江苏省苏州市高新区2020-2021学年八年级下学期期中数学试卷（word版 含答案）

这是一份江苏省苏州市高新区2020-2021学年八年级下学期期中数学试卷（word版 含答案），共33页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

江苏省苏州市高新区2020-2021学年八年级下学期期中数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________


一、单选题
1．下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在四边形ABCD中，下列条件不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）

A．AB∥DC， AD∥BC B．AB＝DC，AD＝BC
C．AD∥BC，AB＝DC D．AB∥DC，AB＝DC
3．如果把分式的x和y都扩大3倍，那么分式的值（ ）
A．扩大3倍 B．缩小为原来的 C．扩大6倍 D．不变
4．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于O点，E，F分别是AB，BC边上的中点，连接EF．若，，则菱形ABCD的周长为（　　　）

A． B．16 C． D．32
5．在四边形ABCD中，对角线AC，BD互相平分，要使四边形ABCD为矩形，需添加的条件是（　　）
A．∠B＝90° B．∠A＝∠C C．AB＝BC D．AC⊥BD
6．反比例函数y＝（k为常数，k≠0）的图象经过点（2，1），则下列说法错误的是（　　）
A．k＝2
B．当x＞0时，y 随x的增大而增大
C．函数图象分布在第一、三象限
D．当x＜0时，y随x的增大而减小
7．如图，矩形中，，点在边上，平分，，则长（ ）

A． B． C． D．
8．已知、是关于的一元二次方程的两个根，若、、5为等腰三角形的边长，则的值为（ ）
A．－4 B．8 C．－4或－8 D．4或－8
9．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，，若将△ABC绕点A逆时针旋转60°，得到△ADE，连接BE，则BE的长为（ ）

A． B． C． D．
10．如图，四边形OABC是平行四边形，点A的坐标为A（3，0），∠COA = 60°，D为边AB的中点，反比例函数y =（x > 0）的图象经过C，D两点，直线CD与y轴相交于点E，则点E的坐标为（ ）

A．（0，2） B．（0，3） C．（0，5） D．（0，6）

二、填空题
11．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_________．
12．一元二次方程x2+mx+2m=0的两个实根分别为x1，x2，若x1+x2=1，则x1x2=______.
13．如图，菱形的面积为，正方形的面积为，则菱形的边长为_______．

14．若点在反比例函数和一次函数的图像上，则代数式的值为______．
15．关于x的方程的解为正数，则k的取值范围是____．
16．如图，△ABC中，AD是中线，AE是角平分线， CF⊥AE于F，AB=13，AC=8，则DF的长为_________．

17．在研究一次函数y1=kx+b与反比例函数y2=时，列表如下：
x
…
-2
-1
1
2
3
4
…
y1=kx+b
…
6
5
3
2
1
0
…
y2=
…

-3
3

1

…
由此可以推断，当y1> y2，自变量x的取值范围是_________．
18．如图，菱形的边在轴上，顶点坐标为，顶点坐标为，点 在轴上，线段轴，且点坐标为，若菱形沿轴左右运动，连接、，则运动过程中，四边形周长的最小值是_______．


三、解答题
19．计算：
（1）；
（2）．
20．解方程：
（1）
（2）
21．先化简，再求值：，其中
22．如图，已知的三个顶点的坐标分别为,,．

（1）画出关于原点成中心对称的图形；
（2）将绕原点顺时针旋转，画出对应的，并写出点的坐标_____________．
23．如图一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点．

（1）求反比例函数的解析式和一次函数的解析式；
（2）根据图像，直接写出当时，的取值范围；
（3）若点坐标为，求的面积．
24．在中，，是的中点，是的中点.过点作交的延长线于点．

