初中数学冀教版九年级上册第26章 解直角三角形综合与测试当堂检测题

第二十六章达标检测卷

一、选择题(1～10题每题3分，11～16题每题2分，共42分)

1．cos 45°的值为(　　)

A.     B．1     C.     D.

2．在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，AC＝1，BC＝3，则∠A的正切值为(　　)

A．3   B.     C.    D.

3．如图，若点A的坐标为(1，)，则∠1＝(　　)

A．30°    B．45°    C．60°   D．75°

4．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高，BC＝8，AC＝15，设∠BCD＝α，则cos α的值为(　　)

A.     B.     C.     D.

5．在△ABC中，若＋＝0，则∠C的度数是(　　)

A．45°    B．60°    C．90°    D．105°

6．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD是∠BAC的平分线，已知AB＝4，那么AD的长为(　　)

A．6     B．4     C.     D.

7．如图①是一个小区入口的双翼闸机，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为8 cm(如图②)，边缘AC＝BD＝60 cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA＝∠BDQ＝30°.当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为(　　)

A．(60＋8)cm  B．(60＋8)cm

C．64 cm        D．68 cm

8．如图，一河坝的横断面为等腰梯形ABCD，坝顶宽10 m，坝高12 m，斜坡AB的坡度i＝1∶1.5，则坝底AD的长度为(　　)

A．26 m      B．28 m     C．30 m     D．46 m

9．为了测量被池塘隔开的A，B两点之间的距离，根据实际情况，作出如图所示的图形，其中AB⊥BE，EF⊥BE，AF交BE于点D，点C在BD上．有四名同学分别测量出以下4组数据：①BC，∠ACB；②CD，∠ACB，∠ADB；③EF，DE，BD；④DE，DC，BC.能根据所测数据求出A，B间距离的有(　　)

A．1组　    B．2组　   C．3组　   D．4组

10．李红同学遇到了这样一道题：求tan (α＋20°)＝1中锐角α的度数．你认为锐角α的度数应是(　　)

A．40°　  B．30°

C．20°　  D．10°

11．如图，菱形ABCD的周长为20 cm，DE⊥AB，垂足为E，sin A＝，则下列结论中正确的有(　　)

①DE＝3 cm；

②BE＝1 cm；

③菱形的面积为15 cm2；

④BD＝2 cm.

A．1个  B．2个  C．3个  D．4个

12．如图，已知在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝45°，∠C＝120°，AB＝8，则CD的长为(　　)

A.　    B．4

C.    D．4

13．如图，数学实践活动小组要测量学校附近楼房CD的高度，在水平地面A处安置测倾器测得楼房CD顶部点D的仰角为45°，向前走20 m到达A′处，测得点D的仰角为67.5°，已知测倾器AB的高度为1.6 m，则楼房CD的高度约为(结果精确到0.1 m，≈1.414)(　　)

A．34.14 m    B．34.1 m 

C．35.7 m    D．35.74 m

14．如图，在等边三角形ABC内有一点D，AD＝5，BD＝6，CD＝4，将△ABD绕点A逆时针旋转，使AB与AC重合，点D旋转到点E处，则tan∠CDE的值是(　　)

A.    B．3        C.      D.

15．如图，某时刻海上点P处有一客轮，测得灯塔A位于P的北偏东30°方向，且相距20 n mile.客轮以60 n mile/h的速度沿北偏西60°方向航行 h到达B处，那么tan∠ABP的值等于(　　)

A.       B．2      C.      D.

16．如图是一台54英寸的大背投彩电放置在墙角的俯视图．设∠DAO＝α，彩电后背AD平行于前沿BC，且与BC的距离为60 cm，若AO＝100 cm，则墙角O到前沿BC的距离OE是(　　)

A．(60＋100sin α) cm

B．(60＋100cos α) cm 

C．(60＋100tan α) cm 

D．以上选项都不对

二、填空题(17，19题每题3分，18题4分，共10分)

17．cos 60°＋sin 45°＋tan 30°＝________．

18．如图，在△ABC中，sin B＝，tan C＝，AB＝3，则AC的长为________，△ABC的面积为________．

19．如图是矗立在高速公路边水平地面上的交通警示牌，经过测量得到如下数据：AM＝4米，AB＝8米，∠MAD＝45°，∠MBC＝30°，则CD的长为____________米．(结果保留根号)

三、解答题(20，21题每题8分，22～25题每题10分，26题12分，共68分)

20．计算：

(1)2－1－tan 60°＋(π－2 022)0＋；

(2)(π－)0＋＋(－1)2 023－tan 60°.

