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北师大新版数学八年级专题复习《三角形》（含答案）试卷
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这是一份北师大新版数学八年级专题复习《三角形》（含答案）试卷，共45页。
北师大新版数学八年级专题复习《三角形》
一．选择题（共10小题）
1．（2020秋•长葛市期末）下面是“作一个角等于已知角”的尺规作图过程．已知：∠AOB，求作：一个角，使它等于∠AOB．作法：如图
（1）作射线O'A'；
（2）以O为圆心，任意长为半径作孤，交OA于C，交OB于D；
（3）以O′为圆心，OC为半径作弧C'E'，交OA'于C'；
（4）以C′为圆心，CD为半径作弧，交弧C'E'于D'；
（5）过点D'作射线O'B'．
则∠A'O'B'就是所求作的角．请回答：该作图的依据是（ ）
A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
2．（2020秋•平阴县期末）如图，直线l1∥l2，∠1＝50°，∠2＝75°，则∠3＝（ ）
A．55° B．60° C．65° D．70°
3．（2021春•郑州期末）下列每组数分别是三根小木棒的长度，它们首尾顺次相接能摆成三角形的是（ ）
A．1cm，2cm，4cm B．12cm，13cm，20cm
C．5cm，5cm，11cm D．14cm，16cm，30cm
4．（2021春•毕节市期末）一个三角形的两边长分别为4cm和5cm，则此三角形的第三边的长不可能是（ ）
A．3cm B．5cm C．7cm D．9cm
5．（2020秋•莒南县期末）已知三角形的两边长分别是4和9，则此三角形第三条边的长可能是（ ）
A．3 B．4 C．6 D．15
6．（2020秋•宝应县期末）如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB∥DE，AC∥DF，下列条件中，能判断△ABC≌△DEF的是（ ）
A．BE＝CE B．∠A＝∠D C．EC＝CF D．BE＝CF
7．（2021春•杨浦区期末）下列说法中，正确的是（ ）
A．三角形的高都在三角形内
B．三角形的三条中线相交于三角形内一点
C．三角形的一个外角大于任何一个内角
D．三角形最大的一个内角的度数可以小于60度
8．（2020秋•播州区期末）在正方形方格纸中，每个小方格的顶点叫做格点，以格点连线为边的三角形叫做格点三角形，如图是5×7的正方形方格纸，以点D，E为两个顶点作格点三角形，使所作的格点三角形与△ABC全等，这样的格点三角形最多可以画出（ ）
A．2个 B．4个 C．6个 D．8个
9．（2020秋•椒江区期末）如图，有一块三角形玻璃，小明不小心将它打破．带上这块玻璃，能配成同样大小的一块，其理由是（ ）
A．SSS B．ASA C．SAS D．HL
10．（2021•章丘区模拟）如图，直线AB∥CD，∠B＝50°，∠D＝20°，则∠E的度数是（ ）
A．20° B．30° C．50° D．70°
二．填空题（共10小题）
11．（2020秋•拱墅区期末）一张小凳子的结构如图所示，∠1＝∠2，若∠3＝120°，则∠1的度数为 ．
12．（2020秋•天心区期末）如图，已知∠ACP＝115°，∠B＝65°，则∠A＝ ．
13．（2020秋•浦东新区期末）如图，已知CA＝CD，CB＝CE，请你添加一个条件，使得△ABC≌△DEC，这个条件可以是 （只需填写一个）．
14．（2020秋•下城区期末）在△ABC中，∠A是钝角，∠B＝30°，设∠C的度数是α，则α的取值范围是 ．
15．（2020秋•天心区期末）如图，∠A＝∠B＝90°，AB＝100，E，F分别为线段AB和射线BD上的一点，若点E从点B出发向点A运动，同时点F从点B出发向点D运动，二者速度之比为2：3，运动到某时刻同时停止，在射线AC上取一点G，使△AEG与△BEF全等，则AG的长为 ．
16．（2020秋•坪山区期末）如图，在△ABC中，∠B＝40°，∠BAC和∠ACB的平分线交于点D，则∠ADC的度数为 ．
17．（2020秋•嘉鱼县期末）如图，点C在线段AB上（不与点A，B重合），在AB的上方分别作△ACD和△BCE，且AC＝DC，BC＝EC，∠ACD＝∠BCE＝α，连接AE，BD交于点P．下列结论：
①AE＝DB；
②当α＝60°时，AD＝BE；
③∠APB＝2∠ADC；
④连接PC，则PC平分∠APB．
其中正确的是 ．（把你认为正确结论的序号都填上）
18．（2020秋•北京期末）将一副三角尺按图所示摆放，则∠ABE＝ °，∠ACD＝ °．
19．（2020秋•仓山区期末）如图，∠MAB为锐角，AB＝a，点B到射线AM的距离为d，点C在射线AM上，BC＝x，若△ABC的形状、大小是唯一确定的，则x的取值范围是 ．
20．（2021春•江都区校级期末）如图△ABC中，将边BC沿虚线翻折，若∠1+∠2＝110°，则∠A的度数是 度．
三．解答题（共10小题）
21．（2021春•黄浦区期末）如图，点A、B、C、D在一条直线上如果AC＝BD，BE＝CF，且BE∥CF，那么AE∥DF．为什么？
解：∵BE∥CF（已知），
∴∠EBC＝∠FCB（ ）．
∵∠EBC+∠EBA＝180°，∠FCB+∠FCD＝180°（平角的意义），
∴∠EBA＝∠FCD（ ）．
∵AC＝BD（已知），
∴AC﹣BC＝BD﹣BC（等式性质），
即 ．（完成以下说理过程）
22．（2021春•杨浦区期末）如图，已知△ABC与△BDE都是等边三角形，点D在边AC上，说明CE∥AB的理由．
解：因为△ABC是等边三角形（已知），
所以∠A＝∠ABC＝60°，AB＝BC（等边三角形的意义）．
因为△BDE是等边三角形（已知），
所以∠BE＝60°，BD＝BE（等边三角形的意义）．
所以∠ABC﹣∠DBC＝∠DBE﹣∠DBC（等式性质），
得∠ABD＝ ．
在△ABD与△CBE中，，
所以△ABD≌△CBE（ ）．
所以∠A＝ （ ）．
又因为∠A＝∠ABC，
所以∠ABC＝ （等量代换）．
所以CE∥AB（ ）．
23．（2020秋•昆明期末）同学们小学已经学习了三角形面积计算方法．如图（1）（2）是直角三角形，请你根据图中标注的量，解决下列问题：
（1）如图（1），以BC为底，AC为高，可得三角形ABC的面积为 ；也可以以AB（提示：AB长为5）为底，CD为高，可得三角形ABC的面积为 ．
（2）根据（1）的启示，请列方程求出图（2）中GH的长（提示：EF长为25）．
24．（2020秋•齐河县期末）沛沛沿一段笔直的人行道行走，边走边欣赏风景，在由C走到D的过程中，通过隔离带的空隙P，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的一条标语．具体信息如下：如图，AB∥PM∥CD，相邻两平行线间的距离相等．AC，BD相交于P，PD⊥CD垂足为D．已知CD＝16米．请根据上述信息求标语AB的长度．
25．（2020秋•普宁市期末）已知∠AOB＝90°，射线OC在∠AOB内部，作∠AOC的平分线OD和∠BOC的平分线OE．
（1）如图①，当∠BOC＝70°时，则∠DOE＝ ．
（2）如图②，若射线OC在∠AOB内部绕O点旋转，当∠BOC＝α时，求∠DOE的度数．
（3）当射线OC在∠AOB外绕O点旋转且∠AOC为钝角时，请在备用图中画出∠AOC的平分线OD和∠BOC的平分线OE，判断∠DOE的大小是否发生变化？求∠DOE的度数．
26．（2020秋•海淀区期末）已知∠MAN＝45°，点B为射线AN上一定点，点C为射线AM上一动点（不与点A重合），点D在线段BC的延长线上，且CD＝CB，过点D作DE⊥AM于点E．
（1）当点C运动到如图1的位置时，点E恰好与点C重合，此时AC与DE的数量关系是 ；
（2）当点C运动到如图2的位置时，依题意补全图形，并证明：2AC＝AE+DE；
（3）在点C运动的过程中，点E能否在射线AM的反向延长线上？若能，直接用等式表示线段AC，AE，DE之间的数量关系；若不能，请说明理由．
27．（2020秋•石景山区期末）如图1，射线AP∥BQ，分别作∠PAB，∠ABQ的角平分线，这两条射线交于点O，过点O作一条直线分别与射线AP，直线BQ交于点C，D（不与点A，B重合）．
（1）当CD⊥AP时，
①补全图1；
②若AC＝a，BD＝b，则AB的长为 （用含a，b的式子表示）．
（2）当CD与AP不垂直时，在备用图中补全图形，探索线段AB，AC，BD之间的数量关系，并证明．
28．（2020秋•莆田期末）如图1，在△A1B1C1和△A2B2C2中，A1B1＝A2B2，∠A1＝∠A2，∠B1＝2∠B2，我们把△A1B1C1和△A2B2C2称为“等边倍角”三角形，其中A1B1和A2B2为对应等边．
△ABC中，D，E分别是BC，AC边上的点（不与端点重合），AD与BE相交于点F．
（1）如图2，若AB＝AC≠BC．
①当AD⊥BC时，图中能与△ABC构成“等边倍角”三角形的是 ；（直接写出，不必证明）
②当AD与BC不垂直时，若△ABE与△ADC是“等边倍角”三角形，其中AB和AC为对应等边，求∠AFE的度数．
（2）如图3，连接DE，若DE平分∠BEC，BE＝2AE，点F是AD的中点，求证：△ABF和△ADE是“等边倍角”三角形．
29．（2020秋•南山区期末）（1）如图1，则∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系为 ．
（2）如图2，AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD．若∠B＝36°，∠D＝14°，求∠P的度数；
（3）如图3，CP、AG分别平分∠BCE、∠FAD，AG反向延长线交CP于点P，请猜想∠P、∠B、∠D之间的数量关系．并说明理由．
30．（2020秋•南海区期末）已知：线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB．
（1）如图1，求证：∠A+∠D＝∠B+∠C；
（2）如图2，∠ADC和∠ABC的平分线DE和BE相交于点E，并且与AB、CD分别相交于点M、N，∠A＝28°，∠C＝32°，求∠E的度数；
（3）如图3，∠ADC和∠ABC的三等分线DE和BE相交于点E，并且与AB、CD分别相交于点M、N，∠CDE＝∠ADC，∠CBE＝∠ABC，试探究∠A、∠C、∠E三者之间存在的数量关系，并说明理由．
2021年新初二数学北师大新版专题复习《三角形》
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2020秋•长葛市期末）下面是“作一个角等于已知角”的尺规作图过程．已知：∠AOB，求作：一个角，使它等于∠AOB．作法：如图
（1）作射线O'A'；
（2）以O为圆心，任意长为半径作孤，交OA于C，交OB于D；
（3）以O′为圆心，OC为半径作弧C'E'，交OA'于C'；
（4）以C′为圆心，CD为半径作弧，交弧C'E'于D'；
（5）过点D'作射线O'B'．
则∠A'O'B'就是所求作的角．请回答：该作图的依据是（ ）
A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
【考点】全等三角形的判定；作图—基本作图．菁优网版权所有
【专题】作图题；几何直观．
【分析】利用基本作图得到得OD＝OC＝O′D′＝O′C′，C′D′＝CD，然后根据全等三角形的判定方法证明两三角形全等，从而利用对应角相等得到∠A'O'B'就是所求作的角．
【解答】解：由作法得OD＝OC＝O′D′＝O′C′，C′D′＝CD，
所以根据“SSS”可判断△O′C′D′≌△OCD，
所以∠O′＝∠O．
故选：A．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了全等三角形的判定．
2．（2020秋•平阴县期末）如图，直线l1∥l2，∠1＝50°，∠2＝75°，则∠3＝（ ）
A．55° B．60° C．65° D．70°
【考点】三角形内角和定理．菁优网版权所有
【专题】线段、角、相交线与平行线；三角形；推理能力；应用意识．
【分析】根据平行线的性质，可以得到∠1＝∠4，再根据对顶角相等和三角形内角和，即可求得∠3的度数
【解答】解：∵直线l1∥l2，
∴∠1＝∠4，
∵∠1＝50°，∠2＝75°，∠2＝∠5，
∴∠4＝50°，∠5＝75°，
∵∠4+∠5+∠3＝180°，
∴∠3＝180°﹣∠4﹣∠5＝180°﹣50°﹣75°＝55°，
故选：A．
【点评】本题考查平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
3．（2021春•郑州期末）下列每组数分别是三根小木棒的长度，它们首尾顺次相接能摆成三角形的是（ ）
A．1cm，2cm，4cm B．12cm，13cm，20cm
C．5cm，5cm，11cm D．14cm，16cm，30cm
【考点】三角形三边关系．菁优网版权所有
【专题】三角形；数据分析观念．
【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析即可求解．
【解答】解：A、1+2＜4，不能组成三角形，不符合题意；
B、13+12＞20，能够组成三角形，符合题意；
C、5+5＜11，不能组成三角形，不符合题意；
D、14+16＝30，不能组成三角形，不符合题意；
故选：B．
【点评】此题考查了三角形的三边关系．判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数．
4．（2021春•毕节市期末）一个三角形的两边长分别为4cm和5cm，则此三角形的第三边的长不可能是（ ）
A．3cm B．5cm C．7cm D．9cm
【考点】三角形三边关系．菁优网版权所有
【专题】三角形；推理能力．
【分析】根据三角形的三边关系可得第三边的范围，再根据第三边的范围确定答案．
【解答】解：设第三边长为xcm，有三角形的三边关系可得：
