2014年辽宁省高考数学试卷（文科）

这是一份2014年辽宁省高考数学试卷（文科），共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2014年辽宁省高考数学试卷（文科）
　
一、选择题（共12小题，每小题5分）
1．（5分）已知全集U=R，A={x|x≤0}，B={x|x≥1}，则集合∁U（A∪B）=（　　）
A．{x|x≥0} B．{x|x≤1} C．{x|0≤x≤1} D．{x|0＜x＜1}
2．（5分）设复数z满足（z﹣2i）（2﹣i）=5，则z=（　　）
A．2+3i B．2﹣3i C．3+2i D．3﹣2i
3．（5分）已知a=，b=log2，c=log，则（　　）
A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞b＞a D．c＞a＞b
4．（5分）已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（　　）
A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥n
C．若m⊥α，m⊥n，则n∥α D．若m∥α，m⊥n，则n⊥α
5．（5分）设，，是非零向量，已知命题p：若•=0，•=0，则•=0；命题q：若∥，∥，则∥，则下列命题中真命题是（　　）
A．p∨q B．p∧q C．（￢p）∧（￢q） D．p∨（￢q）
6．（5分）若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中，其中AB=2，BC=1，则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是（　　）

A． B． C． D．
7．（5分）某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（　　）

A．8﹣ B．8﹣ C．8﹣π D．8﹣2π
8．（5分）已知点A（﹣2，3）在抛物线C：y2=2px的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为（　　）
A．﹣ B．﹣1 C．﹣ D．﹣
9．（5分）设等差数列{an}的公差为d，若数列{2}为递减数列，则（　　）
A．d＞0 B．d＜0 C．a1d＞0 D．a1d＜0
10．（5分）已知f（x）为偶函数，当x≥0时，f（x）=，则不等式f（x﹣1）≤的解集为（　　）
A．[，]∪[，] B．[﹣，﹣]∪[，]
C．[，]∪[，] D．[﹣，﹣]∪[，]
11．（5分）将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（　　）
A．在区间[，]上单调递增 B．在区间[，]上单调递减
C．在区间[﹣，]上单调递减 D．在区间[﹣，]上单调递增
12．（5分）当x∈[﹣2，1]时，不等式ax3﹣x2+4x+3≥0恒成立，则实数a的取值范围是（　　）
A．[﹣5，﹣3] B．[﹣6，﹣] C．[﹣6，﹣2] D．[﹣4，﹣3]
　
二、填空题（共4小题，每小题5分）
13．（5分）执行如图的程序框图，若输入n=3，则输出T=　 　．

14．（5分）已知x，y满足约束条件，则目标函数z=3x+4y的最大值为　 　．
15．（5分）已知椭圆C：+=1，点M与C的焦点不重合，若M关于C的焦点的对称点分别为A、B，线段MN的中点在C上，则|AN|+|BN|=　 　．
16．（5分）对于c＞0，当非零实数a，b满足4a2﹣2ab+b2﹣c=0且使|2a+b|最大时，++的最小值为　 　．
　
三、解答题
17．（12分）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且a＞c，已知•=2，cosB=，b=3，求：
（Ⅰ）a和c的值；
（Ⅱ）cos（B﹣C）的值．
18．（12分）某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进行了抽样调查，调查结果如表所示：

喜欢甜品
不喜欢甜品
合计
南方学生
60
20
80
北方学生
10
10
20
合计
70
30
100
（Ⅰ）根据表中数据，问是否有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”；
（Ⅱ）已知在被调查的北方学生中有5名数学系的学生，其中2名喜欢甜品，现在从这5名学生中随机抽取3人，求至多有1人喜欢甜品的概率．
附：X2=
P（x2＞k）
0.100
0.050
0.010
k
2.706
3.841
6.635
19．（12分）如图，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB=BC=BD=2．∠ABC=∠DBC=120°，E、F、G分别为AC、DC、AD的中点．
（Ⅰ）求证：EF⊥平面BCG；
（Ⅱ）求三棱锥D﹣BCG的体积．
附：锥体的体积公式V=Sh，其中S为底面面积，h为高．

