高中数学公式学案

这是一份高中数学公式学案，共12页。

高中数学常用公式及常用结论

1.包含关系


2．集合的子集个数共有 个；真子集有个；非空子集有 –1个；非空的真子集有–2个.
3.充要条件
若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件
p是q的充分不必要条件
p⇒q且q⇏p
p是q的必要不充分条件
p⇏q且q⇒p
p是q的充要条件
p⇔q
p是q的既不充分也不必要条件
p⇏q且q⇏p

4.全称命题、特称命题及含一个量词的命题的否定
命题名称
语言表示
符号表示
命题的否定
全称命题
对M中任意一个x，有p(x)成立
∀x∈M，p(x)
∃x0∈M，綈p(x0)
特称命题
存在M中的一个x0，使p(x0)成立
∃x0∈M，p(x0)
∀x∈M，綈p(x)

5.函数的单调性
(1)设那么
上是增函数；
上是减函数.
(2)设函数在某个区间内可导，如果，则为增函数；如果，则为减函数.
6.如果函数和都是减函数,则在公共定义域内,和函数也是减函数; 如果函数和在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数是增函数.
7．奇偶函数的图象特征
奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数．
8.若函数是偶函数，则；若函数是偶函数，则.
9.对于函数(),恒成立,则函数的对称轴是函数;两个函数与 的图象关于直线对称.
10.若,则函数的图象关于点对称; 若,则函数为周期为的周期函数.
11.函数的图象的对称性
(1)函数的图象关于直线对称.
(2)函数的图象关于直线对称.
12.几个常见的函数方程
(1)正比例函数(2)指数函数(3)对数函数(4)幂函数,.
(5)余弦函数,正弦函数
13.几个函数方程的周期(约定a>0)
（1），则的周期T=a；
（2），或，或,则的周期T=2a；
(3)，则的周期T=3a；
14.分数指数幂
(1)（，且）.(2)（，且）.
15．根式的性质
（1）.（2）当为奇数时，；当为偶数时，.
16.指数式与对数式的互化式
.
17.对数的换底公式
(,且,,且, ).
推论 (,且,,且,, ).
18．对数的四则运算法则
若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，则
(1);(2) ;(3).
19.设函数,记.若的定义域为,则，且;若 的值域为,则，且.对于的情形,需要单独检验.
20. 平均增长率的问题
如果原来产值的基础数为N，平均增长率为，则对于时间的总产值，有.
21.数列的同项公式与前n项的和的关系
( 数列的前n项的和为).
22.等差数列的通项公式；
其前n项和公式为
23.等比数列的通项公式；
其前n项的和公式为或.
24．常见三角不等式
（1）若，则.(2) 若，则.
25.同角三角函数的基本关系式
，=
26.正弦、余弦的诱导公式
公式
一
二
三
四
五
六
角
2kπ＋α(k∈Z)
π＋α
－α
π－α
－α
＋α
正弦
sin α
－sin α
－sin α
sin α
cos α
cos α
余弦
cos α
－cos α
cos α
－cos α
sin α
－sin α
正切
tan α
tan α
－tan α
－tan α


口诀
函数名不变，符号看象限
函数名改变，符号看象限

27.和角与差角公式
; ;
.
=(辅助角所在象限由点的象限决定, ).
28.二倍角公式
.
（升幂公式）
cos2α＝；sin2α＝；(降幂公式）
.
29.三角函数的周期公式
函数，x∈R及函数，x∈R(A,ω,为常数，且A≠0，ω＞0)的周期；函数，(A,ω,为常数，且A≠0，ω＞0)的周期.
30.正弦定理 
.
31.余弦定理
;;.
32.面积定理
（1）（分别表示a、b、c边上的高）.
（2）.
33.三角形内角和定理
在△ABC中，有.
34.平面向量基本定理 
如果e1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1、λ2，使得a=λ1e1+λ2e2．
不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
35. a与b的数量积(或内积)
a·b=|a||b|cosθ．
36. a·b的几何意义
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积．
37.平面向量的坐标运算
(1)设a=,b=，则a+b=.
(2)设a=,b=，则a-b=.
(3)设A，B,则.
(4)设a=，则a=.
(5)设a=,b=，则a·b=.
两向量的夹角公式
(a=,b=).
平面两点间的距离公式
=
(A，B).
向量的平行与垂直
设a=,b=，且b0，则
a||bb=λa .
ab(a0)a·b=0.
38.三角形的重心坐标公式
△ABC三个顶点的坐标分别为、、,则△ABC的重心的坐标是.
39. 三角形五“心”向量形式的充要条件
设为所在平面上一点，角所对边长分别为，则
（1）为的外心.
（2）为的重心.
（3）为的垂心.
（4）为的内心.
（5）为的的旁心.
40.基本不等式：
（1）(当且仅当a＝b时取“=”号)．
（2）(当且仅当a＝b时取“=”号)．
注：已知都是正数，则有
（1）若积是定值，则当时和有最小值；
（2）若和是定值，则当时积有最大值.
41.含有绝对值的不等式
当a> 0时，有
.
或.
42.指数不等式与对数不等式
(1)当时：;
.
(2)当时：;