5﹣4＜x＜5+4，
即1＜x＜9，
故选：D．
【点评】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．
5．（2020秋•莒南县期末）已知三角形的两边长分别是4和9，则此三角形第三条边的长可能是（ ）
A．3 B．4 C．6 D．15
【考点】三角形三边关系．菁优网版权所有
【专题】三角形；几何直观．
【分析】根据已知边长求第三边x的取值范围为：5＜x＜13，因此只有选项C符合．
【解答】解：设第三边长为x，
则9﹣4＜x＜9+4，
解得5＜x＜13．
故选：C．
【点评】本题考查了三角形的三边关系，已知三角形的两边长，则第三边的范围为大于两边差且小于两边和．
6．（2020秋•宝应县期末）如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB∥DE，AC∥DF，下列条件中，能判断△ABC≌△DEF的是（ ）
A．BE＝CE B．∠A＝∠D C．EC＝CF D．BE＝CF
【考点】全等三角形的判定．菁优网版权所有
【专题】图形的全等；几何直观；推理能力．
【分析】利用判定两个三角形全等的方法SSS、SAS、ASA、AAS进行分析．
【解答】解：∵AB∥DE，AC∥DF，
∴∠B＝∠DEF，∠F＝∠ACB，
A、添加BE＝CE，不能判定△ABC≌△DEF，故此选项不合题意；
B、添加∠A＝∠D，不能判定△ABC≌△DEF，故此选项不合题意；
C、添加EC＝CF，不能判定△ABC≌△DEF，故此选项不合题意；
D、添加BE＝CF，可利用ASA定理判定△ABC≌△DEF，故此选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
7．（2021春•杨浦区期末）下列说法中，正确的是（ ）
A．三角形的高都在三角形内
B．三角形的三条中线相交于三角形内一点
C．三角形的一个外角大于任何一个内角
D．三角形最大的一个内角的度数可以小于60度
【考点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理．菁优网版权所有
【专题】三角形；推理能力．
【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．
【解答】解：A、锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，故本选项错误；
B、三角形的三条中线相交于三角形内一点，故本选项正确；
C、三角形的一个外角大于任何一个不相邻的一个内角，故本选项错误；
D、根据三角形内角和等于180°，三角形最大的一个内角的度数大于或等于60度，故本选项错误；
故选：B．
【点评】本题考查三角形高线，中线的概念，三角形外角的性质和三角形内角和定理，掌握这些知识点是解题的关键．
8．（2020秋•播州区期末）在正方形方格纸中，每个小方格的顶点叫做格点，以格点连线为边的三角形叫做格点三角形，如图是5×7的正方形方格纸，以点D，E为两个顶点作格点三角形，使所作的格点三角形与△ABC全等，这样的格点三角形最多可以画出（ ）
A．2个 B．4个 C．6个 D．8个
【考点】全等三角形的判定．菁优网版权所有
【专题】图形的全等；推理能力．
【分析】根据图形可知BC＝DE，再根据全等三角形的判定定理得出答案即可．
【解答】解：
与△ABC全等的三角形有△DEF，△DEQ，△DER，△DEW，共4个三角形，
故选：B．
【点评】本题考查了全等三角形的判定定理，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL．
9．（2020秋•椒江区期末）如图，有一块三角形玻璃，小明不小心将它打破．带上这块玻璃，能配成同样大小的一块，其理由是（ ）
A．SSS B．ASA C．SAS D．HL
【考点】全等三角形的应用．菁优网版权所有
【专题】图形的全等；推理能力；应用意识．
【分析】根据全等三角形的判定，已知两角和夹边，就可以确定一个三角形．
【解答】解：破玻璃保留了原来三角形的两个角和一边，则可以根据ASA来配一块一样的玻璃，
故选：B．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS，做题时要根据已知条件进行选择运用．
10．（2021•章丘区模拟）如图，直线AB∥CD，∠B＝50°，∠D＝20°，则∠E的度数是（ ）
A．20° B．30° C．50° D．70°
【考点】三角形的外角性质．菁优网版权所有
【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观；推理能力．
【分析】根据平行线的性质，得出∠BMD＝∠B＝50°，再根据∠BMD是△CDE的外角，即可得出∠E．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠BMD＝∠B＝50°，
又∵∠BMD是△CDE的外角，
∴∠E＝∠BMD﹣∠D＝50°﹣20°＝30°．
故选：B．
【点评】本题主要考查了平行线的性质以及三角形外角性质的运用，解题时注意：两直线平行，内错角相等．
二．填空题（共10小题）
11．（2020秋•拱墅区期末）一张小凳子的结构如图所示，∠1＝∠2，若∠3＝120°，则∠1的度数为 60° ．
【考点】三角形的外角性质．菁优网版权所有
【专题】三角形；推理能力．
【分析】根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和求解即可．
【解答】解：∵∠3＝∠1+∠2，∠1＝∠2，
∴∠3＝2∠1，
∵∠3＝120°，
∴∠1＝60°，
故答案为：60°．
【点评】此题考查了三角形的外角性质，熟记三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
12．（2020秋•天心区期末）如图，已知∠ACP＝115°，∠B＝65°，则∠A＝ 50° ．
【考点】三角形的外角性质．菁优网版权所有
【专题】三角形；推理能力．
【分析】根据三角形中一个外角等于与它不相邻的两个内角和求解．
【解答】解：∵∠ACP＝115°，∠B＝65°，
∴∠A＝∠ACP﹣∠B＝115°﹣65°＝50°．
故答案为：50°．
【点评】本题考查了三角形外角的性质，掌握这个性质是本题的关键．
13．（2020秋•浦东新区期末）如图，已知CA＝CD，CB＝CE，请你添加一个条件，使得△ABC≌△DEC，这个条件可以是 AB＝DE或∠ACB＝∠DCE （只需填写一个）．
【考点】全等三角形的判定．菁优网版权所有
【专题】图形的全等；运算能力．
【分析】根据全等三角形的判定定理（SAS，SSS）即可得出答案．
【解答】解：添加AB＝DE，利用SSS可得△ABC≌△DEC；
添加∠ACB＝∠DCE，利用SAS可得△ABC≌△DEC；
故答案为：AB＝DE或∠ACB＝∠DCE．
【点评】本题考查了全等三角形判定定理的应用，注意：全等三角形的判定定理有：SAS，ASA，AAS，SSS．
14．（2020秋•下城区期末）在△ABC中，∠A是钝角，∠B＝30°，设∠C的度数是α，则α的取值范围是 0°＜α＜60° ．
【考点】三角形内角和定理．菁优网版权所有
【专题】三角形；推理能力．
【分析】根据三角形内角和定理表示出∠A，列出不等式，求解即可．
【解答】解：设∠C的度数是α，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠B＝30°，
∴∠A＝180°﹣30°﹣α＝150°﹣α，
∵∠A是钝角，
∴90°＜150°﹣α＜180°，
∴﹣30°＜α＜60°，
∵α＞0°，
∴0°＜α＜60°．
【点评】本题考查三角形的内角和定理，正确表示出∠A并利用它的大小列出不等式是解题的关键．
15．（2020秋•天心区期末）如图，∠A＝∠B＝90°，AB＝100，E，F分别为线段AB和射线BD上的一点，若点E从点B出发向点A运动，同时点F从点B出发向点D运动，二者速度之比为2：3，运动到某时刻同时停止，在射线AC上取一点G，使△AEG与△BEF全等，则AG的长为 40或75 ．
【考点】全等三角形的判定．菁优网版权所有
【专题】图形的全等；应用意识．
【分析】设BE＝2t，则BF＝3t，使△AEG与△BEF全等，由∠A＝∠B＝90°可知，分两种情况：
情况一：当BE＝AG，BF＝AE时，列方程解得t，可得AG；
情况二：当BE＝AE，BF＝AG时，列方程解得t，可得AG．
【解答】解：设BE＝2t，则BF＝3t，因为∠A＝∠B＝90°，使△AEG与△BEF全等，可分两种情况：
情况一：当BE＝AG，BF＝AE时，
∵BF＝AE，AB＝100，
∴3t＝100﹣2t，
解得：t＝20，
∴AG＝BE＝2t＝2×20＝40；
情况二：当BE＝AE，BF＝AG时，
∵BE＝AE，AB＝100，
∴2t＝100﹣2t，
解得：t＝25，
∴AG＝BF＝3t＝3×25＝75，
综上所述，AG＝40或AG＝75．
故答案为：40或75．
【点评】本题主要考查了全等三角形的性质，利用分类讨论思想是解答此题的关键．
16．（2020秋•坪山区期末）如图，在△ABC中，∠B＝40°，∠BAC和∠ACB的平分线交于点D，则∠ADC的度数为 110° ．
【考点】三角形内角和定理．菁优网版权所有
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【分析】先根据三角形的内角和求出∠BAC+∠ACB＝140°，根据角平分线的定义得∠CAD+∠ACD＝70°，最后利用三角形的内角和定理可得结论．
【解答】解：∵∠B＝40°，
∴∠BAC+∠ACB＝180°﹣40°＝140°，
∴∠BAC和∠ACB的平分线相交于点D，
∴∠BAC＝2∠CAD，∠ACB＝2∠ACD，
∴∠BAC+∠ACB＝2（∠CAD+∠ACD）＝140°，
∴∠CAD+∠ACD＝70°，
∴∠ADC＝180°﹣（∠CAD+∠ACD）＝180°﹣70°＝110°．
故答案为110．
【点评】此题主要考查了三角形的内角和定理，角平分线的意义，整体的思想，解本题的关键是求出∠CAD+∠ACD的度数．
17．（2020秋•嘉鱼县期末）如图，点C在线段AB上（不与点A，B重合），在AB的上方分别作△ACD和△BCE，且AC＝DC，BC＝EC，∠ACD＝∠BCE＝α，连接AE，BD交于点P．下列结论：
①AE＝DB；
②当α＝60°时，AD＝BE；
③∠APB＝2∠ADC；
④连接PC，则PC平分∠APB．
其中正确的是 ①③④ ．（把你认为正确结论的序号都填上）
【考点】全等三角形的判定与性质．菁优网版权所有
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【分析】由“SAS”可证△ACE≌△DCB，可得AE＝DB，可判断①，由等边三角形的可得AD＝AC，BE＝BC，则当AC＝BC时，AD＝BE，可判断②，由外角的性质可得∠APB＝∠ADC+∠CAD，可判断③；由全等三角形的性质可得S△ACE＝S△DCB，由三角形的面积公式可求CG＝CH，由角平分线的性质可得PC平分∠APB，可判断④，即可求解．
【解答】解：∵∠ACD＝∠BCE＝α，
∴∠ACE＝∠DCB，
在△ACE和△DCB中，
，
∴△ACE≌△DCB（SAS），
∴AE＝DB，∠EAC＝∠BDC，故①正确，
当α＝60°时，△ACD是等边三角形，△CEB是等边三角形，
∴AD＝AC，BE＝BC，
当AC＝BC时，AD＝BE，故②错误；
∵AC＝CD，∠ACD＝α，
∴∠CAD＝∠CDA＝，
∵∠APB＝∠PAD+∠ADP＝∠ADC+∠BDC+∠DAP＝∠ADC+∠EAC+∠DAP＝∠ADC+∠CAD，
∴∠APB＝2∠ADC，故③正确；
如图，连接PC，过点C作CG⊥AE于G，CH⊥BD于H，
∵△ACE≌△DCB，
∴S△ACE＝S△DCB，AE＝BD，
∴×AE×CG＝×DB×CH，
∴CG＝CH，
又∵CG⊥AE，CH⊥BD，
∴PC平分∠APB，故④正确，
故答案为：①③④．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练运用全等三角形的判定定理是本题的关键．
18．（2020秋•北京期末）将一副三角尺按图所示摆放，则∠ABE＝ 60 °，∠ACD＝ 135 °．
【考点】三角形内角和定理；三角形的外角性质．菁优网版权所有
【专题】三角形；几何直观；推理能力．
【分析】根据三角板的角度和三角形外角性质解答即可．
【解答】解：由图可知，∠A＝∠C＝45°，∠EBD＝30°，∠D＝60°，
∴∠ABE＝∠ABC﹣∠EBD＝90°﹣30°＝60°，∠ACD＝∠A+∠ABC＝45°+90°＝135°，
故答案为：60；135．
【点评】此题考查三角形外角性质，关键是根据三角板的角度和三角形外角性质解答．
19．（2020秋•仓山区期末）如图，∠MAB为锐角，AB＝a，点B到射线AM的距离为d，点C在射线AM上，BC＝x，若△ABC的形状、大小是唯一确定的，则x的取值范围是 x＝d或x≥a ．
【考点】点到直线的距离；全等三角形的判定．菁优网版权所有
【专题】图形的全等；推理能力．
【分析】当x＝d或x≥a时，三角形是唯一确定的．
【解答】解：若△ABC的形状、大小是唯一确定的，则x的取值范围是x＝d或x≥a，
故答案为：x＝d或x≥a．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
20．（2021春•江都区校级期末）如图△ABC中，将边BC沿虚线翻折，若∠1+∠2＝110°，则∠A的度数是 55 度．
【考点】三角形内角和定理．菁优网版权所有
【专题】三角形；运算能力．
【分析】延长B'E，C'F，交于点D，依据∠A＝∠D，∠AED+∠AFD＝250°，即可得到∠A的度数．
【解答】解：如图，
延长B'E，C'F，交于点D，
由折叠可得，∠B＝∠B'，∠C＝∠C'，
∴∠A＝∠D，
