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2013年全国统一高考数学试卷（理科）（大纲版）
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这是一份2013年全国统一高考数学试卷（理科）（大纲版），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）设集合A={1，2，3}，B={4，5}，M={x|x=a+b，a∈A，b∈B}，则M中元素的个数为（ ）
A．3B．4C．5D．6
2．（5分）=（ ）
A．﹣8B．8C．﹣8iD．8i
3．（5分）已知向量=（λ+1，1），=（λ+2，2），若（+）⊥（﹣），则λ=（ ）
A．﹣4B．﹣3C．﹣2D．﹣1
4．（5分）已知函数f（x）的定义域为（﹣1，0），则函数f（2x+1）的定义域为（ ）
A．（﹣1，1）B．C．（﹣1，0）D．
5．（5分）函数f（x）=lg2（1+）（x＞0）的反函数f﹣1（x）=（ ）
A．B．C．2x﹣1（x∈R）D．2x﹣1（x＞0）
6．（5分）已知数列{an}满足3an+1+an=0，a2=﹣，则{an}的前10项和等于（ ）
A．﹣6（1﹣3﹣10）B．C．3（1﹣3﹣10）D．3（1+3﹣10）
7．（5分）（1+x）3（1+y）4的展开式中x2y2的系数是（ ）
A．5B．8C．12D．18
8．（5分）椭圆C：的左、右顶点分别为A1、A2，点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是[﹣2，﹣1]，那么直线PA1斜率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
9．（5分）若函数f（x）=x2+ax+是增函数，则a的取值范围是（ ）
A．[﹣1，0]B．[﹣1，+∞）C．[0，3]D．[3，+∞）
10．（5分）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于（ ）
A．B．C．D．
11．（5分）已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，点M（﹣2，2），过点F且斜率为k的直线与C交于A，B两点，若，则k=（ ）
A．B．C．D．2
12．（5分）已知函数f（x）=csxsin2x，下列结论中不正确的是（ ）
A．y=f（x）的图象关于（π，0）中心对称
B．
C．
D．f（x）既是奇函数，又是周期函数
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.
13．（5分）已知α是第三象限角，sinα=﹣，则ctα= ．
14．（5分）6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有 种．（用数字作答）
15．（5分）记不等式组所表示的平面区域为D．若直线y=a（x+1）与D有公共点，则a的取值范围是 ．
16．（5分）已知圆O和圆K是球O的大圆和小圆，其公共弦长等于球O的半径，，则球O的表面积等于 ．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）等差数列{an}的前n项和为Sn．已知S3=a22，且S1，S2，S4成等比数列，求{an}的通项式．
18．（12分）设△ABC的内角A，B，C的内角对边分别为a，b，c，满足（a+b+c）（a﹣b+c）=ac．
（Ⅰ）求B．
（Ⅱ）若sinAsinC=，求C．
19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°，BC=2AD，△PAB与△PAD都是等边三角形．
（Ⅰ）证明：PB⊥CD；
（Ⅱ）求二面角A﹣PD﹣C的大小．
20．（12分）甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均为，各局比赛的结果都相互独立，第1局甲当裁判．
（Ⅰ）求第4局甲当裁判的概率；
（Ⅱ）X表示前4局中乙当裁判的次数，求X的数学期望．
21．（12分）已知双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为3，直线y=2与C的两个交点间的距离为．
（I）求a，b；
（II）设过F2的直线l与C的左、右两支分别相交于A、B两点，且|AF1|=|BF1|，证明：|AF2|、|AB|、|BF2|成等比数列．
22．（12分）已知函数．
（I）若x≥0时，f（x）≤0，求λ的最小值；
（II）设数列{an}的通项an=1+．
2013年全国统一高考数学试卷（理科）（大纲版）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）设集合A={1，2，3}，B={4，5}，M={x|x=a+b，a∈A，b∈B}，则M中元素的个数为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【分析】利用已知条件，直接求出a+b，利用集合元素互异求出M中元素的个数即可．
【解答】解：因为集合A={1，2，3}，B={4，5}，M={x|x=a+b，a∈A，b∈B}，
所以a+b的值可能为：1+4=5、1+5=6、2+4=6、2+5=7、3+4=7、3+5=8，
所以M中元素只有：5，6，7，8．共4个．
故选：B．
【点评】本题考查集合中元素个数的最值，集合中元素的互异性的应用，考查计算能力．
2．（5分）=（ ）
A．﹣8B．8C．﹣8iD．8i
【分析】复数分子、分母同乘﹣8，利用1的立方虚根的性质（），化简即可．
【解答】解：
故选：A．
【点评】复数代数形式的运算，是基础题．
3．（5分）已知向量=（λ+1，1），=（λ+2，2），若（+）⊥（﹣），则λ=（ ）
A．﹣4B．﹣3C．﹣2D．﹣1
【分析】利用向量的运算法则、向量垂直与数量积的关系即可得出．
【解答】解：∵，．
∴=（2λ+3，3），．
∵，
∴=0，
∴﹣（2λ+3）﹣3=0，解得λ=﹣3．
故选：B．
【点评】熟练掌握向量的运算法则、向量垂直与数量积的关系是解题的关键．
4．（5分）已知函数f（x）的定义域为（﹣1，0），则函数f（2x+1）的定义域为（ ）
A．（﹣1，1）B．C．（﹣1，0）D．
【分析】原函数的定义域，即为2x+1的范围，解不等式组即可得解．
【解答】解：∵原函数的定义域为（﹣1，0），
∴﹣1＜2x+1＜0，解得﹣1＜x＜﹣．
∴则函数f（2x+1）的定义域为．
故选：B．
【点评】考查复合函数的定义域的求法，注意变量范围的转化，属简单题．
5．（5分）函数f（x）=lg2（1+）（x＞0）的反函数f﹣1（x）=（ ）
A．B．C．2x﹣1（x∈R）D．2x﹣1（x＞0）
【分析】把y看作常数，求出x：x=，x，y互换，得到y=lg2（1+）的反函数．注意反函数的定义域．
【解答】解：设y=lg2（1+），
把y看作常数，求出x：
1+=2y，x=，其中y＞0，
x，y互换，得到y=lg2（1+）的反函数：y=，
故选：A．
【点评】本题考查对数函数的反函数的求法，解题时要认真审题，注意对数式和指数式的相互转化．
6．（5分）已知数列{an}满足3an+1+an=0，a2=﹣，则{an}的前10项和等于（ ）
A．﹣6（1﹣3﹣10）B．C．3（1﹣3﹣10）D．3（1+3﹣10）
【分析】由已知可知，数列{an}是以﹣为公比的等比数列，结合已知可求a1，然后代入等比数列的求和公式可求
