2021学年第3章 一次方程与方程组综合与测试教学设计

利用一元一次方程解计费问题

【知识与技能】

学生通过旅游、选灯、用电、水费、用气、电信等问题的方案设计，弄清各类问题中的等量关系，掌握用方程来解决一些生活中的实际问题的技巧.

【过程与方法】

通过一个开放式的空间，放手让学生去探索，去发现，培养学生分析问题和用方程去解决实际问题的能力.

【情感态度】

让学生在生动活泼的问题情境中感受数学的应用价值，产生对数学的兴趣，养成认真倾听他人发言的习惯，感受与同伴交流的乐趣.

【教学重点】

引导学生弄清题意，设计出各类问题的最佳方案.

【教学难点】

把生活中的实际问题抽象出数学问题.

一、情境导入,初步认识

生活中，有许多问题的解决有多种多样的方案，而这些方案中有的较好、有的欠佳，这就需要我们根据实际情况从中找出最佳方案.本课时的内容就是围绕这一话题展开的，下面我们给出了几个生活中常见的问题，教师让学生分成三组进行讨论，并在10分钟后，小组选派代表交流发言.

问题1 电价问题

据我们调查，我市居民生活用电价格为每天7时到23时每度0.47元，每天23时到第二天7时每度0.25元.请根据你家每月用电情况，设计出用电的最佳方案.

问题2水费问题

我市为鼓励节约用水，对自来水的收费标准作如下规定：每月每户用水不超过10吨部分按0.45元／吨收费，超过10吨而不超过20吨部分按0.8元／吨收费，超过20吨部分按1.3元／吨收费，某月甲户比乙户多交水费3.75元，已知乙户交水费3.15元.

问：(1)甲、乙两户该月各用水多少吨？（自来水按整吨收费）

(2)根据你家用水情况，设计出最佳用水方案.

问题3用气问题

某市按下列规定收取每月的煤气费：用煤气如果不超过60m3，按每立方米0.8元收费；如果超过60m3，超过部分按每立方米1.2元收费.怎样用气最节约？请设计出方案来.

【教学说明】以上三个问题均是与本课时内容相关的问题，学生对于这三个问题的发言肯定有所欠缺，教师要予以鼓励并加以补充，只要学生有根据实际情况选择最佳方案这种意识并能大致说出方案即可.因为下面的栏目中将具体探讨选择方案的问题.

二、思考探究，获取新知

探究 电话计费问题（教材第104~105页探究3）

【教学说明】在和学生共同探究这个问题之前，教师应事先向学生普及一下电话计费方面的问题，如什么叫“月使用费”、“主叫”或“被叫”，电话计费目前怎么操作的，然后设计几个问题，让学生循序渐进地逐步深入.

设问1：观察表格，你认为电话计费与什么有关？

学生对此作出回答，教师予以点明：电话计费与主叫时间有关.

设问2：当一个月内通话150分钟和350分钟时，按两种计费方法各需多少元？

教师让两个学生分别作答，教师给予点拨：

当t=150时，按方式一应交58元，按方式二应交88元.

当t=350时，按方式一[58+0.25×（350-150）]，应交108元，按方式二应交88元.

【教学说明】此处讲解时，教师可画图以帮助学生理解.

设问3：当t小于150、t大于150且小于350或t大于350时，按两种计费方式各需交多少元？

教师可结合图进行分析，并及时与学生互动.

当t小于150时，按方式一和方式二应分别交58元、88元.

当t大于150且小于350时，按方式一应交58+0.25(t-150)元，按方式二应交88元.

当t大于350时，按方式一应交58+0.25（t-150）元，按方式二应交88+0.19(t-350)元.

设问4：有没有一个时间点，按两种方式交费都是一样的？

此处教师应让学生找出这个时间点，然后解这个方程.

即58+0.25(t-150)=88.

解得t=270.

注意如有学生认为当t大于350时交费一样，教师可让学生先解这个方程，然后从实际角度回答这是不可能的.

设问5：你知道如何选择方案最省钱？

教师引导学生通过设问4让学生回答：

当t<270时，选择方式一省钱；

当t=270时，选择方式一和方式二是一样的；

当t>270时，选择方案二省钱.

【教学说明】通过这个问题的探究，旨在让学生掌握解决有关按照实际问题选择最佳方案的思路，教学时，教师应注重与学生进行互动，最大限度地调动学生的积极性.

三、典例精析，掌握新知

例  某地上网有两种收费方法，用户可以任选其一：A计时制：1元/小时，B包月制：80元/月，此外，每一种上网方式都加收通讯费0.1元/小时.

（1）某用户每月上网40小时，选用哪种上网方式比较合算？

（2）某用户每月有100元钱用于上网，选用哪种上网方式比较合算？

（3）请你为用户设计一个方案，使用户能合理地选择上网方式.

【分析】（1）分别计算出两种上网方式上网40小时的消费额，进行比较；（2）分别计算出两种方式下的上网时间，进行比较；（3）设每月上网m小时两种上网方式的消费额相等，再进行分析.

解：（1）如果用户每月上网40小时，则选择A需支付40×（1+0.1）=44（元），选择B需支付80+40×0.1=84（元）.

因为44<84，所以选用A方式比较合算.

（2）设用户选择A方式用100元可以上网x小时，选择B方式用100元可以上网y小时.

由题意，得（1+0.1）x=100，80+0.1y=100.

解得x=100011，y=200.

因为100011≈91<200，所以选用B方式较合算.

（3）设每月上网m小时两种上网方式的消费额相等.

由题意，得(1+0.1)m=80+0.1m.

解得m=80.

故当每月上网不足80小时时，选用A上网方式比较合算；当每月上网80小时时，两种上网方式的消费额相等；当每月上网超过80小时时，选用B方式比较合算.

四、运用新知，深化理解

1.教材第106页练习第2题.

2.甲种货车和乙种货车的载重量及每种车运费如下表所示，现有货物13吨，要求一次装完，并且每辆车要满载，探究怎样安排运费最省？需要多少钱？

【教学说明】这两道题中，第2题稍难，教师要提示学生先要用含x的式子表示出安排乙种货车要多少辆，然后根据题意列方程.

【答案】1.当复印张数为60页时，两处的收费相同.

2.安排3辆甲种车和2辆乙种车，运费最省，需230元.

五、师生互动，课堂小结

教师先对前面各小组交流的方案进行简单评价作出小结，小结过程中，注意结合问题本身.

1.布置作业：：从教材习题3.4中选取.

2.完成练习册中本课时的练习.

课程改革的目的之一是促进学生学习方式的转变，加强学生学习的主动性和探究性，本章内容涉及大量的实际问题，丰富多彩的问题情境和解决实际问题的快乐更容易激起学生对数学的兴趣.在本课时中，引导学生从身边的移动电话收费，旅游费用等问题展开探究，使学生在现实、富有挑战性的问题情境中经历多角度认识问题，多种策略思考问题，培养探索精神和创新意识.