（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求菱形的面积．
25．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若，求m的值．
26．某制药厂生产一种创新型中药，该药对于治疗流感及新冠肺炎都有较好的疗效．该制药厂第一车间原来每天能生产该药品960箱，受疫情影响，曾经停工停产，在复工复产初期，该生产车间仍有6名工人没有报到．已到厂的工人积极生产，原来每天工作8小时，现在每天加班2小时，在每人每小时平均完成的工作量不变的情况下，该车间现在每天能生产该药品840箱．
（1）该制药厂第一车间原来有工人多少人？
（2）就这样加班生产已过10天，该制药车间接到加急任务：将复工后的20400箱药品供应武汉市，制药厂决定从其他制药车间抽调6名技术工人以填补未到岗工人的空缺，并且每天仍然加班生产2小时，那么该车间至少还需要生产多少天才能完成任务？
27．定义：我们把三角形被一边中线分成的两个三角形叫做“友好三角形”．
性质：如果两个三角形是“友好三角形”，那么这两个三角形的面积相等．
理解：如图①，在△ABC中，CD是AB边上的中线，那么△ACD和△BCD是“友好三角形”，并且S△ACD=S△BCD．
应用：如图②，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E在AD上，点F在BC上，AE=BF，AF与BE交于点O．
（1）求证：△AOB和△AOE是“友好三角形”；
（2）连接OD，若△AOE和△DOE是“友好三角形”，求四边形CDOF的面积．
探究：在△ABC中，∠A=30°，AB=4，点D在线段AB上，连接CD，△ACD和△BCD是“友好三角形”，将△ACD沿CD所在直线翻折，得到△A′CD，若△A′CD与△ABC重合部分的面积等于△ABC面积的，请直接写出△ABC的面积．

28．如图①，将正方形放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点D的坐标为，

（1）点B的坐标为___________．
（2）若点P为对角线上的动点，作等腰直角三角形，使，如图②，连接，则与的关系（位置与数量关系）是，并说明理由：
（3）在（1）的条件下，点M在x轴上，在平面内是否存在点N，使以B、D、M、N为顶点的四边形是矩形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．


参考答案
1．B
【分析】
根据中心对称图形以及轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【详解】
解：A选项：既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，所以本选项不符合题意；
B选项：既是轴对称图形，又是中心对称图形，所以本选项符合题意；
C选项：是轴对称图形，不是中心对称图形，所以本选项不符合题意；
D选项：不是轴对称图形，是中心对称图形，所以本选项不符合题意．
故选B．
【点睛】
本题考查了中心对称图形以及轴对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后和原图形重合．
2．C
【分析】
注意题目所问是“不能”，根据平行四边形的判定条件可解出此题．
【详解】
解：平行四边形的判定条件：
A、根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可判定，不符合题意；
B、根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形可判定，不符合题意；
C、可能是等腰梯形，不能判定，符合题意；
D、根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可判定，不符合题意；
故选：C．
【点睛】
本题主要考查平行四边形的性质，掌握平行四边形的基本性质是解答本题的关键
3．D
【分析】
根据分式的性质即可得出答案．
【详解】
解：如果把分式的和都扩大3倍，
，
则分式的值不变，
故选D．
【点睛】
本题考查了分式的基本性质，利用分式的基本性质是解题关键．
4．C
【分析】
首先利用三角形的中位线定理得出AC，再利用菱形的性质和勾股定理求出菱形的边长，即可计算出菱形ABCD的周长．
【详解】
解：∵E，F分别是AB，BC边上的中点，EF＝，
∴AC＝2EF＝，
∵四边形ABCD是菱形，，
∴AC⊥BD，OA＝AC＝，OB＝BD＝4，
∴AB＝＝，
∴菱形ABCD的周长为：＝．
故选：C．
【点睛】
此题考查了菱形的性质，三角形的中位线定理及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
5．A
【分析】
四边形ABCD的对角线互相平分，则说明四边形是平行四边形，由矩形的判定定理知，只需添加条件是对角线相等或有一内角为直角即可．
【详解】
解：∵对角线AC与BD互相平分，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴要使四边形ABCD成为矩形，
需添加一个条件是：对角线相等（AC＝BD）或有一个内角等于90°．

