高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.3 幂函数教学设计

专题12幂函数（讲）

幂函数

(1)一般地形如y＝xα(α为常数)的函数叫做幂函数．

[知识点拨]　幂函数与指数函数的区别与联系

(2)对于幂函数，我们只讨论α＝1,2,3，，－1时的情形．

(3)图象：在同一坐标系中，幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝x－1的图象如图．

[知识点拨]　幂函数在第一象限内的指数变化规律：在第一象限内直线x＝1的右侧，图象从上到下，相应的指数由大变小，即指数大的在上边．

(4)五种常见幂函数的性质，列表如下：

1．有四个幂函数：①；②；③；④.某同学研究了其中的一个函数，他给出这个函数的三个性质：（1）偶函数；（2）值域是，且；（3）在上是增函数.如果他给出的三个性质中，有两个正确，一个错误，则他研究的函数是（    ）

A．① B．②

C．③ D．④

2．已知幂函数在上单调递减，若，，，则下列不等关系正确的是（    ）

A． B．

C． D．

3．已知某幂函数的图象过点，则此函数解析式是（    ）

A． B． C． D．

4．已知幂函数的图像经过点，则（    ）

A．2 B． C． D．

5．设∈，则使函数y=的定义域为R且为奇函数的所有的值为（　　）

A．，1，3 B．，1 C．，3 D．1，3

重要考点一：幂函数的概念

【典型例题】已知幂函数的图象关于轴对称，且与轴、轴均无交点，则的值为（    ）

A． B．0 C．1 D．2

【题型强化】幂函数在时是减函数，则实数的值为（    ）

A．2或 B． C． D．或1

【收官验收】若函数是幂函数，且在上是减函数，则实数为（    ）

A． B． C． D．或

【名师点睛】

形如y＝xα的函数叫幂函数，这里需有：(1)系数为1，(2)指数为一常数，(3)后面不加任何项．例如y＝3x、y＝xx＋1、y＝x2＋1均不是幂函数，再者注意与指数函数的区别，例如：y＝x2是幂函数，y＝2x是指数函数．

重要考点二：幂函数的图象

【典型例题】若幂函数（，且、互素）的图像如图所示，则下列说法中正确的是（    ）

A．、是奇数且 B．是偶数，是奇数，且

C．是偶数，是奇数，且 D．、是偶数，且

【题型强化】四个幂函数在同一平面直角坐标系中第一象限内的图象如图所示，则幂函数的图象是（    ）

A．① B．② C．③ D．④

【收官验收】下列结论中，正确的是(     )

A．幂函数的图象都通过点(0,0)，(1,1)

B．当幂指数α取1,3， 时，幂函数y＝xα是增函数

C．幂函数的图象可以出现在第四象限

D．当幂指数α＝－1时，幂函数y＝xα在定义域上是减函数

【名师点睛】

认识幂函数的图象重点在于掌握其特征．对于y＝xα，当α<0时，在第一象限内为双曲线的一支；当0<α<1时，在第一象限内为抛物线形，且开口向右；当α>1时，在第一象限内为抛物线形，且开口向上．

重要考点三：幂函数的简单性质

【典型例题】已知，若幂函数为奇函数，且在上递减，则____．

【题型强化】幂函数的图象关于轴对称，则实数_______.

【收官验收】已知函数在上单调递减，则实数取值范围是__________.

【名师点睛】

(1)在判断幂函数的单调性和奇偶性时，可根据相应幂函数的图象进行分析．

(2)幂函数y＝xα在第一象限内图象的画法如下：

①当α＜0时，其图象可类似y＝x－1画出；②当0＜α＜1时，其图象可类似y＝x画出；③当α＞1时，其图象可类似y＝x2画出．

重要考点四：用幂函数的单调性解题时忽略了不同单调区间的讨论

【典型例题】已知幂函数 的图象经过点 ．

⑴ 试确定 m 的值 ；

⑵ 求满足条件f(2-a)＞f(a-1)的实数 a 的取值范围．

【题型强化】幂函数图象关于轴对称，且在上是减函数，求满足的的范围.

【收官验收】已知幂函数（）的图象关于轴对称，且在上是减函数．

（1）求的值；

（2）求满足不等式的实数a的取值范围．

重要考点五：数学构造方法

【典型例题】比较下列各组数中两个数的大小．

(1) 与；

(2)3与3.1；

(3) 与；

(4)0.20.6与0.30.4.

【题型强化】比较下列各组数的大小：

（1），，1；

（2），，；

【收官验收】比较大小：1.20.5，1.20.6，0.51.2，0.61.2.

【名师点睛】

1.注意利用幂函数的性质比较幂值大小的方法步骤．

第一步，据指数分清正负；

第二步，正数区分大于1与小于1，a>1，α>0时，aα>1；0<a<1，α>0时0<aα<1；a>1，α<0时0<aα<1；0<a<1，α<0时，aα>1；

第三步，构造幂函数应用幂函数单调性，特别注意含字母时，要注意底数不在同一单调区间内的情形．

2．给定一组数值，比较大小的步骤．

第一步：区分正负．一种情形是幂函数或指数函数值即幂式确定符号；另一种情形是对数式确定符号，要根据各自的性质进行．

第二步：正数通常还要区分大于1还是小于1.

第三步：同底的幂，用指数函数单调性；同指数的幂用幂函数单调性；同底的对数用对数函数单调性．

第四步：对于底数与指数均不相同的幂，或底数与真数均不相同的对数值大小的比较，通常是找一中间值过渡或化同底(化同指)、或放缩、有时作商(或作差)、或指对互化，对数式有时还用换底公式作变换等等．