20．（12分）圆x2+y2=4的切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P（如图）．
（Ⅰ）求点P的坐标；
（Ⅱ）焦点在x轴上的椭圆C过点P，且与直线l：y=x+交于A、B两点，若△PAB的面积为2，求C的标准方程．

21．（12分）已知函数f（x）=π（x﹣cosx）﹣2sinx﹣2，g（x）=（x﹣π）+﹣1．
证明：
（Ⅰ）存在唯一x0∈（0，），使f（x0）=0；
（Ⅱ）存在唯一x1∈（，π），使g（x1）=0，且对（Ⅰ）中的x0，有x0+x1＞π．
　
四、选考题，请考生在22-24三题中任选一题作答，多做则按所做的第一题给分选修4-1：几何证明选讲
22．（10分）如图，EP交圆于E，C两点，PD切圆于D，G为CE上一点且PG=PD，连接DG并延长交圆于点A，作弦AB垂直EP，垂足为F．
（Ⅰ）求证：AB为圆的直径；
（Ⅱ）若AC=BD，求证：AB=ED．

　
选修4-4：坐标系与参数方程
23．将圆x2+y2=1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C．
（Ⅰ）写出C的参数方程；
（Ⅱ）设直线l：2x+y﹣2=0与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程．
　
选修4-5：不等式选讲
24．设函数f（x）=2|x﹣1|+x﹣1，g（x）=16x2﹣8x+1．记f（x）≤1的解集为M，g（x）≤4的解集为N．
（Ⅰ）求M；
（Ⅱ）当x∈M∩N时，证明：x2f（x）+x[f（x）]2≤．
　

2014年辽宁省高考数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
　
一、选择题（共12小题，每小题5分）
1．（5分）已知全集U=R，A={x|x≤0}，B={x|x≥1}，则集合∁U（A∪B）=（　　）
A．{x|x≥0} B．{x|x≤1} C．{x|0≤x≤1} D．{x|0＜x＜1}
【分析】先求A∪B，再根据补集的定义求CU（A∪B）．
【解答】解：A∪B={x|x≥1或x≤0}，
∴CU（A∪B）={x|0＜x＜1}，
故选：D．
【点评】本题考查了集合的并集、补集运算，利用数轴进行数集的交、并、补运算是常用方法．
　
2．（5分）设复数z满足（z﹣2i）（2﹣i）=5，则z=（　　）
A．2+3i B．2﹣3i C．3+2i D．3﹣2i
【分析】把给出的等式两边同时乘以，然后利用复数代数形式的除法运算化简，则z可求．
【解答】解：由（z﹣2i）（2﹣i）=5，得：
，
∴z=2+3i．
故选：A．
【点评】本题考查了复数代数形式的除法运算，是基础的计算题．
　
3．（5分）已知a=，b=log2，c=log，则（　　）
A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞b＞a D．c＞a＞b
【分析】利用指数式的运算性质得到0＜a＜1，由对数的运算性质得到b＜0，c＞1，则答案可求．
【解答】解：∵0＜a=＜20=1，
b=log2＜log21=0，
c=log=log23＞log22=1，
∴c＞a＞b．
故选：D．
【点评】本题考查指数的运算性质和对数的运算性质，在涉及比较两个数的大小关系时，有时借助于0、1这样的特殊值能起到事半功倍的效果，是基础题．
　
4．（5分）已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（　　）
A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥n
C．若m⊥α，m⊥n，则n∥α D．若m∥α，m⊥n，则n⊥α
【分析】A．运用线面平行的性质，结合线线的位置关系，即可判断；
B．运用线面垂直的性质，即可判断；
C．运用线面垂直的性质，结合线线垂直和线面平行的位置即可判断；
D．运用线面平行的性质和线面垂直的判定，即可判断．
【解答】解：A．若m∥α，n∥α，则m，n相交或平行或异面，故A错；
B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥n，故B正确；
C．若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，故C错；
D．若m∥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α或n⊥α，故D错．
故选：B．
【点评】本题考查空间直线与平面的位置关系，考查直线与平面的平行、垂直的判断与性质，记熟这些定理是迅速解题的关键，注意观察空间的直线与平面的模型．
　
5．（5分）设，，是非零向量，已知命题p：若•=0，•=0，则•=0；命题q：若∥，∥，则∥，则下列命题中真命题是（　　）
A．p∨q B．p∧q C．（￢p）∧（￢q） D．p∨（￢q）
【分析】根据向量的有关概念和性质分别判断p，q的真假，利用复合命题之间的关系即可得到结论．
【解答】解：若•=0，•=0，则•=•，即（﹣）•=0，则•=0不一定成立，故命题p为假命题，
若∥，∥，则∥平行，故命题q为真命题，
则p∨q，为真命题，p∧q，（￢p）∧（￢q），p∨（￢q）都为假命题，
故选：A．
【点评】本题主要考查复合命题之间的判断，利用向量的有关概念和性质分别判断p，q的真假是解决本题的关键．
　
6．（5分）若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中，其中AB=2，BC=1，则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是（　　）

