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北师大新版数学八年级专题复习《生活中的轴对称》（含答案）试卷
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这是一份北师大新版数学八年级专题复习《生活中的轴对称》（含答案）试卷，共39页。
北师大新版数学八年级专题复习《生活中的轴对称》
一．选择题（共10小题）
1．（2021春•毕节市期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，ED⊥AB于D，DE＝3cm，那么CE等于（ ）
A．cm B．2cm C．3cm D．4cm
2．（2020秋•甘井子区期末）等腰三角形的一个内角为120°，则底角的度数为（ ）
A．30° B．40° C．60° D．120°
3．（2021春•东坡区校级期末）图中阴影部分是由4个完全相同的的正方形拼接而成，要在①，②，③，④四个区域中的某个区域处添加一个同样的正方形，使它与阴影部分组成的新图形是轴对称图形，则这个正方形应添加在（ ）
A．区域①处 B．区域②处 C．区域③处 D．区域④处
4．（2021春•郑州期末）一块三角形的草坪，现要在草坪上建一个凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三边的距离相等，凉亭的位置应选在（ ）
A．三角形三条边的垂直平分线的交点
B．三角形三条角平分线的交点
C．三角形三条高所在直线的交点
D．三角形三条中线的交点
5．（2020秋•路北区期末）如图，在锐角三角形ABC中，AB＝4，△ABC的面积为10，BD平分∠ABC，若M、N分别是BD、BC上的动点，则CM+MN的最小值为（ ）
A．4 B．5 C．4.5 D．6
6．（2020秋•九龙坡区校级期末）如图，在△ABC中，DE为线段AB的垂直平分线．若△ABC的周长为18，线段AE的长度为4，则△BCD的周长为（ ）
A．10 B．11 C．12 D．14
7．如图，在△ABC中，AI平分∠BAC，BI平分∠ABC，点O是AC、BC的垂直平分线的交点，连接AO、BO，若∠AIB＝α，则∠AOB的大小为（ ）
A．α B．4α﹣360° C．α+90° D．180°﹣α
8．（2021•西湖区二模）如图，在△ABC中，点D在边BC上，且满足AB＝AD＝DC，过点D作DE⊥AD，交AC于点E．设∠BAD＝α，∠CAD＝β，∠CDE＝γ，则（ ）
A．2α+3β＝180° B．3α+2β＝180° C．β+2γ＝90° D．2β+γ＝90°
9．（2020秋•临沭县期末）如图，已知等腰△ABC的底角∠C＝15°，顶点B到边AC的距离是3cm，则AC的长为（ ）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
10．（2021春•江都区校级期末）等腰三角形的面积为24平方厘米，腰长8厘米．在底边上有一个动点P，则P到两腰的距离之和为（ ）
A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm
二．填空题（共10小题）
11．（2021春•郑州期末）定义：等腰三角形的底边与其一腰的长度的比值k称为这个等腰三角形的“优美比”，若等腰△ABC的周长为13cm，AB＝5cm，则它的“优美比”k＝ ．
12．（2021春•黄浦区期末）如图，在△ABC中，∠A＝42°，点D是边A上的一点，将△BCD沿直线CD翻折斜到△B′CD，B′C交AB于点E，如果B′D∥AC，那么∠BDC＝ 度．
13．（2020秋•南浔区期末）如图，把一张长方形纸条ABCD沿EF折叠，若∠AED′＝68°，则∠AEF＝ ．
14．（2020秋•费县期末）如图，在等腰△ABC中，∠BAC＝120°，DE是AC的垂直平分线，线段DE＝2cm，则BD的长为 cm．
15．（2020秋•滦州市期末）如图，在△ABC中，AB＝BC，BE平分∠ABC，AD为BC边上的高，且AD＝BD．则∠3＝ °．
16．（2021春•株洲期末）如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若AD＝8，则点P到BC的距离是 ．
17．（2020秋•渝中区期末）如图，已知∠ABC、∠EAC的角平分线BP、AP相交于点P，PM⊥BE，PN⊥BF，垂足分别为M、N．现有四个结论：
①CP平分∠ACF；②∠BPC＝∠BAC；③∠APC＝90°﹣∠ABC；④S△APM+S△CPN＞S△APC．
其中结论正确的为 ．（填写结论的编号）
18．（2020秋•涪城区期末）如图，点CD在线段AB的同侧，CA＝6，AB＝14，BD＝12，M为AB中点，∠CMD＝120°．则CD的最大值为 ．
19．（2020秋•李沧区期末）如图，△AOB与△COB关于边OB所在的直线成轴对称，AO的延长线交BC于点D．若∠BOD＝46°，∠C＝22°，则∠ADC＝ °．
20．（2020秋•溧阳市期末）如图所示，A、B两个村子在河CD的同侧，A、B两村到河的距离分别为AC＝1km，BD＝3km，CD＝3km．现在河边CD上建一水厂分别向A、B两村输送自来水，铺设水管的费用为20000元/千米，请你在河CD边上选择水厂位置O，使铺设水管的费用最省，那么所铺设水管的总费用为 元．
三．解答题（共10小题）
21．（2020秋•九龙坡区校级期末）已知：在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC交AC于D，AO平分∠BAC交BD于O，过O点作OE∥BC交AC于E．
（1）求证：BO＝OC；
（2）若∠BAC＝56°，求∠DOE的度数．
22．（2020秋•玄武区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，FE是AC的垂直平分线，交AD于点F，连接BF．求证：AF＝BF．
23．（2020秋•兴化市期末）如图，△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点M、D，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点N、E，△ADE的周长是7．
（1）求BC的长度；
（2）若∠B+∠C＝60°，则∠DAE度数是多少？请说明理由．
24．（2020秋•怀宁县期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝62°，∠B＝78°，AC的垂直平分线交BC于点D．
（1）求∠BAD的度数；
（2）若AB＝8，BC＝11，求△ABD的周长．
25．（2020秋•丛台区校级期末）小明采用如图所示的方法作∠AOB的平分线OC：将带刻度的直角尺DEMN按如图所示摆放，使EM边与OB边重合，顶点D落在OA边上并标记出点D的位置，量出OD的长，再重新如图放置直角尺，在DN边上截取DP＝OD，过点P画射线OC，则OC平分∠AOB．请判断小明的做法是否可行？并说明理由．
26．（2020秋•肥西县期末）如图，△ABC是等边三角形，D、E分别是BC、AC边上的点，连接AD、BE，且AD、BE相交于点P，∠AEB＝∠CDA．
（1）求∠BPD的度数．
（2）过点B作BQ⊥AD于Q，若PQ＝3，PE＝1，求BE的长．
27．（2020秋•云南期末）如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，△ABC面积是152cm2，AB＝20cm，AC＝18cm，求DE的长．
28．（2020秋•三明期末）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形（顶点是网格线交点的三角形）ABC的顶点A，C的坐标分别为（﹣4，2），（﹣1，0）．
（1）请在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系；
（2）请作出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′；
（3）写出点B′的坐标．
29．（2020秋•新宾县期末）在如图所示的平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，△ABC的顶点在格点上．
（1）画出△ABC关于y轴对称的△A'B'C′；
（2）写出A、B、C的对应点A'、B'、C′的坐标；
（3）在y轴上画出点Q，使△QAC的周长最小．
30．（2020秋•九龙坡区校级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC的角平分线交AC于点D，过点A作AE∥BC交BD的延长线于点E．
（1）若∠BAC＝50°，求∠E的度数．
（2）若F是DE上的一点，且AD＝AF，求证：BF＝DE．
2021年新初二数学北师大新版专题复习《生活中的轴对称》
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2021春•毕节市期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，ED⊥AB于D，DE＝3cm，那么CE等于（ ）
A．cm B．2cm C．3cm D．4cm
【考点】角平分线的性质．菁优网版权所有
【专题】三角形；推理能力．
【分析】直接利用角平分线的性质求解．
【解答】解：∵BE平分∠ABC，ED⊥AB，EC⊥BC，
∴EC＝ED＝3cm．
故选：C．
【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
2．（2020秋•甘井子区期末）等腰三角形的一个内角为120°，则底角的度数为（ ）
A．30° B．40° C．60° D．120°
【考点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；几何直观．
【分析】因为三角形的内角和为180°，所以120°只能为顶角，从而可求出底角．
【解答】解：∵120°为三角形的顶角，
∴底角为（180°﹣120°）÷2＝30°．
故选：A．
【点评】本题考查等腰三角形的性质，等腰三角形的两个底角相等，从而可求出解．
3．（2021春•东坡区校级期末）图中阴影部分是由4个完全相同的的正方形拼接而成，要在①，②，③，④四个区域中的某个区域处添加一个同样的正方形，使它与阴影部分组成的新图形是轴对称图形，则这个正方形应添加在（ ）
A．区域①处 B．区域②处 C．区域③处 D．区域④处
【考点】轴对称图形．菁优网版权所有
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【分析】根据轴对称图形的概念求解．
【解答】解：要在①，②，③，④四个区域中的某个区域处添加一个同样的正方形，使它与阴影部分组成的新图形是轴对称图形，则这个正方形应添加在区域②处．
故选：B．
【点评】此题主要考查了轴对称变换，正确把握轴对称图形的性质是解题关键．
4．（2021春•郑州期末）一块三角形的草坪，现要在草坪上建一个凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三边的距离相等，凉亭的位置应选在（ ）
A．三角形三条边的垂直平分线的交点
B．三角形三条角平分线的交点
C．三角形三条高所在直线的交点
D．三角形三条中线的交点
【考点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质．菁优网版权所有
【专题】能力层次．
【分析】根据角平分线的性质，角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
【解答】解：∵根据角平分线的性质，角的平分线上的点到角的两边的距离相等，
∴三角形三条角平分线的交点到三角形三边的距离相等，
故选：B．
【点评】本题考查角平分线的性质，要充分理解并加以运用性质中的线段关系．
5．（2020秋•路北区期末）如图，在锐角三角形ABC中，AB＝4，△ABC的面积为10，BD平分∠ABC，若M、N分别是BD、BC上的动点，则CM+MN的最小值为（ ）
A．4 B．5 C．4.5 D．6
【考点】三角形的面积；轴对称﹣最短路线问题．菁优网版权所有
【专题】探究型；三角形；几何直观；应用意识．
【分析】过C作CE⊥AB于点E，交BD于点M′，过点M′作M′N′⊥BC于N′，则CE即为CM+MN的最小值，再根据三角形的面积公式求出CE的长，即为CM+MN的最小值．
【解答】解：过C作CE⊥AB于点E，交BD于点M′，过点M′作M′N′⊥BC于N′，如图：
∵BD平分∠ABC，M′E⊥AB于点E，M′N′⊥BC于N′，
∴M′N′＝M′E，
∴CE＝CM′+M′E＝CM′+M′N′是CM+MN最小值，此时M与M′重合，N与N′重合，