43..斜率公式
（、）.
44.直线的五种方程
（1）点斜式 (直线过点，且斜率为)．
（2）斜截式 (b为直线在y轴上的截距).
（3）两点式 ()(、 ()).
(4)截距式 (分别为直线的横、纵截距，)
（5）一般式 (其中A、B不同时为0).
45.两条直线的平行和垂直
(1)若，
①; ②.
(2)若,,且A1、A2、B1、B2都不为零,
①； ②；
46．常用直线系方程
(1)平行直线系方程：直线中当斜率k一定而b变动时，表示平行直线系方程．与直线平行的直线系方程是()，λ是参变量．
(2)垂直直线系方程：与直线 (A≠0，B≠0)垂直的直线系方程是,λ是参变量．
47.点到直线的距离
(点,直线：).
48. 圆的方程
（1）圆的标准方程 .
（2）圆的一般方程 (＞0).
（3）圆的参数方程 .即三角换元
49.点与圆的位置关系
点与圆的位置关系有三种
若，则
点在圆外;点在圆上;点在圆内.
50.直线与圆的位置关系
直线与圆的位置关系有三种:
; ; .
其中.
51.两圆位置关系的判定方法
设两圆圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，
; ;
; ;
.
52.圆的切线方程
(1)已知圆．
①若已知切点在圆上，则切线只有一条，其方程是
.
当圆外时, 表示过两个切点的切点弦方程．
②过圆外一点的切线方程可设为，再利用相切条件求k，这时必有两条切线，注意不要漏掉平行于y轴的切线．
③斜率为k的切线方程可设为，再利用相切条件求b，必有两条切线．
(2)已知圆．
①过圆上的点的切线方程为;
②斜率为的圆的切线方程为.
53．椭圆的概念
平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．
集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c0，c>0，且a，c为常数．
椭圆的标准方程和几何性质
标准方程
＋＝1
(a>b>0)
＋＝1
(a>b>0)
图形


性
质
范围
－a≤x≤a
－b≤y≤b
－b≤x≤b
－a≤y≤a
对称性
对称轴：坐标轴　　对称中心：原点
顶点
坐标
A1(－a,0)，A2(a,0)
B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)
B1(－b,0)，B2(b,0)
轴
长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b
焦距
|F1F2|＝2c
离心率
e＝∈(0,1)
a，b，c
的关系
a2＝b2＋c2

椭圆的切线方程
（1）椭圆上一点处的切线方程是.
（2）过椭圆外一点所引两条切线的切点弦方程是
54.双曲线的概念
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c>2a，其中a，c为常数且a>0，c>0.
双曲线的标准方程和几何性质
标准方程
－＝1
(a>0，b>0)
－＝1
(a>0，b>0)
图形


性
质
范围
x≥a或x≤－a，y∈R
x∈R，y≤－a或y≥a
对称性
对称轴：坐标轴　对称中心：原点
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线
y＝±x
y＝±x
离心率
e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝
实虚轴
线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a，线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长
a，b，c
的关系
c2＝a2＋b2 (c>a>0，c>b>0)

双曲线的方程与渐近线方程的关系
(1）若双曲线方程为渐近线方程：.
(2)若渐近线方程为双曲线可设为.
(3)若双曲线与有公共渐近线，可设为（，焦点在x轴上，，焦点在y轴上）.
双曲线的切线方程
(1)双曲线上一点处的切线方程是.
（2）过双曲线外一点所引两条切线的切点弦方程是
55.抛物线的概念
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．
抛物线的标准方程和几何性质
标准
方程
y2＝2px
(p>0)
y2＝－2px
(p>0)
x2＝2py
(p>0)
x2＝－2py
(p>0)
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
图形