故选：A．
【点睛】
本题考查了平行四边形的判定定理与矩形的判定定理．掌握对角线相等的平行四边形是矩形；有一个角是直角的平行四边形是矩形是解答本题的关键．
6．B
【分析】
根据反比例函数y＝（k为常数，k≠0）的图象经过点（2，1），可以得到k的值，然后根据反比例函数的性质，即可判断各个选项中的说法是否正确，从而可以得出答案．
【详解】
解：∵反比例函数y＝（k为常数，k≠0）的图象经过点（2，1），
∴k=1×2=2，故选项A说法正确；
∵k=2＞0，
∴该函数的图象在第一、三象限，故选项C说法正确；
在每个象限内，y随x的增大而减小，故选项B说法错误、选项D说法正确；
故选：B．
【点睛】
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．
7．B
【分析】
根据矩形的性质和等腰三角形的判定得出BC=CE，进而利用勾股定理解答即可．
【详解】
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=2，∠A=∠D=∠DCB=90°，
∵∠DCE=45°，
∴DE=DC=2，
∴EC=2，
∵∠DCE=45°，
∴∠DEC=45°，
∵EB平分∠AEC，
∴∠AEB=∠BEC=∠AEC=＝67.5°，
∵AD∥BC
∴∠AEB=∠EBC，
∴∠BEC=∠EBC，
∴BC=CE=2，
∴AD=BC=2，
∴AE=AD-DE=2-2，
故选：B．
【点睛】
此题考查矩形的性质，关键是根据矩形的性质和等腰三角形的判定和性质解答．
8．C
【分析】
利用根与系数的关系可求出a+b＝6，结合等腰三角形的性质可得出a＝b＝3或a，b两数分别为1，5，再利用两根之积等于﹣n+1，即可求出n值．
【详解】
解：∵a，b是关于x的一元二次方程x2﹣6x﹣n+1＝0的两根，
∴a+b＝6，ab=﹣n+1，
又∵等腰三角形边长分别为a，b，5，
∴a＝b＝3或a，b两数分别为1，5．
当a＝b＝3时，﹣n+1＝3×3，解得：n＝﹣8；
当a，b两数分别为1，5时，﹣n+1＝1×5，解得：n＝﹣4．
故选：C．
【点睛】
本题考查了根与系数的关系、三角形三边关系以及等腰三角形的性质，利用根与系数的关系结合等腰三角形的性质，求出a，b的值是解题的关键．
9．C
【分析】
首先考虑到BE所在的三角形并不是特殊三角形，所以猜想到要求BE，可能需要构造直角三角形．由旋转的性质可知，AC＝AE，∠CAE＝60°，故△ACE是等边三角形，可证明△ABE与△CBE全等，可得到∠ABE＝45°，∠AEB＝30°，再证△AFB和△AFE是直角三角形，然后在根据勾股定理求解．
【详解】
连结CE，设BE与AC相交于点F，如图所示，

∵Rt△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，
∴∠BCA＝∠BAC＝45°，
∵Rt△ABC绕点A逆时针旋转60°与Rt△ADE重合，
∴∠BAC＝∠DAE＝45°，AC＝AE，
又∵旋转角为60°，
∴∠BAD＝∠CAE＝60°，
∴△ACE是等边三角形，
∴AC＝CE＝AE＝4，
在△ABE与△CBE中，
，
∴△ABE≌△CBE （SSS），
∴∠ABE＝∠CBE＝45°，∠CEB＝∠AEB＝30°，
∴在△ABF中，∠BFA＝180°−45°−45°＝90°，
∴∠AFB＝∠AFE＝90°，
在Rt△ABF中，由勾股定理得，
BF＝AF＝AB＝2，
又在Rt△AFE中，∠AEF＝30°，∠AFE＝90°，
FE＝AF＝2，
∴BE＝BF＋FE＝2＋2，
故选：C．
【点睛】
此题是旋转性质题，解决此题，关键是思路要明确：“构造”直角三角形．在熟练掌握旋转的性质的基础上，还要应用全等的判定及性质，直角三角形的判定及勾股定理的应用．
10．B
【分析】
作CE⊥x轴于点E，过B作BF⊥x轴于F，过D作DM⊥x轴于M，设C的坐标为（x，x），表示出D的坐标，将C、D两点坐标代入反比例函数的解析式，解关于x的方程求出x即可得到点C、D的坐标，进而求得直线CD的解析式，最后计算该直线与y轴交点坐标即可得出结果．
【详解】
解：作CE⊥x轴于点E，则∠CEO=90°，
过B作BF⊥x轴于F，过D作DM⊥x轴于M，