∵三角形ABC的面积为10，AB＝4，
∴×4•CE＝10，
∴CE＝5．
即CM+MN的最小值为5．
故选：B．
【点评】本题考查三角形中的最短路径，解题的关键是理解CE的长度即为CM+MN最小值．
6．（2020秋•九龙坡区校级期末）如图，在△ABC中，DE为线段AB的垂直平分线．若△ABC的周长为18，线段AE的长度为4，则△BCD的周长为（ ）
A．10 B．11 C．12 D．14
【考点】线段垂直平分线的性质．菁优网版权所有
【专题】三角形；推理能力．
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到AB＝2AE＝8，DA＝DB，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【解答】解：∵△ABC的周长为18，
∴AC+BC+AB＝18，
∵DE为线段AB的垂直平分线，AE＝4，
∴AB＝2AE＝8，DA＝DB，
∴AC+BC＝10，
∴△BCD的周长＝BD+CD+BC＝AD+CD+BC＝AC+BC＝10，
故选：A．
【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
7．如图，在△ABC中，AI平分∠BAC，BI平分∠ABC，点O是AC、BC的垂直平分线的交点，连接AO、BO，若∠AIB＝α，则∠AOB的大小为（ ）
A．α B．4α﹣360° C．α+90° D．180°﹣α
【考点】线段垂直平分线的性质．菁优网版权所有
【专题】三角形；推理能力．
【分析】连接CO并延长至D，根据三角形内角和定理得到∠IAB+∠IBA＝180°﹣α，根据角平分线的定义得到∠CAB+∠CBA＝360°﹣2α，求出∠ACB，根据线段垂直平分线的性质得到OA＝OC，OB＝OC，
根据等腰三角形的性质得到∠OCA＝∠OAC，∠OCB＝∠OBC，根据三角形的外角性质计算，得到答案．
【解答】解：连接CO并延长至D，
∵∠AIB＝α，
∴∠IAB+∠IBA＝180°﹣α，
∵AI平分∠BAC，BI平分∠ABC，
∴∠IAB＝∠CAB，∠IBA＝∠CBA，
∴∠CAB+∠CBA＝2（∠IAB+∠IBA）＝360°﹣2α，
∴∠ACB＝180°﹣（∠CAB+∠CBA）＝2α﹣180°，
∵点O是AC、BC的垂直平分线的交点，
∴OA＝OC，OB＝OC，
∴∠OCA＝∠OAC，∠OCB＝∠OBC，
∵∠AOD是△AOC的一个外角，
∴∠AOD＝∠OCA+∠OAC＝2∠OCA，
同理，∠BOD＝2∠OCB，
∴∠AOB＝∠AOD+∠BOD＝2∠OCA+2∠OCB＝4α﹣360°，
故选：B．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、角平分线的定义、三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
8．（2021•西湖区二模）如图，在△ABC中，点D在边BC上，且满足AB＝AD＝DC，过点D作DE⊥AD，交AC于点E．设∠BAD＝α，∠CAD＝β，∠CDE＝γ，则（ ）
A．2α+3β＝180° B．3α+2β＝180° C．β+2γ＝90° D．2β+γ＝90°
【考点】等腰三角形的性质．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【分析】根据AB＝AD＝DC，∠B＝∠ADB，∠C＝∠CAD＝β，再根据三角形外角的性质得出∠AED＝β+γ，然后根据直角三角形的两锐角互余即可得结论．
【解答】解：∵AB＝AD＝DC，∠BAD＝α，
∴∠B＝∠ADB，∠C＝∠CAD＝β，
∵DE⊥AD，
∴∠ADE＝90°，
∴∠CAD+∠AED＝90°，
∵∠CDE＝γ，∠AED＝∠C+∠CDE，
∴∠AED＝γ+β，
∴2β+γ＝90°，
故选：D．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形外角的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
9．（2020秋•临沭县期末）如图，已知等腰△ABC的底角∠C＝15°，顶点B到边AC的距离是3cm，则AC的长为（ ）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
【考点】等腰三角形的性质．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；几何直观．
【分析】∵根据等腰三角形的性质可求∠BAD＝30°，根据含30°的直角三角形的性质可求AB，进一步求得AC．
【解答】解：∵等腰△ABC的底角∠C＝15°，
∴∠ABC＝15°，
∴∠BAD＝15°+15°＝30°，
在Rt△ADB中，∠D＝90°，BD＝3cm，
∴AB＝2BD＝6cm，
∴AC＝AB＝6cm．
故选：D．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，含30°的直角三角形的性质，关键是求得∠BAD＝30°．
10．（2021春•江都区校级期末）等腰三角形的面积为24平方厘米，腰长8厘米．在底边上有一个动点P，则P到两腰的距离之和为（ ）
A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm
【考点】等腰三角形的性质．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；几何直观；运算能力；推理能力．
【分析】连接AP，由三角形的面积公式证得S△ABP+S△ACP＝S△ABC，根据AB＝AC即可求出PE+PF．
【解答】解：已知：△ABC中，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，AB＝AC＝8厘米，△ABC的面积为24平方厘米，P是底边BC上一个动点．
求：PE+PF的值．
解：连接AP，
∵PE⊥AB，PF⊥AC，
∴S△ABP＝AB•PE，S△ACP＝AC•PF，
∵S△ABP+S△ACP＝S△ABC,S△ABC＝24，
∴AB•PE+AC•PF＝24，
∴AB(PE+PF)＝24，
∴PE+PF＝＝6cm，
故选：B．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的面积公式，由三角形的面积公式证得S△ABP+S△ACP＝S△ABC是解决问题的关键．
二．填空题（共10小题）
11．（2021春•郑州期末）定义：等腰三角形的底边与其一腰的长度的比值k称为这个等腰三角形的“优美比”，若等腰△ABC的周长为13cm，AB＝5cm，则它的“优美比”k＝ 0.6或1.25 ．
【考点】等腰三角形的性质．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【分析】分两种情况：AB为腰或AB为底边，再根据三角形周长可求得底边或腰的长度，即可得到它的优美比k．
【解答】解：当AB腰时，则底边＝3cm；
此时，优美比k＝＝0.6；
当AB为底边时，则腰为4；
此时，优美比k＝＝1.25；
故答案为0.6或1.25．
【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键．
12．（2021春•黄浦区期末）如图，在△ABC中，∠A＝42°，点D是边A上的一点，将△BCD沿直线CD翻折斜到△B′CD，B′C交AB于点E，如果B′D∥AC，那么∠BDC＝ 111 度．
【考点】平行线的性质；三角形内角和定理；翻折变换（折叠问题）．菁优网版权所有
【专题】三角形；几何直观．
【分析】设∠BCD为α，∠CBD为β，列出关于α+β的方程，求出α+β，即可求出∠BDC．
【解答】解：设∠BCD为α，∠CBD为β，
∵B′D∥AC，
∴∠B'DC+∠ACD＝180°，
由对称性知∠BDC＝∠B'DC，
∴180°﹣（α+β）+180°﹣42°﹣（α+β）＝180°，
∴α+β＝69°，
∴∠BDC＝180°﹣69°＝111°，
故答案为111．
【点评】本题主要考查翻折的性质，还有平行线的性质，注意翻折是轴对称变换，具有对称性，平行线的三个基本性质要牢记于心．
13．（2020秋•南浔区期末）如图，把一张长方形纸条ABCD沿EF折叠，若∠AED′＝68°，则∠AEF＝ 124° ．
【考点】翻折变换（折叠问题）．菁优网版权所有
【专题】平移、旋转与对称；运算能力；推理能力．
【分析】设∠DEF＝x，根据折叠的性质得到∠D′EF＝∠DEF＝x，利用平角的定义列方程即可得到结论．
【解答】解：设∠DEF＝x，
∵把一张长方形纸条ABCD沿EF折叠，
∴∠D′EF＝∠DEF＝x，
∵∠AED′＝68°，∠AED′+∠D′EF+DEF＝180°，
∴x+x+68°＝180°，
∴x＝56°，
∴∠DEF＝∠D′EF＝56°，
∴∠AEF＝∠AED′+∠D′EF＝124°，
故答案为：124°．
【点评】本题重点考查了折叠问题，解题的关键是学会利用参数，构建方程组解决问题．
14．（2020秋•费县期末）如图，在等腰△ABC中，∠BAC＝120°，DE是AC的垂直平分线，线段DE＝2cm，则BD的长为 8 cm．
【考点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；几何直观．
【分析】连接AD，根据等腰三角形的两底角相等求出∠B＝∠C＝30°，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AD＝CD，然后求出∠CAD＝30°，再求出∠BAD＝90°，然后根据30°角所对的直角边等于斜边的一半求出CD＝2DE，BD＝2AD，代入数据进行计算即可得解．
【解答】解：连接AD，
在等腰△ABC中，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠C＝30°，
∵DE是AC的垂直平分线，
∴AD＝CD，
∴∠CAD＝∠C＝30°，
∴∠BAD＝∠BAC﹣∠CAD＝120°﹣30°＝90°，
在Rt△CDE中，CD＝2DE，
在Rt△ABD中，BD＝2AD，
∴BD＝4DE，
∵DE＝2cm，
∴BD的长为8cm．
故答案为：8．
【点评】本题考查了等腰三角形的在，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．
15．（2020秋•滦州市期末）如图，在△ABC中，AB＝BC，BE平分∠ABC，AD为BC边上的高，且AD＝BD．则∠3＝ 22.5 °．
【考点】等腰三角形的性质．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；几何直观．
【分析】求出∠ADB＝90°，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求出∠ABD＝∠BAD＝45°，根据角平分线的定义求出∠2，再根据等腰三角形的性质得出∠BEA＝∠ADB＝90°，根据三角形的内角和定理求出∠2＝∠3即可．
【解答】解：∵AD为BC边上的高，
∴∠ADB＝90°，
∵AD＝BD，
∴∠ABD＝∠BAD＝（180°﹣∠ADB）＝45°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠1＝∠2＝∠ABD＝22.5°，BE⊥AC，
∴∠BEA＝90°＝∠ADB，
∵∠3+∠BEA+∠AHE＝180°，∠2+∠ADB+∠BHD＝180°，∠AHE＝∠BHD，
∴∠3＝∠2＝22.5°．
故答案为：22.5°．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键．
16．（2021春•株洲期末）如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若AD＝8，则点P到BC的距离是 4 ．
【考点】平行线的性质；角平分线的性质．菁优网版权所有
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【分析】过点P作PE⊥BC于E，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等，可得PA＝PE，PD＝PE，那么PE＝PA＝PD，依据AD＝8，进而求出PE＝4．
【解答】解：如图所示，过点P作PE⊥BC于E，
∵AB∥CD，PA⊥AB，
∴PD⊥CD，
∵BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，
∴PA＝PE，PD＝PE，
∴PE＝PA＝PD，
∵PA+PD＝AD＝8，
∴PA＝PD＝4，
∴PE＝4，即点P到BC的距离是4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质并作辅助线是解题的关键．
