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初中数学华师大版九年级上册1. 相似三角形第2课时教案
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这是一份初中数学华师大版九年级上册1. 相似三角形第2课时教案，共4页。
27.2.1 相似三角形的判定
第2课时 相似三角形判定定理1，2
素材一 新课导入设计
情景导入 置疑导入 归纳导入 复习导入 类比导入 悬念激趣
类比导入
类似“SSS”，你能得出“三边成比例的两个三角形相似”吗？如何证明呢？
[说明与建议] 说明：通过对三角形全等的判定的回顾，加强新旧知识的联系和延伸，类比旧知识的学习方法、数学思想来学习新知识．
建议：探索“三边成比例的两个三角形相似”可以引导学生通过测量、利用相似三角形的定义进行探究．证明该判定方法可以通过作平行线构造相似，利用“平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”．
图27－2－62
悬念激趣 如图27－2－62，现用一个交叉卡钳(两条尺长AC和BD相等，OC＝OD)量某工作的内孔直径AB.若OC∶OA＝1∶2，如果测得CD＝10，那么AB＝2×10＝20.你知道这是为什么吗？
[说明与建议] 说明：用生活中的实例吸引学生的注意力，激发他们的好奇心，让学生感知数学来源于生活，又服务于生活，增强感性认识，诱发学生对新知识的渴求．
建议：可以让学生寻找身边运用相似三角形解决实际问题的例子，增强学生对数学知识的应用意识．
素材二 考情考向分析
[命题角度1] 利用相似三角形的判定定理1在网格图中做判断
在网格图中判定两个三角形相似，一般要借助网格长，通过勾股定理计算出各边长，然后利用相似三角形的判定定理1进行判定．
例 图27－2－63中的五幅图均是由边长为1的16个小正方形组成的正方形网格，网格中的三角形的顶点都在小正方形的顶点上，那么右边四幅图中的三角形，与左图中的△ABC相似的有(B)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
图27－2－63
[解析] 可利用正方形的边把对应的线段表示出来，利用“三边成比例的两个三角形相似”，分别计算各边的长度即可解题．
观察可以发现AC＝eq \r(2)，BC＝2 eq \r(2)，AB＝eq \r(10)，故该三角形中必须有一条边与邻边的比值为2，且为直角三角形，第1个图形中，有两边长分别为2，4，且为直角三角形，第2，3个图形中，不存在两边长具备2倍关系，不可能相似，第4个图形中，有两边为eq \r(5)，2eq \r(5)，且为直角三角形，∴只有第1个和第4个图形与左图中的△ABC相似．
[命题角度2] 利用三边对应成比例求边长
当两个三角形相似时，三组对应边是成比例的．如果我们已经知道了相似，可以利用对应边成比例求边长．需要注意的是如果题目没有给出两个三角形相似的对应关系，则需要分情况讨论．
例 东营中考如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形的边长分别是3，4及x，那么x的值(B)
A．只有1个 B．可以有2个
C．有2个以上，但有限 D．有无数个
[命题角度3] 利用相似三角形的判定定理2证三角形相似
当条件中有两边时，通常用两边成比例且夹角相等来判定．在实际证明时，要注意隐含条件，如公共角、对顶角等．
例 如图27－2－64，已知AC和BD相交于点E，CE·AE＝BE·DE，求证：△ABE∽△DCE.
图27－2－64
证明：∵CE·AE＝BE·DE，∴eq \f(CE,DE)＝eq \f(BE,AE).
又∵∠AEB＝∠DEC，
∴△ABE∽△DCE.