则BF=CE，DM∥BF，BF=CE，
∵D为AB的中点，
∴AM=FM，
∴DM=BF，
∵∠COA=60°，
∴∠OCE=30°，
∴OC=2OE，CE=OE，
∴设C的坐标为（x，x），
∴AF=OE=x，CE=BF=x，OE=AF=x，DM=x，
∵四边形OABC是平行四边形，A（3，0），
∴OF=3+x，OM=3+x，
即D点的坐标为(3+x，)，
把C、D的坐标代入y=得：k=x•x=(3+x)•，
解得：x1=2，x2=0（舍去），
∴C（2，2），D（4，），
设直线CD解析式为：y=ax+b，则
，解得，
∴直线CD解析式为：，
∴当x=0时，，
∴点E的坐标为(0，)．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了平行四边形的性质、运用待定系数法求函数的解析式以及含度角的直角三角形的性质．根据反比例函数图象经过C、D两点，得出关于x的方程是解决问题的关键．
11．且
【分析】
根据分式有意义的条件可得x+2≠0，根据二次根式有意义的条件可得1-x≥0，再解不等式即可．
【详解】
解：有意义，
∴，
解得且，
故答案为：得且．
【点睛】
此题主要考查了二次根式有意义的条件，以及分式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．分式有意义的条件是分母不等于零．
12．-2．
【详解】
试题分析：根据根与系数的关系得到x1+x2=-m=1，x1x2=2m，先求出m的值，然后计算x1x2的值．
试题解析：根据题意得x1+x2=-m=1，x1x2=2m，
所以m=-1，
所以x1x2=-2．
考点：根与系数的关系．
13．；
【分析】
根据正方形的面积可用对角线进行计算解答即可．
【详解】
因为正方形AECF的面积为50cm2，
所以，
因为菱形ABCD的面积为120cm2，
所以，
所以菱形的边长=．
故答案为：13．
【点睛】
此题考查正方形的性质，关键是根据正方形和菱形的面积进行解答．
14．0
【分析】
将A（a，b）代入一次函数与反比例函数解析式中，求出a-b和ab的值，代入计算求值即可．
【详解】
解：把代入和中得：
，，
∴，
∴，



故答案为：0．
【点睛】
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是找出a-b和ab的值．
15．且
【分析】
分式方程去分母转化为整式方程，求出整式的方程的解得到的值，根据分式方程解是正数，即可确定出的范围．
【详解】
解：分式方程去分母得：，
解得：，
经检验，是原方程的解
根据题意得：，且，
解得：，且．
故答案为：，且．．
【点睛】
此题考查了分式方程的解，本题需注意在任何时候都要考虑分母不为0．
16．2.5
【分析】
延长CF交AB于H，证明△AFH≌△AFC，根据全等三角形的性质得到AH=AC=7，CF=FH，求出HB，根据三角形中位线定理计算即可．
【详解】
解：延长CF交AB于H，

∵AE平分∠BAC，
∴∠HAF=∠CAF,
在△AFH和△AFC中，
，
∴△AFH≌△AFC（ASA），
∴AH=AC，CF=FH，
∵AB=13，AC=8，
∴AH=AC=8，
∴HB=AB-AH=13-8=5，
∵CF=FH，CD=DB，
∴DF=HB=2.5，
故答案为：2.5．
【点睛】
本题考查了三角形中位线定理、全等三角形的判定和性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
17．x<0 或1 【分析】
先利用待定系数法分别求出一次函数和反比例函数的解析式，再画出两个函数图象，利用图象的特点即可得．
【详解】
将点和代入一次函数的解析式得，解得
则一次函数的解析式为
将点代入反比例函数的解析式得，解得
则反比例函数的解析式为
画出两个函数的图象如下所示：
由表可知，两个函数的图象的两个交点坐标分别为和
则当，即一次函数的图象在反比例函数的图象上方时，或
故答案为：或．

【点睛】
本题考查了一次函数与反比例函数的综合，利用待定系数法求出两个函数的解析式，并画出图象是解题关键．
18．18
【分析】
由题意可知AD、EF是定值，要使四边形周长的最小，AE＋DF的和应是最小的，运用“将军饮马”模型作点E关于AD的对称点E1，同时作DF∥AF1，此时AE＋DF的和即为E1F1，再求四边形周长的最小值．
【详解】
在Rt△COD中，OC＝3，OD＝4，
CD＝，
∵是菱形，
∴AD＝CD＝5，
∵坐标为，点 在轴上，
∴EF＝8，

作点E关于AD的对称点E1，同时作DF∥AF1，
则E1（0，2），F1（3，6），
则E1F1即为所求线段和的最小值，
在Rt△AE1F1中，E1F1＝，
∴四边形周长的最小值＝AD＋EF＋AE＋DF＝ AD＋EF＋ E1F1＝5＋8＋5＝18．