【解答】解：∵3an+1+an=0
∴
∴数列{an}是以﹣为公比的等比数列
∵
∴a1=4
由等比数列的求和公式可得，S10==3（1﹣3﹣10）
故选：C．
【点评】本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的简单应用，属于基础试题
7．（5分）（1+x）3（1+y）4的展开式中x2y2的系数是（ ）
A．5B．8C．12D．18
【分析】由题意知利用二项展开式的通项公式写出展开式的通项，令x的指数为2，写出出展开式中x2的系数，第二个因式y2的系数，即可得到结果．
【解答】解：（x+1）3的展开式的通项为Tr+1=C3rxr
令r=2得到展开式中x2的系数是C32=3，
（1+y）4的展开式的通项为Tr+1=C4ryr
令r=2得到展开式中y2的系数是C42=6，
（1+x）3（1+y）4的展开式中x2y2的系数是：3×6=18，
故选：D．
【点评】本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题，本题解题的关键是写出二项式的展开式，所有的这类问题都是利用通项来解决的．
8．（5分）椭圆C：的左、右顶点分别为A1、A2，点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是[﹣2，﹣1]，那么直线PA1斜率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【分析】由椭圆C：可知其左顶点A1（﹣2，0），右顶点A2（2，0）．设P（x0，y0）（x0≠±2），代入椭圆方程可得．利用斜率计算公式可得，再利用已知给出的的范围即可解出．
【解答】解：由椭圆C：可知其左顶点A1（﹣2，0），右顶点A2（2，0）．
设P（x0，y0）（x0≠±2），则，得．
∵=，=，
∴==，
∵，
∴，解得．
故选：B．
【点评】熟练掌握椭圆的标准方程及其性质、斜率的计算公式、不等式的性质等是解题的关键．
9．（5分）若函数f（x）=x2+ax+是增函数，则a的取值范围是（ ）
A．[﹣1，0]B．[﹣1，+∞）C．[0，3]D．[3，+∞）
【分析】由函数在（，+∞）上是增函数，可得≥0在（，+∞）上恒成立，进而可转化为a≥﹣2x在（，+∞）上恒成立，构造函数求出﹣2x在（，+∞）上的最值，可得a的取值范围．
【解答】解：∵在（，+∞）上是增函数，
故≥0在（，+∞）上恒成立，
即a≥﹣2x在（，+∞）上恒成立，
令h（x）=﹣2x，
则h′（x）=﹣﹣2，
当x∈（，+∞）时，h′（x）＜0，则h（x）为减函数．
∴h（x）＜h（）=3
∴a≥3．
故选：D．
【点评】本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性，恒成立问题，是导数的综合应用，难度中档．
10．（5分）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于（ ）
A．B．C．D．
【分析】设AB=1，则AA1=2，分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，设=（x，y，z）为平面BDC1的一个法向量，CD与平面BDC1所成角为θ，
则sinθ=||，在空间坐标系下求出向量坐标，代入计算即可．
【解答】解：设AB=1，则AA1=2，分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，
如下图所示：
则D（0，0，2），C1（1，0，0），B（1，1，2），C（1，0，2），
=（1，1，0），=（1，0，﹣2），=（1，0，0），
设=（x，y，z）为平面BDC1的一个法向量，则，即，取=（2，﹣2，1），
设CD与平面BDC1所成角为θ，则sinθ=||=，
故选：A．
【点评】本题考查直线与平面所成的角，考查空间向量的运算及应用，准确理解线面角与直线方向向量、平面法向量夹角关系是解决问题的关键．
11．（5分）已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，点M（﹣2，2），过点F且斜率为k的直线与C交于A，B两点，若，则k=（ ）
A．B．C．D．2
【分析】斜率k存在，设直线AB为y=k（x﹣2），代入抛物线方程，利用=（x1+2，y1﹣2）•（x2+2，y2﹣2）=0，即可求出k的值．
【解答】解：由抛物线C：y2=8x得焦点（2，0），
由题意可知：斜率k存在，设直线AB为y=k（x﹣2），
代入抛物线方程，得到k2x2﹣（4k2+8）x+4k2=0，△＞0，
设A（x1，y1），B（x2，y2）．
∴x1+x2=4+，x1x2=4．
∴y1+y2=，y1y2=﹣16，
又=0，
∴=（x1+2，y1﹣2）•（x2+2，y2﹣2）==0
∴k=2．
故选：D．
【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查向量的数量积公式，考查学生的计算能力，属于中档题．
12．（5分）已知函数f（x）=csxsin2x，下列结论中不正确的是（ ）
A．y=f（x）的图象关于（π，0）中心对称
B．
C．
D．f（x）既是奇函数，又是周期函数
【分析】根据函数图象关于某点中心对称或关于某条直线对称的公式，对A、B两项加以验证，可得它们都正确．根据二倍角的正弦公式和同角三角函数的关系化简，得f（x）=2sinx（1﹣sin2x），再换元：令t=sinx，得到关于t的三次函数，利用导数研究此函数的单调性可得f（x）的最大值为，故C不正确；根据函数周期性和奇偶性的定义加以验证，可得D项正确．由此可得本题的答案．
【解答】解：对于A，因为f（π+x）=cs（π+x）sin（2π+2x）=﹣csxsin2x，
f（π﹣x）=cs（π﹣x）sin（2π﹣2x）=csxsin2x，所以f（π+x）+f（π﹣x）=0，
可得y=f（x）的图象关于（π，0）中心对称，故A正确；
对于B，因为f（+x）=cs（+x）sin（π+2x）=﹣sinx（﹣sin2x）=sinxsin2x，
f（﹣x）=cs（﹣x）sin（π﹣2x）=sinxsin2x，所以f（+x）=f（﹣x），
可得y=f（x）的图象关于直线x=对称，故B正确；
对于C，化简得f（x）=csxsin2x=2cs2xsinx=2sinx（1﹣sin2x），
令t=sinx，f（x）=g（t）=2t（1﹣t2），﹣1≤t≤1，
∵g（t）=2t（1﹣t2）的导数g'（t）=2﹣6t2=2（1+t）（1﹣t）
∴当t∈（﹣1，﹣）时或t∈（，1）时g'（t）＜0，函数g（t）为减函数；
当t∈（﹣，）时g'（t）＞0，函数g（t）为增函数．
因此函数g（t）的最大值为t=﹣1时或t=时的函数值，
结合g（﹣1）=0＜g（）=，可得g（t）的最大值为．
由此可得f（x）的最大值为而不是，故C不正确；
对于D，因为f（﹣x）=cs（﹣x）sin（﹣2x）=﹣csxsin2x=﹣f（x），所以f（x）是奇函数．
因为f（2π+x）=cs（2π+x）sin（4π+2x）=csxsin2x=f（x），
所以2π为函数的一个周期，得f（x）为周期函数．可得f（x）既是奇函数，又是周期函数，得D正确．
综上所述，只有C项不正确．
故选：C．
【点评】本题给出三角函数式，研究函数的奇偶性、单调性和周期性．着重考查了三角恒等变换公式、利用导数研究函数的单调性和函数图象的对称性等知识，属于中档题．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.