又∵∠1+∠2＝110°，
∴∠AED+∠AFD＝360°﹣110°＝250°，
∴四边形AEDF中，∠A＝（360°﹣250°）＝55°，
故答案为：55．
【点评】本题主要考查了三角形内角和定理，解决问题的关键是构造四边形，利用四边形内角和进行计算．
三．解答题（共10小题）
21．（2021春•黄浦区期末）如图，点A、B、C、D在一条直线上如果AC＝BD，BE＝CF，且BE∥CF，那么AE∥DF．为什么？
解：∵BE∥CF（已知），
∴∠EBC＝∠FCB（ 两直线平行，内错角相等 ）．
∵∠EBC+∠EBA＝180°，∠FCB+∠FCD＝180°（平角的意义），
∴∠EBA＝∠FCD（ 等角的补角相等 ）．
∵AC＝BD（已知），
∴AC﹣BC＝BD﹣BC（等式性质），
即 AB＝CD ．（完成以下说理过程）
【考点】全等三角形的判定与性质．菁优网版权所有
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【分析】证△ABE和△DCF全等，可得出∠A＝∠D，从而AE∥DF．
【解答】解：∵BE∥CF（已知），
∴∠EBC＝∠FCB（ 两直线平行，内错角相等）．
∵∠EBC+∠EBA＝180°，∠FCB+∠FCD＝180°（平角的意义），
∴∠EBA＝∠FCD（ 等角的补角相等）．
∵AC＝BD（已知），
∴AC﹣BC＝BD﹣BC（等式性质），
即AB＝CD．
在△ABE和△DCF中
，
∴△ABE≌△DCF（SAS），
∴∠A＝∠D，
∴AE∥DF．
故答案为：两直线平行，内错角相等；等角的补角相等；AB＝CD．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质等知识；熟练掌握凭想象的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
22．（2021春•杨浦区期末）如图，已知△ABC与△BDE都是等边三角形，点D在边AC上，说明CE∥AB的理由．
解：因为△ABC是等边三角形（已知），
所以∠A＝∠ABC＝60°，AB＝BC（等边三角形的意义）．
因为△BDE是等边三角形（已知），
所以∠BE＝60°，BD＝BE（等边三角形的意义）．
所以∠ABC﹣∠DBC＝∠DBE﹣∠DBC（等式性质），
得∠ABD＝ ∠CBE ．
在△ABD与△CBE中，，
所以△ABD≌△CBE（ SAS ）．
所以∠A＝ ∠BCE （ 全等三角形的对应角相等 ）．
又因为∠A＝∠ABC，
所以∠ABC＝ ∠BCE （等量代换）．
所以CE∥AB（ 内错角相等，两直线平行 ）．
【考点】全等三角形的判定与性质．菁优网版权所有
【专题】图形的全等；推理能力．
【分析】先证明∠ABD＝∠CBE．则可判断所以△ABD≌△CBE，所以∠A＝∠BCE，接着利用等量代换得到∠ABC＝∠BCE，然后根据平行线的判定方法得到CE∥AB．
【解答】解：因为△ABC是等边三角形（已知），
所以∠A＝∠ABC＝60°，AB＝BC（等边三角形的意义）．
因为△BDE是等边三角形（已知），
所以∠BE＝60°，BD＝BE（等边三角形的意义）．
所以∠ABC﹣∠DBC＝∠DBE﹣∠DBC（等式性质），
得∠ABD＝∠CBE．
在△ABD与△CBE中，，
所以△ABD≌△CBE（SAS）．
所以∠A＝∠BCE（全等三角形的对应角相等）．
又因为∠A＝∠ABC，
所以∠ABC＝∠BCE（等量代换）．
所以CE∥AB（内错角相等，两直线平行）．
故答案为∠CBE，SAS，∠BCE，全等三角形的对应角相等；∠BCE，内错角相等，两直线平行．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．也考查了等边三角形的性质．
23．（2020秋•昆明期末）同学们小学已经学习了三角形面积计算方法．如图（1）（2）是直角三角形，请你根据图中标注的量，解决下列问题：
（1）如图（1），以BC为底，AC为高，可得三角形ABC的面积为 6 ；也可以以AB（提示：AB长为5）为底，CD为高，可得三角形ABC的面积为 6 ．
（2）根据（1）的启示，请列方程求出图（2）中GH的长（提示：EF长为25）．
【考点】三角形的面积．菁优网版权所有
【专题】计算题；几何直观．
【分析】（1）根据三角形面积的计算方法进行计算即可得出答案；
（2）根据（1）条件可知两次计算面积相等，则可列方程，代入计算即可得出答案．
【解答】解：（1）根据题意可得，
S＝＝6，
S＝＝6，
故答案为：6，6；
（2）设GH＝x，
根据题意可列方程，，
，
解得：x＝，
所以GH＝．
【点评】本题主要考查了三角形面积的计算，根据等面积法列出方程是解决本题的关键．
24．（2020秋•齐河县期末）沛沛沿一段笔直的人行道行走，边走边欣赏风景，在由C走到D的过程中，通过隔离带的空隙P，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的一条标语．具体信息如下：如图，AB∥PM∥CD，相邻两平行线间的距离相等．AC，BD相交于P，PD⊥CD垂足为D．已知CD＝16米．请根据上述信息求标语AB的长度．
【考点】全等三角形的应用．菁优网版权所有
【专题】图形的全等；应用意识．
【分析】由AB∥CD，利用平行线的性质可得∠ABP＝∠CDP，利用ASA定理可得，△ABP≌△CDP，由全等三角形的性质可得结果．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠ABP＝∠CDP，
∵PD⊥CD，
∴∠CDP＝90°，
∴∠ABP＝90°，即PB⊥AB，
∵相邻两平行线间的距离相等，
∴PD＝PB，
在△ABP与△CDP中，
，
∴△ABP≌△CDP（ASA），
∴CD＝AB＝16米．
【点评】本题主要考查了平行线的性质和全等三角形的判定及性质定理，综合运用各定理是解答此题的关键．
25．（2020秋•普宁市期末）已知∠AOB＝90°，射线OC在∠AOB内部，作∠AOC的平分线OD和∠BOC的平分线OE．
（1）如图①，当∠BOC＝70°时，则∠DOE＝ 45° ．
（2）如图②，若射线OC在∠AOB内部绕O点旋转，当∠BOC＝α时，求∠DOE的度数．
（3）当射线OC在∠AOB外绕O点旋转且∠AOC为钝角时，请在备用图中画出∠AOC的平分线OD和∠BOC的平分线OE，判断∠DOE的大小是否发生变化？求∠DOE的度数．
【考点】角平分线的定义；作图—基本作图．菁优网版权所有
【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观；运算能力；推理能力．
【分析】（1）根据角平分线的定义，OD、OE分别平分∠AOC和∠BOC，则可求得∠COE、∠COD的值，∠DOE＝∠COE+∠COD；
（2）结合角的特点，根据∠DOE＝∠DOC+∠COE，求得结果进行判断和计算；
（3）正确作出图形，求出∠DOE的大小作出判断即可．
【解答】解：（1）∵∠BOC＝70°，∠AOB＝90°，
∴∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝20°，
∵OD、OE分别平分∠AOC和∠BOC，
∴∠COE＝∠COB＝35°，∠COD＝∠AOC＝10°，
∴∠DOE＝∠COE+∠COD＝45°，
故答案为：45°；
（2）∵∠BOC＝α，∠AOB＝90°，
∴∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝90°﹣α，
∵OD、OE分别平分∠AOC和∠BOC，
∴∠DOE＝∠DOC+∠COE
＝∠COB+∠AOC
＝（∠COB+∠AOC）
（α+90°﹣α）
＝×90°
＝45°；
（3）∠DOE的大小不变，等于45°，
理由：如图③，∵OD、OE分别平分∠AOC和∠BOC，
∴∠DOE＝∠DOC﹣∠COE
＝∠AOC﹣∠COB
＝（∠AOC﹣∠COB）
＝∠AOB
＝×90°
＝45°．
故∠DOE的大小不变，等于45°．
【点评】本题考查了角的计算，正确作图，熟记角的特点与角平分线的定义是解决此题的关键．
26．（2020秋•海淀区期末）已知∠MAN＝45°，点B为射线AN上一定点，点C为射线AM上一动点（不与点A重合），点D在线段BC的延长线上，且CD＝CB，过点D作DE⊥AM于点E．
（1）当点C运动到如图1的位置时，点E恰好与点C重合，此时AC与DE的数量关系是 AC＝DE ；
（2）当点C运动到如图2的位置时，依题意补全图形，并证明：2AC＝AE+DE；
（3）在点C运动的过程中，点E能否在射线AM的反向延长线上？若能，直接用等式表示线段AC，AE，DE之间的数量关系；若不能，请说明理由．
【考点】全等三角形的判定与性质．菁优网版权所有
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【分析】（1）易证△ABD是等腰三角形，得AB＝AD，由SSS证得△ABC≌△ADC，得出∠CAD＝∠BAC＝45°，则∠BAD＝90°，由直角三角形斜边上的中线性质即可得出答案；
（2）依题意即可补全图形，过点B作BF⊥AM于F，则∠BFC＝∠DEC＝90°，由AAS证得△BFC≌△DEC，得出BF＝DE，CF＝CE，易证△ABF是等腰直角三角形，再BF＝AF，推出AF＝DE，即可得出结论；
（3）过点B作BF⊥AM于F，同（2）△BFC≌△DEC（AAS），得出BF＝DE，CF＝CE，证得AF＝DE，即可得出结果．
【解答】（1）解：∵CD＝CB，DE⊥AM，
∴△ABD是等腰三角形，
∴AB＝AD，
在△ABC和△ADC中，
，
∴△ABC≌△ADC（SSS），
∴∠CAD＝∠BAC＝45°，
∴∠BAD＝45°+45°＝90°，
∴AC＝CD＝CB，
∵点E恰好与点C重合，
∴AC＝DE，
故答案为：AC＝DE；
（2）证明：过点B作BF⊥AM于F，如图2所示：
则∠BFC＝∠DEC＝90°，
在△BFC和△DEC中，
，
∴△BFC≌△DEC（AAS），
∴BF＝DE，CF＝CE，
∵∠MAN＝45°，
∴△ABF是等腰直角三角形，
∴BF＝AF，
∴AF＝DE，
∴AE+DE＝AF+CF+CE+DE＝AC+CF+AF＝AC+AC＝2AC，
∴2AC＝AE+DE；
（3）解：能，2AC+AE＝DE；理由如下：
过点B作BF⊥AM于F，如图3所示：
则∠BFC＝∠DEC＝90°，
在△BFC和△DEC中，
，
∴△BFC≌△DEC（AAS），
∴BF＝DE，CF＝CE，
∵∠MAN＝45°，
∴△ABF是等腰直角三角形，
∴BF＝AF，
∴AF＝DE，
∴2AC+AE＝AC+CE＝AC+CF＝AF＝DE．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识；熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．
27．（2020秋•石景山区期末）如图1，射线AP∥BQ，分别作∠PAB，∠ABQ的角平分线，这两条射线交于点O，过点O作一条直线分别与射线AP，直线BQ交于点C，D（不与点A，B重合）．
（1）当CD⊥AP时，
①补全图1；
②若AC＝a，BD＝b，则AB的长为 a+b （用含a，b的式子表示）．
（2）当CD与AP不垂直时，在备用图中补全图形，探索线段AB，AC，BD之间的数量关系，并证明．
【考点】平行线的性质；全等三角形的判定与性质．菁优网版权所有
【专题】图形的全等；几何直观；推理能力．
【分析】（1）①根据题意画出图形解答即可；
②过O作OE⊥AB于E，利用角平分线的性质解答即可；
（2）作出图形，利用全等三角形的判定和性质解答即可．
【解答】解：（1）①如图1所示，
②过O作OE⊥AB于E，
∵OA平分∠BAC，OB平分∠ABD，OC⊥AP，OD⊥BQ，OE⊥AB，
∴OE＝OD，OE＝OC，
∴BE＝BD，AE＝AC，
∴AB＝AE+BE＝AC+BD＝a+b，
故答案为：a+b；
（2）当点D在点B的右侧时，AB＝AC+BD，理由如下：
过O作OE⊥AB于E，MN⊥AP于M，N，如图2，
由（1）知AB＝AM+BN，OE＝OM＝ON，AM＝AE，BE＝BN，
∵AP∥BQ，
∴∠MCO＝∠NDO，
在△OCM与△ODN中，
，
∴△OCM≌△ODN（AAS），
∴OC＝OD，DN＝MC，
∴AC+BD＝AM+MC+BD＝AM+MC+BN﹣DN＝AM+BN＝AE+EB＝AB．
当点D在点B的左侧时，AB＝AC﹣BD，
综上所述，AB＝AC+BD或AB＝AC﹣BD．
【点评】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据全等三角形的判定和性质解答．
28．（2020秋•莆田期末）如图1，在△A1B1C1和△A2B2C2中，A1B1＝A2B2，∠A1＝∠A2，∠B1＝2∠B2，我们把△A1B1C1和△A2B2C2称为“等边倍角”三角形，其中A1B1和A2B2为对应等边．
△ABC中，D，E分别是BC，AC边上的点（不与端点重合），AD与BE相交于点F．
（1）如图2，若AB＝AC≠BC．
①当AD⊥BC时，图中能与△ABC构成“等边倍角”三角形的是 △ABD、△ACD ；（直接写出，不必证明）
②当AD与BC不垂直时，若△ABE与△ADC是“等边倍角”三角形，其中AB和AC为对应等边，求∠AFE的度数．
（2）如图3，连接DE，若DE平分∠BEC，BE＝2AE，点F是AD的中点，求证：△ABF和△ADE是“等边倍角”三角形．
【考点】角的计算；全等三角形的判定与性质．菁优网版权所有
【专题】线段、角、相交线与平行线；图形的全等；等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【分析】（1）①由等腰三角形的性质得∠BAC＝2∠BAD＝2∠CAD，即可得出结论；
②由等腰三角形的性质得∠ABC＝∠ACB≠∠BAC，△ABE与△ADC是“等边倍角”三角形，分两种情况：（Ⅰ）当∠ABE＝∠CAD，∠BAE＝2∠ACB时；（Ⅱ）当∠ABE＝∠CAD，∠ACB＝2∠BAE时；由等腰三角形的性质和三角形内角和定理求解即可；