【点睛】
本题考查菱形的性质、“将军饮马”作对称点求线段和的最小值，比较综合，难度较大．
19．（1） ；（2）
【分析】
（1）将二次根式进行化简后再进行加减运算；
（2）先将带分数化为假分数，再利用二次根式乘除法则运算．
【详解】
（1）解：原式=
=
=
=
（2）解：原式=
=
=
=
【点睛】
本题考查二次根式的化简以及二次根式的混合运算，掌握二次根式的化简以及运算法则是解题关键．
20．（1）；（2），
【分析】
（1）去分母得到整式方程，解之，检验可得；
（2）利用因式分解法求解即可．
【详解】
解：（1），
方程两边同时乘以，得
，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，
所以．
（2），
因式分解，得，
∴或，
即，．
【点睛】
本题考查了解分式方程和一元二次方程，解题的关键是掌握方程的解法，注意分式方程要检验．
21．，
【分析】
首先计算括号里面的分式的减法，然后再计算括号外的除法，化简后，再代入x的值进行计算即可．
【详解】
解：原式


当时，
原式．
【点睛】
此题主要考查了分式的化简求值，二次根式的混合运算，关键是掌握分式的加、减、乘、除计算法则．
22．（1）图见解析；（2）图见解析，（3，2）．
【分析】
（1）利用关于原点对称的点的坐标特征写出、、点的坐标，然后描点即可；
（2）利用网格特点和旋转的性质画出A、B、C的对应点、、，根据图象可得点的坐标．
【详解】
解：（1）如图，为所作；
（2）如图，为所作，点的坐标为（3，2）．
故答案为（3，2）．

【点睛】
本题考查了作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
23．（1），；（2）或；（3）
【分析】
（1）将B代入反比例函数y=（x＞0）利用待定系数法即可求得；
（2）求得A的坐标，然后利用待定系数法即可求得直线的解析式；
（3）设一次函数解析式y=2x-5图象交y轴为点D，由S△ABC=S△ACD-S△BCD，可求S△ABC．
【详解】
解：（1）一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点．
，
反比例函数的解析式；
把代入得，
，
，
一次函数的图象经过，，
，解得：
一次函数解析式；
（2）由图象知，当时，或
（3）设一次函数解析式图象交轴为点，

当x=0时，y=-5

，
∴CD=7

．
【点睛】
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、待定系数法求一次函数解析式，关键是运用面积的和差表示所求面积．
24．（1）证明见解析；（2）6
【分析】
(1)先证明△AEF≌△DEB(AAS)，得AF＝DB，根据一组对边平行且相等可得四边形ADCF是平行四边形，由直角三角形斜边中线的性质得：AD＝CD，根据菱形的判定即可证明四边形ADCF是菱形；
(2)先根据菱形和三角形的面积可得：菱形ADCF的面积＝直角三角形ABC的面积，即可解答．
【详解】
解：(1)证明：∵E是AD的中点，
∴AE＝DE，
∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DBE，
在△AEF和△DEB中，
∵，
∴△AEF≌△DEB(AAS)，
∴AF＝DB，
∵是的中点，
∴DB=CD=AF，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，
∴AD＝CD＝BC，
∴四边形ADCF是菱形；
(2)解：如图，设AF到CD的距离为h，
∵AF∥BC，AF＝BD＝CD，∠BAC＝90°，
∴S菱形ADCF＝CD•h＝BC•h
＝S△ABC＝AB•AC
＝×4×3＝6．