顶点
坐标
O(0,0)
对称轴
x轴
y轴
焦点
坐标
F
F
F
F
离心率
e＝1
准线
方程
x＝－
x＝
y＝－
y＝
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
开口
方向
向右
向左
向上
向下
焦半径
x0＋
－x0＋
y0＋
－y0＋
通径长
2p

抛物线的焦半径公式
抛物线焦半径.
过焦点弦长.
抛物线上的动点可设为P或 P，其中 .
56.直线与圆锥曲线相交的弦长公式
|AB|＝＝(k为直线斜率)．
57．（1）线面平行的判定定理和性质定理

文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(简记为“线线平行⇒线面平行”)

⇒l∥α
性质定理
一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行⇒线线平行”)

⇒l∥b

（2）面面平行的判定定理和性质定理

文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为“线面平行⇒面面平行”)

⇒α∥β
性质定理
如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行

⇒a∥b
（3）直线与平面垂直判定定理与性质定理


文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直

⇒l⊥α
性质定理
垂直于同一个平面的两条直线平行

⇒a∥b
（4）平面与平面垂直的判定定理与性质定理

文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直

⇒α⊥β
性质定理
两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直

⇒l⊥α

58.共线向量定理
对空间任意两个向量a、b(b≠0 )，a∥b存在实数λ使a=λb．
三点共线.
、共线且不共线且不共线.
59.共面向量定理
向量p与两个不共线的向量a、b共面的存在实数对,使．
推论 空间一点P位于平面MAB内的存在有序实数对,使，
或对空间任一定点O，有序实数对，使.
60.空间向量基本定理
如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使p＝xa＋yb＋zc．
推论 设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的三个有序实数x，y，z，使.
61.空间向量的直角坐标运算
设a＝，b＝则
(1)a＋b＝；(2)a－b＝；
(3)λa＝ (λ∈R)；(4)a·b＝；
62.设A，B，则
= .
63．空间的线线平行或垂直
设，，则
；.
64.夹角公式
设a＝，b＝，则
cos〈a，b〉=.
65．（1）异面直线所成角
=
（其中（）为异面直线所成角，分别表示异面直线的方向向量）
（2）直线与平面所成角
(为平面的法向量).
（3）.二面角的平面角
或 （，为平面，的法向量）.
66.（1）空间两点间的距离公式
若A，B，则
=.
（2）.异面直线间的距离
(是两异面直线，其公垂向量为，分别是上任一点，为间的距离).
（3）点到平面的距离
（为平面的法向量，是经过面的一条斜线，）.
67.球的半径是R，则
其体积,其表面积．
68.球的组合体
(1)球与长方体的组合体:
长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长.
(2)球与正方体的组合体:
正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长.
69．柱体、锥体的体积
（是柱体的底面积、是柱体的高）.
（是锥体的底面积、是锥体的高）.
70.分类计数原理（加法原理）.
分步计数原理（乘法原理）
71.排列数公式
==.(，∈N*，且)．注:规定.
72.组合数公式
===(∈N*，，且).
73.组合数的两个性质
(1)= ; (2) +=.注:规定.
(3).
(4).
(5).
74.排列数与组合数的关系
.
75.二项式定理 ;
二项展开式的通项公式
.
76.n次独立重复试验中某事件恰好发生k次的概率

77.离散型随机变量的分布列的两个性质
（1）; （2）.
78.数学期望

数学期望的性质
（1）. （2）若～,则.
方差

标准差 =.
方差的性质
(1)； (2）若～，则.
79.正态分布密度函数
，式中的实数μ，（>0）是参数，分别表示个体的平均数与标准差.
80.回归直线方程
，其中.
81.相关系数
|r|≤1，且|r|越接近于1，相关关系越强；|r|越接近于0，相关关系越弱.
82.在处的导数（或变化率或微商）
.
83. 函数在点处的导数的几何意义
函数在点处的导数是曲线在处的切线的斜率，相应的切线方程是.
84.几种常见函数的导数
(1) （C为常数）.(2) .(3) .
(4) .(5) ；.(6) ; .
85.导数的运算法则
（1）.（2）.（3）.
86.复合函数的求导法则
设函数在点处有导数，函数在点处的对应点U处有导数，则复合函数在点处有导数，且，或写作.
87.判别是极大（小）值的方法
当函数在点处连续时，
（1）如果在附近的左侧，右侧，则是极大值；
（2）如果在附近的左侧，右侧，则是极小值.
88.复数的相等
.（）
89.复数的模（或绝对值）
==.
90.复数的四则运算法则
(1);
(2);
(3);
(4).