17．（2020秋•渝中区期末）如图，已知∠ABC、∠EAC的角平分线BP、AP相交于点P，PM⊥BE，PN⊥BF，垂足分别为M、N．现有四个结论：
①CP平分∠ACF；②∠BPC＝∠BAC；③∠APC＝90°﹣∠ABC；④S△APM+S△CPN＞S△APC．
其中结论正确的为 ①②③ ．（填写结论的编号）
【考点】角平分线的性质．菁优网版权所有
【专题】线段、角、相交线与平行线；图形的全等；运算能力；推理能力．
【分析】①作PD⊥AC于D．根据角平分线性质得到PM＝PN，PM＝PD，得到PM＝PN＝PD，于是得到点P在∠ACF的角平分线上，故①正确；
②根据三角形的判定和性质得到AD＝AM，∠APM＝∠APD，CD＝CN，∠NPC＝∠DPC，于是得到∠APC＝MPN，故②正确；
③根据四边形的内角和得到∠ABC+90°+∠MPN+90°＝360°，求得∠ABC+∠MPN＝180°，于是得到∠APC＝90°﹣∠ABC，故③正确；
④根据角平分线定义得到∠ACF＝∠ABC+∠BAC，∠PCN＝∠ACF＝∠BPC+∠ABC，得到∠BPC＝∠BAC，根据全等三角形的性质得到S△APM+S△CPN＝S△APC．故④不正确．
【解答】解：①作PD⊥AC于D．
∵PB平分∠ABC，PA平分∠EAC，PM⊥BE，PN⊥BF，
∴PM＝PN，PM＝PD，
∴PM＝PN＝PD，
∴点P在∠ACF的角平分线上（到角的两边距离相等的点在角的平分线上），
故①正确；
②∵PB平分∠ABC，CP平分∠ACF，
∴∠ABC＝2∠PBC，∠ACF＝2∠PCF，
∵∠ACF＝∠ABC+∠BAC，∠PCF＝∠PBF+∠BPC，
∴∠BAC＝2∠BPC，
∴∠BPC＝∠BAC，故②正确；
③∵PM⊥AB，PN⊥BC，
∴∠ABC+90°+∠MPN+90°＝360°，
∴∠ABC+∠MPN＝180°，
∴∠APC＝90°﹣∠ABC，故③正确；
④∵PB平分∠ABC，PC平分∠ACF，
∴∠ACF＝∠ABC+∠BAC，∠PCN＝∠ACF＝∠BPC+∠ABC，
∴∠BAC＝2∠BPC，
∴∠BPC＝∠BAC，故本小题正确；
∵S△APD＝S△APM，S△CPD＝S△CPN，
∴S△APM+S△CPN＝S△APC，故④不正确．
综上所述，①②③正确．
故答案为：①②③．
【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质以及到角的两边距离相等的点在角的平分线上的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，有一定综合性，但难度不大，只要仔细分析便不难求解．
18．（2020秋•涪城区期末）如图，点CD在线段AB的同侧，CA＝6，AB＝14，BD＝12，M为AB中点，∠CMD＝120°．则CD的最大值为 25 ．
【考点】线段的性质：两点之间线段最短；轴对称的性质．菁优网版权所有
【专题】平移、旋转与对称；推理能力．
【分析】如图，作点A关于CM的对称点A′，点B关于DM的对称点B′，证明△A′MB′为等边三角形，即可解决问题．
【解答】解：如图，作点A关于CM的对称点A′，点B关于DM的对称点B′．
∵∠CMD＝120°，
∴∠AMC+∠DMB＝60°，
∴∠CMA′+∠DMB′＝60°，
∴∠A′MB′＝60°，
∵MA′＝MB′，
∴△A′MB′为等边三角形
∵CD≤CA′+A′B′+B′D＝CA+AM+BD＝6+7+12＝25，
∴CD的最大值为25，
故答案为25．
【点评】本题考查翻折变换，等边三角形的判定和性质，两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用两点之间线段最短解决最值问题，属于中考常考题型．
19．（2020秋•李沧区期末）如图，△AOB与△COB关于边OB所在的直线成轴对称，AO的延长线交BC于点D．若∠BOD＝46°，∠C＝22°，则∠ADC＝ 70 °．
【考点】轴对称的性质．菁优网版权所有
【专题】平移、旋转与对称；推理能力．
【分析】根据∠ADC＝∠A+∠ABD，求出∠A，∠ABD即可．
【解答】解：∵△AOB与△COB关于边OB所在的直线成轴对称，
∴△AOB≌△COB，
∴∠A＝∠C＝22°，∠ABO＝∠CBO，
∵∠BOD＝∠A+∠ABO，
∴∠ABO＝46°﹣22°＝24°，
∴∠ABD＝2∠ABO＝48°，
∴∠ADC＝∠A+∠ABD＝22°+48°＝70°，
故答案为：70．
【点评】本题考查轴对称的性质，全等三角形的性质，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
20．（2020秋•溧阳市期末）如图所示，A、B两个村子在河CD的同侧，A、B两村到河的距离分别为AC＝1km，BD＝3km，CD＝3km．现在河边CD上建一水厂分别向A、B两村输送自来水，铺设水管的费用为20000元/千米，请你在河CD边上选择水厂位置O，使铺设水管的费用最省，那么所铺设水管的总费用为 100000 元．
【考点】轴对称﹣最短路线问题．菁优网版权所有
【专题】平移、旋转与对称；几何直观；运算能力；推理能力．
【分析】构造出以A′B为斜边的直角三角形，利用勾股定理列式计算即可求出A′B，再乘以单价计算即可得解．
【解答】解：如图，作出以A′B为斜边的直角三角形，
∵AC＝1km，BD＝3km，CD＝3km，
∴A′E＝CD＝3km，BE＝3+1＝4（km），
由勾股定理得，A′B＝＝5（km），
20 000×5＝100 000（元）．
答：铺设水管的总费用100000元．
故答案为：100000．
【点评】本题考查了轴对称确定最短路线问题，勾股定理，熟练掌握最短路线的确定方法是解题的关键．
三．解答题（共10小题）
21．（2020秋•九龙坡区校级期末）已知：在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC交AC于D，AO平分∠BAC交BD于O，过O点作OE∥BC交AC于E．
（1）求证：BO＝OC；
（2）若∠BAC＝56°，求∠DOE的度数．
【考点】平行线的性质；等腰三角形的性质．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【分析】（1）根据三角形全等证明对应边相等；
（2）根据等腰三角形两底角相等就出底角的度数，根据BD⊥AC得∠BDC＝90°，求出∠ABD的度数，进而求出∠DBC的度数，最后根据两直线平行，同位角相等即可证明．
【解答】解：（1）∵AO平分∠BAC，
∴∠BAO＝∠OAC，
在△ABO和△ACO中，
，
∴△ABO≌△ACO（SAS），
∴BO＝OC．
（2）∵BD⊥AC，
∴∠BDC＝90°，
∴∠ABD＝∠BDC﹣∠BAD＝90°﹣56°＝34°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝（180°﹣∠BAC）＝62°，
∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝62°﹣34°＝28°，
∵OE∥BC，
∴∠DOE＝∠DBC＝28°．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形全等的判定与性质，平行线的性质，解题的关键是求出∠DBC的度数．
22．（2020秋•玄武区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，FE是AC的垂直平分线，交AD于点F，连接BF．求证：AF＝BF．
【考点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【分析】由等腰三角形的性质可得BD＝CD，AD⊥BC，由线段垂直平分线的性质可得BF＝CF＝AF．
【解答】证明：连接CF，
∵AB＝AC，AD平分∠BAC，
∴BD＝CD，AD⊥BC，
∴BF＝CF，
∵FE垂直平分AC，
∴AF＝CF，
∴AF＝BF．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，掌握等腰三角形的性质是本题的关键．
23．（2020秋•兴化市期末）如图，△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点M、D，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点N、E，△ADE的周长是7．
（1）求BC的长度；
（2）若∠B+∠C＝60°，则∠DAE度数是多少？请说明理由．
【考点】线段垂直平分线的性质．菁优网版权所有
【专题】三角形；推理能力．
【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DB，EA＝EC，根据三角形的周长公式计算，得到答案；
（2）根据等腰三角形的性质得到∠DAB＝∠B，∠EAC＝∠C，根据三角形的外角性质、三角形内角和定理计算即可．
【解答】解：（1）∵DM是线段AB的垂直平分线，
∴DA＝DB，
同理，EA＝EC，
∵△ADE的周长为7，
∴DA+DE+EA＝7，
∴BC＝DA+DE+EC＝7；
（2）∠DAE度数是60°，
理由如下：∵DA＝DB，EA＝EC，
∴∠DAB＝∠B，∠EAC＝∠C，
∵∠B+∠C＝60°，
∴∠ADE+∠AED＝2∠B+2∠C＝120°，
∴∠DAE＝180°﹣120°＝60°．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
24．（2020秋•怀宁县期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝62°，∠B＝78°，AC的垂直平分线交BC于点D．
（1）求∠BAD的度数；
（2）若AB＝8，BC＝11，求△ABD的周长．
【考点】角的计算；线段垂直平分线的性质．菁优网版权所有
【专题】三角形；运算能力．
【分析】（1）根据三角形内角和定理求出∠C，根据线段垂直平分线的性质得到AD＝CD，根据等腰三角形的性质得到∠CAD＝∠C＝40°，得到答案；
（2）根据三角形的周长公式计算即可．
【解答】解：（1）∵∠BAC＝62°，∠B＝78°，
∴∠C＝180°﹣∠BAC﹣∠B＝180°﹣62°﹣78°＝40°，
∵DE垂直平分AC，
∴AD＝CD，
∴∠CAD＝∠C＝40°，
∴∠BAD＝∠BAC﹣∠CAD＝62°﹣40°＝22°；
（2）∵AD＝CD，AB＝8，BC＝11，
∴△ABD的周长＝AB+AD+BD＝AB+CD+BD＝AB+BC＝8+11＝19．
【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
25．（2020秋•丛台区校级期末）小明采用如图所示的方法作∠AOB的平分线OC：将带刻度的直角尺DEMN按如图所示摆放，使EM边与OB边重合，顶点D落在OA边上并标记出点D的位置，量出OD的长，再重新如图放置直角尺，在DN边上截取DP＝OD，过点P画射线OC，则OC平分∠AOB．请判断小明的做法是否可行？并说明理由．
【考点】角平分线的性质．菁优网版权所有
【专题】线段、角、相交线与平行线；等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【分析】根据平行线的性质得到∠DPO＝∠POM，根据等腰三角形的性质得到∠DPO＝∠DOP，由等量代换得到∠POM＝∠DOP，由此可判断小明的做法可行．
【解答】解：小明的做法可行．理由如下：
在直角尺DEMN中，DN∥EM，
∴∠DPO＝∠POM，
∵DP＝OD，
∴∠DPO＝∠DOP，
∴∠POM＝∠DOP，
∴OC平分∠AOB．
【点评】本题主要考查了角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的性质，能灵活应用平行线的性质和等腰三角形的性质是解决问题的关键．
26．（2020秋•肥西县期末）如图，△ABC是等边三角形，D、E分别是BC、AC边上的点，连接AD、BE，且AD、BE相交于点P，∠AEB＝∠CDA．
（1）求∠BPD的度数．
（2）过点B作BQ⊥AD于Q，若PQ＝3，PE＝1，求BE的长．
【考点】等边三角形的性质．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【分析】（1）根据等边三角形的性质可得，∠ABC＝∠C＝60°，又根据∠AEB＝∠CDA，进而求得∠EBC＝∠BAD，即可得出答案；
（2）根据题意求得∠PBQ＝30°，再根据直角三角形中30°的角的性质求出BP的长度，即可得出答案．
【解答】解：（1）由△ABC是等边三角形可得，
∠ABC＝∠C＝60°，
∵∠ADC＝∠ABC+∠BAD，∠AEB＝∠C+∠EBC，∠AEB＝∠CDA，
∴∠BAD＝∠EBC，
∵∠BPD＝∠ABE+∠BAD，