（2）过点A作AG∥ED交BE于G，先证△AGF≌△DEF（AAS），得AG＝ED，再证△AGB≌△DEA（SAS），得AB＝AD，∠ABG＝∠DAE，∠BAG＝∠ADE，然后由平行线的性质得∠GAD＝∠ADE，则∠BAF＝2∠ADE，即可得出结论．
【解答】（1）解：①∵AB＝AC≠BC，AD⊥BC，
∴∠BAC＝2∠BAD＝2∠CAD，
∴能与△ABC构成“等边倍角”三角形的为：△ABD、△ACD，
故答案为：△ABD、△ACD；
②∵AB＝AC≠BC，
∴∠ABC＝∠ACB≠∠BAC，△ABE与△ADC是“等边倍角”三角形，分两种情况：
（Ⅰ）当∠ABE＝∠CAD，∠BAE＝2∠ACB时，
设∠ACB＝x，则∠ABC＝x，∠BAE＝2x，
∵x+x+2x＝180°，
∴x＝45°，
∴∠BAE＝90°，
∴∠AFE＝∠ABE+∠BAD＝∠CAD+∠BAD＝∠BAE＝90°；
（Ⅱ）当∠ABE＝∠CAD，∠ACB＝2∠BAE时，
设∠ACB＝x，则∠ABC＝x，∠BAE＝x，
∵x+x+x＝180°，
∴x＝72°，
∴∠BAE＝36°，
∴∠AFE＝∠ABE+∠BAD＝∠CAD+∠BAD＝∠BAE＝36°；
综上所述，∠AFE为90°或36°；
（2）证明：过点A作AG∥ED交BE于G，如图3所示：
则∠AGE＝∠BED，∠EAG＝∠CED，
∵DE平分∠BEC，
∴∠BED＝∠CED，
∴∠AGE＝∠EAG，
∴AE＝EG，
∵BE＝2AE，
∴AE＝BG＝EG，
∵F是AD的中点，
∴AF＝DF，
在△AGF和△DEF中，
，
∴△AGF≌△DEF（AAS），
∴AG＝ED，
∵∠AGB＝∠EAG+∠AEG，∠AED＝∠AEG+∠BED＝∠AEG+∠EAG，
∴∠AGB＝∠AED，
在△AGB和△DEA中，
，
∴△AGB≌△DEA（SAS），
∴AB＝AD，∠ABG＝∠DAE，∠BAG＝∠ADE，
∵AG∥ED，
∴∠GAD＝∠ADE，
∴∠BAF＝2∠ADE，
∴△ABF和△ADE是“等边倍角”三角形．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、新定义“等边倍角”三角形、等腰三角形的判定与性质、平行线的性质等知识；熟练掌握新定义“等边倍角”三角形和等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
29．（2020秋•南山区期末）（1）如图1，则∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系为 ∠A+∠B＝∠C+∠D ．
（2）如图2，AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD．若∠B＝36°，∠D＝14°，求∠P的度数；
（3）如图3，CP、AG分别平分∠BCE、∠FAD，AG反向延长线交CP于点P，请猜想∠P、∠B、∠D之间的数量关系．并说明理由．
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【专题】三角形；推理能力．
【分析】（1）根据三角形的内角和定理，结合对顶角的性质可求解；
（2）根据角平分线的定义可得∠BAP＝∠DAP，∠BCP＝∠DCP，结合（1）的结论可得2∠P＝∠B+∠D，再代入计算可求解；
（3）根据角平分线的定义可得∠ECP＝∠PCB，∠FAG＝∠GAD，结合三角形的内角和定理可得∠P+∠GAD＝∠B+∠PCB，∠P+（180°﹣∠GAD）＝∠D+（180°﹣∠ECP），进而可求解．
【解答】解：（1）∵∠AOB+∠A+∠B＝∠COD+∠C+∠D＝180°，∠AOB＝∠COD，
∴∠A+∠B＝∠C+∠D，
故答案为∠A+∠B＝∠C+∠D；
（2）∵AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD，
∴∠BAP＝∠DAP，∠BCP＝∠DCP，
由（1）可得：∠BAP+∠B＝∠BCP+∠P，∠DAP+∠P＝∠DCP+∠D，
∴∠B﹣∠P＝∠P﹣∠D，
即2∠P＝∠B+∠D，
∵∠B＝36°，∠D＝14°，
∴∠P＝25°；
（3）2∠P＝∠B+∠D．
理由：∵CP、AG分别平分∠BCE、∠FAD，
∴∠ECP＝∠PCB，∠FAG＝∠GAD，
∵∠PAB＝∠FAG，
∴∠GAD＝∠PAB，
∵∠P+∠PAB＝∠B+∠PCB，
∴∠P+∠GAD＝∠B+∠PCB，
∵∠P+∠PAD＝∠D+∠PCD，
∴∠P+（180°﹣∠GAD）＝∠D+（180°﹣∠ECP），
∴2∠P＝∠B+∠D．
【点评】本题主要考查三角形的内角和定理，角平分线的定义，及角的计算，灵活运用等式的性质进行角的计算是解题的关键．
30．（2020秋•南海区期末）已知：线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB．
（1）如图1，求证：∠A+∠D＝∠B+∠C；
（2）如图2，∠ADC和∠ABC的平分线DE和BE相交于点E，并且与AB、CD分别相交于点M、N，∠A＝28°，∠C＝32°，求∠E的度数；
（3）如图3，∠ADC和∠ABC的三等分线DE和BE相交于点E，并且与AB、CD分别相交于点M、N，∠CDE＝∠ADC，∠CBE＝∠ABC，试探究∠A、∠C、∠E三者之间存在的数量关系，并说明理由．
【考点】三角形内角和定理．菁优网版权所有
【专题】线段、角、相交线与平行线；三角形；推理能力．
【分析】（1）根据三角形的内角和定理，结合对顶角相等可求解；
（2）由角平分线的定义可得∠ADE＝∠CDE，∠ABE＝∠CBE，结合（1）可得∠A+∠C＝2∠E，再代入计算即可求解；
（3）由∠CDE＝∠ADC，∠CBE＝∠ABC可得∠ADE＝2∠CDE，∠ABE＝2∠CBE，结合（1）可得∠A+2∠C+∠ADE+2∠CBE＝3∠E+∠ABE+2∠CDE，进而可求解．
【解答】（1）证明：∵∠A+∠D+∠AOD＝∠C+∠B+∠BOC＝180°，
∠AOD＝∠BOC，
∴∠A+∠D＝∠C+∠B；
（2）解：∵∠ADC和∠ABC的平分线DE和BE相交于点E，
∴∠ADE＝∠CDE，∠ABE＝∠CBE，
由（1）可得∠A+∠ADE＝∠E+∠ABE，∠C+∠CBE＝∠E+∠CDE，
∴∠A+∠C＝2∠E，
∵∠A＝28°，∠C＝32°，
∴∠E＝30°；
（3）解：∠A+2∠C＝3∠E．
理由：∵∠CDE＝∠ADC，∠CBE＝∠ABC，
∴∠ADE＝2∠CDE，∠ABE＝2∠CBE，
由（1）可得∠A+∠ADE＝∠E+∠ABE，∠C+∠CBE＝∠E+∠CDE，
∴2∠C+2∠CBE＝2∠E+2∠CDE，
∴∠A+2∠C+∠ADE+2∠CBE＝3∠E+∠ABE+2∠CDE，
即∠A+2∠C＝3∠E．
【点评】本题主要考查角平分线的定义，三角形的内角和定理，灵活运用将三角形的内角和定理解决问题是解题的关键．
考点卡片
1．角平分线的定义
（1）角平分线的定义
从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．
（2）性质：若OC是∠AOB的平分线
则∠AOC＝∠BOC＝∠AOB或∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC．
（3）平分角的方法有很多，如度量法、折叠法、尺规作图法等，要注意积累，多动手实践．
2．角的计算
（1）角的和差倍分
①∠AOB是∠AOC和∠BOC的和，记作：∠AOB＝∠AOC+∠BOC．∠AOC是∠AOB和∠BOC的差，记作：∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC．②若射线OC是∠AOB的三等分线，则∠AOB＝3∠BOC或∠BOC＝∠AOB．
（2）度、分、秒的加减运算．在进行度分秒的加减时，要将度与度，分与分，秒与秒相加减，分秒相加，逢60要进位，相减时，要借1化60．
（3）度、分、秒的乘除运算．①乘法：度、分、秒分别相乘，结果逢60要进位．②除法：度、分、秒分别去除，把每一次的余数化作下一级单位进一步去除．
3．点到直线的距离
（1）点到直线的距离：直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．
（2）点到直线的距离是一个长度，而不是一个图形，也就是垂线段的长度，而不是垂线段．它只能量出或求出，而不能说画出，画出的是垂线段这个图形．
4．平行线的性质
1、平行线性质定理
定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等． 简单说成：两直线平行，同位角相等．
定理2：两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补．．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．
定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等． 简单说成：两直线平行，内错角相等．
2、两条平行线之间的距离处处相等．
5．三角形的角平分线、中线和高
（1）从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．
（2）三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线．
（3）三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．
（4）三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段．
（5）锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点．
6．三角形的面积
（1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△＝×底×高．
（2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．
7．三角形三边关系
（1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．
（2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
（3）三角形的两边差小于第三边．
（4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略．
8．三角形内角和定理
（1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．
（2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°．
（3）三角形内角和定理的证明
证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线．
（4）三角形内角和定理的应用
主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．
9．三角形的外角性质
（1）三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．
三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对．
（2）三角形的外角性质：
①三角形的外角和为360°．
②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角．
（3）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去．
（4）探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角．
10．全等三角形的判定
（1）判定定理1：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等．
（2）判定定理2：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．
（3）判定定理3：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．
（4）判定定理4：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．
（5）判定定理5：HL﹣﹣斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等．
方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．
11．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
12．全等三角形的应用
（1）全等三角形的性质与判定综合应用
用全等寻找下一个全等三角形的条件，全等的性质和判定往往是综合在一起应用的，这需要认真分析题目的已知和求证，分清问题中已知的线段和角与所证明的线段或角之间的联系．
（2）作辅助线构造全等三角形
常见的辅助线做法：①把三角形一边的中线延长，把分散条件集中到同一个三角形中是解决中线问题的基本规律．②证明一条线段等于两条线段的和，可采用“截长法”或“补短法”，这些问题经常用到全等三角形来证明．
（3）全等三角形在实际问题中的应用
一般方法是把实际问题先转化为数学问题，再转化为三角形问题，其中，画出示意图，把已知条件转化为三角形中的边角关系是关键．
13．作图—基本作图
基本作图有：
（1）作一条线段等于已知线段．
（2）作一个角等于已知角． （3）作已知线段的垂直平分线． （4）作已知角的角平分线． （5）过一点作已知直线的垂线．