21．在△ABC中，∠C＝90°.

(1)已知c＝2，∠A＝30°，求∠B，a，b.

(2)已知a＝5，∠A＝45°，求∠B，b，c.

22．如图，已知四边形ABCD中，∠ABC＝90°，∠ADC＝90°，AB＝6，CD＝4，BC的延长线与AD的延长线交于点E.

(1)若∠A＝60°，求BC的长．

(2)若sin A＝，求AD的长．

23．如图①，“南天一柱”是张家界“三千奇峰”中的一座，位于世界自然遗产武陵源风景名胜区袁家界景区南端.2010年1月25日，“南天一柱”正式命名为《阿凡达》的“哈利路亚山”，如图②，航拍无人机以9 m/s的速度在空中向正东方向飞行，拍摄云海中的“南天一柱”美景．在A处测得“南天一柱”底部C的俯角为37°，继续飞行6 s到达B处，这时测得“南天一柱”底部C的俯角为45°，已知“南天一柱”的高为150 m，问这架航拍无人机继续向正东飞行是否安全？(参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75)

24．某校数学实践活动小组利用无人机测算某越江通道的隧道长度．如图，隧道AB在水平直线上，且无人机和隧道在同一个铅垂面内，无人机在距离隧道450米的高度上水平飞行，到达点P处测得点A的俯角为30°，继续飞行1 500米到达点Q处，测得点B的俯角为45°.

(1)填空：∠A＝________°，∠B＝________°.

(2)求隧道AB的长度(结果精确到1米)．(参考数据：≈1.414，≈1.732)

25．如图是由6个形状、大小完全相同的小矩形组成的，小矩形的顶点称为格点．已知小矩形较短的边长为1，△ABC的顶点都在格点上．

(1)用无刻度的直尺作图：找出格点D，连接CD，使∠ACD＝90°.

(2)在(1)的条件下，连接AD，求tan ∠BAD的值．

26．如图，公路AB为东西走向，在点A北偏东36.5°方向上，距离5千米处是村庄M；在点A北偏东53.5°方向上，距离10千米处是村庄N.

(1)求M，N两村之间的距离．

(2)要在公路AB旁修建一个土特产收购站P，使得M，N两村到P站的距离之和最短，求这个最短距离之和．

(参考数据：sin 36.5°≈0.6，cos 36.5°≈0.8，tan 36.5°≈0.74)

答案

一、 1.  C　 2.  A　  3.  C

 4.  D　【点拨】如图，根据勾股定理可知，AB＝＝17.

∵∠BCD＋∠B＝90°，∠A＋∠B＝90°，

∴∠BCD＝∠A＝α，

∴cos  α＝cos A＝＝.故选D.

 5.  C

 6.  B　【点拨】如图，由题意知，AC＝ABsin B＝ABsin 30°＝2.

∵AD是∠BAC的平分线，

∴∠CAD＝＝＝30°.

∴AD＝＝4.故选B.

 7.  D　【点拨】过点A作AE⊥PC于点E，过点B作BF⊥QD于点F，如图．

∵AC＝60 cm，∠PCA＝30°，

∴AE＝AC＝30 cm.

同理可得BF＝30 cm，

∴通过闸机的物体的最大宽度为30＋8＋30＝68(cm)．

故选D.

 8.  D

 9.  C　【点拨】对于①，可由AB＝BC·tan ∠ACB求出AB的长；对于②，由BC＝，BD＝，BD－BC＝CD，可求出AB的长；对于③，易知△DEF∽△DBA，则＝，可求出AB的长；对于④无法求得AB的长，故有①②③共3组，故选C.

 10.  D　 11.  C

 12.  A　 【点拨】过点A作AE⊥BC于点E，过点D作DF⊥BC，交BC的延长线于点F，解Rt△ABE可得AE＝4，易得DF＝AE，

∴DF＝4 ，再解Rt△DCF即可求出CD的长．

 13.  C　 14.  B　 15.  A　 16.  A

二、 17.  2　 18.  ；

 19.  (4－4)　【点拨】在Rt△CMB中，∵∠CMB＝90°，MB＝AM＋AB＝4＋8＝12(米)，∠MBC＝30°，

∴CM＝MB·tan 30°＝12×＝4(米)．

在Rt△ADM中，∵∠DMA＝90°，∠MAD＝45°，

∴∠MAD＝∠MDA＝45°，

∴MD＝AM＝4米，

∴CD＝CM－DM＝(4－4)米．

三、 20.  解：(1)2－1－tan 60°＋(π－2 022)0＋＝－3＋1＋＝－1.

