人教版九年级上册24.1.2 垂直于弦的直径课堂教学课件ppt

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圆的对称性垂径定理垂径定理的推论
　　如图，1 400 多年前，我国隋代建造的赵州石拱桥主桥拱是圆弧形，它的跨度(弧所对的弦长)是 37 m，拱高(弧的中点到弦的距离)为 7.23 m，求赵州桥主桥拱的半径(精确到 0.1 m)．
剪一个圆形纸片，沿着它的任意一条直径对折，重复做几次，你发现了什么？
不借助任何工具，你能找到圆形纸片的圆心吗？由此你得到了什么结论？你能证明你的结论吗？
通过探究可以发现，圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴.
警示误区 因为直径是弦，弦是线段，而对称轴是直线，所以不能说“圆的对称轴是直径”.
求证：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直 线都是圆的对称轴.
导引：要证明圆是轴对称图形，只需证明圆上任意一点 关于直径所在直线(对称轴)的对称点也在圆上.
证明：如图，设CD是⊙O的任意一条直径，A为⊙O上点C,D 以外的任意一点.过点A作AA′⊥CD，交⊙O于点A′， 垂足为M，连接OA，OA′. 在△OAA′中，∵OA=OA′, ∴△OAA′是等腰三角形.又AA′⊥CD， ∴AM=MA′.即CD是AA′的垂直平分线. 这就是说，对于圆上任意一点A，在圆 上都有关于直线CD的对称点A′，因此 ⊙O关于直线CD对称.即圆是轴对称图形， 任何一条直径所在直线都是圆的对称轴.
1 下列说法中不正确的是(　　) A．经过圆心的直线是圆的对称轴 B．直径是圆的对称轴 C．圆的对称轴有无数条 D．当圆绕它的圆心旋转60°时，仍会与原来的圆 重合
下列哪些图形可以用垂径定理？你能说明理由吗？
赵州桥（如图）是我国隋代建造的石拱桥，距今约有 1 400年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它 的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为 37 m，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.23 m,求赵州 桥主桥拱的半径（结果保留小数点后一位）.
分析：解决此问题的关键是根据赵州桥的实物图画出几何图形.
如图，用AB表示主桥拱，设AB所在圆的圆心为O，半径为R.经过圆心O作弦AB的垂线OC,D为垂足，OC与AB相交于点C，连接OA，根据垂径定理，D是AB的中点，C是AB的中点，CD就是拱高.由题设可知AB=37，CD=7.23，所以 AD= AB= 37=18.5，OD=OC-CD=R-7.23.在Rt△OAD中，由勾股定理，得OA2=AD2+OD2，即R2=18.52+（R-7.23）2.解得R≈27.3.因此，赵州桥的主桥拱半径约为27.3 m.
(1)“垂直于弦的直径”中的“直径”，还可以是垂 直于弦的半径或过圆心垂直于弦的直线；其实质 是：过圆心且垂直于弦的线段、直线均可．(2)垂径定理中的弦可以为直径．(3)垂径定理是证线段、弧相等的重要依据．
通过垂径定理的证明及应用，我们还可以进一步得到垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
如图所示，⊙O的直径CD＝10 cm，AB是⊙O的弦， AM＝ BM，OM∶OC＝3∶5，求AB的长.
解：∵圆O的直径CD=10cm， ∴圆O的半径为5cm，即OC=5cm， ∵OM：OC=3：5， ∴OM= OC=3cm， 连接OA，∵AB⊥CD， ∴M为AB的中点，即AM=BM= AB， 在Rt△AOM中，OA=5cm，OM=3cm， 根据勾股定理得：AM= 则AB=2AM=8cm．
关于垂径定理及其推论可归纳为：一条直线，它具备以下五个性质： 直线过圆心；(2)直线垂直于弦；(3)直线平分弦(不是直径)；(4) 直线平分弦所对的优弧；(5)直线平分弦所对的劣弧． 如果把其中的任意两条作为条件，其余三条作为结论， 组成的命题都是真命题．
拓宽视野 对于圆中的一条直线，如果具备下列五个条件中的任意两个，那么一定具备其他三个：(1)过圆心；(2)垂直于弦；(3)平分弦(非直径)；(4)平分弦所对的劣弧；(5)平分弦所对的优弧. 简记为“知二推三”.
如图，AB是⊙O的直径，∠BAC＝42°，点D是 弦AC 的中点，则∠DOC的度数是________度．