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日期：2021/6/29 15:11:44；用户：周晓丽；邮箱：17788760824；学号：25289867
北师大新版数学八年级专题复习《三角形》
一．选择题（共10小题）
1．（2020秋•长葛市期末）下面是“作一个角等于已知角”的尺规作图过程．已知：∠AOB，求作：一个角，使它等于∠AOB．作法：如图
（1）作射线O'A'；
（2）以O为圆心，任意长为半径作孤，交OA于C，交OB于D；
（3）以O′为圆心，OC为半径作弧C'E'，交OA'于C'；
（4）以C′为圆心，CD为半径作弧，交弧C'E'于D'；
（5）过点D'作射线O'B'．
则∠A'O'B'就是所求作的角．请回答：该作图的依据是（ ）
A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
2．（2020秋•平阴县期末）如图，直线l1∥l2，∠1＝50°，∠2＝75°，则∠3＝（ ）
A．55° B．60° C．65° D．70°
3．（2021春•郑州期末）下列每组数分别是三根小木棒的长度，它们首尾顺次相接能摆成三角形的是（ ）
A．1cm，2cm，4cm B．12cm，13cm，20cm
C．5cm，5cm，11cm D．14cm，16cm，30cm
4．（2021春•毕节市期末）一个三角形的两边长分别为4cm和5cm，则此三角形的第三边的长不可能是（ ）
A．3cm B．5cm C．7cm D．9cm
5．（2020秋•莒南县期末）已知三角形的两边长分别是4和9，则此三角形第三条边的长可能是（ ）
A．3 B．4 C．6 D．15
6．（2020秋•宝应县期末）如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB∥DE，AC∥DF，下列条件中，能判断△ABC≌△DEF的是（ ）
A．BE＝CE B．∠A＝∠D C．EC＝CF D．BE＝CF
7．（2021春•杨浦区期末）下列说法中，正确的是（ ）
A．三角形的高都在三角形内
B．三角形的三条中线相交于三角形内一点
C．三角形的一个外角大于任何一个内角
D．三角形最大的一个内角的度数可以小于60度
8．（2020秋•播州区期末）在正方形方格纸中，每个小方格的顶点叫做格点，以格点连线为边的三角形叫做格点三角形，如图是5×7的正方形方格纸，以点D，E为两个顶点作格点三角形，使所作的格点三角形与△ABC全等，这样的格点三角形最多可以画出（ ）
A．2个 B．4个 C．6个 D．8个
9．（2020秋•椒江区期末）如图，有一块三角形玻璃，小明不小心将它打破．带上这块玻璃，能配成同样大小的一块，其理由是（ ）
A．SSS B．ASA C．SAS D．HL
10．（2021•章丘区模拟）如图，直线AB∥CD，∠B＝50°，∠D＝20°，则∠E的度数是（ ）
A．20° B．30° C．50° D．70°
二．填空题（共10小题）
11．（2020秋•拱墅区期末）一张小凳子的结构如图所示，∠1＝∠2，若∠3＝120°，则∠1的度数为 ．
12．（2020秋•天心区期末）如图，已知∠ACP＝115°，∠B＝65°，则∠A＝ ．
13．（2020秋•浦东新区期末）如图，已知CA＝CD，CB＝CE，请你添加一个条件，使得△ABC≌△DEC，这个条件可以是 （只需填写一个）．
14．（2020秋•下城区期末）在△ABC中，∠A是钝角，∠B＝30°，设∠C的度数是α，则α的取值范围是 ．
15．（2020秋•天心区期末）如图，∠A＝∠B＝90°，AB＝100，E，F分别为线段AB和射线BD上的一点，若点E从点B出发向点A运动，同时点F从点B出发向点D运动，二者速度之比为2：3，运动到某时刻同时停止，在射线AC上取一点G，使△AEG与△BEF全等，则AG的长为 ．
16．（2020秋•坪山区期末）如图，在△ABC中，∠B＝40°，∠BAC和∠ACB的平分线交于点D，则∠ADC的度数为 ．
17．（2020秋•嘉鱼县期末）如图，点C在线段AB上（不与点A，B重合），在AB的上方分别作△ACD和△BCE，且AC＝DC，BC＝EC，∠ACD＝∠BCE＝α，连接AE，BD交于点P．下列结论：
①AE＝DB；
②当α＝60°时，AD＝BE；
③∠APB＝2∠ADC；
④连接PC，则PC平分∠APB．
其中正确的是 ．（把你认为正确结论的序号都填上）
18．（2020秋•北京期末）将一副三角尺按图所示摆放，则∠ABE＝ °，∠ACD＝ °．
19．（2020秋•仓山区期末）如图，∠MAB为锐角，AB＝a，点B到射线AM的距离为d，点C在射线AM上，BC＝x，若△ABC的形状、大小是唯一确定的，则x的取值范围是 ．
20．（2021春•江都区校级期末）如图△ABC中，将边BC沿虚线翻折，若∠1+∠2＝110°，则∠A的度数是 度．
三．解答题（共10小题）
21．（2021春•黄浦区期末）如图，点A、B、C、D在一条直线上如果AC＝BD，BE＝CF，且BE∥CF，那么AE∥DF．为什么？
解：∵BE∥CF（已知），
∴∠EBC＝∠FCB（ ）．
∵∠EBC+∠EBA＝180°，∠FCB+∠FCD＝180°（平角的意义），
∴∠EBA＝∠FCD（ ）．
∵AC＝BD（已知），
∴AC﹣BC＝BD﹣BC（等式性质），
即 ．（完成以下说理过程）
22．（2021春•杨浦区期末）如图，已知△ABC与△BDE都是等边三角形，点D在边AC上，说明CE∥AB的理由．
解：因为△ABC是等边三角形（已知），
所以∠A＝∠ABC＝60°，AB＝BC（等边三角形的意义）．
因为△BDE是等边三角形（已知），
所以∠BE＝60°，BD＝BE（等边三角形的意义）．
所以∠ABC﹣∠DBC＝∠DBE﹣∠DBC（等式性质），
得∠ABD＝ ．
在△ABD与△CBE中，，
所以△ABD≌△CBE（ ）．
所以∠A＝ （ ）．
又因为∠A＝∠ABC，
所以∠ABC＝ （等量代换）．
所以CE∥AB（ ）．
23．（2020秋•昆明期末）同学们小学已经学习了三角形面积计算方法．如图（1）（2）是直角三角形，请你根据图中标注的量，解决下列问题：
（1）如图（1），以BC为底，AC为高，可得三角形ABC的面积为 ；也可以以AB（提示：AB长为5）为底，CD为高，可得三角形ABC的面积为 ．
（2）根据（1）的启示，请列方程求出图（2）中GH的长（提示：EF长为25）．
24．（2020秋•齐河县期末）沛沛沿一段笔直的人行道行走，边走边欣赏风景，在由C走到D的过程中，通过隔离带的空隙P，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的一条标语．具体信息如下：如图，AB∥PM∥CD，相邻两平行线间的距离相等．AC，BD相交于P，PD⊥CD垂足为D．已知CD＝16米．请根据上述信息求标语AB的长度．
25．（2020秋•普宁市期末）已知∠AOB＝90°，射线OC在∠AOB内部，作∠AOC的平分线OD和∠BOC的平分线OE．
（1）如图①，当∠BOC＝70°时，则∠DOE＝ ．
（2）如图②，若射线OC在∠AOB内部绕O点旋转，当∠BOC＝α时，求∠DOE的度数．
（3）当射线OC在∠AOB外绕O点旋转且∠AOC为钝角时，请在备用图中画出∠AOC的平分线OD和∠BOC的平分线OE，判断∠DOE的大小是否发生变化？求∠DOE的度数．
26．（2020秋•海淀区期末）已知∠MAN＝45°，点B为射线AN上一定点，点C为射线AM上一动点（不与点A重合），点D在线段BC的延长线上，且CD＝CB，过点D作DE⊥AM于点E．
（1）当点C运动到如图1的位置时，点E恰好与点C重合，此时AC与DE的数量关系是 ；
（2）当点C运动到如图2的位置时，依题意补全图形，并证明：2AC＝AE+DE；
（3）在点C运动的过程中，点E能否在射线AM的反向延长线上？若能，直接用等式表示线段AC，AE，DE之间的数量关系；若不能，请说明理由．
27．（2020秋•石景山区期末）如图1，射线AP∥BQ，分别作∠PAB，∠ABQ的角平分线，这两条射线交于点O，过点O作一条直线分别与射线AP，直线BQ交于点C，D（不与点A，B重合）．
（1）当CD⊥AP时，
①补全图1；
②若AC＝a，BD＝b，则AB的长为 （用含a，b的式子表示）．
（2）当CD与AP不垂直时，在备用图中补全图形，探索线段AB，AC，BD之间的数量关系，并证明．
28．（2020秋•莆田期末）如图1，在△A1B1C1和△A2B2C2中，A1B1＝A2B2，∠A1＝∠A2，∠B1＝2∠B2，我们把△A1B1C1和△A2B2C2称为“等边倍角”三角形，其中A1B1和A2B2为对应等边．
△ABC中，D，E分别是BC，AC边上的点（不与端点重合），AD与BE相交于点F．
（1）如图2，若AB＝AC≠BC．
①当AD⊥BC时，图中能与△ABC构成“等边倍角”三角形的是 ；（直接写出，不必证明）
②当AD与BC不垂直时，若△ABE与△ADC是“等边倍角”三角形，其中AB和AC为对应等边，求∠AFE的度数．
（2）如图3，连接DE，若DE平分∠BEC，BE＝2AE，点F是AD的中点，求证：△ABF和△ADE是“等边倍角”三角形．
29．（2020秋•南山区期末）（1）如图1，则∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系为 ．
（2）如图2，AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD．若∠B＝36°，∠D＝14°，求∠P的度数；
（3）如图3，CP、AG分别平分∠BCE、∠FAD，AG反向延长线交CP于点P，请猜想∠P、∠B、∠D之间的数量关系．并说明理由．
30．（2020秋•南海区期末）已知：线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB．
（1）如图1，求证：∠A+∠D＝∠B+∠C；
（2）如图2，∠ADC和∠ABC的平分线DE和BE相交于点E，并且与AB、CD分别相交于点M、N，∠A＝28°，∠C＝32°，求∠E的度数；
（3）如图3，∠ADC和∠ABC的三等分线DE和BE相交于点E，并且与AB、CD分别相交于点M、N，∠CDE＝∠ADC，∠CBE＝∠ABC，试探究∠A、∠C、∠E三者之间存在的数量关系，并说明理由．
2021年新初二数学北师大新版专题复习《三角形》
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2020秋•长葛市期末）下面是“作一个角等于已知角”的尺规作图过程．已知：∠AOB，求作：一个角，使它等于∠AOB．作法：如图
（1）作射线O'A'；
（2）以O为圆心，任意长为半径作孤，交OA于C，交OB于D；
（3）以O′为圆心，OC为半径作弧C'E'，交OA'于C'；
（4）以C′为圆心，CD为半径作弧，交弧C'E'于D'；
（5）过点D'作射线O'B'．
则∠A'O'B'就是所求作的角．请回答：该作图的依据是（ ）
A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
【考点】全等三角形的判定；作图—基本作图．菁优网版权所有
【专题】作图题；几何直观．
【分析】利用基本作图得到得OD＝OC＝O′D′＝O′C′，C′D′＝CD，然后根据全等三角形的判定方法证明两三角形全等，从而利用对应角相等得到∠A'O'B'就是所求作的角．
【解答】解：由作法得OD＝OC＝O′D′＝O′C′，C′D′＝CD，
所以根据“SSS”可判断△O′C′D′≌△OCD，
所以∠O′＝∠O．
故选：A．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了全等三角形的判定．
2．（2020秋•平阴县期末）如图，直线l1∥l2，∠1＝50°，∠2＝75°，则∠3＝（ ）
A．55° B．60° C．65° D．70°
【考点】三角形内角和定理．菁优网版权所有
【专题】线段、角、相交线与平行线；三角形；推理能力；应用意识．
【分析】根据平行线的性质，可以得到∠1＝∠4，再根据对顶角相等和三角形内角和，即可求得∠3的度数
【解答】解：∵直线l1∥l2，
∴∠1＝∠4，
∵∠1＝50°，∠2＝75°，∠2＝∠5，
∴∠4＝50°，∠5＝75°，
∵∠4+∠5+∠3＝180°，
∴∠3＝180°﹣∠4﹣∠5＝180°﹣50°﹣75°＝55°，
故选：A．
【点评】本题考查平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
3．（2021春•郑州期末）下列每组数分别是三根小木棒的长度，它们首尾顺次相接能摆成三角形的是（ ）
A．1cm，2cm，4cm B．12cm，13cm，20cm
C．5cm，5cm，11cm D．14cm，16cm，30cm
【考点】三角形三边关系．菁优网版权所有
【专题】三角形；数据分析观念．
【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析即可求解．
【解答】解：A、1+2＜4，不能组成三角形，不符合题意；
B、13+12＞20，能够组成三角形，符合题意；
C、5+5＜11，不能组成三角形，不符合题意；
D、14+16＝30，不能组成三角形，不符合题意；
故选：B．
【点评】此题考查了三角形的三边关系．判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数．
4．（2021春•毕节市期末）一个三角形的两边长分别为4cm和5cm，则此三角形的第三边的长不可能是（ ）
A．3cm B．5cm C．7cm D．9cm
【考点】三角形三边关系．菁优网版权所有
【专题】三角形；推理能力．
【分析】根据三角形的三边关系可得第三边的范围，再根据第三边的范围确定答案．
【解答】解：设第三边长为xcm，有三角形的三边关系可得：
5﹣4＜x＜5+4，
即1＜x＜9，
故选：D．