∴∠BPD＝∠ABE+∠EBC＝∠ABC＝60°；
（2）∵BQ⊥AD于Q，
∴∠BQP＝90°，
∵∠BPD＝60°，
∴∠PBQ＝90°﹣∠BPD＝30°，
在Rt△BPQ中，
∵PQ＝3，∠PBQ＝30°，
∴BP＝2PQ＝6，
又∵PE＝1，
∴BE＝BP+PE＝6+1＝7．
【点评】此题考查了等边三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键．
27．（2020秋•云南期末）如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，△ABC面积是152cm2，AB＝20cm，AC＝18cm，求DE的长．
【考点】角平分线的性质．菁优网版权所有
【专题】三角形；推理能力．
【分析】根据S△ABC＝S△ABD+S△ACD，再利用角平分线的性质即可解决问题．
【解答】解：∵AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴DE＝DF，
∵S△ABC＝S△ABD+S△ACD，
∴S△ABC＝，
∵△ABC面积是152cm2，AB＝20cm，AC＝18cm，
∴152＝，
∴10DE+9DF＝152，
∵DE＝DF，
∴19DE＝152，
∴DE＝8．
【点评】本题主要考查了三角形面积的计算方法，以及角平分线的性质，熟记性质是解题的关键．
28．（2020秋•三明期末）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形（顶点是网格线交点的三角形）ABC的顶点A，C的坐标分别为（﹣4，2），（﹣1，0）．
（1）请在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系；
（2）请作出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′；
（3）写出点B′的坐标．
【考点】作图﹣轴对称变换．菁优网版权所有
【专题】作图题；几何直观．
【分析】（1）根据A，C的两点坐标确定平面直角坐标系即可．
（2）分别作出A，B，C的对应点A′，B′，C′即可．
（3）根据B′的位置写出坐标即可．
【解答】解：（1）如图，平面直角坐标系如图所示：
（2）如图，△A′B′C′即为所求作．
（3）B′（2，﹣2）．
【点评】本题考查作图﹣轴对称变换，平面直角坐标系等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
29．（2020秋•新宾县期末）在如图所示的平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，△ABC的顶点在格点上．
（1）画出△ABC关于y轴对称的△A'B'C′；
（2）写出A、B、C的对应点A'、B'、C′的坐标；
（3）在y轴上画出点Q，使△QAC的周长最小．
【考点】作图﹣轴对称变换；轴对称﹣最短路线问题．菁优网版权所有
【专题】作图题；平移、旋转与对称；几何直观．
【分析】（1）依据轴对称的性质，即可得到△ABC关于y轴对称的△A'B'C′；
（2）依据△A'B'C′各顶点的位置，即可得出点A'、B'、C′的坐标；
（3）连接AC'（或CA'）与y轴的交点即为Q．
【解答】解：（1）如图所示，△A'B'C′即为所求；
（2）由图可得，A'（4，1）、B'（3，3）、C′（1，2）；
（3）如图所示，点Q即为所求．
【点评】本题考查了根据轴对称变换作图，根据网格结构作出点A、B、C的对应点是解决问题的关键．凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
30．（2020秋•九龙坡区校级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC的角平分线交AC于点D，过点A作AE∥BC交BD的延长线于点E．
（1）若∠BAC＝50°，求∠E的度数．
（2）若F是DE上的一点，且AD＝AF，求证：BF＝DE．
【考点】平行线的性质；等腰三角形的性质．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【分析】（1）根据等腰三角形两底角相等，已知顶角，可以求出底角，再根据角平分线的定义求出∠CBD的度数，最后根据两直线平行，内错角相等求出；
（2）根据AAS先证明△ABD≌△AEF，根据全等三角形的对应边相等得出BD＝EF，再根据等式的基本性质证出BF＝DE．
【解答】解：（1）∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵∠BAC＝50°，
∴∠ABC＝（180°﹣∠BAC）＝65°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD＝∠ABC＝32.5°，
∵AE∥BC，
∴∠E＝∠CBD＝32.5°．
（2）∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵AE∥BC，
∴∠AEF＝∠CBD，
∴∠ABD＝∠AEF，
∵AD＝AF，
∴∠ADF＝∠AFD，
∵∠ADB＝180°﹣∠ADF，∠AFE＝180°﹣∠AFD，
∴∠ADB＝∠AFE，
在△ABD与△AEF中，
，
∴△ABD≌△AEF（AAS），
∴BD＝EF，
∴BD+DF＝EF+DF，
∴BF＝DE．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，角平分线的定义，三角形全等，考核学生的推理能力，证明三角形全等是解题的关键．
考点卡片
1．线段的性质：两点之间线段最短
线段公理
两点的所有连线中，可以有无数种连法，如折线、曲线、线段等，这些所有的线中，线段最短．
简单说成：两点之间，线段最短．
2．角的计算
（1）角的和差倍分
①∠AOB是∠AOC和∠BOC的和，记作：∠AOB＝∠AOC+∠BOC．∠AOC是∠AOB和∠BOC的差，记作：∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC．②若射线OC是∠AOB的三等分线，则∠AOB＝3∠BOC或∠BOC＝∠AOB．
（2）度、分、秒的加减运算．在进行度分秒的加减时，要将度与度，分与分，秒与秒相加减，分秒相加，逢60要进位，相减时，要借1化60．
（3）度、分、秒的乘除运算．①乘法：度、分、秒分别相乘，结果逢60要进位．②除法：度、分、秒分别去除，把每一次的余数化作下一级单位进一步去除．
3．平行线的性质
1、平行线性质定理
定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等． 简单说成：两直线平行，同位角相等．
定理2：两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补．．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．
定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等． 简单说成：两直线平行，内错角相等．
2、两条平行线之间的距离处处相等．
4．三角形的面积
（1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△＝×底×高．
（2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．
5．三角形内角和定理
（1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．
（2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°．
（3）三角形内角和定理的证明
证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线．
（4）三角形内角和定理的应用
主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．
6．角平分线的性质
角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE
7．线段垂直平分线的性质
（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”．
（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段． ②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． ③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．
8．等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．
（2）等腰三角形的性质
①等腰三角形的两腰相等
②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】
（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．
9．等边三角形的性质
（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．
①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；
②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．
（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．
等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．
10．轴对称的性质
（1）如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
由轴对称的性质得到一下结论：
①如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称；
②如果两个图形成轴对称，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴．
（2）轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
11．轴对称图形
（1）轴对称图形的概念：
如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称．
（2）轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条．
（3）常见的轴对称图形：
等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．
12．作图-轴对称变换
几何图形都可看做是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的，一般的方法是：
①由已知点出发向所给直线作垂线，并确定垂足；
②直线的另一侧，以垂足为一端点，作一条线段使之等于已知点和垂足之间的线段的长，得到线段的另一端点，即为对称点；
③连接这些对称点，就得到原图形的轴对称图形．
13．轴对称-最短路线问题
1、最短路线问题
在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点．
2、凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合本节所学轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
14．翻折变换（折叠问题）
1、翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换．
2、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
3、在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找到图形间的关系．
首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件．解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．我们运用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数．