A． B． C． D．
【分析】利用几何槪型的概率公式，求出对应的图形的面积，利用面积比即可得到结论．
【解答】解：∵AB=2，BC=1，
∴长方体的ABCD的面积S=1×2=2，
圆的半径r=1，半圆的面积S=，
则由几何槪型的概率公式可得质点落在以AB为直径的半圆内的概率是，
故选：B．
【点评】本题主要考查几何槪型的概率的计算，求出对应的图形的面积是解决本题的关键，比较基础．
　
7．（5分）某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（　　）

A．8﹣ B．8﹣ C．8﹣π D．8﹣2π
【分析】几何体是正方体切去两个圆柱，根据三视图判断正方体的棱长及切去的圆柱的底面半径和高，把数据代入正方体与圆柱的体积公式计算．
【解答】解：由三视图知：几何体是正方体切去两个圆柱，
正方体的棱长为2，切去的圆柱的底面半径为1，高为2，
∴几何体的体积V=23﹣2××π×12×2=8﹣π．
故选：C．
【点评】本题考查了由三视图求几何体的体积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解题的关键．
　
8．（5分）已知点A（﹣2，3）在抛物线C：y2=2px的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为（　　）
A．﹣ B．﹣1 C．﹣ D．﹣
【分析】利用点A（﹣2，3）在抛物线C：y2=2px的准线上，确定焦点F的坐标，即可求出直线AF的斜率．
【解答】解：∵点A（﹣2，3）在抛物线C：y2=2px的准线上，
∴﹣=﹣2，
∴F（2，0），
∴直线AF的斜率为=﹣．
故选：C．
【点评】本题考查抛物线的性质，考查直线斜率的计算，考查学生的计算能力，属于基础题．
　
9．（5分）设等差数列{an}的公差为d，若数列{2}为递减数列，则（　　）
A．d＞0 B．d＜0 C．a1d＞0 D．a1d＜0
【分析】由数列递减可得＜1，由指数函数的性质和等差数列的通项公式化简可得．
【解答】解：∵数列{2}为递减数列，
∴＜1，即＜1，
∴＜1，
∴a1（an+1﹣an）=a1d＜0
故选：D．
【点评】本题考查等差数列的性质和指数函数的性质，属中档题．
　
10．（5分）已知f（x）为偶函数，当x≥0时，f（x）=，则不等式f（x﹣1）≤的解集为（　　）
A．[，]∪[，] B．[﹣，﹣]∪[，]
C．[，]∪[，] D．[﹣，﹣]∪[，]
【分析】先求出当x≥0时，不等式f（x）≤的解，然后利用函数的奇偶性求出整个定义域上f（x）≤的解，即可得到结论．
【解答】解：当x∈[0，]，由f（x）=，即cosπx=，
则πx=，即x=，
当x＞时，由f（x）=，得2x﹣1=，
解得x=，
则当x≥0时，不等式f（x）≤的解为≤x≤，（如图）
则由f（x）为偶函数，
∴当x＜0时，不等式f（x）≤的解为﹣≤x≤﹣，
即不等式f（x）≤的解为≤x≤或﹣≤x≤﹣，
则由≤x﹣1≤或﹣≤x﹣1≤﹣，
解得≤x≤或≤x≤，
即不等式f（x﹣1）≤的解集为{x|≤x≤或≤x≤}，
故选：A．