13．（5分）已知α是第三象限角，sinα=﹣，则ctα= 2 ．
【分析】根据α是第三象限的角，得到csα小于0，然后由sinα的值，利用同角三角函数间的基本关系求出csα的值，进而求出ctα的值．
【解答】解：由α是第三象限的角，得到csα＜0，
又sinα=﹣，所以csα=﹣=﹣
则ctα==2
故答案为：2
【点评】此题考查学生灵活运用同角三角函数间的基本关系化简求值，是一道基础题．学生做题时注意α的范围．
14．（5分）6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有 480 种．（用数字作答）
【分析】排列好甲、乙两人外的4人，然后把甲、乙两人插入4个人的5个空位中即可．
【解答】解：6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法：排列好甲、乙两人外的4人，有中方法，
然后把甲、乙两人插入4个人的5个空位，有种方法，
所以共有：=480．
故答案为：480．
【点评】本题考查了乘法原理，以及排列的简单应用，插空法解答不相邻问题．
15．（5分）记不等式组所表示的平面区域为D．若直线y=a（x+1）与D有公共点，则a的取值范围是 [，4] ．
【分析】本题考查的知识点是简单线性规划的应用，我们要先画出满足约束条件 的平面区域，然后分析平面区域里各个角点，然后将其代入y=a（x+1）中，求出y=a（x+1）对应的a的端点值即可．
【解答】解：满足约束条件 的平面区域如图示：
因为y=a（x+1）过定点（﹣1，0）．
所以当y=a（x+1）过点B（0，4）时，得到a=4，
当y=a（x+1）过点A（1，1）时，对应a=．
又因为直线y=a（x+1）与平面区域D有公共点．
所以≤a≤4．
故答案为：[，4]
【点评】在解决线性规划的小题时，我们常用“角点法”，其步骤为：①由约束条件画出可行域⇒②求出可行域各个角点的坐标⇒③将坐标逐一代入目标函数⇒④验证，求出最优解．
16．（5分）已知圆O和圆K是球O的大圆和小圆，其公共弦长等于球O的半径，，则球O的表面积等于 16π ．
【分析】正确作出图形，利用勾股定理，建立方程，即可求得结论．
【解答】解：如图所示，设球O的半径为r，AB是公共弦，∠OCK是面面角
根据题意得OC=，CK=
在△OCK中，OC2=OK2+CK2，即
∴r2=4
∴球O的表面积等于4πr2=16π
故答案为16π
【点评】本题考查球的表面积，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）等差数列{an}的前n项和为Sn．已知S3=a22，且S1，S2，S4成等比数列，求{an}的通项式．
【分析】由，结合等差数列的求和公式可求a2，然后由，结合等差数列的求和公式进而可求公差d，即可求解通项公式
【解答】解：设数列的公差为d
由得，3
∴a2=0或a2=3
由题意可得，
∴
若a2=0，则可得d2=﹣2d2即d=0不符合题意
若a2=3，则可得（6﹣d）2=（3﹣d）（12+2d）
解可得d=0或d=2
∴an=3或an=2n﹣1
【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的应用，等比数列的性质的简单应用，属于基础试题
18．（12分）设△ABC的内角A，B，C的内角对边分别为a，b，c，满足（a+b+c）（a﹣b+c）=ac．
（Ⅰ）求B．
（Ⅱ）若sinAsinC=，求C．
【分析】（I）已知等式左边利用多项式乘多项式法则计算，整理后得到关系式，利用余弦定理表示出csB，将关系式代入求出csB的值，由B为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数；
（II）由（I）得到A+C的度数，利用两角和与差的余弦函数公式化简cs（A﹣C），变形后将cs（A+C）及2sinAsinC的值代入求出cs（A﹣C）的值，利用特殊角的三角函数值求出A﹣C的值，与A+C的值联立即可求出C的度数．
【解答】解：（I）∵（a+b+c）（a﹣b+c）=（a+c）2﹣b2=ac，
∴a2+c2﹣b2=﹣ac，
∴csB==﹣，
又B为三角形的内角，
则B=120°；
（II）由（I）得：A+C=60°，∵sinAsinC=，cs（A+C）=，
∴cs（A﹣C）=csAcsC+sinAsinC=csAcsC﹣sinAsinC+2sinAsinC=cs（A+C）+2sinAsinC=+2×=，
∴A﹣C=30°或A﹣C=﹣30°，
则C=15°或C=45°．
【点评】此题考查了余弦定理，两角和与差的余弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．
19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°，BC=2AD，△PAB与△PAD都是等边三角形．
（Ⅰ）证明：PB⊥CD；
（Ⅱ）求二面角A﹣PD﹣C的大小．
【分析】（I）取BC的中点E，连接DE，过点P作PO⊥平面ABCD于O，连接OA、OB、OD、OE．可证出四边形ABED是正方形，且O为正方形ABED的中心．因此OE⊥OB，结合三垂线定理，证出OE⊥PB，而OE是△BCD的中位线，可得OE∥CD，因此PB⊥CD；
（II）由（I）的结论，证出CD⊥平面PBD，从而得到CD⊥PD．取PD的中点F，PC的中点G，连接FG，可得FG∥CD，所以FG⊥PD．连接AF，可得AF⊥PD，因此∠AFG为二面角A﹣PD﹣C的平面角，连接AG、EG，则EG∥PB，可得EG⊥OE．设AB=2，可求出AE、EG、AG、AF和FG的长，最后在△AFG中利用余弦定理，算出∠AFG=π﹣arccs，即得二面角A﹣PD﹣C的平面角大小．
【解答】解：（I）取BC的中点E，连接DE，可得四边形ABED是正方形
过点P作PO⊥平面ABCD，垂足为O，连接OA、OB、OD、OE
∵△PAB与△PAD都是等边三角形，∴PA=PB=PD，可得OA=OB=OD
因此，O是正方形ABED的对角线的交点，可得OE⊥OB
∵PO⊥平面ABCD，得直线OB是直线PB在内的射影，∴OE⊥PB
∵△BCD中，E、O分别为BC、BD的中点，∴OE∥CD，可得PB⊥CD；
（II）由（I）知CD⊥PO，CD⊥PB
∵PO、PB是平面PBD内的相交直线，∴CD⊥平面PBD
∵PD⊂平面PBD，∴CD⊥PD
取PD的中点F，PC的中点G，连接FG，
则FG为△PCD有中位线，∴FG∥CD，可得FG⊥PD
连接AF，由△PAD是等边三角形可得AF⊥PD，∴∠AFG为二面角A﹣PD﹣C的平面角
连接AG、EG，则EG∥PB
∵PB⊥OE，∴EG⊥OE，
设AB=2，则AE=2，EG=PB=1，故AG==3
在△AFG中，FG=CD=，AF=，AG=3
