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    人教版新课标A选修2-21.3导数在研究函数中的应用图片课件ppt

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    这是一份人教版新课标A选修2-21.3导数在研究函数中的应用图片课件ppt,共42页。PPT课件主要包含了自主学习新知突破,导数与函数的单调性,合作探究课堂互动,导数与单调性的关系,求函数的单调区间等内容,欢迎下载使用。

    1.结合实例,直观探索并掌握函数的单调性与导数的关系.2.能利用导数研究函数的单调性,并能够利用单调性证明一些简单的不等式.3.会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).
    已知函数f(x)=sin x,其导函数f′(x)=cs x,
    [问题3] 试探讨函数的单调性与其导函数正负的关系.[提示3] 当f′(x)>0时,f(x)为增函数,当f′(x)<0时,f(x)为减函数.
    在某个区间(a,b)内,函数的单调性与其导函数的正负有如下关系:
    1.确定函数f(x)的__________.2.求导数f′(x).3.由f′(x)>0(或f′(x)<0),解出相应的x的范围.当f′(x)>0时,f(x)在相应的区间上是__________;当f′(x)<0时,f(x)在相应的区间上是__________.4.结合定义域写出单调区间.
    利用导数求函数单调区间的基本步骤
    利用导数求函数的单调区间注意的问题(1)在利用导数求函数的单调区间时,首先要确定函数的定义域,解决问题的过程中只能在定义域内,通过讨论导数的符号来判断函数的单调区间.(2)如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个,那么这些单调区间中间不能用“∪”连接,而只能用“逗号”或“和”字隔开.
    1.函数y=x3-3x的单调减区间是(  )A.(-∞,0) B.(0,+∞)C.(-1,1) D.(-∞,-1),(1,+∞)解析: y′=3x2-3,由y′=3x2-3<0得-13.函数f(x)=(x-3)ex的单调递增区间是________.解析: f′(x)=(x-3)′ex+(x-3)(ex)′=(x-2)ex,令f′(x)>0,解得x>2.答案: (2,+∞)
    4.证明函数f(x)=x+sin x在R上是增函数.证明: f′(x)=1+cs x,∵-1≤cs x≤1,∴0≤1+cs x≤2,当且仅当cs x=-1,即x=(2k+1)π(k∈Z)时,f′(x)=0.∴f(x)=x+sin x在R上是增函数.
    如果函数y=f(x)的图象如图所示,那么导函数y=f′(x)的图象可能是(  )
    [思路点拨] 由函数y=f(x)的图象可得到函数的单调情况,进而确定导数的正负,再“按图索骥”.解析: 由原函数的单调性可以得到导函数的正负情况依次是正→负→正→负,只有选项A满足.答案: A
    1.利用导数符号判断单调性的方法:利用导数判断函数的单调性比利用函数单调性的定义简单得多,只需判断导数在该区间内的正负即可.2.通过图象研究函数单调性的方法:(1)观察原函数的图象重在找出“上升”“下降”产生变化的点,分析函数值的变化趋势;(2)观察导函数的图象重在找出导函数图象与x轴的交点,分析导数的正负.特别提醒:函数的正负与导数的正负没有关系.
    1.设函数f(x)在定义域内可导,y=f(x)的图象如图所示,则导函数y=f′(x)可能为(  )
    解析: 由函数f(x)的图象知f(x)在(-∞,0)上单调递增,∴f′(x)>0,故排除A、C.又f(x)在(0,+∞)上有三个单调区间,故排除B,故选D.答案: D
    求下列函数的单调区间:
     (1)函数的定义域为R.y′=2x2-4x=2x(x-2).令y′>0,则2x(x-2)>0,解得x<0或x>2.所以函数的单调递增区间为(- ∞,0),(2,+∞).令y′<0,则2x(x-2)<0,解得0<x<2.所以函数的单调递减区间为(0,2).
    利用导数求函数的单调区间:(1)求定义域;(2)解不等式f′(x)>0(或f′(x)<0);(3)把不等式的解集与定义域求交集得单调区间.特别提醒:(1)单调区间不能“并”,即不能用“∪”符号连接,只能用“,”或“和”隔开.(2)导数法求得的单调区间一般用开区间表示.
    2.(1)求函数f(x)=3x2-2ln x的单调区间;(2)设函数f(x)=ln(x+a)+x2,若f′(-1)=0,求a的值,并讨论f(x)的单调区间.
    求含参数的函数的单调区间
    [思路点拨] 函数解析式中含有参数时,讨论其单调性(或求其单调区间)问题,往往要转化为解含参数的不等式问题,这时应对所含参数进行适当的分类讨论,做到不重不漏,最后要将各种情况分别进行表述.
    讨论含有参数的函数的单调性,通常归结为求含参不等式的解集问题,而对含有参数的不等式要针对具体情况进行讨论,但要始终注意定义域对单调性的影响以及分类讨论的标准.
    已知函数单调性求参数范围
    若函数f(x)=ax3-x2+x-5在R上单调递增,求实数a的取值范围.
     1.一般地,已知函数的单调性,如何求参数的取值范围?
    2.注意事项:一般地,最后要检验参数的取值能否使f′(x)恒等于0.若f′(x)恒等于0,则参数的这个值应舍去;若只有在个别点处有f′(x)=0,则由f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立解出的参数取值范围为最后解.
    4.已知函数f(x)=2ax-x3,x∈(0,1],a>0,若f(x)在(0,1]上是增函数,求a的取值范围.
    ◎已知函数f(x)=ln(1+x)-x,求f(x)的单调区间.
    【错因】 错解的原因是忽视了函数的定义域.本题中含有对数函数,首先应确定函数的定义域,再求导数f′(x),进而判断单调区间.
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