【点评】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．
5．（2020秋•莒南县期末）已知三角形的两边长分别是4和9，则此三角形第三条边的长可能是（ ）
A．3 B．4 C．6 D．15
【考点】三角形三边关系．菁优网版权所有
【专题】三角形；几何直观．
【分析】根据已知边长求第三边x的取值范围为：5＜x＜13，因此只有选项C符合．
【解答】解：设第三边长为x，
则9﹣4＜x＜9+4，
解得5＜x＜13．
故选：C．
【点评】本题考查了三角形的三边关系，已知三角形的两边长，则第三边的范围为大于两边差且小于两边和．
6．（2020秋•宝应县期末）如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB∥DE，AC∥DF，下列条件中，能判断△ABC≌△DEF的是（ ）
A．BE＝CE B．∠A＝∠D C．EC＝CF D．BE＝CF
【考点】全等三角形的判定．菁优网版权所有
【专题】图形的全等；几何直观；推理能力．
【分析】利用判定两个三角形全等的方法SSS、SAS、ASA、AAS进行分析．
【解答】解：∵AB∥DE，AC∥DF，
∴∠B＝∠DEF，∠F＝∠ACB，
A、添加BE＝CE，不能判定△ABC≌△DEF，故此选项不合题意；
B、添加∠A＝∠D，不能判定△ABC≌△DEF，故此选项不合题意；
C、添加EC＝CF，不能判定△ABC≌△DEF，故此选项不合题意；
D、添加BE＝CF，可利用ASA定理判定△ABC≌△DEF，故此选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
7．（2021春•杨浦区期末）下列说法中，正确的是（ ）
A．三角形的高都在三角形内
B．三角形的三条中线相交于三角形内一点
C．三角形的一个外角大于任何一个内角
D．三角形最大的一个内角的度数可以小于60度
【考点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理．菁优网版权所有
【专题】三角形；推理能力．
【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．
【解答】解：A、锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，故本选项错误；
B、三角形的三条中线相交于三角形内一点，故本选项正确；
C、三角形的一个外角大于任何一个不相邻的一个内角，故本选项错误；
D、根据三角形内角和等于180°，三角形最大的一个内角的度数大于或等于60度，故本选项错误；
故选：B．
【点评】本题考查三角形高线，中线的概念，三角形外角的性质和三角形内角和定理，掌握这些知识点是解题的关键．
8．（2020秋•播州区期末）在正方形方格纸中，每个小方格的顶点叫做格点，以格点连线为边的三角形叫做格点三角形，如图是5×7的正方形方格纸，以点D，E为两个顶点作格点三角形，使所作的格点三角形与△ABC全等，这样的格点三角形最多可以画出（ ）
A．2个 B．4个 C．6个 D．8个
【考点】全等三角形的判定．菁优网版权所有
【专题】图形的全等；推理能力．
【分析】根据图形可知BC＝DE，再根据全等三角形的判定定理得出答案即可．
【解答】解：
与△ABC全等的三角形有△DEF，△DEQ，△DER，△DEW，共4个三角形，
故选：B．
【点评】本题考查了全等三角形的判定定理，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL．
9．（2020秋•椒江区期末）如图，有一块三角形玻璃，小明不小心将它打破．带上这块玻璃，能配成同样大小的一块，其理由是（ ）
A．SSS B．ASA C．SAS D．HL
【考点】全等三角形的应用．菁优网版权所有
【专题】图形的全等；推理能力；应用意识．
【分析】根据全等三角形的判定，已知两角和夹边，就可以确定一个三角形．
【解答】解：破玻璃保留了原来三角形的两个角和一边，则可以根据ASA来配一块一样的玻璃，
故选：B．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS，做题时要根据已知条件进行选择运用．
10．（2021•章丘区模拟）如图，直线AB∥CD，∠B＝50°，∠D＝20°，则∠E的度数是（ ）
A．20° B．30° C．50° D．70°
【考点】三角形的外角性质．菁优网版权所有
【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观；推理能力．
【分析】根据平行线的性质，得出∠BMD＝∠B＝50°，再根据∠BMD是△CDE的外角，即可得出∠E．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠BMD＝∠B＝50°，
又∵∠BMD是△CDE的外角，
∴∠E＝∠BMD﹣∠D＝50°﹣20°＝30°．
故选：B．
【点评】本题主要考查了平行线的性质以及三角形外角性质的运用，解题时注意：两直线平行，内错角相等．
二．填空题（共10小题）
11．（2020秋•拱墅区期末）一张小凳子的结构如图所示，∠1＝∠2，若∠3＝120°，则∠1的度数为 60° ．
【考点】三角形的外角性质．菁优网版权所有
【专题】三角形；推理能力．
【分析】根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和求解即可．
【解答】解：∵∠3＝∠1+∠2，∠1＝∠2，
∴∠3＝2∠1，
∵∠3＝120°，
∴∠1＝60°，
故答案为：60°．
【点评】此题考查了三角形的外角性质，熟记三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
12．（2020秋•天心区期末）如图，已知∠ACP＝115°，∠B＝65°，则∠A＝ 50° ．
【考点】三角形的外角性质．菁优网版权所有
【专题】三角形；推理能力．
【分析】根据三角形中一个外角等于与它不相邻的两个内角和求解．
【解答】解：∵∠ACP＝115°，∠B＝65°，
∴∠A＝∠ACP﹣∠B＝115°﹣65°＝50°．
故答案为：50°．
【点评】本题考查了三角形外角的性质，掌握这个性质是本题的关键．
13．（2020秋•浦东新区期末）如图，已知CA＝CD，CB＝CE，请你添加一个条件，使得△ABC≌△DEC，这个条件可以是 AB＝DE或∠ACB＝∠DCE （只需填写一个）．
【考点】全等三角形的判定．菁优网版权所有
【专题】图形的全等；运算能力．
【分析】根据全等三角形的判定定理（SAS，SSS）即可得出答案．
【解答】解：添加AB＝DE，利用SSS可得△ABC≌△DEC；
添加∠ACB＝∠DCE，利用SAS可得△ABC≌△DEC；
故答案为：AB＝DE或∠ACB＝∠DCE．
【点评】本题考查了全等三角形判定定理的应用，注意：全等三角形的判定定理有：SAS，ASA，AAS，SSS．
14．（2020秋•下城区期末）在△ABC中，∠A是钝角，∠B＝30°，设∠C的度数是α，则α的取值范围是 0°＜α＜60° ．
【考点】三角形内角和定理．菁优网版权所有
【专题】三角形；推理能力．
【分析】根据三角形内角和定理表示出∠A，列出不等式，求解即可．
【解答】解：设∠C的度数是α，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠B＝30°，
∴∠A＝180°﹣30°﹣α＝150°﹣α，
∵∠A是钝角，
∴90°＜150°﹣α＜180°，
∴﹣30°＜α＜60°，
∵α＞0°，
∴0°＜α＜60°．
【点评】本题考查三角形的内角和定理，正确表示出∠A并利用它的大小列出不等式是解题的关键．
15．（2020秋•天心区期末）如图，∠A＝∠B＝90°，AB＝100，E，F分别为线段AB和射线BD上的一点，若点E从点B出发向点A运动，同时点F从点B出发向点D运动，二者速度之比为2：3，运动到某时刻同时停止，在射线AC上取一点G，使△AEG与△BEF全等，则AG的长为 40或75 ．
【考点】全等三角形的判定．菁优网版权所有
【专题】图形的全等；应用意识．
【分析】设BE＝2t，则BF＝3t，使△AEG与△BEF全等，由∠A＝∠B＝90°可知，分两种情况：
情况一：当BE＝AG，BF＝AE时，列方程解得t，可得AG；
情况二：当BE＝AE，BF＝AG时，列方程解得t，可得AG．
【解答】解：设BE＝2t，则BF＝3t，因为∠A＝∠B＝90°，使△AEG与△BEF全等，可分两种情况：
情况一：当BE＝AG，BF＝AE时，
∵BF＝AE，AB＝100，
∴3t＝100﹣2t，
解得：t＝20，
∴AG＝BE＝2t＝2×20＝40；
情况二：当BE＝AE，BF＝AG时，
∵BE＝AE，AB＝100，
∴2t＝100﹣2t，
解得：t＝25，
∴AG＝BF＝3t＝3×25＝75，
综上所述，AG＝40或AG＝75．
故答案为：40或75．
【点评】本题主要考查了全等三角形的性质，利用分类讨论思想是解答此题的关键．
16．（2020秋•坪山区期末）如图，在△ABC中，∠B＝40°，∠BAC和∠ACB的平分线交于点D，则∠ADC的度数为 110° ．
【考点】三角形内角和定理．菁优网版权所有
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【分析】先根据三角形的内角和求出∠BAC+∠ACB＝140°，根据角平分线的定义得∠CAD+∠ACD＝70°，最后利用三角形的内角和定理可得结论．
【解答】解：∵∠B＝40°，
∴∠BAC+∠ACB＝180°﹣40°＝140°，
∴∠BAC和∠ACB的平分线相交于点D，
∴∠BAC＝2∠CAD，∠ACB＝2∠ACD，
∴∠BAC+∠ACB＝2（∠CAD+∠ACD）＝140°，
∴∠CAD+∠ACD＝70°，
∴∠ADC＝180°﹣（∠CAD+∠ACD）＝180°﹣70°＝110°．
故答案为110．
【点评】此题主要考查了三角形的内角和定理，角平分线的意义，整体的思想，解本题的关键是求出∠CAD+∠ACD的度数．
17．（2020秋•嘉鱼县期末）如图，点C在线段AB上（不与点A，B重合），在AB的上方分别作△ACD和△BCE，且AC＝DC，BC＝EC，∠ACD＝∠BCE＝α，连接AE，BD交于点P．下列结论：
①AE＝DB；
②当α＝60°时，AD＝BE；
③∠APB＝2∠ADC；
④连接PC，则PC平分∠APB．
其中正确的是 ①③④ ．（把你认为正确结论的序号都填上）
【考点】全等三角形的判定与性质．菁优网版权所有
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【分析】由“SAS”可证△ACE≌△DCB，可得AE＝DB，可判断①，由等边三角形的可得AD＝AC，BE＝BC，则当AC＝BC时，AD＝BE，可判断②，由外角的性质可得∠APB＝∠ADC+∠CAD，可判断③；由全等三角形的性质可得S△ACE＝S△DCB，由三角形的面积公式可求CG＝CH，由角平分线的性质可得PC平分∠APB，可判断④，即可求解．
【解答】解：∵∠ACD＝∠BCE＝α，
∴∠ACE＝∠DCB，
在△ACE和△DCB中，
，
∴△ACE≌△DCB（SAS），
∴AE＝DB，∠EAC＝∠BDC，故①正确，
当α＝60°时，△ACD是等边三角形，△CEB是等边三角形，
∴AD＝AC，BE＝BC，
当AC＝BC时，AD＝BE，故②错误；
∵AC＝CD，∠ACD＝α，
∴∠CAD＝∠CDA＝，
∵∠APB＝∠PAD+∠ADP＝∠ADC+∠BDC+∠DAP＝∠ADC+∠EAC+∠DAP＝∠ADC+∠CAD，
∴∠APB＝2∠ADC，故③正确；
如图，连接PC，过点C作CG⊥AE于G，CH⊥BD于H，
∵△ACE≌△DCB，
∴S△ACE＝S△DCB，AE＝BD，
∴×AE×CG＝×DB×CH，
∴CG＝CH，
又∵CG⊥AE，CH⊥BD，
∴PC平分∠APB，故④正确，
故答案为：①③④．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练运用全等三角形的判定定理是本题的关键．
18．（2020秋•北京期末）将一副三角尺按图所示摆放，则∠ABE＝ 60 °，∠ACD＝ 135 °．
【考点】三角形内角和定理；三角形的外角性质．菁优网版权所有
【专题】三角形；几何直观；推理能力．
【分析】根据三角板的角度和三角形外角性质解答即可．
【解答】解：由图可知，∠A＝∠C＝45°，∠EBD＝30°，∠D＝60°，
∴∠ABE＝∠ABC﹣∠EBD＝90°﹣30°＝60°，∠ACD＝∠A+∠ABC＝45°+90°＝135°，
故答案为：60；135．
【点评】此题考查三角形外角性质，关键是根据三角板的角度和三角形外角性质解答．
19．（2020秋•仓山区期末）如图，∠MAB为锐角，AB＝a，点B到射线AM的距离为d，点C在射线AM上，BC＝x，若△ABC的形状、大小是唯一确定的，则x的取值范围是 x＝d或x≥a ．
【考点】点到直线的距离；全等三角形的判定．菁优网版权所有
【专题】图形的全等；推理能力．
【分析】当x＝d或x≥a时，三角形是唯一确定的．
【解答】解：若△ABC的形状、大小是唯一确定的，则x的取值范围是x＝d或x≥a，
故答案为：x＝d或x≥a．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
20．（2021春•江都区校级期末）如图△ABC中，将边BC沿虚线翻折，若∠1+∠2＝110°，则∠A的度数是 55 度．
【考点】三角形内角和定理．菁优网版权所有
【专题】三角形；运算能力．
【分析】延长B'E，C'F，交于点D，依据∠A＝∠D，∠AED+∠AFD＝250°，即可得到∠A的度数．
【解答】解：如图，
延长B'E，C'F，交于点D，
由折叠可得，∠B＝∠B'，∠C＝∠C'，
∴∠A＝∠D，
又∵∠1+∠2＝110°，
∴∠AED+∠AFD＝360°﹣110°＝250°，
∴四边形AEDF中，∠A＝（360°﹣250°）＝55°，