(2)(π－)0＋＋(－1)2 023－tan 60°＝1＋2－1－3＝－1.

 21.  解：(1)∵∠C＝90°，∠A＝30°，

∴∠B＝60°.

∵sin A＝，sin B＝，

∴a＝c·sin A＝2×＝，

b＝c·sin B＝2×＝3.

(2)∵∠C＝90°，∠A＝45°，

∴∠B＝45°.∴b＝a＝5.

∴c＝＝10.

 22.  解：(1)在Rt△ABE中，

∵∠A＝60°，∠ABE＝90°，AB＝6，

tan A＝，

∴∠E＝30°，BE＝AB·tan A＝6×tan 60°＝6.

在Rt△CDE中，∵∠CDE＝90°，

CD＝4，sin E＝，∠E＝30°，

∴CE＝＝＝8.

∴BC＝BE－CE＝6 －8.

(2)∵∠ABE＝90°，sin A＝＝，

∴可设BE＝4x(x＞0)，则AE＝5x.

由勾股定理可得AB＝3x，

又∵AB＝6，∴3x＝6，解得x＝2.

∴BE＝8，AE＝10.

∴tan E＝＝＝＝，

解得DE＝.

∴AD＝AE－DE＝10－＝.

 23.  解：设无人机距地面x m，直线AB与“南天一柱”所在直线相交于点D，如图，由题意得∠CAD＝37°，∠CBD＝45°.

在Rt△ACD中，

∵tan∠CAD＝＝≈0.75，

∴AD≈x m.

在Rt△BCD中，

∵tan∠CBD＝＝＝1，

∴BD＝x  m.

∵AD－BD＝AB，

∴x－x≈9×6，

∴x≈162，

∵162＞150，

∴这架航拍无人机继续向正东飞行安全．

 24.  解：(1)30；45

(2)如图，过点P作PM⊥AB于点M，过点Q作QN⊥AB于点N，

则PM＝QN＝450(米)，MN＝PQ＝1 500(米)，

在Rt△APM中，∵tan A＝，

∴AM＝＝＝450(米)，

在Rt△QNB中，∵tan B＝，

∴NB＝＝＝450(米)，

∴AB＝AM＋MN＋NB＝450＋1 500＋450≈2 729(米)．

答：隧道AB的长度约为2 729米．

 25.  解：(1)如图．

(2)如图，连接BD.

∵∠BED＝90°，BE＝DE＝1，

∴∠EBD＝∠EDB＝45°，

BD＝＝＝.

易知BF＝AF＝2，∠BFA＝90°.∴∠ABF＝∠BAF＝45°，AB＝＝＝2 .

∴∠ABD＝∠ABF＋∠EBD＝45°＋45°＝90°.

∴tan ∠BAD＝＝＝.

 26.  解：(1)如图，过点M作CD∥AB，过点N作NE⊥AB于点E.

∴四边形AEDC为矩形，

∴AC＝DE，AE＝DC.

在Rt△ACM中，∠CAM＝36.5°，AM＝5千米，

sin∠CAM＝≈0.6，

cos∠CAM＝≈0.8，

∴CM≈3千米，AC≈4千米．

在Rt△ANE中，∠NAE＝90°－53.5°＝36.5°，AN＝10千米，

sin∠NAE＝≈0.6，

cos∠NAE＝≈0.8，

∴NE≈6千米，AE≈8千米．

在Rt△MND中，MD＝CD－CM＝AE－CM≈5千米，ND＝NE－DE＝NE－AC≈2千米，

∴MN＝≈＝(千米)．

(2)如图，作点N关于AB的对称点G，连接MG交AB于点P，连接NP.

点P即为站点．

∴PM＋PN＝PM＋PG＝MG，NG＝2NE≈12千米，∴DG＝NG－DN≈10千米．

在Rt△MDG中，

MG＝≈＝＝5(千米)．

∴最短距离之和约为5千米．