素材三 图书增值练习
[当堂检测]
1．已知△MNP如图所示，则下列四个三角形中与△MNP相似的是（ ）
2. 如图，不等长的两对角线AC、BD相交于O点，且将四边形ABCD分成甲、乙、丙、丁四个三角形．若OA﹕OC＝OB﹕OD＝1﹕2，则此四个三角形的关系，下列叙述正确的是（ ）
A．甲、丙相似，乙、丁相似
B．甲、丙相似，乙、丁不相似
C．甲、丙不相似，乙、丁相似
D．甲、丙不相似，乙、丁不相似
3. 如图，在正方形网格上的三角形①②③中，与△ABC相似的三角形有 ．(填写序号)
4. 在△ABC中，AB＝12，AC＝15，D是BA延长线上的一点，且AD＝8．在CA的延长线上取一点E，要使得以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似，则AE的长为 ．
5. 如图，在△ABC中，点D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，求证：△DEF∽△CBA．
参考答案
1．C
2．B
3．①②
4．10或6.4
5． 证明：∵点D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，∴，，，
∴，∴△DEF∽△CBA．
素材四 数学素养提升
《探究玩跷跷板中的相似三角形》
地面
P
O
B
A
图1
著名华裔数学家陈省身教授曾给中国青少年的题词，就简单的四个字“数学好玩．”同学们熟悉的跷跷板很好玩吧，里面蕴含着丰富的数学知识．下面一道与跷跷板有关的题目，可以让你感悟到数学的魅力．
问题：小胖和小瘦去公园玩标准的跷跷板（图1）游戏，两同学越玩越开心．小胖对小瘦说：“真可惜！我只能将你最高翘到1米高，如果我俩各边的跷跷板都再伸长相同的一段长度，那么我就能翘到1.25米，甚至更高！”
（1）你认为小胖的话对吗？请你作图分析说明；
（2）你能否找出将小瘦翘到1.25米高的方法？试说明．
探索：（1）小胖的话不对．小胖说“真可惜！我现在只能将你最高翘到1米高”，情形如图2所示，OP是标准跷跷板支架的高度，AC是跷跷板一端能翘到的最高高度1米，BC是地面．
结论：跷跷板两边同时都再伸长相同的一段长度，跷跷板能翘到的最高高度始终为支架高度的两倍，所以不可能翘得更高．
（2）方案1：如图4所示，保持长度不变．将延长一半至，即只将小瘦一边伸长一半．使，则．
由得所以EF＝1.25米．
方案2：如图5所示，只将支架升高0.125米．因为又米． 由，即，得米．定义
判定方法
全等
三角形
能够完全重合的两个三角表叫做全等三角形
边边边
SSS
边角边
SAS
角边角
ASA
角角边
AAS
斜角与直
角边HL
相似
三角形
三角形对应角相等，三边对应成比例的两个三角形相似
27.2.1 相似三角形的判定
第2课时 相似三角形判定定理1，2
素材一 新课导入设计
情景导入 置疑导入 归纳导入 复习导入 类比导入 悬念激趣
类比导入
类似“SSS”，你能得出“三边成比例的两个三角形相似”吗？如何证明呢？
[说明与建议] 说明：通过对三角形全等的判定的回顾，加强新旧知识的联系和延伸，类比旧知识的学习方法、数学思想来学习新知识．
建议：探索“三边成比例的两个三角形相似”可以引导学生通过测量、利用相似三角形的定义进行探究．证明该判定方法可以通过作平行线构造相似，利用“平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”．
图27－2－62
悬念激趣 如图27－2－62，现用一个交叉卡钳(两条尺长AC和BD相等，OC＝OD)量某工作的内孔直径AB.若OC∶OA＝1∶2，如果测得CD＝10，那么AB＝2×10＝20.你知道这是为什么吗？
[说明与建议] 说明：用生活中的实例吸引学生的注意力，激发他们的好奇心，让学生感知数学来源于生活，又服务于生活，增强感性认识，诱发学生对新知识的渴求．
建议：可以让学生寻找身边运用相似三角形解决实际问题的例子，增强学生对数学知识的应用意识．
素材二 考情考向分析
[命题角度1] 利用相似三角形的判定定理1在网格图中做判断
在网格图中判定两个三角形相似，一般要借助网格长，通过勾股定理计算出各边长，然后利用相似三角形的判定定理1进行判定．
例 图27－2－63中的五幅图均是由边长为1的16个小正方形组成的正方形网格，网格中的三角形的顶点都在小正方形的顶点上，那么右边四幅图中的三角形，与左图中的△ABC相似的有(B)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
图27－2－63
[解析] 可利用正方形的边把对应的线段表示出来，利用“三边成比例的两个三角形相似”，分别计算各边的长度即可解题．
观察可以发现AC＝eq \r(2)，BC＝2 eq \r(2)，AB＝eq \r(10)，故该三角形中必须有一条边与邻边的比值为2，且为直角三角形，第1个图形中，有两边长分别为2，4，且为直角三角形，第2，3个图形中，不存在两边长具备2倍关系，不可能相似，第4个图形中，有两边为eq \r(5)，2eq \r(5)，且为直角三角形，∴只有第1个和第4个图形与左图中的△ABC相似．
[命题角度2] 利用三边对应成比例求边长
当两个三角形相似时，三组对应边是成比例的．如果我们已经知道了相似，可以利用对应边成比例求边长．需要注意的是如果题目没有给出两个三角形相似的对应关系，则需要分情况讨论．
例 东营中考如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形的边长分别是3，4及x，那么x的值(B)
A．只有1个 B．可以有2个
C．有2个以上，但有限 D．有无数个
[命题角度3] 利用相似三角形的判定定理2证三角形相似
当条件中有两边时，通常用两边成比例且夹角相等来判定．在实际证明时，要注意隐含条件，如公共角、对顶角等．
例 如图27－2－64，已知AC和BD相交于点E，CE·AE＝BE·DE，求证：△ABE∽△DCE.
