a）n的底数是－a，表示n个－a相乘的积；－a n底数是a，表示n个a相乘的积的相反数．当n为偶数时，（－a）n与－a n互为相反数，当n为奇数时，（－a）n与－a n相等．

    五、作业布置

    1．课本第47页习题1．5第1题，第48页第11、12题．

    2．选用课时作业设计．

第一课时作业

    一、填空题．

    1．（－5）×（－5）×（－5）×（－5）×（－5）写成乘方的式子是_______．

    2．（－）4中，底数是______，指数是_______．

    3．一个数的5次幂是负数，则这个数的7次幂是_____数，4次幂是_____数．

4．（－0.1）2=_______，－23=______，（－）4=_______，（－3）4=______，

（）2=________，=________．

5．平方等于16的数是______，平方等于0的数是______，

立方等于27的数是______，_______的立方等于0，立方得－27的数是_______．

    二、选择题．

    6．（－7）2等于（  ）．

      A．49     B．－49     C．－14      D．14

    7．－43的意义是（  ）．

      A．3个－4相乘        B．3个－4相加

      C．－4乘以3          D．43的相反数

    8．下列各数互为相反数的是（  ）．

      A．32与－23   B．32与（－3）2   C．32与－32   D．－32与（－3）2

    9．下列说法正确的是（  ）．

      A．一个数的平方一定大于这个数；        B．一个数的平方一定是正数

      C．一个数的平方一定小于这个数的绝对值；D．一个数的平方不可能为负数

    10．下列算式中，结果正确的是（  ）．

A．（－3）2=6     B．（－）2=1；   C．0.12=0.02    D．（－）3=－

    三、用计算器计算．

    11．（1）2.36； （2）125； （3）0.134； （4）（－5.6）3．

    四、计算题．

    12．（1）（－1）258；（2）（－1）101； （3）－12004； （4）（－0.2）2；

    （5）（－0.1）3；（6）－（－14）2；（7）－（－）3； （8）（－2）2．

    五、解答题．

    13．1米长的小棒，第1次截去一半，第2次截去剩下的一半，如此截下去，第7次后剩下的小棒有多长？

    六、设n为正整数，计算．

    14．（1）（－1）2n； （2）（－1）2n+1．