【点评】本题主要考查不等式的解法，利用分段函数的不等式求出x≥0时，不等式f（x）≤的解是解决本题的关键．
　
11．（5分）将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（　　）
A．在区间[，]上单调递增 B．在区间[，]上单调递减
C．在区间[﹣，]上单调递减 D．在区间[﹣，]上单调递增
【分析】直接由函数的图象平移得到平移后的图象所对应的函数解析式，然后利用复合函数的单调性的求法求出函数的增区间，取k=0即可得到函数在区间[，]上单调递增，则答案可求．
【解答】解：把函数y=3sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，
得到的图象所对应的函数解析式为：y=3sin[2（x﹣）+]．
即y=3sin（2x﹣）．
当函数递增时，由，得．
取k=0，得．
∴所得图象对应的函数在区间[，]上单调递增．
故选：A．
【点评】本题考查了函数图象的平移，考查了复合函数单调性的求法，复合函数的单调性满足“同增异减”原则，是中档题．
　
12．（5分）当x∈[﹣2，1]时，不等式ax3﹣x2+4x+3≥0恒成立，则实数a的取值范围是（　　）
A．[﹣5，﹣3] B．[﹣6，﹣] C．[﹣6，﹣2] D．[﹣4，﹣3]
【分析】分x=0，0＜x≤1，﹣2≤x＜0三种情况进行讨论，分离出参数a后转化为函数求最值即可，利用导数即可求得函数最值，注意最后要对a取交集．
【解答】解：当x=0时，不等式ax3﹣x2+4x+3≥0对任意a∈R恒成立；
当0＜x≤1时，ax3﹣x2+4x+3≥0可化为a≥，
令f（x）=，则f′（x）==﹣（*），
当0＜x≤1时，f′（x）＞0，f（x）在（0，1]上单调递增，
f（x）max=f（1）=﹣6，∴a≥﹣6；
当﹣2≤x＜0时，ax3﹣x2+4x+3≥0可化为a≤，
由（*）式可知，当﹣2≤x＜﹣1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当﹣1＜x＜0时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
f（x）min=f（﹣1）=﹣2，∴a≤﹣2；
综上所述，实数a的取值范围是﹣6≤a≤﹣2，即实数a的取值范围是[﹣6，﹣2]．
故选：C．
【点评】本题考查利用导数研究函数的最值，考查转化思想、分类与整合思想，按照自变量讨论，最后要对参数范围取交集；若按照参数讨论则取并集．
　
二、填空题（共4小题，每小题5分）
13．（5分）执行如图的程序框图，若输入n=3，则输出T=　20　．

【分析】算法的功能是求T=1+（1+2）+（1+2+3）+…+（1+2+3+…+i）的值，根据条件确定跳出循环的i值，计算输出的T值．
【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求T=1+（1+2）+（1+2+3）+…+（1+2+3+…+i）的值，
当输入n=3时，跳出循环的i值为4，
∴输出T=1+3+6++10=20．
故答案为：20．
【点评】本题考查了当型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键．
　
14．（5分）已知x，y满足约束条件，则目标函数z=3x+4y的最大值为　18　．
【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．
【解答】解：由约束条件作出可行域如图，
联立，解得，
∴C（2，3）．
化目标函数z=3x+4y为直线方程的斜截式，得：．
由图可知，当直线过点C时，直线在y轴上的截距最大，即z最大．
∴zmax=3×2+4×3=18．
故答案为：18．

【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．
　
15．（5分）已知椭圆C：+=1，点M与C的焦点不重合，若M关于C的焦点的对称点分别为A、B，线段MN的中点在C上，则|AN|+|BN|=　12　．
【分析】画出图形，利用中点坐标以及椭圆的定义，即可求出|AN|+|BN|的值．
【解答】解：如图：MN的中点为Q，易得，，
∵Q在椭圆C上，∴|QF1|+|QF2|=2a=6，
∴|AN|+|BN|=12．
故答案为：12．