∴cs∠AFG==﹣，得∠AFG=π﹣arccs，
即二面角A﹣PD﹣C的平面角大小是π﹣arccs．
【点评】本题给出特殊的四棱锥，求证直线与直线垂直并求二面角平面角的大小，着重考查了线面垂直的判定与性质、三垂线定理和运用余弦定理求二面的大小等知识，属于中档题．
20．（12分）甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均为，各局比赛的结果都相互独立，第1局甲当裁判．
（Ⅰ）求第4局甲当裁判的概率；
（Ⅱ）X表示前4局中乙当裁判的次数，求X的数学期望．
【分析】（I）令A1表示第2局结果为甲获胜，A2表示第3局甲参加比赛时，结果为甲负，A表示第4局甲当裁判，分析其可能情况，每局比赛的结果相互独立且互斥，利用独立事件、互斥事件的概率求解即可．
（II）X的所有可能值为0，1，2．分别求出X取每一个值的概率，列出分布列后求出期望值即可．
【解答】解：（I）令A1表示第2局结果为甲获胜．A2表示第3局甲参加比赛时，结果为甲负．A表示第4局甲当裁判．
则A=A1•A2，P（A）=P（A1•A2）=P（A1）P（A2）=；
（Ⅱ）X的所有可能值为0，1，2．令A3表示第3局乙和丙比赛时，结果为乙胜．
B1表示第1局结果为乙获胜，B2表示第2局乙和甲比赛时，结果为乙胜，B3表示第3局乙参加比赛时，结果为乙负，
则P（X=0）=P（B1B2）=P（B1）P（B2）P（）=．
P（X=2）=P（B3）=P（）P（B3）=．
P（X=1）=1﹣P（X=0）﹣P（X=2）=．
从而EX=0×+1×+2×=．
【点评】本题考查互斥、独立事件的概率，离散型随机变量的分布列和期望等知识，同时考查利用概率知识解决问题的能力．
21．（12分）已知双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为3，直线y=2与C的两个交点间的距离为．
（I）求a，b；
（II）设过F2的直线l与C的左、右两支分别相交于A、B两点，且|AF1|=|BF1|，证明：|AF2|、|AB|、|BF2|成等比数列．
【分析】（I）由题设，可由离心率为3得到参数a，b的关系，将双曲线的方程用参数a表示出来，再由直线建立方程求出参数a即可得到双曲线的方程；
（II）由（I）的方程求出两焦点坐标，设出直线l的方程设A（x1，y1），B（x2，y2），将其与双曲线C的方程联立，得出x1+x2=，，再利用|AF1|=|BF1|建立关于A，B坐标的方程，得出两点横坐标的关系，由此方程求出k的值，得出直线的方程，从而可求得：|AF2|、|AB|、|BF2|，再利用等比数列的性质进行判断即可证明出结论．
【解答】解：（I）由题设知=3，即=9，故b2=8a2
所以C的方程为8x2﹣y2=8a2
将y=2代入上式，并求得x=±，
由题设知，2=，解得a2=1
所以a=1，b=2
（II）由（I）知，F1（﹣3，0），F2（3，0），C的方程为8x2﹣y2=8 ①
由题意，可设l的方程为y=k（x﹣3），|k|＜2代入①并化简得（k2﹣8）x2﹣6k2x+9k2+8=0
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则x1≤﹣1，x2≥1，x1+x2=，，于是
|AF1|==﹣（3x1+1），
|BF1|==3x2+1，
|AF1|=|BF1|得﹣（3x1+1）=3x2+1，即
故=，解得，从而=﹣
由于|AF2|==1﹣3x1，
|BF2|==3x2﹣1，
故|AB|=|AF2|﹣|BF2|=2﹣3（x1+x2）=4，|AF2||BF2|=3（x1+x2）﹣9x1x2﹣1=16
因而|AF2||BF2|=|AB|2，所以|AF2|、|AB|、|BF2|成等比数列
【点评】本题考查直线与圆锥曲线的综合关系，考查了运算能力，题设条件的转化能力，方程的思想运用，此类题综合性强，但解答过程有其固有规律，一般需要把直线与曲线联立利用根系关系，解答中要注意提炼此类题解答过程中的共性，给以后解答此类题提供借鉴．
22．（12分）已知函数．
（I）若x≥0时，f（x）≤0，求λ的最小值；
（II）设数列{an}的通项an=1+．
【分析】（I）由于已知函数的最大值是0，故可先求出函数的导数，研究其单调性，确定出函数的最大值，利用最大值小于等于0求出参数λ的取值范围，即可求得其最小值；
（II）根据（I）的证明，可取λ=，由于x＞0时，f（x）＜0得出，考察发现，若取x=，则可得出，以此为依据，利用放缩法，即可得到结论
【解答】解：（I）由已知，f（0）=0，
f′（x）==，
∴f′（0）=0
欲使x≥0时，f（x）≤0恒成立，则f（x）在（0，+∞）上必为减函数，即在（0，+∞）上f′（x）＜0恒成立，
当λ≤0时，f′（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，为增函数，故不合题意，
若0＜λ＜时，由f′（x）＞0解得x＜，则当0＜x＜，f′（x）＞0，所以当0＜x＜时，f（x）＞0，此时不合题意，
若λ≥，则当x＞0时，f′（x）＜0恒成立，此时f（x）在（0，+∞）上必为减函数，所以当x＞0时，f（x）＜0
恒成立，
综上，符合题意的λ的取值范围是λ≥，即λ的最小值为
（ II）令λ=，由（I）知，当x＞0时，f（x）＜0，即
取x=，则
于是a2n﹣an+=++…++
=
=
=
=＞=ln2n﹣lnn=ln2
所以
【点评】本题考查了数列中证明不等式的方法及导数求最值的普通方法，解题的关键是充分利用已有的结论再结合放缩法，本题考查了推理判断的能力及转化化归的思想，有一定的难度
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）设集合A={1，2，3}，B={4，5}，M={x|x=a+b，a∈A，b∈B}，则M中元素的个数为（ ）
A．3B．4C．5D．6
2．（5分）=（ ）
A．﹣8B．8C．﹣8iD．8i
3．（5分）已知向量=（λ+1，1），=（λ+2，2），若（+）⊥（﹣），则λ=（ ）
A．﹣4B．﹣3C．﹣2D．﹣1
4．（5分）已知函数f（x）的定义域为（﹣1，0），则函数f（2x+1）的定义域为（ ）
A．（﹣1，1）B．C．（﹣1，0）D．
5．（5分）函数f（x）=lg2（1+）（x＞0）的反函数f﹣1（x）=（ ）
A．B．C．2x﹣1（x∈R）D．2x﹣1（x＞0）
6．（5分）已知数列{an}满足3an+1+an=0，a2=﹣，则{an}的前10项和等于（ ）
A．﹣6（1﹣3﹣10）B．C．3（1﹣3﹣10）D．3（1+3﹣10）
7．（5分）（1+x）3（1+y）4的展开式中x2y2的系数是（ ）
A．5B．8C．12D．18
