初中数学人教版九年级下册27.2.3 相似三角形应用举例教案

这是一份初中数学人教版九年级下册27.2.3 相似三角形应用举例教案，共20页。
情景导入 置疑导入 归纳导入 复习导入 类比导入 悬念激趣
情景导入 今天我们要做一节活动课，任务是利用三角形相似的有关知识，测量我校操场上旗杆的高度．你能采用什么办法呢？
(1)回忆判定两个三角形相似的条件有哪些；
(2)每个小组准备好小镜子、标杆、皮尺等测量工具．分组活动，全班交流研讨，并运用所学知识验证结论的正确性． 图27－2－197
[说明与建议] 说明：思维，往往是从人的动作、活动参与开始的，而动手操作及量一量活动，则最易激发学生的想象、思维和发现．在量一量中增强自己的感性认识与经验，进而上升到理性观察、思考与推理论证．
建议：在学生操作时，教师要引导学生进行思考、分析，为进一步学习积累数学活动经验．
悬念激趣 胡夫金字塔是埃及现存规模最大的金字塔，被喻为“世界古代七大奇观之一” .塔的4个斜面正对东南西北四个方向，塔基呈正方形，每边长约二百三十多米．据考证，为建成大金字塔，共动用了10万人花了20年时间．原高146.59米，但经过几千年的风吹雨打，顶端被风化吹蚀，所以高度有所降低．
在古希腊，有一位伟大的科学家叫泰勒斯．一天，希腊国王阿马西斯对他说：“听说你什么都知道，那就请你测量一下埃及金字塔的高度吧！”这在当时条件下是个大难题，因为很难爬到塔顶．你知道泰勒斯是怎样测量大金字塔的高度的吗？
[说明与建议] 说明：通过金字塔的导入，激发学生的学习兴趣和探究新知的欲望，还能对相似三角形的应用有初步的了解和认识．
建议：测量金字塔高度问题可以用两种方法：
图27－2－198
方法一：根据太阳光的光线是互相平行的特点，可知在同一时刻的阳光下，竖直的两个物体的影子互相平行，从而构造相似三角形，再利用相似三角形的判定和性质，根据已知条件，求出金字塔的高度．
方法二：利用镜面反射(如图27－2－198，点A处放置一面小镜子，根据光的反射定律——入射角等于反射角构造相似三角形)．
素材二 考情考向分析
[命题角度1] 利用太阳光求物体的高度
根据太阳光是平行光线可以得到同一时刻同一地点下两个物体及其影长是成比例的，即物体、光线、影子所组成的两个三角形相似．可利用相似的性质来求物体的高度或在阳光下的影子的长度．
例1 柳州中考小明在测量楼高时，先测出楼房落在地面上的影长BA为15米(如图27－2－199)，然后在A处树立一根高2米的标杆，测得标杆的影长AC为3米，则楼高为(A)
图27－2－199
A．10米 B．12米 C．15米 D．22.5米
[命题角度2] 利用影子求物体的高度(影子落在墙上时)
当物体的影子有一部分落在墙上时，我们要考虑如何把墙上的影子高度进行转化．通过做辅助线可以把物体分成两部分，一部分物体的高度就是影子在墙上的高度，另一部分可以看做影子完全落在水平面上，即可利用相似三角形的相关知识来求解．
例 黑龙江中考在同一时刻两根木杆在太阳光下的影子如图27－2－200所示，其中木杆AB＝2 m，它的影子BC＝1.6 m，木杆PQ的影子有一部分落在了墙上，PM＝1.2 m，MN＝0.8 m，则木竿PQ的长度为__2.3__ m.
图27－2－200
[命题角度3] 利用标杆(或三角尺)解决实际问题
借助于标杆或三角尺，通过视线来构造相似三角形，进而利用对应边成比例解决问题．在这里如何操作，利用标杆或三角尺构造相似三角形是解此类题的关键．
例 北京中考如图27－2－201，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与树顶点B在同一直线上，已知纸板的两条直角边DE＝40 cm，EF＝20 cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.5 m，CD＝8 m，则树高AB＝__5.5__ m.
图27－2－201
[命题角度4] 利用相似三角形测宽
把要测量的不能直接到达的宽与能够直接量出的宽构造成一对相似三角形的对应边，再测量这对三角形的另一对对应边，根据相似三角形的对应边成比例求出要测量的不能直接到达的宽度．
例 北京中考如图27－2－202，为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上．若测得BE＝20 m，EC＝10 m，CD＝20 m，则河的宽度AB等于(B)
图27－2－202
A．60 m B．40 m C．30 m D．20 m
[命题角度5] 多次利用相似三角形测高
利用视线和两根已知长的标杆，构造两对相似的直角三角形，利用相似三角形的性质求出建筑物的高．
例 潍坊中考如图27－2－203，某水平地面上建筑物的高度为AB，在点D和点F处分别竖立高是2米的标杆CD和EF，两标杆相隔52米，并且建筑物AB、标杆CD和EF在同一竖直平面内．从标杆CD后退2米到点G处，在G处测得建筑物顶端A、标杆顶端C在同一条直线上；从标杆FE后退4米到点H处，在H处测得建筑物顶端A和标杆顶端E在同一直线上，则建筑物的高是__54__米．
图27－2－203
素材三 教材习题答案
P31 练习
1．如图，AB∥CD∥EF，AF与BE相交于点G，且AG＝2，GD＝1，DF＝5，求eq \f(BC,CE)的值．
解：∵AG＝2，GD＝1，∴AD＝AG＋GD＝3.
∵AB∥CD∥EF，∴eq \f(BC,CE)＝eq \f(AD,DF)＝eq \f(3,5).
2．如图，在△ABC中，DE∥BC，且AD＝3，DB＝2.写出图中的相似三角形，并指出其相似比．
解：△ADE∽△ABC，相似比为3∶5.
P34 练习
1．根据下列条件，判断△ABC与△A′B′C′是否相似，并说明理由：
(1)∠A＝40°，AB＝8 cm，AC＝15 cm，
∠A′＝40°，A′B′＝16 cm，A′C′＝30 cm；
(2)AB＝10 cm，BC＝8 cm，AC＝16 cm，
A′B′＝16 cm，B′C′＝12.8 cm，A′C′＝25.6 cm.
解： (1)∵eq \f(AB,A′B′)＝eq \f(AC,A′C′)＝eq \f(1,2)，∠A＝∠A′，
∴△ABC∽△A′B′C′.
(2)∵eq \f(AB,A′B′)＝eq \f(BC,B′C′)＝eq \f(AC,A′C′)＝eq \f(5,8)，
∴△ABC∽△A′B′C′.
2．图中的两个三角形是否相似？为什么？
解： (1)∵eq \f(15,27)＝eq \f(25,45)＝eq \f(20,36)，∴这两个三角形相似．
(2)∵eq \f(CD,BC)＝eq \f(CE,AC)＝eq \f(2,3)，∠DCE＝∠BCA，
∴△DCE∽△BCA.
3．要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形框架的三边长分别为4 cm，5 cm和6 cm，另一个三角形框架的一边长为2 cm，它的另外两条边长应当是多少？你有几种制作方案？
解： 分三种情况，设另外两边长分别为x cm，y cm(x