【点评】本题考查椭圆的定义，椭圆的基本性质的应用，是对基本知识的考查．
　
16．（5分）对于c＞0，当非零实数a，b满足4a2﹣2ab+b2﹣c=0且使|2a+b|最大时，++的最小值为　﹣1　．
【分析】首先把：4a2﹣2ab+b2﹣c=0，转化为=，再由柯西不等式得到|2a+b|2，分别用b表示a，c，在代入到++得到关于b的二次函数，求出最小值即可．
【解答】解：∵4a2﹣2ab+b2﹣c=0，
∴=
由柯西不等式得，
[][]≥[2（a﹣）+×2]2=|2a+b|2
故当|2a+b|最大时，有

∴，c=b2
∴++==
当b=﹣2时，取得最小值为﹣1．
故答案为：﹣1
【点评】本题考查了柯西不等式，以及二次函数的最值问题，属于难题．
　
三、解答题
17．（12分）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且a＞c，已知•=2，cosB=，b=3，求：
（Ⅰ）a和c的值；
（Ⅱ）cos（B﹣C）的值．
【分析】（Ⅰ）利用平面向量的数量积运算法则化简•=2，将cosB的值代入求出ac=6，再利用余弦定理列出关系式，将b，cosB以及ac的值代入得到a2+c2=13，联立即可求出ac的值；
（Ⅱ）由cosB的值，利用同角三角函数间基本关系求出sinB的值，由c，b，sinB，利用正弦定理求出sinC的值，进而求出cosC的值，原式利用两角和与差的余弦函数公式化简后，将各自的值代入计算即可求出值．
【解答】解：（Ⅰ）∵•=2，cosB=，
∴c•acosB=2，即ac=6①，
∵b=3，
∴由余弦定理得：b2=a2+c2﹣2accosB，即9=a2+c2﹣4，
∴a2+c2=13②，
联立①②得：a=3，c=2；
（Ⅱ）在△ABC中，sinB===，
由正弦定理=得：sinC=sinB=×=，
∵a=b＞c，∴C为锐角，
∴cosC===，
则cos（B﹣C）=cosBcosC+sinBsinC=×+×=．
【点评】此题考查了正弦、余弦定理，平面向量的数量积运算，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握定理是解本题的关键．
　
18．（12分）某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进行了抽样调查，调查结果如表所示：

喜欢甜品
不喜欢甜品
合计
南方学生
60
20
80
北方学生
10
10
20
合计
70
30
100
（Ⅰ）根据表中数据，问是否有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”；
（Ⅱ）已知在被调查的北方学生中有5名数学系的学生，其中2名喜欢甜品，现在从这5名学生中随机抽取3人，求至多有1人喜欢甜品的概率．
附：X2=
P（x2＞k）
0.100
0.050
0.010
k
2.706
3.841
6.635
【分析】（Ⅰ）根据表中数据，利用公式，即可得出结论；
（Ⅱ）利用古典概型概率公式，即可求解．
【解答】解：（Ⅰ）由题意，X2=≈4.762＞3.841，
∴有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”；
（Ⅱ）从这5名学生中随机抽取3人，共有=10种情况，有2名喜欢甜品，有=3种情况，
∴至多有1人喜欢甜品的概率．
【点评】本题考查独立性检验的应用，考查古典概型及其概率计算公式，考查学生的计算能力，属于中档题．
　
19．（12分）如图，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB=BC=BD=2．∠ABC=∠DBC=120°，E、F、G分别为AC、DC、AD的中点．
（Ⅰ）求证：EF⊥平面BCG；
（Ⅱ）求三棱锥D﹣BCG的体积．
附：锥体的体积公式V=Sh，其中S为底面面积，h为高．

【分析】（Ⅰ）先证明AD⊥平面BGC，利用EF∥AD，可得EF⊥平面BCG；
（Ⅱ）在平面ABC内，作AO⊥CB，交CB的延长线于O，G到平面BCD的距离h是AO长度的一半，利用VD﹣BCG=VG﹣BCD=，即可求三棱锥D﹣BCG的体积．
【解答】（Ⅰ）证明：∵AB=BC=BD=2．∠ABC=∠DBC=120°，
∴△ABC≌△DBC，
∴AC=DC，
∵G为AD的中点，
∴CG⊥AD．
同理BG⊥AD，
∵CG∩BG=G，
∴AD⊥平面BGC，
∵EF∥AD，
∴EF⊥平面BCG；
（Ⅱ）解：在平面ABC内，作AO⊥CB，交CB的延长线于O，
∵△ABC和△BCD所在平面互相垂直，
∴AO⊥平面BCD，
∵G为AD的中点，
∴G到平面BCD的距离h是AO长度的一半．
在△AOB中，AO=ABsin60°=，
∴VD﹣BCG=VG﹣BCD==×=．