8．（5分）椭圆C：的左、右顶点分别为A1、A2，点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是[﹣2，﹣1]，那么直线PA1斜率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
9．（5分）若函数f（x）=x2+ax+是增函数，则a的取值范围是（ ）
A．[﹣1，0]B．[﹣1，+∞）C．[0，3]D．[3，+∞）
10．（5分）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于（ ）
A．B．C．D．
11．（5分）已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，点M（﹣2，2），过点F且斜率为k的直线与C交于A，B两点，若，则k=（ ）
A．B．C．D．2
12．（5分）已知函数f（x）=csxsin2x，下列结论中不正确的是（ ）
A．y=f（x）的图象关于（π，0）中心对称
B．
C．
D．f（x）既是奇函数，又是周期函数
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.
13．（5分）已知α是第三象限角，sinα=﹣，则ctα= ．
14．（5分）6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有 种．（用数字作答）
15．（5分）记不等式组所表示的平面区域为D．若直线y=a（x+1）与D有公共点，则a的取值范围是 ．
16．（5分）已知圆O和圆K是球O的大圆和小圆，其公共弦长等于球O的半径，，则球O的表面积等于 ．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）等差数列{an}的前n项和为Sn．已知S3=a22，且S1，S2，S4成等比数列，求{an}的通项式．
18．（12分）设△ABC的内角A，B，C的内角对边分别为a，b，c，满足（a+b+c）（a﹣b+c）=ac．
（Ⅰ）求B．
（Ⅱ）若sinAsinC=，求C．
19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°，BC=2AD，△PAB与△PAD都是等边三角形．
（Ⅰ）证明：PB⊥CD；
（Ⅱ）求二面角A﹣PD﹣C的大小．
20．（12分）甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均为，各局比赛的结果都相互独立，第1局甲当裁判．
（Ⅰ）求第4局甲当裁判的概率；
（Ⅱ）X表示前4局中乙当裁判的次数，求X的数学期望．
21．（12分）已知双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为3，直线y=2与C的两个交点间的距离为．
（I）求a，b；
（II）设过F2的直线l与C的左、右两支分别相交于A、B两点，且|AF1|=|BF1|，证明：|AF2|、|AB|、|BF2|成等比数列．
22．（12分）已知函数．
（I）若x≥0时，f（x）≤0，求λ的最小值；
（II）设数列{an}的通项an=1+．
2013年全国统一高考数学试卷（理科）（大纲版）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）设集合A={1，2，3}，B={4，5}，M={x|x=a+b，a∈A，b∈B}，则M中元素的个数为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【分析】利用已知条件，直接求出a+b，利用集合元素互异求出M中元素的个数即可．
【解答】解：因为集合A={1，2，3}，B={4，5}，M={x|x=a+b，a∈A，b∈B}，
所以a+b的值可能为：1+4=5、1+5=6、2+4=6、2+5=7、3+4=7、3+5=8，
所以M中元素只有：5，6，7，8．共4个．
故选：B．
【点评】本题考查集合中元素个数的最值，集合中元素的互异性的应用，考查计算能力．
2．（5分）=（ ）
A．﹣8B．8C．﹣8iD．8i
【分析】复数分子、分母同乘﹣8，利用1的立方虚根的性质（），化简即可．
【解答】解：
故选：A．
【点评】复数代数形式的运算，是基础题．
3．（5分）已知向量=（λ+1，1），=（λ+2，2），若（+）⊥（﹣），则λ=（ ）
A．﹣4B．﹣3C．﹣2D．﹣1
【分析】利用向量的运算法则、向量垂直与数量积的关系即可得出．
【解答】解：∵，．
∴=（2λ+3，3），．
∵，
∴=0，
∴﹣（2λ+3）﹣3=0，解得λ=﹣3．
故选：B．
【点评】熟练掌握向量的运算法则、向量垂直与数量积的关系是解题的关键．
4．（5分）已知函数f（x）的定义域为（﹣1，0），则函数f（2x+1）的定义域为（ ）
A．（﹣1，1）B．C．（﹣1，0）D．
【分析】原函数的定义域，即为2x+1的范围，解不等式组即可得解．
【解答】解：∵原函数的定义域为（﹣1，0），
∴﹣1＜2x+1＜0，解得﹣1＜x＜﹣．
∴则函数f（2x+1）的定义域为．
故选：B．
【点评】考查复合函数的定义域的求法，注意变量范围的转化，属简单题．
5．（5分）函数f（x）=lg2（1+）（x＞0）的反函数f﹣1（x）=（ ）
A．B．C．2x﹣1（x∈R）D．2x﹣1（x＞0）
【分析】把y看作常数，求出x：x=，x，y互换，得到y=lg2（1+）的反函数．注意反函数的定义域．
【解答】解：设y=lg2（1+），
把y看作常数，求出x：
1+=2y，x=，其中y＞0，
x，y互换，得到y=lg2（1+）的反函数：y=，
故选：A．
【点评】本题考查对数函数的反函数的求法，解题时要认真审题，注意对数式和指数式的相互转化．
6．（5分）已知数列{an}满足3an+1+an=0，a2=﹣，则{an}的前10项和等于（ ）
A．﹣6（1﹣3﹣10）B．C．3（1﹣3﹣10）D．3（1+3﹣10）
【分析】由已知可知，数列{an}是以﹣为公比的等比数列，结合已知可求a1，然后代入等比数列的求和公式可求
【解答】解：∵3an+1+an=0
∴
∴数列{an}是以﹣为公比的等比数列
∵
∴a1=4
由等比数列的求和公式可得，S10==3（1﹣3﹣10）
故选：C．
【点评】本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的简单应用，属于基础试题
7．（5分）（1+x）3（1+y）4的展开式中x2y2的系数是（ ）
A．5B．8C．12D．18
【分析】由题意知利用二项展开式的通项公式写出展开式的通项，令x的指数为2，写出出展开式中x2的系数，第二个因式y2的系数，即可得到结果．
【解答】解：（x+1）3的展开式的通项为Tr+1=C3rxr
令r=2得到展开式中x2的系数是C32=3，
（1+y）4的展开式的通项为Tr+1=C4ryr