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日期：2021/6/29 15:14:43；用户：周晓丽；邮箱：17788760824；学号：25289867
北师大新版数学八年级专题复习《生活中的轴对称》
一．选择题（共10小题）
1．（2021春•毕节市期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，ED⊥AB于D，DE＝3cm，那么CE等于（ ）
A．cm B．2cm C．3cm D．4cm
2．（2020秋•甘井子区期末）等腰三角形的一个内角为120°，则底角的度数为（ ）
A．30° B．40° C．60° D．120°
3．（2021春•东坡区校级期末）图中阴影部分是由4个完全相同的的正方形拼接而成，要在①，②，③，④四个区域中的某个区域处添加一个同样的正方形，使它与阴影部分组成的新图形是轴对称图形，则这个正方形应添加在（ ）
A．区域①处 B．区域②处 C．区域③处 D．区域④处
4．（2021春•郑州期末）一块三角形的草坪，现要在草坪上建一个凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三边的距离相等，凉亭的位置应选在（ ）
A．三角形三条边的垂直平分线的交点
B．三角形三条角平分线的交点
C．三角形三条高所在直线的交点
D．三角形三条中线的交点
5．（2020秋•路北区期末）如图，在锐角三角形ABC中，AB＝4，△ABC的面积为10，BD平分∠ABC，若M、N分别是BD、BC上的动点，则CM+MN的最小值为（ ）
A．4 B．5 C．4.5 D．6
6．（2020秋•九龙坡区校级期末）如图，在△ABC中，DE为线段AB的垂直平分线．若△ABC的周长为18，线段AE的长度为4，则△BCD的周长为（ ）
A．10 B．11 C．12 D．14
7．如图，在△ABC中，AI平分∠BAC，BI平分∠ABC，点O是AC、BC的垂直平分线的交点，连接AO、BO，若∠AIB＝α，则∠AOB的大小为（ ）
A．α B．4α﹣360° C．α+90° D．180°﹣α
8．（2021•西湖区二模）如图，在△ABC中，点D在边BC上，且满足AB＝AD＝DC，过点D作DE⊥AD，交AC于点E．设∠BAD＝α，∠CAD＝β，∠CDE＝γ，则（ ）
A．2α+3β＝180° B．3α+2β＝180° C．β+2γ＝90° D．2β+γ＝90°
9．（2020秋•临沭县期末）如图，已知等腰△ABC的底角∠C＝15°，顶点B到边AC的距离是3cm，则AC的长为（ ）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
10．（2021春•江都区校级期末）等腰三角形的面积为24平方厘米，腰长8厘米．在底边上有一个动点P，则P到两腰的距离之和为（ ）
A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm
二．填空题（共10小题）
11．（2021春•郑州期末）定义：等腰三角形的底边与其一腰的长度的比值k称为这个等腰三角形的“优美比”，若等腰△ABC的周长为13cm，AB＝5cm，则它的“优美比”k＝ ．
12．（2021春•黄浦区期末）如图，在△ABC中，∠A＝42°，点D是边A上的一点，将△BCD沿直线CD翻折斜到△B′CD，B′C交AB于点E，如果B′D∥AC，那么∠BDC＝ 度．
13．（2020秋•南浔区期末）如图，把一张长方形纸条ABCD沿EF折叠，若∠AED′＝68°，则∠AEF＝ ．
14．（2020秋•费县期末）如图，在等腰△ABC中，∠BAC＝120°，DE是AC的垂直平分线，线段DE＝2cm，则BD的长为 cm．
15．（2020秋•滦州市期末）如图，在△ABC中，AB＝BC，BE平分∠ABC，AD为BC边上的高，且AD＝BD．则∠3＝ °．
16．（2021春•株洲期末）如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若AD＝8，则点P到BC的距离是 ．
17．（2020秋•渝中区期末）如图，已知∠ABC、∠EAC的角平分线BP、AP相交于点P，PM⊥BE，PN⊥BF，垂足分别为M、N．现有四个结论：
①CP平分∠ACF；②∠BPC＝∠BAC；③∠APC＝90°﹣∠ABC；④S△APM+S△CPN＞S△APC．
其中结论正确的为 ．（填写结论的编号）
18．（2020秋•涪城区期末）如图，点CD在线段AB的同侧，CA＝6，AB＝14，BD＝12，M为AB中点，∠CMD＝120°．则CD的最大值为 ．
19．（2020秋•李沧区期末）如图，△AOB与△COB关于边OB所在的直线成轴对称，AO的延长线交BC于点D．若∠BOD＝46°，∠C＝22°，则∠ADC＝ °．
20．（2020秋•溧阳市期末）如图所示，A、B两个村子在河CD的同侧，A、B两村到河的距离分别为AC＝1km，BD＝3km，CD＝3km．现在河边CD上建一水厂分别向A、B两村输送自来水，铺设水管的费用为20000元/千米，请你在河CD边上选择水厂位置O，使铺设水管的费用最省，那么所铺设水管的总费用为 元．
三．解答题（共10小题）
21．（2020秋•九龙坡区校级期末）已知：在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC交AC于D，AO平分∠BAC交BD于O，过O点作OE∥BC交AC于E．
（1）求证：BO＝OC；
（2）若∠BAC＝56°，求∠DOE的度数．
22．（2020秋•玄武区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，FE是AC的垂直平分线，交AD于点F，连接BF．求证：AF＝BF．
23．（2020秋•兴化市期末）如图，△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点M、D，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点N、E，△ADE的周长是7．
（1）求BC的长度；
（2）若∠B+∠C＝60°，则∠DAE度数是多少？请说明理由．
24．（2020秋•怀宁县期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝62°，∠B＝78°，AC的垂直平分线交BC于点D．
（1）求∠BAD的度数；
（2）若AB＝8，BC＝11，求△ABD的周长．
25．（2020秋•丛台区校级期末）小明采用如图所示的方法作∠AOB的平分线OC：将带刻度的直角尺DEMN按如图所示摆放，使EM边与OB边重合，顶点D落在OA边上并标记出点D的位置，量出OD的长，再重新如图放置直角尺，在DN边上截取DP＝OD，过点P画射线OC，则OC平分∠AOB．请判断小明的做法是否可行？并说明理由．
26．（2020秋•肥西县期末）如图，△ABC是等边三角形，D、E分别是BC、AC边上的点，连接AD、BE，且AD、BE相交于点P，∠AEB＝∠CDA．
（1）求∠BPD的度数．
（2）过点B作BQ⊥AD于Q，若PQ＝3，PE＝1，求BE的长．
27．（2020秋•云南期末）如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，△ABC面积是152cm2，AB＝20cm，AC＝18cm，求DE的长．
28．（2020秋•三明期末）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形（顶点是网格线交点的三角形）ABC的顶点A，C的坐标分别为（﹣4，2），（﹣1，0）．
（1）请在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系；
（2）请作出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′；
（3）写出点B′的坐标．
29．（2020秋•新宾县期末）在如图所示的平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，△ABC的顶点在格点上．
（1）画出△ABC关于y轴对称的△A'B'C′；
（2）写出A、B、C的对应点A'、B'、C′的坐标；
（3）在y轴上画出点Q，使△QAC的周长最小．
30．（2020秋•九龙坡区校级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC的角平分线交AC于点D，过点A作AE∥BC交BD的延长线于点E．
（1）若∠BAC＝50°，求∠E的度数．
（2）若F是DE上的一点，且AD＝AF，求证：BF＝DE．
2021年新初二数学北师大新版专题复习《生活中的轴对称》
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2021春•毕节市期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，ED⊥AB于D，DE＝3cm，那么CE等于（ ）
A．cm B．2cm C．3cm D．4cm
【考点】角平分线的性质．菁优网版权所有
【专题】三角形；推理能力．
【分析】直接利用角平分线的性质求解．
【解答】解：∵BE平分∠ABC，ED⊥AB，EC⊥BC，
∴EC＝ED＝3cm．
故选：C．
【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
2．（2020秋•甘井子区期末）等腰三角形的一个内角为120°，则底角的度数为（ ）
A．30° B．40° C．60° D．120°
【考点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；几何直观．
【分析】因为三角形的内角和为180°，所以120°只能为顶角，从而可求出底角．
【解答】解：∵120°为三角形的顶角，
∴底角为（180°﹣120°）÷2＝30°．
故选：A．
【点评】本题考查等腰三角形的性质，等腰三角形的两个底角相等，从而可求出解．
3．（2021春•东坡区校级期末）图中阴影部分是由4个完全相同的的正方形拼接而成，要在①，②，③，④四个区域中的某个区域处添加一个同样的正方形，使它与阴影部分组成的新图形是轴对称图形，则这个正方形应添加在（ ）
A．区域①处 B．区域②处 C．区域③处 D．区域④处
【考点】轴对称图形．菁优网版权所有
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【分析】根据轴对称图形的概念求解．
【解答】解：要在①，②，③，④四个区域中的某个区域处添加一个同样的正方形，使它与阴影部分组成的新图形是轴对称图形，则这个正方形应添加在区域②处．
故选：B．
【点评】此题主要考查了轴对称变换，正确把握轴对称图形的性质是解题关键．
4．（2021春•郑州期末）一块三角形的草坪，现要在草坪上建一个凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三边的距离相等，凉亭的位置应选在（ ）
A．三角形三条边的垂直平分线的交点
B．三角形三条角平分线的交点
C．三角形三条高所在直线的交点
D．三角形三条中线的交点
【考点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质．菁优网版权所有
【专题】能力层次．
【分析】根据角平分线的性质，角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
【解答】解：∵根据角平分线的性质，角的平分线上的点到角的两边的距离相等，
∴三角形三条角平分线的交点到三角形三边的距离相等，
故选：B．
【点评】本题考查角平分线的性质，要充分理解并加以运用性质中的线段关系．
5．（2020秋•路北区期末）如图，在锐角三角形ABC中，AB＝4，△ABC的面积为10，BD平分∠ABC，若M、N分别是BD、BC上的动点，则CM+MN的最小值为（ ）
A．4 B．5 C．4.5 D．6
【考点】三角形的面积；轴对称﹣最短路线问题．菁优网版权所有
【专题】探究型；三角形；几何直观；应用意识．
【分析】过C作CE⊥AB于点E，交BD于点M′，过点M′作M′N′⊥BC于N′，则CE即为CM+MN的最小值，再根据三角形的面积公式求出CE的长，即为CM+MN的最小值．
【解答】解：过C作CE⊥AB于点E，交BD于点M′，过点M′作M′N′⊥BC于N′，如图：
∵BD平分∠ABC，M′E⊥AB于点E，M′N′⊥BC于N′，
∴M′N′＝M′E，
∴CE＝CM′+M′E＝CM′+M′N′是CM+MN最小值，此时M与M′重合，N与N′重合，
∵三角形ABC的面积为10，AB＝4，
∴×4•CE＝10，
∴CE＝5．
即CM+MN的最小值为5．
故选：B．
【点评】本题考查三角形中的最短路径，解题的关键是理解CE的长度即为CM+MN最小值．