【点评】本题考查线面垂直，考查三棱锥体积的计算，正确转换底面是关键．
　
20．（12分）圆x2+y2=4的切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P（如图）．
（Ⅰ）求点P的坐标；
（Ⅱ）焦点在x轴上的椭圆C过点P，且与直线l：y=x+交于A、B两点，若△PAB的面积为2，求C的标准方程．

【分析】（Ⅰ）设切点P的坐标为（x0，y0），求得圆的切线方程，根据切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成的三角形的面积S=．再利用基本不等式求得S取得最小值，求得点P的坐标．
（Ⅱ）设椭圆的标准方程为 +=1，a＞b＞0，则 +=1．把直线方程和椭圆的方程联立方程组，转化为关于x的一元二次方程，利用韦达定理、弦长公式求出弦长AB以及点P到直线的距离d，再由△PAB的面积为S=•AB•d=2，求出a2、b2的值，从而得到所求椭圆的方程．
【解答】解：（Ⅰ）设切点P的坐标为（x0，y0），且x0＞0，y0＞0．
则切线的斜率为﹣，故切线方程为 y﹣y0=﹣（x﹣x0），即x0x+y0y=4．
此时，切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成的三角形的面积S=••=．
再根据 +=4≥2x0•y0，可得当且仅当x0=y0=时，
x0•y0取得最大值为2，即S取得最小值为=4，
故此时，点P的坐标为（，）．
（Ⅱ）设椭圆的标准方程为 +=1，a＞b＞0，∵椭圆C过点P，∴+=1．
由 求得b2x2+4x+6﹣2b2=0，
∴x1+x2=﹣，x1•x2=．
由 y1=x1+，y2=x2+，可得AB=|x2﹣x1|=•=•
=．
由于点P（，）到直线l：y=x+的距离d=，
△PAB的面积为S=•AB•d=2，可得 b4﹣9b2+18=0，解得 b2=3，或 b2=6，
当b2=6 时，由+=1求得a2=3，不满足题意；
当b2=3时，由+=1求得a2=6，满足题意，故所求的椭圆的标准方程为 +=1．
【点评】本题主要考查直线和圆相切的性质，直线和圆锥曲线的位置关系，点到直线的距离公式、弦长公式的应用，属于难题．
　
21．（12分）已知函数f（x）=π（x﹣cosx）﹣2sinx﹣2，g（x）=（x﹣π）+﹣1．
证明：
（Ⅰ）存在唯一x0∈（0，），使f（x0）=0；
（Ⅱ）存在唯一x1∈（，π），使g（x1）=0，且对（Ⅰ）中的x0，有x0+x1＞π．
【分析】（Ⅰ）导数法可判f（x）在（0，）上为增函数，又可判函数有零点，故必唯一；（Ⅱ）化简可得g（x）=（π﹣x）+﹣1，换元法，令t=π﹣x，记u（t）=g（π﹣t）=﹣﹣t+1，t∈[0，]，由导数法可得函数的零点，可得不等式．
【解答】解：（Ⅰ）当x∈（0，）时，f′（x）=π+πsinx﹣2cosx＞0，
∴f（x）在（0，）上为增函数，
又f（0）=﹣π﹣2＜0，f（）=﹣4＞0，
∴存在唯一x0∈（0，），使f（x0）=0；
（Ⅱ）当x∈[，π]时，
化简可得g（x）=（x﹣π）+﹣1
=（π﹣x）+﹣1，
令t=π﹣x，记u（t）=g（π﹣t）=﹣﹣t+1，t∈[0，]，
求导数可得u′（t）=，
由（Ⅰ）得，当t∈（0，x0）时，u′（t）＜0，当t∈（x0，）时，u′（t）＞0，
∴函数u（t）在（x0，）上为增函数，
由u（）=0知，当t∈[x0，）时，u（t）＜0，
∴函数u（t）在[x0，）上无零点；
函数u（t）在（0，x0）上为减函数，
由u（0）=1及u（x0）＜0知存在唯一t0∈（0，x0），使u（t0）=0，
于是存在唯一t0∈（0，），使u（t0）=0，
设x1=π﹣t0∈（，π），则g（x1）=g（π﹣t0）=u（t0）=0，
∴存在唯一x1∈（，π），使g（x1）=0，
∵x1=π﹣t0，t0＜x0，
∴x0+x1＞π
【点评】本题考查零点的判定定理，涉及导数法证明函数的单调性，属中档题．
　
四、选考题，请考生在22-24三题中任选一题作答，多做则按所做的第一题给分选修4-1：几何证明选讲
22．（10分）如图，EP交圆于E，C两点，PD切圆于D，G为CE上一点且PG=PD，连接DG并延长交圆于点A，作弦AB垂直EP，垂足为F．
（Ⅰ）求证：AB为圆的直径；
（Ⅱ）若AC=BD，求证：AB=ED．