令r=2得到展开式中y2的系数是C42=6，
（1+x）3（1+y）4的展开式中x2y2的系数是：3×6=18，
故选：D．
【点评】本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题，本题解题的关键是写出二项式的展开式，所有的这类问题都是利用通项来解决的．
8．（5分）椭圆C：的左、右顶点分别为A1、A2，点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是[﹣2，﹣1]，那么直线PA1斜率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【分析】由椭圆C：可知其左顶点A1（﹣2，0），右顶点A2（2，0）．设P（x0，y0）（x0≠±2），代入椭圆方程可得．利用斜率计算公式可得，再利用已知给出的的范围即可解出．
【解答】解：由椭圆C：可知其左顶点A1（﹣2，0），右顶点A2（2，0）．
设P（x0，y0）（x0≠±2），则，得．
∵=，=，
∴==，
∵，
∴，解得．
故选：B．
【点评】熟练掌握椭圆的标准方程及其性质、斜率的计算公式、不等式的性质等是解题的关键．
9．（5分）若函数f（x）=x2+ax+是增函数，则a的取值范围是（ ）
A．[﹣1，0]B．[﹣1，+∞）C．[0，3]D．[3，+∞）
【分析】由函数在（，+∞）上是增函数，可得≥0在（，+∞）上恒成立，进而可转化为a≥﹣2x在（，+∞）上恒成立，构造函数求出﹣2x在（，+∞）上的最值，可得a的取值范围．
【解答】解：∵在（，+∞）上是增函数，
故≥0在（，+∞）上恒成立，
即a≥﹣2x在（，+∞）上恒成立，
令h（x）=﹣2x，
则h′（x）=﹣﹣2，
当x∈（，+∞）时，h′（x）＜0，则h（x）为减函数．
∴h（x）＜h（）=3
∴a≥3．
故选：D．
【点评】本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性，恒成立问题，是导数的综合应用，难度中档．
10．（5分）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于（ ）
A．B．C．D．
【分析】设AB=1，则AA1=2，分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，设=（x，y，z）为平面BDC1的一个法向量，CD与平面BDC1所成角为θ，
则sinθ=||，在空间坐标系下求出向量坐标，代入计算即可．
【解答】解：设AB=1，则AA1=2，分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，
如下图所示：
则D（0，0，2），C1（1，0，0），B（1，1，2），C（1，0，2），
=（1，1，0），=（1，0，﹣2），=（1，0，0），
设=（x，y，z）为平面BDC1的一个法向量，则，即，取=（2，﹣2，1），
设CD与平面BDC1所成角为θ，则sinθ=||=，
故选：A．
【点评】本题考查直线与平面所成的角，考查空间向量的运算及应用，准确理解线面角与直线方向向量、平面法向量夹角关系是解决问题的关键．
11．（5分）已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，点M（﹣2，2），过点F且斜率为k的直线与C交于A，B两点，若，则k=（ ）
A．B．C．D．2
【分析】斜率k存在，设直线AB为y=k（x﹣2），代入抛物线方程，利用=（x1+2，y1﹣2）•（x2+2，y2﹣2）=0，即可求出k的值．
【解答】解：由抛物线C：y2=8x得焦点（2，0），
由题意可知：斜率k存在，设直线AB为y=k（x﹣2），
代入抛物线方程，得到k2x2﹣（4k2+8）x+4k2=0，△＞0，
设A（x1，y1），B（x2，y2）．
∴x1+x2=4+，x1x2=4．
∴y1+y2=，y1y2=﹣16，
又=0，
∴=（x1+2，y1﹣2）•（x2+2，y2﹣2）==0
∴k=2．
故选：D．
【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查向量的数量积公式，考查学生的计算能力，属于中档题．
12．（5分）已知函数f（x）=csxsin2x，下列结论中不正确的是（ ）
A．y=f（x）的图象关于（π，0）中心对称
B．
C．
D．f（x）既是奇函数，又是周期函数
【分析】根据函数图象关于某点中心对称或关于某条直线对称的公式，对A、B两项加以验证，可得它们都正确．根据二倍角的正弦公式和同角三角函数的关系化简，得f（x）=2sinx（1﹣sin2x），再换元：令t=sinx，得到关于t的三次函数，利用导数研究此函数的单调性可得f（x）的最大值为，故C不正确；根据函数周期性和奇偶性的定义加以验证，可得D项正确．由此可得本题的答案．
【解答】解：对于A，因为f（π+x）=cs（π+x）sin（2π+2x）=﹣csxsin2x，
f（π﹣x）=cs（π﹣x）sin（2π﹣2x）=csxsin2x，所以f（π+x）+f（π﹣x）=0，
可得y=f（x）的图象关于（π，0）中心对称，故A正确；
对于B，因为f（+x）=cs（+x）sin（π+2x）=﹣sinx（﹣sin2x）=sinxsin2x，
f（﹣x）=cs（﹣x）sin（π﹣2x）=sinxsin2x，所以f（+x）=f（﹣x），
可得y=f（x）的图象关于直线x=对称，故B正确；
对于C，化简得f（x）=csxsin2x=2cs2xsinx=2sinx（1﹣sin2x），
令t=sinx，f（x）=g（t）=2t（1﹣t2），﹣1≤t≤1，
∵g（t）=2t（1﹣t2）的导数g'（t）=2﹣6t2=2（1+t）（1﹣t）
∴当t∈（﹣1，﹣）时或t∈（，1）时g'（t）＜0，函数g（t）为减函数；
当t∈（﹣，）时g'（t）＞0，函数g（t）为增函数．
因此函数g（t）的最大值为t=﹣1时或t=时的函数值，
结合g（﹣1）=0＜g（）=，可得g（t）的最大值为．
由此可得f（x）的最大值为而不是，故C不正确；
对于D，因为f（﹣x）=cs（﹣x）sin（﹣2x）=﹣csxsin2x=﹣f（x），所以f（x）是奇函数．
因为f（2π+x）=cs（2π+x）sin（4π+2x）=csxsin2x=f（x），
所以2π为函数的一个周期，得f（x）为周期函数．可得f（x）既是奇函数，又是周期函数，得D正确．
综上所述，只有C项不正确．
故选：C．
【点评】本题给出三角函数式，研究函数的奇偶性、单调性和周期性．着重考查了三角恒等变换公式、利用导数研究函数的单调性和函数图象的对称性等知识，属于中档题．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.