6．（2020秋•九龙坡区校级期末）如图，在△ABC中，DE为线段AB的垂直平分线．若△ABC的周长为18，线段AE的长度为4，则△BCD的周长为（ ）
A．10 B．11 C．12 D．14
【考点】线段垂直平分线的性质．菁优网版权所有
【专题】三角形；推理能力．
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到AB＝2AE＝8，DA＝DB，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【解答】解：∵△ABC的周长为18，
∴AC+BC+AB＝18，
∵DE为线段AB的垂直平分线，AE＝4，
∴AB＝2AE＝8，DA＝DB，
∴AC+BC＝10，
∴△BCD的周长＝BD+CD+BC＝AD+CD+BC＝AC+BC＝10，
故选：A．
【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
7．如图，在△ABC中，AI平分∠BAC，BI平分∠ABC，点O是AC、BC的垂直平分线的交点，连接AO、BO，若∠AIB＝α，则∠AOB的大小为（ ）
A．α B．4α﹣360° C．α+90° D．180°﹣α
【考点】线段垂直平分线的性质．菁优网版权所有
【专题】三角形；推理能力．
【分析】连接CO并延长至D，根据三角形内角和定理得到∠IAB+∠IBA＝180°﹣α，根据角平分线的定义得到∠CAB+∠CBA＝360°﹣2α，求出∠ACB，根据线段垂直平分线的性质得到OA＝OC，OB＝OC，
根据等腰三角形的性质得到∠OCA＝∠OAC，∠OCB＝∠OBC，根据三角形的外角性质计算，得到答案．
【解答】解：连接CO并延长至D，
∵∠AIB＝α，
∴∠IAB+∠IBA＝180°﹣α，
∵AI平分∠BAC，BI平分∠ABC，
∴∠IAB＝∠CAB，∠IBA＝∠CBA，
∴∠CAB+∠CBA＝2（∠IAB+∠IBA）＝360°﹣2α，
∴∠ACB＝180°﹣（∠CAB+∠CBA）＝2α﹣180°，
∵点O是AC、BC的垂直平分线的交点，
∴OA＝OC，OB＝OC，
∴∠OCA＝∠OAC，∠OCB＝∠OBC，
∵∠AOD是△AOC的一个外角，
∴∠AOD＝∠OCA+∠OAC＝2∠OCA，
同理，∠BOD＝2∠OCB，
∴∠AOB＝∠AOD+∠BOD＝2∠OCA+2∠OCB＝4α﹣360°，
故选：B．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、角平分线的定义、三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
8．（2021•西湖区二模）如图，在△ABC中，点D在边BC上，且满足AB＝AD＝DC，过点D作DE⊥AD，交AC于点E．设∠BAD＝α，∠CAD＝β，∠CDE＝γ，则（ ）
A．2α+3β＝180° B．3α+2β＝180° C．β+2γ＝90° D．2β+γ＝90°
【考点】等腰三角形的性质．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【分析】根据AB＝AD＝DC，∠B＝∠ADB，∠C＝∠CAD＝β，再根据三角形外角的性质得出∠AED＝β+γ，然后根据直角三角形的两锐角互余即可得结论．
【解答】解：∵AB＝AD＝DC，∠BAD＝α，
∴∠B＝∠ADB，∠C＝∠CAD＝β，
∵DE⊥AD，
∴∠ADE＝90°，
∴∠CAD+∠AED＝90°，
∵∠CDE＝γ，∠AED＝∠C+∠CDE，
∴∠AED＝γ+β，
∴2β+γ＝90°，
故选：D．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形外角的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
9．（2020秋•临沭县期末）如图，已知等腰△ABC的底角∠C＝15°，顶点B到边AC的距离是3cm，则AC的长为（ ）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
【考点】等腰三角形的性质．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；几何直观．
【分析】∵根据等腰三角形的性质可求∠BAD＝30°，根据含30°的直角三角形的性质可求AB，进一步求得AC．
【解答】解：∵等腰△ABC的底角∠C＝15°，
∴∠ABC＝15°，
∴∠BAD＝15°+15°＝30°，
在Rt△ADB中，∠D＝90°，BD＝3cm，
∴AB＝2BD＝6cm，
∴AC＝AB＝6cm．
故选：D．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，含30°的直角三角形的性质，关键是求得∠BAD＝30°．
10．（2021春•江都区校级期末）等腰三角形的面积为24平方厘米，腰长8厘米．在底边上有一个动点P，则P到两腰的距离之和为（ ）
A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm
【考点】等腰三角形的性质．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；几何直观；运算能力；推理能力．
【分析】连接AP，由三角形的面积公式证得S△ABP+S△ACP＝S△ABC，根据AB＝AC即可求出PE+PF．
【解答】解：已知：△ABC中，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，AB＝AC＝8厘米，△ABC的面积为24平方厘米，P是底边BC上一个动点．
求：PE+PF的值．
解：连接AP，
∵PE⊥AB，PF⊥AC，
∴S△ABP＝AB•PE，S△ACP＝AC•PF，
∵S△ABP+S△ACP＝S△ABC,S△ABC＝24，
∴AB•PE+AC•PF＝24，
∴AB(PE+PF)＝24，
∴PE+PF＝＝6cm，
故选：B．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的面积公式，由三角形的面积公式证得S△ABP+S△ACP＝S△ABC是解决问题的关键．
二．填空题（共10小题）
11．（2021春•郑州期末）定义：等腰三角形的底边与其一腰的长度的比值k称为这个等腰三角形的“优美比”，若等腰△ABC的周长为13cm，AB＝5cm，则它的“优美比”k＝ 0.6或1.25 ．
【考点】等腰三角形的性质．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【分析】分两种情况：AB为腰或AB为底边，再根据三角形周长可求得底边或腰的长度，即可得到它的优美比k．
【解答】解：当AB腰时，则底边＝3cm；
此时，优美比k＝＝0.6；
当AB为底边时，则腰为4；
此时，优美比k＝＝1.25；
故答案为0.6或1.25．
【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键．
12．（2021春•黄浦区期末）如图，在△ABC中，∠A＝42°，点D是边A上的一点，将△BCD沿直线CD翻折斜到△B′CD，B′C交AB于点E，如果B′D∥AC，那么∠BDC＝ 111 度．
【考点】平行线的性质；三角形内角和定理；翻折变换（折叠问题）．菁优网版权所有
【专题】三角形；几何直观．
【分析】设∠BCD为α，∠CBD为β，列出关于α+β的方程，求出α+β，即可求出∠BDC．
【解答】解：设∠BCD为α，∠CBD为β，
∵B′D∥AC，
∴∠B'DC+∠ACD＝180°，
由对称性知∠BDC＝∠B'DC，
∴180°﹣（α+β）+180°﹣42°﹣（α+β）＝180°，
∴α+β＝69°，
∴∠BDC＝180°﹣69°＝111°，
故答案为111．
【点评】本题主要考查翻折的性质，还有平行线的性质，注意翻折是轴对称变换，具有对称性，平行线的三个基本性质要牢记于心．
13．（2020秋•南浔区期末）如图，把一张长方形纸条ABCD沿EF折叠，若∠AED′＝68°，则∠AEF＝ 124° ．
【考点】翻折变换（折叠问题）．菁优网版权所有
【专题】平移、旋转与对称；运算能力；推理能力．
【分析】设∠DEF＝x，根据折叠的性质得到∠D′EF＝∠DEF＝x，利用平角的定义列方程即可得到结论．
【解答】解：设∠DEF＝x，
∵把一张长方形纸条ABCD沿EF折叠，
∴∠D′EF＝∠DEF＝x，
∵∠AED′＝68°，∠AED′+∠D′EF+DEF＝180°，
∴x+x+68°＝180°，
∴x＝56°，
∴∠DEF＝∠D′EF＝56°，
∴∠AEF＝∠AED′+∠D′EF＝124°，
故答案为：124°．
【点评】本题重点考查了折叠问题，解题的关键是学会利用参数，构建方程组解决问题．
14．（2020秋•费县期末）如图，在等腰△ABC中，∠BAC＝120°，DE是AC的垂直平分线，线段DE＝2cm，则BD的长为 8 cm．
【考点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；几何直观．
【分析】连接AD，根据等腰三角形的两底角相等求出∠B＝∠C＝30°，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AD＝CD，然后求出∠CAD＝30°，再求出∠BAD＝90°，然后根据30°角所对的直角边等于斜边的一半求出CD＝2DE，BD＝2AD，代入数据进行计算即可得解．
【解答】解：连接AD，
在等腰△ABC中，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠C＝30°，
∵DE是AC的垂直平分线，
∴AD＝CD，
∴∠CAD＝∠C＝30°，
∴∠BAD＝∠BAC﹣∠CAD＝120°﹣30°＝90°，
在Rt△CDE中，CD＝2DE，
在Rt△ABD中，BD＝2AD，
∴BD＝4DE，
∵DE＝2cm，
∴BD的长为8cm．
故答案为：8．
【点评】本题考查了等腰三角形的在，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．
15．（2020秋•滦州市期末）如图，在△ABC中，AB＝BC，BE平分∠ABC，AD为BC边上的高，且AD＝BD．则∠3＝ 22.5 °．
【考点】等腰三角形的性质．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；几何直观．
【分析】求出∠ADB＝90°，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求出∠ABD＝∠BAD＝45°，根据角平分线的定义求出∠2，再根据等腰三角形的性质得出∠BEA＝∠ADB＝90°，根据三角形的内角和定理求出∠2＝∠3即可．
【解答】解：∵AD为BC边上的高，
∴∠ADB＝90°，
∵AD＝BD，
∴∠ABD＝∠BAD＝（180°﹣∠ADB）＝45°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠1＝∠2＝∠ABD＝22.5°，BE⊥AC，
∴∠BEA＝90°＝∠ADB，
∵∠3+∠BEA+∠AHE＝180°，∠2+∠ADB+∠BHD＝180°，∠AHE＝∠BHD，
∴∠3＝∠2＝22.5°．
故答案为：22.5°．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键．
16．（2021春•株洲期末）如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若AD＝8，则点P到BC的距离是 4 ．
【考点】平行线的性质；角平分线的性质．菁优网版权所有
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【分析】过点P作PE⊥BC于E，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等，可得PA＝PE，PD＝PE，那么PE＝PA＝PD，依据AD＝8，进而求出PE＝4．
【解答】解：如图所示，过点P作PE⊥BC于E，
∵AB∥CD，PA⊥AB，
∴PD⊥CD，
∵BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，
∴PA＝PE，PD＝PE，
∴PE＝PA＝PD，
∵PA+PD＝AD＝8，
∴PA＝PD＝4，
∴PE＝4，即点P到BC的距离是4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质并作辅助线是解题的关键．
17．（2020秋•渝中区期末）如图，已知∠ABC、∠EAC的角平分线BP、AP相交于点P，PM⊥BE，PN⊥BF，垂足分别为M、N．现有四个结论：