【点睛】
本题主要考查的是菱形的判定与菱形的面积，需要有一定的推理论证能力，掌握菱形的判定方法是解题的关键．
25．（1）且；（2）2
【分析】
（1）由二次项系数非零及根的判别式△，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围；
（2）根据根与系数的关系可得出，，结合，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再结合且，即可确定的值．
【详解】
解：（1）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
，
解得：且．
（2），是一元二次方程的实数根，
，．
，即，
，
解得：，．
又且，
．
【点睛】
本题考查了根与系数的关系、根的判别式以及一元二次方程的定义，解题的关键是：（1）由二次项系数非零及根的判别式△，找出关于的一元一次不等式组；（2）根据根与系数的关系结合，找出关于的一元二次方程．
26．（1）20人；（2）10天
【分析】
（1）设第一车间原来有工人人，根据每人每小时完成的工作量不变，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）利用每人每小时完成的工作量=工作总量÷工作时间÷参与工作的人数，即可求出每人每小时完成的工作量，设还需要生产y天才能完成任务，根据工作总量=工作效率×工作时间×工作人数，即可得出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．
【详解】
解：（1）设第一车间原来有工人人．
由题意得，，
解得．
经检验，是原分式方程的解且符合题意．
答：该企业第一车间原来有工人20人．
（2）设还需要生产天才能完成任务．
当时，箱，
即每人每小时生产该药物箱．
由题意得，，
解得．
答：至少还需要生产10天才能完成任务．
【点睛】
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
27．（1）见解析；（2）12；探究：2或2．
【分析】
（1）利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，得到四边形ABFE是平行四边形，然后根据平行四边形的性质证得OE=OB，即可证得△AOE和△AOB是友好三角形；
（2）△AOE和△DOE是“友好三角形”，即可得到E是AD的中点，则可以求得△ABE、△ABF的面积，根据S四边形CDOF=S矩形ABCD-2S△ABF即可求解．
探究：画出符合条件的两种情况：①求出四边形A′DCB是平行四边形，求出BC和A′D推出∠ACB=90°，根据三角形面积公式求出即可；②求出高CQ，求出△A′DC的面积．即可求出△ABC的面积．
【详解】
解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∵AE=BF，
∴四边形ABFE是平行四边形，
∴OE=OB，
∴△AOE和△AOB是友好三角形．
（2）∵△AOE和△DOE是友好三角形，
∴S△AOE=S△DOE，AE=ED=AD=3，
∵△AOB与△AOE是友好三角形，
∴S△AOB=S△AOE，
∵△AOE≌△FOB，
∴S△AOE=S△FOB，
∴S△AOD=S△ABF，
∴S四边形CDOF=S矩形ABCD-2S△ABF=4×6-2××4×3=12．
探究：
解：分为两种情况：①如图1，

∵S△ACD=S△BCD．
∴AD=BD=AB，
∵沿CD折叠A和A′重合，
∴AD=A′D=AB=×4=2，
∵△A′CD与△ABC重合部分的面积等于△ABC面积的，
∴S△DOC=S△ABC=S△BDC=S△ADC=S△A′DC，
∴DO=OB，A′O=CO，
∴四边形A′DCB是平行四边形，
∴BC=A′D=2，
过B作BM⊥AC于M，
∵AB=4，∠BAC=30°，
∴BM=AB=2=BC，
即C和M重合，
∴∠ACB=90°，
由勾股定理得：AC=，
∴△ABC的面积是×BC×AC=×2×2=；
②如图2，

∵S△ACD=S△BCD．
∴AD=BD=AB，
∵沿CD折叠A和A′重合，
∴AD=A′D=AB=×4=2，
∵△A′CD与△ABC重合部分的面积等于△ABC面积的，
∴S△DOC=S△ABC=S△BDC=S△ADC=S△A′DC，
∴DO=OA′，BO=CO，
∴四边形A′BDC是平行四边形，
∴A′C=BD=2，
过C作CQ⊥A′D于Q，
∵A′C=2，∠DA′C=∠BAC=30°，
∴CQ=A′C=1，
∴S△ABC=2S△ADC=2S△A′DC=2××A′D×CQ=2××2×1=2；
即△ABC的面积是2或2．
28．（1）；（2）垂直且相等；（3）或或或
【分析】
（1）由“”可证，可得，，可求解；
（2）由“”可证，可得，，可证；
（3）分∠BDM=90°，∠DBM=90°，∠BMD=90°，分别讨论，利用矩形的性质求解．
【详解】
解：（1）如图①，过点作轴于，过点作轴于，

四边形是正方形，是坐标原点，点的坐标为，
，，，，
，，
，
，
，，
点坐标，
故答案为：；
（2），，
理由如下：如图②，四边形是正方形，是等腰直角三角形，
，，，，
，
，
，，
，
即；
（3）∵点坐标，点坐标，
∴直线BD的解析式为，
∵以、、、为顶点的四边形是矩形，点是平面内一点，
∴以、、为顶点的三角形是直角三角形．
当时，直线DM的解析式为，
此时点的坐标为，
由中点坐标公式可知，此时点的坐标为．
当时，直线BM的解析式为，
此时点的坐标为，
由中点坐标公式可知，此时点的坐标为．
当时，设BD的中点为，点坐标，
∴，
设点坐标，
∴，
解得，，
此时点的坐标为或，
当点的坐标为时，此时点的坐标为，
当点的坐标为时，此时点的坐标为，
综上所述，点坐标为或或或．
【点睛】
本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，两点距离公式等知识，利用分类讨论思想解决是本题的关键．