13．（5分）已知α是第三象限角，sinα=﹣，则ctα= 2 ．
【分析】根据α是第三象限的角，得到csα小于0，然后由sinα的值，利用同角三角函数间的基本关系求出csα的值，进而求出ctα的值．
【解答】解：由α是第三象限的角，得到csα＜0，
又sinα=﹣，所以csα=﹣=﹣
则ctα==2
故答案为：2
【点评】此题考查学生灵活运用同角三角函数间的基本关系化简求值，是一道基础题．学生做题时注意α的范围．
14．（5分）6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有 480 种．（用数字作答）
【分析】排列好甲、乙两人外的4人，然后把甲、乙两人插入4个人的5个空位中即可．
【解答】解：6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法：排列好甲、乙两人外的4人，有中方法，
然后把甲、乙两人插入4个人的5个空位，有种方法，
所以共有：=480．
故答案为：480．
【点评】本题考查了乘法原理，以及排列的简单应用，插空法解答不相邻问题．
15．（5分）记不等式组所表示的平面区域为D．若直线y=a（x+1）与D有公共点，则a的取值范围是 [，4] ．
【分析】本题考查的知识点是简单线性规划的应用，我们要先画出满足约束条件 的平面区域，然后分析平面区域里各个角点，然后将其代入y=a（x+1）中，求出y=a（x+1）对应的a的端点值即可．
【解答】解：满足约束条件 的平面区域如图示：
因为y=a（x+1）过定点（﹣1，0）．
所以当y=a（x+1）过点B（0，4）时，得到a=4，
当y=a（x+1）过点A（1，1）时，对应a=．
又因为直线y=a（x+1）与平面区域D有公共点．
所以≤a≤4．
故答案为：[，4]
【点评】在解决线性规划的小题时，我们常用“角点法”，其步骤为：①由约束条件画出可行域⇒②求出可行域各个角点的坐标⇒③将坐标逐一代入目标函数⇒④验证，求出最优解．
16．（5分）已知圆O和圆K是球O的大圆和小圆，其公共弦长等于球O的半径，，则球O的表面积等于 16π ．
【分析】正确作出图形，利用勾股定理，建立方程，即可求得结论．
【解答】解：如图所示，设球O的半径为r，AB是公共弦，∠OCK是面面角
根据题意得OC=，CK=
在△OCK中，OC2=OK2+CK2，即
∴r2=4
∴球O的表面积等于4πr2=16π
故答案为16π
【点评】本题考查球的表面积，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）等差数列{an}的前n项和为Sn．已知S3=a22，且S1，S2，S4成等比数列，求{an}的通项式．
【分析】由，结合等差数列的求和公式可求a2，然后由，结合等差数列的求和公式进而可求公差d，即可求解通项公式
【解答】解：设数列的公差为d
由得，3
∴a2=0或a2=3
由题意可得，
∴
若a2=0，则可得d2=﹣2d2即d=0不符合题意
若a2=3，则可得（6﹣d）2=（3﹣d）（12+2d）
解可得d=0或d=2
∴an=3或an=2n﹣1
【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的应用，等比数列的性质的简单应用，属于基础试题
18．（12分）设△ABC的内角A，B，C的内角对边分别为a，b，c，满足（a+b+c）（a﹣b+c）=ac．
（Ⅰ）求B．
（Ⅱ）若sinAsinC=，求C．
【分析】（I）已知等式左边利用多项式乘多项式法则计算，整理后得到关系式，利用余弦定理表示出csB，将关系式代入求出csB的值，由B为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数；
（II）由（I）得到A+C的度数，利用两角和与差的余弦函数公式化简cs（A﹣C），变形后将cs（A+C）及2sinAsinC的值代入求出cs（A﹣C）的值，利用特殊角的三角函数值求出A﹣C的值，与A+C的值联立即可求出C的度数．
【解答】解：（I）∵（a+b+c）（a﹣b+c）=（a+c）2﹣b2=ac，
∴a2+c2﹣b2=﹣ac，
∴csB==﹣，
又B为三角形的内角，
则B=120°；
（II）由（I）得：A+C=60°，∵sinAsinC=，cs（A+C）=，
∴cs（A﹣C）=csAcsC+sinAsinC=csAcsC﹣sinAsinC+2sinAsinC=cs（A+C）+2sinAsinC=+2×=，
∴A﹣C=30°或A﹣C=﹣30°，
则C=15°或C=45°．
【点评】此题考查了余弦定理，两角和与差的余弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．
19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°，BC=2AD，△PAB与△PAD都是等边三角形．
（Ⅰ）证明：PB⊥CD；
（Ⅱ）求二面角A﹣PD﹣C的大小．
【分析】（I）取BC的中点E，连接DE，过点P作PO⊥平面ABCD于O，连接OA、OB、OD、OE．可证出四边形ABED是正方形，且O为正方形ABED的中心．因此OE⊥OB，结合三垂线定理，证出OE⊥PB，而OE是△BCD的中位线，可得OE∥CD，因此PB⊥CD；
（II）由（I）的结论，证出CD⊥平面PBD，从而得到CD⊥PD．取PD的中点F，PC的中点G，连接FG，可得FG∥CD，所以FG⊥PD．连接AF，可得AF⊥PD，因此∠AFG为二面角A﹣PD﹣C的平面角，连接AG、EG，则EG∥PB，可得EG⊥OE．设AB=2，可求出AE、EG、AG、AF和FG的长，最后在△AFG中利用余弦定理，算出∠AFG=π﹣arccs，即得二面角A﹣PD﹣C的平面角大小．
【解答】解：（I）取BC的中点E，连接DE，可得四边形ABED是正方形
过点P作PO⊥平面ABCD，垂足为O，连接OA、OB、OD、OE
∵△PAB与△PAD都是等边三角形，∴PA=PB=PD，可得OA=OB=OD
因此，O是正方形ABED的对角线的交点，可得OE⊥OB
∵PO⊥平面ABCD，得直线OB是直线PB在内的射影，∴OE⊥PB
∵△BCD中，E、O分别为BC、BD的中点，∴OE∥CD，可得PB⊥CD；