①CP平分∠ACF；②∠BPC＝∠BAC；③∠APC＝90°﹣∠ABC；④S△APM+S△CPN＞S△APC．
其中结论正确的为 ①②③ ．（填写结论的编号）
【考点】角平分线的性质．菁优网版权所有
【专题】线段、角、相交线与平行线；图形的全等；运算能力；推理能力．
【分析】①作PD⊥AC于D．根据角平分线性质得到PM＝PN，PM＝PD，得到PM＝PN＝PD，于是得到点P在∠ACF的角平分线上，故①正确；
②根据三角形的判定和性质得到AD＝AM，∠APM＝∠APD，CD＝CN，∠NPC＝∠DPC，于是得到∠APC＝MPN，故②正确；
③根据四边形的内角和得到∠ABC+90°+∠MPN+90°＝360°，求得∠ABC+∠MPN＝180°，于是得到∠APC＝90°﹣∠ABC，故③正确；
④根据角平分线定义得到∠ACF＝∠ABC+∠BAC，∠PCN＝∠ACF＝∠BPC+∠ABC，得到∠BPC＝∠BAC，根据全等三角形的性质得到S△APM+S△CPN＝S△APC．故④不正确．
【解答】解：①作PD⊥AC于D．
∵PB平分∠ABC，PA平分∠EAC，PM⊥BE，PN⊥BF，
∴PM＝PN，PM＝PD，
∴PM＝PN＝PD，
∴点P在∠ACF的角平分线上（到角的两边距离相等的点在角的平分线上），
故①正确；
②∵PB平分∠ABC，CP平分∠ACF，
∴∠ABC＝2∠PBC，∠ACF＝2∠PCF，
∵∠ACF＝∠ABC+∠BAC，∠PCF＝∠PBF+∠BPC，
∴∠BAC＝2∠BPC，
∴∠BPC＝∠BAC，故②正确；
③∵PM⊥AB，PN⊥BC，
∴∠ABC+90°+∠MPN+90°＝360°，
∴∠ABC+∠MPN＝180°，
∴∠APC＝90°﹣∠ABC，故③正确；
④∵PB平分∠ABC，PC平分∠ACF，
∴∠ACF＝∠ABC+∠BAC，∠PCN＝∠ACF＝∠BPC+∠ABC，
∴∠BAC＝2∠BPC，
∴∠BPC＝∠BAC，故本小题正确；
∵S△APD＝S△APM，S△CPD＝S△CPN，
∴S△APM+S△CPN＝S△APC，故④不正确．
综上所述，①②③正确．
故答案为：①②③．
【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质以及到角的两边距离相等的点在角的平分线上的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，有一定综合性，但难度不大，只要仔细分析便不难求解．
18．（2020秋•涪城区期末）如图，点CD在线段AB的同侧，CA＝6，AB＝14，BD＝12，M为AB中点，∠CMD＝120°．则CD的最大值为 25 ．
【考点】线段的性质：两点之间线段最短；轴对称的性质．菁优网版权所有
【专题】平移、旋转与对称；推理能力．
【分析】如图，作点A关于CM的对称点A′，点B关于DM的对称点B′，证明△A′MB′为等边三角形，即可解决问题．
【解答】解：如图，作点A关于CM的对称点A′，点B关于DM的对称点B′．
∵∠CMD＝120°，
∴∠AMC+∠DMB＝60°，
∴∠CMA′+∠DMB′＝60°，
∴∠A′MB′＝60°，
∵MA′＝MB′，
∴△A′MB′为等边三角形
∵CD≤CA′+A′B′+B′D＝CA+AM+BD＝6+7+12＝25，
∴CD的最大值为25，
故答案为25．
【点评】本题考查翻折变换，等边三角形的判定和性质，两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用两点之间线段最短解决最值问题，属于中考常考题型．
19．（2020秋•李沧区期末）如图，△AOB与△COB关于边OB所在的直线成轴对称，AO的延长线交BC于点D．若∠BOD＝46°，∠C＝22°，则∠ADC＝ 70 °．
【考点】轴对称的性质．菁优网版权所有
【专题】平移、旋转与对称；推理能力．
【分析】根据∠ADC＝∠A+∠ABD，求出∠A，∠ABD即可．
【解答】解：∵△AOB与△COB关于边OB所在的直线成轴对称，
∴△AOB≌△COB，
∴∠A＝∠C＝22°，∠ABO＝∠CBO，
∵∠BOD＝∠A+∠ABO，
∴∠ABO＝46°﹣22°＝24°，
∴∠ABD＝2∠ABO＝48°，
∴∠ADC＝∠A+∠ABD＝22°+48°＝70°，
故答案为：70．
【点评】本题考查轴对称的性质，全等三角形的性质，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
20．（2020秋•溧阳市期末）如图所示，A、B两个村子在河CD的同侧，A、B两村到河的距离分别为AC＝1km，BD＝3km，CD＝3km．现在河边CD上建一水厂分别向A、B两村输送自来水，铺设水管的费用为20000元/千米，请你在河CD边上选择水厂位置O，使铺设水管的费用最省，那么所铺设水管的总费用为 100000 元．
【考点】轴对称﹣最短路线问题．菁优网版权所有
【专题】平移、旋转与对称；几何直观；运算能力；推理能力．
【分析】构造出以A′B为斜边的直角三角形，利用勾股定理列式计算即可求出A′B，再乘以单价计算即可得解．
【解答】解：如图，作出以A′B为斜边的直角三角形，
∵AC＝1km，BD＝3km，CD＝3km，
∴A′E＝CD＝3km，BE＝3+1＝4（km），
由勾股定理得，A′B＝＝5（km），
20 000×5＝100 000（元）．
答：铺设水管的总费用100000元．
故答案为：100000．
【点评】本题考查了轴对称确定最短路线问题，勾股定理，熟练掌握最短路线的确定方法是解题的关键．
三．解答题（共10小题）
21．（2020秋•九龙坡区校级期末）已知：在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC交AC于D，AO平分∠BAC交BD于O，过O点作OE∥BC交AC于E．
（1）求证：BO＝OC；
（2）若∠BAC＝56°，求∠DOE的度数．
【考点】平行线的性质；等腰三角形的性质．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【分析】（1）根据三角形全等证明对应边相等；
（2）根据等腰三角形两底角相等就出底角的度数，根据BD⊥AC得∠BDC＝90°，求出∠ABD的度数，进而求出∠DBC的度数，最后根据两直线平行，同位角相等即可证明．
【解答】解：（1）∵AO平分∠BAC，
∴∠BAO＝∠OAC，
在△ABO和△ACO中，
，
∴△ABO≌△ACO（SAS），
∴BO＝OC．
（2）∵BD⊥AC，
∴∠BDC＝90°，
∴∠ABD＝∠BDC﹣∠BAD＝90°﹣56°＝34°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝（180°﹣∠BAC）＝62°，
∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝62°﹣34°＝28°，
∵OE∥BC，
∴∠DOE＝∠DBC＝28°．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形全等的判定与性质，平行线的性质，解题的关键是求出∠DBC的度数．
22．（2020秋•玄武区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，FE是AC的垂直平分线，交AD于点F，连接BF．求证：AF＝BF．
【考点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【分析】由等腰三角形的性质可得BD＝CD，AD⊥BC，由线段垂直平分线的性质可得BF＝CF＝AF．
【解答】证明：连接CF，
∵AB＝AC，AD平分∠BAC，
∴BD＝CD，AD⊥BC，
∴BF＝CF，
∵FE垂直平分AC，
∴AF＝CF，
∴AF＝BF．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，掌握等腰三角形的性质是本题的关键．
23．（2020秋•兴化市期末）如图，△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点M、D，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点N、E，△ADE的周长是7．
（1）求BC的长度；
（2）若∠B+∠C＝60°，则∠DAE度数是多少？请说明理由．
【考点】线段垂直平分线的性质．菁优网版权所有
【专题】三角形；推理能力．
【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DB，EA＝EC，根据三角形的周长公式计算，得到答案；
（2）根据等腰三角形的性质得到∠DAB＝∠B，∠EAC＝∠C，根据三角形的外角性质、三角形内角和定理计算即可．
【解答】解：（1）∵DM是线段AB的垂直平分线，
∴DA＝DB，
同理，EA＝EC，
∵△ADE的周长为7，
∴DA+DE+EA＝7，
∴BC＝DA+DE+EC＝7；
（2）∠DAE度数是60°，
理由如下：∵DA＝DB，EA＝EC，
∴∠DAB＝∠B，∠EAC＝∠C，
∵∠B+∠C＝60°，
∴∠ADE+∠AED＝2∠B+2∠C＝120°，
∴∠DAE＝180°﹣120°＝60°．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
24．（2020秋•怀宁县期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝62°，∠B＝78°，AC的垂直平分线交BC于点D．
（1）求∠BAD的度数；
（2）若AB＝8，BC＝11，求△ABD的周长．
【考点】角的计算；线段垂直平分线的性质．菁优网版权所有
【专题】三角形；运算能力．
【分析】（1）根据三角形内角和定理求出∠C，根据线段垂直平分线的性质得到AD＝CD，根据等腰三角形的性质得到∠CAD＝∠C＝40°，得到答案；
（2）根据三角形的周长公式计算即可．
【解答】解：（1）∵∠BAC＝62°，∠B＝78°，
∴∠C＝180°﹣∠BAC﹣∠B＝180°﹣62°﹣78°＝40°，
∵DE垂直平分AC，
∴AD＝CD，
∴∠CAD＝∠C＝40°，
∴∠BAD＝∠BAC﹣∠CAD＝62°﹣40°＝22°；
（2）∵AD＝CD，AB＝8，BC＝11，
∴△ABD的周长＝AB+AD+BD＝AB+CD+BD＝AB+BC＝8+11＝19．
【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
25．（2020秋•丛台区校级期末）小明采用如图所示的方法作∠AOB的平分线OC：将带刻度的直角尺DEMN按如图所示摆放，使EM边与OB边重合，顶点D落在OA边上并标记出点D的位置，量出OD的长，再重新如图放置直角尺，在DN边上截取DP＝OD，过点P画射线OC，则OC平分∠AOB．请判断小明的做法是否可行？并说明理由．
【考点】角平分线的性质．菁优网版权所有
【专题】线段、角、相交线与平行线；等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【分析】根据平行线的性质得到∠DPO＝∠POM，根据等腰三角形的性质得到∠DPO＝∠DOP，由等量代换得到∠POM＝∠DOP，由此可判断小明的做法可行．
【解答】解：小明的做法可行．理由如下：
在直角尺DEMN中，DN∥EM，
∴∠DPO＝∠POM，
∵DP＝OD，
∴∠DPO＝∠DOP，
∴∠POM＝∠DOP，
∴OC平分∠AOB．
【点评】本题主要考查了角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的性质，能灵活应用平行线的性质和等腰三角形的性质是解决问题的关键．
26．（2020秋•肥西县期末）如图，△ABC是等边三角形，D、E分别是BC、AC边上的点，连接AD、BE，且AD、BE相交于点P，∠AEB＝∠CDA．
（1）求∠BPD的度数．
（2）过点B作BQ⊥AD于Q，若PQ＝3，PE＝1，求BE的长．
【考点】等边三角形的性质．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【分析】（1）根据等边三角形的性质可得，∠ABC＝∠C＝60°，又根据∠AEB＝∠CDA，进而求得∠EBC＝∠BAD，即可得出答案；
（2）根据题意求得∠PBQ＝30°，再根据直角三角形中30°的角的性质求出BP的长度，即可得出答案．
【解答】解：（1）由△ABC是等边三角形可得，
∠ABC＝∠C＝60°，
∵∠ADC＝∠ABC+∠BAD，∠AEB＝∠C+∠EBC，∠AEB＝∠CDA，
∴∠BAD＝∠EBC，
∵∠BPD＝∠ABE+∠BAD，
∴∠BPD＝∠ABE+∠EBC＝∠ABC＝60°；
（2）∵BQ⊥AD于Q，
∴∠BQP＝90°，
∵∠BPD＝60°，
∴∠PBQ＝90°﹣∠BPD＝30°，
在Rt△BPQ中，
∵PQ＝3，∠PBQ＝30°，
∴BP＝2PQ＝6，
又∵PE＝1，