故答案为：55．
【点评】本题主要考查了三角形内角和定理，解决问题的关键是构造四边形，利用四边形内角和进行计算．
三．解答题（共10小题）
21．（2021春•黄浦区期末）如图，点A、B、C、D在一条直线上如果AC＝BD，BE＝CF，且BE∥CF，那么AE∥DF．为什么？
解：∵BE∥CF（已知），
∴∠EBC＝∠FCB（ 两直线平行，内错角相等 ）．
∵∠EBC+∠EBA＝180°，∠FCB+∠FCD＝180°（平角的意义），
∴∠EBA＝∠FCD（ 等角的补角相等 ）．
∵AC＝BD（已知），
∴AC﹣BC＝BD﹣BC（等式性质），
即 AB＝CD ．（完成以下说理过程）
【考点】全等三角形的判定与性质．菁优网版权所有
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【分析】证△ABE和△DCF全等，可得出∠A＝∠D，从而AE∥DF．
【解答】解：∵BE∥CF（已知），
∴∠EBC＝∠FCB（ 两直线平行，内错角相等）．
∵∠EBC+∠EBA＝180°，∠FCB+∠FCD＝180°（平角的意义），
∴∠EBA＝∠FCD（ 等角的补角相等）．
∵AC＝BD（已知），
∴AC﹣BC＝BD﹣BC（等式性质），
即AB＝CD．
在△ABE和△DCF中
，
∴△ABE≌△DCF（SAS），
∴∠A＝∠D，
∴AE∥DF．
故答案为：两直线平行，内错角相等；等角的补角相等；AB＝CD．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质等知识；熟练掌握凭想象的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
22．（2021春•杨浦区期末）如图，已知△ABC与△BDE都是等边三角形，点D在边AC上，说明CE∥AB的理由．
解：因为△ABC是等边三角形（已知），
所以∠A＝∠ABC＝60°，AB＝BC（等边三角形的意义）．
因为△BDE是等边三角形（已知），
所以∠BE＝60°，BD＝BE（等边三角形的意义）．
所以∠ABC﹣∠DBC＝∠DBE﹣∠DBC（等式性质），
得∠ABD＝ ∠CBE ．
在△ABD与△CBE中，，
所以△ABD≌△CBE（ SAS ）．
所以∠A＝ ∠BCE （ 全等三角形的对应角相等 ）．
又因为∠A＝∠ABC，
所以∠ABC＝ ∠BCE （等量代换）．
所以CE∥AB（ 内错角相等，两直线平行 ）．
【考点】全等三角形的判定与性质．菁优网版权所有
【专题】图形的全等；推理能力．
【分析】先证明∠ABD＝∠CBE．则可判断所以△ABD≌△CBE，所以∠A＝∠BCE，接着利用等量代换得到∠ABC＝∠BCE，然后根据平行线的判定方法得到CE∥AB．
【解答】解：因为△ABC是等边三角形（已知），
所以∠A＝∠ABC＝60°，AB＝BC（等边三角形的意义）．
因为△BDE是等边三角形（已知），
所以∠BE＝60°，BD＝BE（等边三角形的意义）．
所以∠ABC﹣∠DBC＝∠DBE﹣∠DBC（等式性质），
得∠ABD＝∠CBE．
在△ABD与△CBE中，，
所以△ABD≌△CBE（SAS）．
所以∠A＝∠BCE（全等三角形的对应角相等）．
又因为∠A＝∠ABC，
所以∠ABC＝∠BCE（等量代换）．
所以CE∥AB（内错角相等，两直线平行）．
故答案为∠CBE，SAS，∠BCE，全等三角形的对应角相等；∠BCE，内错角相等，两直线平行．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．也考查了等边三角形的性质．
23．（2020秋•昆明期末）同学们小学已经学习了三角形面积计算方法．如图（1）（2）是直角三角形，请你根据图中标注的量，解决下列问题：
（1）如图（1），以BC为底，AC为高，可得三角形ABC的面积为 6 ；也可以以AB（提示：AB长为5）为底，CD为高，可得三角形ABC的面积为 6 ．
（2）根据（1）的启示，请列方程求出图（2）中GH的长（提示：EF长为25）．
【考点】三角形的面积．菁优网版权所有
【专题】计算题；几何直观．
【分析】（1）根据三角形面积的计算方法进行计算即可得出答案；
（2）根据（1）条件可知两次计算面积相等，则可列方程，代入计算即可得出答案．
【解答】解：（1）根据题意可得，
S＝＝6，
S＝＝6，
故答案为：6，6；
（2）设GH＝x，
根据题意可列方程，，
，
解得：x＝，
所以GH＝．
【点评】本题主要考查了三角形面积的计算，根据等面积法列出方程是解决本题的关键．
24．（2020秋•齐河县期末）沛沛沿一段笔直的人行道行走，边走边欣赏风景，在由C走到D的过程中，通过隔离带的空隙P，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的一条标语．具体信息如下：如图，AB∥PM∥CD，相邻两平行线间的距离相等．AC，BD相交于P，PD⊥CD垂足为D．已知CD＝16米．请根据上述信息求标语AB的长度．
【考点】全等三角形的应用．菁优网版权所有
【专题】图形的全等；应用意识．
【分析】由AB∥CD，利用平行线的性质可得∠ABP＝∠CDP，利用ASA定理可得，△ABP≌△CDP，由全等三角形的性质可得结果．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠ABP＝∠CDP，
∵PD⊥CD，
∴∠CDP＝90°，
∴∠ABP＝90°，即PB⊥AB，
∵相邻两平行线间的距离相等，
∴PD＝PB，
在△ABP与△CDP中，
，
∴△ABP≌△CDP（ASA），
∴CD＝AB＝16米．
【点评】本题主要考查了平行线的性质和全等三角形的判定及性质定理，综合运用各定理是解答此题的关键．
25．（2020秋•普宁市期末）已知∠AOB＝90°，射线OC在∠AOB内部，作∠AOC的平分线OD和∠BOC的平分线OE．
（1）如图①，当∠BOC＝70°时，则∠DOE＝ 45° ．
（2）如图②，若射线OC在∠AOB内部绕O点旋转，当∠BOC＝α时，求∠DOE的度数．
（3）当射线OC在∠AOB外绕O点旋转且∠AOC为钝角时，请在备用图中画出∠AOC的平分线OD和∠BOC的平分线OE，判断∠DOE的大小是否发生变化？求∠DOE的度数．
【考点】角平分线的定义；作图—基本作图．菁优网版权所有
【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观；运算能力；推理能力．
【分析】（1）根据角平分线的定义，OD、OE分别平分∠AOC和∠BOC，则可求得∠COE、∠COD的值，∠DOE＝∠COE+∠COD；
（2）结合角的特点，根据∠DOE＝∠DOC+∠COE，求得结果进行判断和计算；
（3）正确作出图形，求出∠DOE的大小作出判断即可．
【解答】解：（1）∵∠BOC＝70°，∠AOB＝90°，
∴∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝20°，
∵OD、OE分别平分∠AOC和∠BOC，
∴∠COE＝∠COB＝35°，∠COD＝∠AOC＝10°，
∴∠DOE＝∠COE+∠COD＝45°，
故答案为：45°；
（2）∵∠BOC＝α，∠AOB＝90°，
∴∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝90°﹣α，
∵OD、OE分别平分∠AOC和∠BOC，
∴∠DOE＝∠DOC+∠COE
＝∠COB+∠AOC
＝（∠COB+∠AOC）
（α+90°﹣α）
＝×90°
＝45°；
（3）∠DOE的大小不变，等于45°，
理由：如图③，∵OD、OE分别平分∠AOC和∠BOC，
∴∠DOE＝∠DOC﹣∠COE
＝∠AOC﹣∠COB
＝（∠AOC﹣∠COB）
＝∠AOB
＝×90°
＝45°．
故∠DOE的大小不变，等于45°．
【点评】本题考查了角的计算，正确作图，熟记角的特点与角平分线的定义是解决此题的关键．
26．（2020秋•海淀区期末）已知∠MAN＝45°，点B为射线AN上一定点，点C为射线AM上一动点（不与点A重合），点D在线段BC的延长线上，且CD＝CB，过点D作DE⊥AM于点E．
（1）当点C运动到如图1的位置时，点E恰好与点C重合，此时AC与DE的数量关系是 AC＝DE ；
（2）当点C运动到如图2的位置时，依题意补全图形，并证明：2AC＝AE+DE；
（3）在点C运动的过程中，点E能否在射线AM的反向延长线上？若能，直接用等式表示线段AC，AE，DE之间的数量关系；若不能，请说明理由．
【考点】全等三角形的判定与性质．菁优网版权所有
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【分析】（1）易证△ABD是等腰三角形，得AB＝AD，由SSS证得△ABC≌△ADC，得出∠CAD＝∠BAC＝45°，则∠BAD＝90°，由直角三角形斜边上的中线性质即可得出答案；
（2）依题意即可补全图形，过点B作BF⊥AM于F，则∠BFC＝∠DEC＝90°，由AAS证得△BFC≌△DEC，得出BF＝DE，CF＝CE，易证△ABF是等腰直角三角形，再BF＝AF，推出AF＝DE，即可得出结论；
（3）过点B作BF⊥AM于F，同（2）△BFC≌△DEC（AAS），得出BF＝DE，CF＝CE，证得AF＝DE，即可得出结果．
【解答】（1）解：∵CD＝CB，DE⊥AM，
∴△ABD是等腰三角形，
∴AB＝AD，
在△ABC和△ADC中，
，
∴△ABC≌△ADC（SSS），
∴∠CAD＝∠BAC＝45°，
∴∠BAD＝45°+45°＝90°，
∴AC＝CD＝CB，
∵点E恰好与点C重合，
∴AC＝DE，
故答案为：AC＝DE；
（2）证明：过点B作BF⊥AM于F，如图2所示：
则∠BFC＝∠DEC＝90°，
在△BFC和△DEC中，
，
∴△BFC≌△DEC（AAS），
∴BF＝DE，CF＝CE，
∵∠MAN＝45°，
∴△ABF是等腰直角三角形，
∴BF＝AF，
∴AF＝DE，
∴AE+DE＝AF+CF+CE+DE＝AC+CF+AF＝AC+AC＝2AC，
∴2AC＝AE+DE；
（3）解：能，2AC+AE＝DE；理由如下：
过点B作BF⊥AM于F，如图3所示：
则∠BFC＝∠DEC＝90°，
在△BFC和△DEC中，
，
∴△BFC≌△DEC（AAS），
∴BF＝DE，CF＝CE，
∵∠MAN＝45°，
∴△ABF是等腰直角三角形，
∴BF＝AF，
∴AF＝DE，
∴2AC+AE＝AC+CE＝AC+CF＝AF＝DE．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识；熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．
27．（2020秋•石景山区期末）如图1，射线AP∥BQ，分别作∠PAB，∠ABQ的角平分线，这两条射线交于点O，过点O作一条直线分别与射线AP，直线BQ交于点C，D（不与点A，B重合）．
（1）当CD⊥AP时，
①补全图1；
②若AC＝a，BD＝b，则AB的长为 a+b （用含a，b的式子表示）．
（2）当CD与AP不垂直时，在备用图中补全图形，探索线段AB，AC，BD之间的数量关系，并证明．
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【专题】图形的全等；几何直观；推理能力．
【分析】（1）①根据题意画出图形解答即可；
②过O作OE⊥AB于E，利用角平分线的性质解答即可；
（2）作出图形，利用全等三角形的判定和性质解答即可．
【解答】解：（1）①如图1所示，
②过O作OE⊥AB于E，
∵OA平分∠BAC，OB平分∠ABD，OC⊥AP，OD⊥BQ，OE⊥AB，
∴OE＝OD，OE＝OC，
∴BE＝BD，AE＝AC，
∴AB＝AE+BE＝AC+BD＝a+b，
故答案为：a+b；
（2）当点D在点B的右侧时，AB＝AC+BD，理由如下：
过O作OE⊥AB于E，MN⊥AP于M，N，如图2，
由（1）知AB＝AM+BN，OE＝OM＝ON，AM＝AE，BE＝BN，
∵AP∥BQ，
∴∠MCO＝∠NDO，
在△OCM与△ODN中，
，
∴△OCM≌△ODN（AAS），
∴OC＝OD，DN＝MC，
∴AC+BD＝AM+MC+BD＝AM+MC+BN﹣DN＝AM+BN＝AE+EB＝AB．
当点D在点B的左侧时，AB＝AC﹣BD，
综上所述，AB＝AC+BD或AB＝AC﹣BD．
【点评】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据全等三角形的判定和性质解答．
28．（2020秋•莆田期末）如图1，在△A1B1C1和△A2B2C2中，A1B1＝A2B2，∠A1＝∠A2，∠B1＝2∠B2，我们把△A1B1C1和△A2B2C2称为“等边倍角”三角形，其中A1B1和A2B2为对应等边．
△ABC中，D，E分别是BC，AC边上的点（不与端点重合），AD与BE相交于点F．
（1）如图2，若AB＝AC≠BC．
①当AD⊥BC时，图中能与△ABC构成“等边倍角”三角形的是 △ABD、△ACD ；（直接写出，不必证明）
②当AD与BC不垂直时，若△ABE与△ADC是“等边倍角”三角形，其中AB和AC为对应等边，求∠AFE的度数．
（2）如图3，连接DE，若DE平分∠BEC，BE＝2AE，点F是AD的中点，求证：△ABF和△ADE是“等边倍角”三角形．
【考点】角的计算；全等三角形的判定与性质．菁优网版权所有
【专题】线段、角、相交线与平行线；图形的全等；等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【分析】（1）①由等腰三角形的性质得∠BAC＝2∠BAD＝2∠CAD，即可得出结论；
②由等腰三角形的性质得∠ABC＝∠ACB≠∠BAC，△ABE与△ADC是“等边倍角”三角形，分两种情况：（Ⅰ）当∠ABE＝∠CAD，∠BAE＝2∠ACB时；（Ⅱ）当∠ABE＝∠CAD，∠ACB＝2∠BAE时；由等腰三角形的性质和三角形内角和定理求解即可；