（II）由（I）知CD⊥PO，CD⊥PB
∵PO、PB是平面PBD内的相交直线，∴CD⊥平面PBD
∵PD⊂平面PBD，∴CD⊥PD
取PD的中点F，PC的中点G，连接FG，
则FG为△PCD有中位线，∴FG∥CD，可得FG⊥PD
连接AF，由△PAD是等边三角形可得AF⊥PD，∴∠AFG为二面角A﹣PD﹣C的平面角
连接AG、EG，则EG∥PB
∵PB⊥OE，∴EG⊥OE，
设AB=2，则AE=2，EG=PB=1，故AG==3
在△AFG中，FG=CD=，AF=，AG=3
∴cs∠AFG==﹣，得∠AFG=π﹣arccs，
即二面角A﹣PD﹣C的平面角大小是π﹣arccs．
【点评】本题给出特殊的四棱锥，求证直线与直线垂直并求二面角平面角的大小，着重考查了线面垂直的判定与性质、三垂线定理和运用余弦定理求二面的大小等知识，属于中档题．
20．（12分）甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均为，各局比赛的结果都相互独立，第1局甲当裁判．
（Ⅰ）求第4局甲当裁判的概率；
（Ⅱ）X表示前4局中乙当裁判的次数，求X的数学期望．
【分析】（I）令A1表示第2局结果为甲获胜，A2表示第3局甲参加比赛时，结果为甲负，A表示第4局甲当裁判，分析其可能情况，每局比赛的结果相互独立且互斥，利用独立事件、互斥事件的概率求解即可．
（II）X的所有可能值为0，1，2．分别求出X取每一个值的概率，列出分布列后求出期望值即可．
【解答】解：（I）令A1表示第2局结果为甲获胜．A2表示第3局甲参加比赛时，结果为甲负．A表示第4局甲当裁判．
则A=A1•A2，P（A）=P（A1•A2）=P（A1）P（A2）=；
（Ⅱ）X的所有可能值为0，1，2．令A3表示第3局乙和丙比赛时，结果为乙胜．
B1表示第1局结果为乙获胜，B2表示第2局乙和甲比赛时，结果为乙胜，B3表示第3局乙参加比赛时，结果为乙负，
则P（X=0）=P（B1B2）=P（B1）P（B2）P（）=．
P（X=2）=P（B3）=P（）P（B3）=．
P（X=1）=1﹣P（X=0）﹣P（X=2）=．
从而EX=0×+1×+2×=．
【点评】本题考查互斥、独立事件的概率，离散型随机变量的分布列和期望等知识，同时考查利用概率知识解决问题的能力．
21．（12分）已知双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为3，直线y=2与C的两个交点间的距离为．
（I）求a，b；
（II）设过F2的直线l与C的左、右两支分别相交于A、B两点，且|AF1|=|BF1|，证明：|AF2|、|AB|、|BF2|成等比数列．
【分析】（I）由题设，可由离心率为3得到参数a，b的关系，将双曲线的方程用参数a表示出来，再由直线建立方程求出参数a即可得到双曲线的方程；
（II）由（I）的方程求出两焦点坐标，设出直线l的方程设A（x1，y1），B（x2，y2），将其与双曲线C的方程联立，得出x1+x2=，，再利用|AF1|=|BF1|建立关于A，B坐标的方程，得出两点横坐标的关系，由此方程求出k的值，得出直线的方程，从而可求得：|AF2|、|AB|、|BF2|，再利用等比数列的性质进行判断即可证明出结论．
【解答】解：（I）由题设知=3，即=9，故b2=8a2
所以C的方程为8x2﹣y2=8a2
将y=2代入上式，并求得x=±，
由题设知，2=，解得a2=1
所以a=1，b=2
（II）由（I）知，F1（﹣3，0），F2（3，0），C的方程为8x2﹣y2=8 ①
由题意，可设l的方程为y=k（x﹣3），|k|＜2代入①并化简得（k2﹣8）x2﹣6k2x+9k2+8=0
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则x1≤﹣1，x2≥1，x1+x2=，，于是
|AF1|==﹣（3x1+1），
|BF1|==3x2+1，
|AF1|=|BF1|得﹣（3x1+1）=3x2+1，即
故=，解得，从而=﹣
由于|AF2|==1﹣3x1，
|BF2|==3x2﹣1，
故|AB|=|AF2|﹣|BF2|=2﹣3（x1+x2）=4，|AF2||BF2|=3（x1+x2）﹣9x1x2﹣1=16
因而|AF2||BF2|=|AB|2，所以|AF2|、|AB|、|BF2|成等比数列
【点评】本题考查直线与圆锥曲线的综合关系，考查了运算能力，题设条件的转化能力，方程的思想运用，此类题综合性强，但解答过程有其固有规律，一般需要把直线与曲线联立利用根系关系，解答中要注意提炼此类题解答过程中的共性，给以后解答此类题提供借鉴．
22．（12分）已知函数．
（I）若x≥0时，f（x）≤0，求λ的最小值；
（II）设数列{an}的通项an=1+．
【分析】（I）由于已知函数的最大值是0，故可先求出函数的导数，研究其单调性，确定出函数的最大值，利用最大值小于等于0求出参数λ的取值范围，即可求得其最小值；
（II）根据（I）的证明，可取λ=，由于x＞0时，f（x）＜0得出，考察发现，若取x=，则可得出，以此为依据，利用放缩法，即可得到结论
【解答】解：（I）由已知，f（0）=0，
f′（x）==，
∴f′（0）=0
欲使x≥0时，f（x）≤0恒成立，则f（x）在（0，+∞）上必为减函数，即在（0，+∞）上f′（x）＜0恒成立，
当λ≤0时，f′（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，为增函数，故不合题意，
若0＜λ＜时，由f′（x）＞0解得x＜，则当0＜x＜，f′（x）＞0，所以当0＜x＜时，f（x）＞0，此时不合题意，
若λ≥，则当x＞0时，f′（x）＜0恒成立，此时f（x）在（0，+∞）上必为减函数，所以当x＞0时，f（x）＜0
恒成立，
综上，符合题意的λ的取值范围是λ≥，即λ的最小值为
（ II）令λ=，由（I）知，当x＞0时，f（x）＜0，即
取x=，则
于是a2n﹣an+=++…++
=
=
=
=＞=ln2n﹣lnn=ln2
所以
【点评】本题考查了数列中证明不等式的方法及导数求最值的普通方法，解题的关键是充分利用已有的结论再结合放缩法，本题考查了推理判断的能力及转化化归的思想，有一定的难度
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