图27－2－64
证明：∵CE·AE＝BE·DE，∴eq \f(CE,DE)＝eq \f(BE,AE).
又∵∠AEB＝∠DEC，
∴△ABE∽△DCE.
素材三 图书增值练习
[当堂检测]
1．已知△MNP如图所示，则下列四个三角形中与△MNP相似的是（ ）
2. 如图，不等长的两对角线AC、BD相交于O点，且将四边形ABCD分成甲、乙、丙、丁四个三角形．若OA﹕OC＝OB﹕OD＝1﹕2，则此四个三角形的关系，下列叙述正确的是（ ）
A．甲、丙相似，乙、丁相似
B．甲、丙相似，乙、丁不相似
C．甲、丙不相似，乙、丁相似
D．甲、丙不相似，乙、丁不相似
3. 如图，在正方形网格上的三角形①②③中，与△ABC相似的三角形有 ．(填写序号)
4. 在△ABC中，AB＝12，AC＝15，D是BA延长线上的一点，且AD＝8．在CA的延长线上取一点E，要使得以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似，则AE的长为 ．
5. 如图，在△ABC中，点D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，求证：△DEF∽△CBA．
参考答案
1．C
2．B
3．①②
4．10或6.4
5． 证明：∵点D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，∴，，，
∴，∴△DEF∽△CBA．
素材四 数学素养提升
《探究玩跷跷板中的相似三角形》
地面
P
O
B
A
图1
著名华裔数学家陈省身教授曾给中国青少年的题词，就简单的四个字“数学好玩．”同学们熟悉的跷跷板很好玩吧，里面蕴含着丰富的数学知识．下面一道与跷跷板有关的题目，可以让你感悟到数学的魅力．
问题：小胖和小瘦去公园玩标准的跷跷板（图1）游戏，两同学越玩越开心．小胖对小瘦说：“真可惜！我只能将你最高翘到1米高，如果我俩各边的跷跷板都再伸长相同的一段长度，那么我就能翘到1.25米，甚至更高！”
（1）你认为小胖的话对吗？请你作图分析说明；
（2）你能否找出将小瘦翘到1.25米高的方法？试说明．
探索：（1）小胖的话不对．小胖说“真可惜！我现在只能将你最高翘到1米高”，情形如图2所示，OP是标准跷跷板支架的高度，AC是跷跷板一端能翘到的最高高度1米，BC是地面．
结论：跷跷板两边同时都再伸长相同的一段长度，跷跷板能翘到的最高高度始终为支架高度的两倍，所以不可能翘得更高．
（2）方案1：如图4所示，保持长度不变．将延长一半至，即只将小瘦一边伸长一半．使，则．
由得所以EF＝1.25米．
方案2：如图5所示，只将支架升高0.125米．因为又米． 由，即，得米．定义
判定方法
全等
三角形
能够完全重合的两个三角表叫做全等三角形
边边边
SSS
边角边
SAS
角边角
ASA
角角边
AAS
斜角与直
角边HL
相似
三角形
三角形对应角相等，三边对应成比例的两个三角形相似
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