（2）过点A作AG∥ED交BE于G，先证△AGF≌△DEF（AAS），得AG＝ED，再证△AGB≌△DEA（SAS），得AB＝AD，∠ABG＝∠DAE，∠BAG＝∠ADE，然后由平行线的性质得∠GAD＝∠ADE，则∠BAF＝2∠ADE，即可得出结论．
【解答】（1）解：①∵AB＝AC≠BC，AD⊥BC，
∴∠BAC＝2∠BAD＝2∠CAD，
∴能与△ABC构成“等边倍角”三角形的为：△ABD、△ACD，
故答案为：△ABD、△ACD；
②∵AB＝AC≠BC，
∴∠ABC＝∠ACB≠∠BAC，△ABE与△ADC是“等边倍角”三角形，分两种情况：
（Ⅰ）当∠ABE＝∠CAD，∠BAE＝2∠ACB时，
设∠ACB＝x，则∠ABC＝x，∠BAE＝2x，
∵x+x+2x＝180°，
∴x＝45°，
∴∠BAE＝90°，
∴∠AFE＝∠ABE+∠BAD＝∠CAD+∠BAD＝∠BAE＝90°；
（Ⅱ）当∠ABE＝∠CAD，∠ACB＝2∠BAE时，
设∠ACB＝x，则∠ABC＝x，∠BAE＝x，
∵x+x+x＝180°，
∴x＝72°，
∴∠BAE＝36°，
∴∠AFE＝∠ABE+∠BAD＝∠CAD+∠BAD＝∠BAE＝36°；
综上所述，∠AFE为90°或36°；
（2）证明：过点A作AG∥ED交BE于G，如图3所示：
则∠AGE＝∠BED，∠EAG＝∠CED，
∵DE平分∠BEC，
∴∠BED＝∠CED，
∴∠AGE＝∠EAG，
∴AE＝EG，
∵BE＝2AE，
∴AE＝BG＝EG，
∵F是AD的中点，
∴AF＝DF，
在△AGF和△DEF中，
，
∴△AGF≌△DEF（AAS），
∴AG＝ED，
∵∠AGB＝∠EAG+∠AEG，∠AED＝∠AEG+∠BED＝∠AEG+∠EAG，
∴∠AGB＝∠AED，
在△AGB和△DEA中，
，
∴△AGB≌△DEA（SAS），
∴AB＝AD，∠ABG＝∠DAE，∠BAG＝∠ADE，
∵AG∥ED，
∴∠GAD＝∠ADE，
∴∠BAF＝2∠ADE，
∴△ABF和△ADE是“等边倍角”三角形．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、新定义“等边倍角”三角形、等腰三角形的判定与性质、平行线的性质等知识；熟练掌握新定义“等边倍角”三角形和等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
29．（2020秋•南山区期末）（1）如图1，则∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系为 ∠A+∠B＝∠C+∠D ．
（2）如图2，AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD．若∠B＝36°，∠D＝14°，求∠P的度数；
（3）如图3，CP、AG分别平分∠BCE、∠FAD，AG反向延长线交CP于点P，请猜想∠P、∠B、∠D之间的数量关系．并说明理由．
【考点】三角形内角和定理．菁优网版权所有
【专题】三角形；推理能力．
【分析】（1）根据三角形的内角和定理，结合对顶角的性质可求解；
（2）根据角平分线的定义可得∠BAP＝∠DAP，∠BCP＝∠DCP，结合（1）的结论可得2∠P＝∠B+∠D，再代入计算可求解；
（3）根据角平分线的定义可得∠ECP＝∠PCB，∠FAG＝∠GAD，结合三角形的内角和定理可得∠P+∠GAD＝∠B+∠PCB，∠P+（180°﹣∠GAD）＝∠D+（180°﹣∠ECP），进而可求解．
【解答】解：（1）∵∠AOB+∠A+∠B＝∠COD+∠C+∠D＝180°，∠AOB＝∠COD，
∴∠A+∠B＝∠C+∠D，
故答案为∠A+∠B＝∠C+∠D；
（2）∵AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD，
∴∠BAP＝∠DAP，∠BCP＝∠DCP，
由（1）可得：∠BAP+∠B＝∠BCP+∠P，∠DAP+∠P＝∠DCP+∠D，
∴∠B﹣∠P＝∠P﹣∠D，
即2∠P＝∠B+∠D，
∵∠B＝36°，∠D＝14°，
∴∠P＝25°；
（3）2∠P＝∠B+∠D．
理由：∵CP、AG分别平分∠BCE、∠FAD，
∴∠ECP＝∠PCB，∠FAG＝∠GAD，
∵∠PAB＝∠FAG，
∴∠GAD＝∠PAB，
∵∠P+∠PAB＝∠B+∠PCB，
∴∠P+∠GAD＝∠B+∠PCB，
∵∠P+∠PAD＝∠D+∠PCD，
∴∠P+（180°﹣∠GAD）＝∠D+（180°﹣∠ECP），
∴2∠P＝∠B+∠D．
【点评】本题主要考查三角形的内角和定理，角平分线的定义，及角的计算，灵活运用等式的性质进行角的计算是解题的关键．
30．（2020秋•南海区期末）已知：线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB．
（1）如图1，求证：∠A+∠D＝∠B+∠C；
（2）如图2，∠ADC和∠ABC的平分线DE和BE相交于点E，并且与AB、CD分别相交于点M、N，∠A＝28°，∠C＝32°，求∠E的度数；
（3）如图3，∠ADC和∠ABC的三等分线DE和BE相交于点E，并且与AB、CD分别相交于点M、N，∠CDE＝∠ADC，∠CBE＝∠ABC，试探究∠A、∠C、∠E三者之间存在的数量关系，并说明理由．
【考点】三角形内角和定理．菁优网版权所有
【专题】线段、角、相交线与平行线；三角形；推理能力．
【分析】（1）根据三角形的内角和定理，结合对顶角相等可求解；
（2）由角平分线的定义可得∠ADE＝∠CDE，∠ABE＝∠CBE，结合（1）可得∠A+∠C＝2∠E，再代入计算即可求解；
（3）由∠CDE＝∠ADC，∠CBE＝∠ABC可得∠ADE＝2∠CDE，∠ABE＝2∠CBE，结合（1）可得∠A+2∠C+∠ADE+2∠CBE＝3∠E+∠ABE+2∠CDE，进而可求解．
【解答】（1）证明：∵∠A+∠D+∠AOD＝∠C+∠B+∠BOC＝180°，
∠AOD＝∠BOC，
∴∠A+∠D＝∠C+∠B；
（2）解：∵∠ADC和∠ABC的平分线DE和BE相交于点E，
∴∠ADE＝∠CDE，∠ABE＝∠CBE，
由（1）可得∠A+∠ADE＝∠E+∠ABE，∠C+∠CBE＝∠E+∠CDE，
∴∠A+∠C＝2∠E，
∵∠A＝28°，∠C＝32°，
∴∠E＝30°；
（3）解：∠A+2∠C＝3∠E．
理由：∵∠CDE＝∠ADC，∠CBE＝∠ABC，
∴∠ADE＝2∠CDE，∠ABE＝2∠CBE，
由（1）可得∠A+∠ADE＝∠E+∠ABE，∠C+∠CBE＝∠E+∠CDE，
∴2∠C+2∠CBE＝2∠E+2∠CDE，
∴∠A+2∠C+∠ADE+2∠CBE＝3∠E+∠ABE+2∠CDE，
即∠A+2∠C＝3∠E．
【点评】本题主要考查角平分线的定义，三角形的内角和定理，灵活运用将三角形的内角和定理解决问题是解题的关键．
考点卡片
1．角平分线的定义
（1）角平分线的定义
从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．
（2）性质：若OC是∠AOB的平分线
则∠AOC＝∠BOC＝∠AOB或∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC．
（3）平分角的方法有很多，如度量法、折叠法、尺规作图法等，要注意积累，多动手实践．
2．角的计算
（1）角的和差倍分
①∠AOB是∠AOC和∠BOC的和，记作：∠AOB＝∠AOC+∠BOC．∠AOC是∠AOB和∠BOC的差，记作：∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC．②若射线OC是∠AOB的三等分线，则∠AOB＝3∠BOC或∠BOC＝∠AOB．
（2）度、分、秒的加减运算．在进行度分秒的加减时，要将度与度，分与分，秒与秒相加减，分秒相加，逢60要进位，相减时，要借1化60．
（3）度、分、秒的乘除运算．①乘法：度、分、秒分别相乘，结果逢60要进位．②除法：度、分、秒分别去除，把每一次的余数化作下一级单位进一步去除．
3．点到直线的距离
（1）点到直线的距离：直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．
（2）点到直线的距离是一个长度，而不是一个图形，也就是垂线段的长度，而不是垂线段．它只能量出或求出，而不能说画出，画出的是垂线段这个图形．
4．平行线的性质
1、平行线性质定理
定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等． 简单说成：两直线平行，同位角相等．
定理2：两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补．．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．
定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等． 简单说成：两直线平行，内错角相等．
2、两条平行线之间的距离处处相等．
5．三角形的角平分线、中线和高
（1）从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．
（2）三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线．
（3）三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．
（4）三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段．
（5）锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点．
6．三角形的面积
（1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△＝×底×高．
（2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．
7．三角形三边关系
（1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．
（2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
（3）三角形的两边差小于第三边．
（4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略．
8．三角形内角和定理
（1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．
（2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°．
（3）三角形内角和定理的证明
证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线．
（4）三角形内角和定理的应用
主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．
9．三角形的外角性质
（1）三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．
三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对．
（2）三角形的外角性质：
①三角形的外角和为360°．
②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角．
（3）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去．
（4）探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角．
10．全等三角形的判定
（1）判定定理1：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等．
（2）判定定理2：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．
（3）判定定理3：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．
（4）判定定理4：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．
（5）判定定理5：HL﹣﹣斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等．
方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．
11．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
12．全等三角形的应用
（1）全等三角形的性质与判定综合应用
用全等寻找下一个全等三角形的条件，全等的性质和判定往往是综合在一起应用的，这需要认真分析题目的已知和求证，分清问题中已知的线段和角与所证明的线段或角之间的联系．
（2）作辅助线构造全等三角形
常见的辅助线做法：①把三角形一边的中线延长，把分散条件集中到同一个三角形中是解决中线问题的基本规律．②证明一条线段等于两条线段的和，可采用“截长法”或“补短法”，这些问题经常用到全等三角形来证明．
（3）全等三角形在实际问题中的应用
一般方法是把实际问题先转化为数学问题，再转化为三角形问题，其中，画出示意图，把已知条件转化为三角形中的边角关系是关键．
13．作图—基本作图
基本作图有：
（1）作一条线段等于已知线段．
（2）作一个角等于已知角． （3）作已知线段的垂直平分线． （4）作已知角的角平分线． （5）过一点作已知直线的垂线．
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