∴BE＝BP+PE＝6+1＝7．
【点评】此题考查了等边三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键．
27．（2020秋•云南期末）如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，△ABC面积是152cm2，AB＝20cm，AC＝18cm，求DE的长．
【考点】角平分线的性质．菁优网版权所有
【专题】三角形；推理能力．
【分析】根据S△ABC＝S△ABD+S△ACD，再利用角平分线的性质即可解决问题．
【解答】解：∵AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴DE＝DF，
∵S△ABC＝S△ABD+S△ACD，
∴S△ABC＝，
∵△ABC面积是152cm2，AB＝20cm，AC＝18cm，
∴152＝，
∴10DE+9DF＝152，
∵DE＝DF，
∴19DE＝152，
∴DE＝8．
【点评】本题主要考查了三角形面积的计算方法，以及角平分线的性质，熟记性质是解题的关键．
28．（2020秋•三明期末）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形（顶点是网格线交点的三角形）ABC的顶点A，C的坐标分别为（﹣4，2），（﹣1，0）．
（1）请在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系；
（2）请作出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′；
（3）写出点B′的坐标．
【考点】作图﹣轴对称变换．菁优网版权所有
【专题】作图题；几何直观．
【分析】（1）根据A，C的两点坐标确定平面直角坐标系即可．
（2）分别作出A，B，C的对应点A′，B′，C′即可．
（3）根据B′的位置写出坐标即可．
【解答】解：（1）如图，平面直角坐标系如图所示：
（2）如图，△A′B′C′即为所求作．
（3）B′（2，﹣2）．
【点评】本题考查作图﹣轴对称变换，平面直角坐标系等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
29．（2020秋•新宾县期末）在如图所示的平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，△ABC的顶点在格点上．
（1）画出△ABC关于y轴对称的△A'B'C′；
（2）写出A、B、C的对应点A'、B'、C′的坐标；
（3）在y轴上画出点Q，使△QAC的周长最小．
【考点】作图﹣轴对称变换；轴对称﹣最短路线问题．菁优网版权所有
【专题】作图题；平移、旋转与对称；几何直观．
【分析】（1）依据轴对称的性质，即可得到△ABC关于y轴对称的△A'B'C′；
（2）依据△A'B'C′各顶点的位置，即可得出点A'、B'、C′的坐标；
（3）连接AC'（或CA'）与y轴的交点即为Q．
【解答】解：（1）如图所示，△A'B'C′即为所求；
（2）由图可得，A'（4，1）、B'（3，3）、C′（1，2）；
（3）如图所示，点Q即为所求．
【点评】本题考查了根据轴对称变换作图，根据网格结构作出点A、B、C的对应点是解决问题的关键．凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
30．（2020秋•九龙坡区校级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC的角平分线交AC于点D，过点A作AE∥BC交BD的延长线于点E．
（1）若∠BAC＝50°，求∠E的度数．
（2）若F是DE上的一点，且AD＝AF，求证：BF＝DE．
【考点】平行线的性质；等腰三角形的性质．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【分析】（1）根据等腰三角形两底角相等，已知顶角，可以求出底角，再根据角平分线的定义求出∠CBD的度数，最后根据两直线平行，内错角相等求出；
（2）根据AAS先证明△ABD≌△AEF，根据全等三角形的对应边相等得出BD＝EF，再根据等式的基本性质证出BF＝DE．
【解答】解：（1）∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵∠BAC＝50°，
∴∠ABC＝（180°﹣∠BAC）＝65°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD＝∠ABC＝32.5°，
∵AE∥BC，
∴∠E＝∠CBD＝32.5°．
（2）∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵AE∥BC，
∴∠AEF＝∠CBD，
∴∠ABD＝∠AEF，
∵AD＝AF，
∴∠ADF＝∠AFD，
∵∠ADB＝180°﹣∠ADF，∠AFE＝180°﹣∠AFD，
∴∠ADB＝∠AFE，
在△ABD与△AEF中，
，
∴△ABD≌△AEF（AAS），
∴BD＝EF，
∴BD+DF＝EF+DF，
∴BF＝DE．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，角平分线的定义，三角形全等，考核学生的推理能力，证明三角形全等是解题的关键．
考点卡片
1．线段的性质：两点之间线段最短
线段公理
两点的所有连线中，可以有无数种连法，如折线、曲线、线段等，这些所有的线中，线段最短．
简单说成：两点之间，线段最短．
2．角的计算
（1）角的和差倍分
①∠AOB是∠AOC和∠BOC的和，记作：∠AOB＝∠AOC+∠BOC．∠AOC是∠AOB和∠BOC的差，记作：∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC．②若射线OC是∠AOB的三等分线，则∠AOB＝3∠BOC或∠BOC＝∠AOB．
（2）度、分、秒的加减运算．在进行度分秒的加减时，要将度与度，分与分，秒与秒相加减，分秒相加，逢60要进位，相减时，要借1化60．
（3）度、分、秒的乘除运算．①乘法：度、分、秒分别相乘，结果逢60要进位．②除法：度、分、秒分别去除，把每一次的余数化作下一级单位进一步去除．
3．平行线的性质
1、平行线性质定理
定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等． 简单说成：两直线平行，同位角相等．
定理2：两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补．．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．
定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等． 简单说成：两直线平行，内错角相等．
2、两条平行线之间的距离处处相等．
4．三角形的面积
（1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△＝×底×高．
（2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．
5．三角形内角和定理
（1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．
（2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°．
（3）三角形内角和定理的证明
证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线．
（4）三角形内角和定理的应用
主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．
6．角平分线的性质
角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE
7．线段垂直平分线的性质
（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”．
（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段． ②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． ③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．
8．等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．
（2）等腰三角形的性质
①等腰三角形的两腰相等
②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】
（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．
9．等边三角形的性质
（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．
①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；
②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．
（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．
等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．
10．轴对称的性质
（1）如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
由轴对称的性质得到一下结论：
①如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称；
②如果两个图形成轴对称，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴．
（2）轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
11．轴对称图形
（1）轴对称图形的概念：
如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称．
（2）轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条．
（3）常见的轴对称图形：
等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．
12．作图-轴对称变换
几何图形都可看做是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的，一般的方法是：
①由已知点出发向所给直线作垂线，并确定垂足；
②直线的另一侧，以垂足为一端点，作一条线段使之等于已知点和垂足之间的线段的长，得到线段的另一端点，即为对称点；
③连接这些对称点，就得到原图形的轴对称图形．
13．轴对称-最短路线问题
1、最短路线问题
在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点．
2、凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合本节所学轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
14．翻折变换（折叠问题）
1、翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换．
2、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
3、在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找到图形间的关系．
首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件．解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．我们运用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数．
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日期：2021/6/29 15:14:43；用户：周晓丽；邮箱：17788760824；学号：25289867
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