【分析】（Ⅰ）证明AB为圆的直径，只需证明∠BDA=90°；
（Ⅱ）证明Rt△BDA≌Rt△ACB，再证明∠DCE为直角，即可证明AB=ED．
【解答】证明：（Ⅰ）∵PG=PD，∴∠PDG=∠PGD，
∵PD为切线，∴∠PDA=∠DBA，
∵∠PGD=∠EGA，
∴∠DBA=∠EGA，
∴∠DBA+∠BAD=∠EGA+∠BAD，
∴∠BDA=∠PFA，
∵AF⊥EP，
∴∠PFA=90°．
∴∠BDA=90°，
∴AB为圆的直径；
（Ⅱ）连接BC，DC，则
∵AB为圆的直径，
∴∠BDA=∠ACB=90°，
在Rt△BDA与Rt△ACB中，AB=BA，AC=BD，
∴Rt△BDA≌Rt△ACB，
∴∠DAB=∠CBA，
∵∠DCB=∠DAB，
∴∠DCB=∠CBA，
∴DC∥AB，
∵AB⊥EP，
∴DC⊥EP，
∴∠DCE为直角，
∴ED为圆的直径，
∵AB为圆的直径，
∴AB=ED．

【点评】本题考查圆的切线的性质，考查三角形全等的证明，考查直径所对的圆周角为直角，属于中档题．
　
选修4-4：坐标系与参数方程
23．将圆x2+y2=1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C．
（Ⅰ）写出C的参数方程；
（Ⅱ）设直线l：2x+y﹣2=0与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程．
【分析】（Ⅰ）在曲线C上任意取一点（x，y），再根据点（x，）在圆x2+y2=1上，求出C的方程，化为参数方程．
（Ⅱ）解方程组求得P1、P2的坐标，可得线段P1P2的中点坐标．再根据与l垂直的直线的斜率为，用点斜式求得所求的直线的方程，再根据x=ρcosα、y=ρsinα 可得所求的直线的极坐标方程．
【解答】解：（Ⅰ）在曲线C上任意取一点（x，y），由题意可得点（x，）在圆x2+y2=1上，
∴x2+=1，即曲线C的方程为 x2+=1，化为参数方程为 （0≤θ＜2π，θ为参数）．
（Ⅱ）由，可得 ，，不妨设P1（1，0）、P2（0，2），
则线段P1P2的中点坐标为（，1），
再根据与l垂直的直线的斜率为，故所求的直线的方程为y﹣1=（x﹣），即x﹣2y+=0．
再根据x=ρcosα、y=ρsinα 可得所求的直线的极坐标方程为ρcosα﹣2ρsinα+=0，
即 ρ=．
【点评】本题主要考查求点的轨迹方程的方法，极坐标和直角坐标的互化，用点斜式求直线的方程，属于中档题．
　
选修4-5：不等式选讲
24．设函数f（x）=2|x﹣1|+x﹣1，g（x）=16x2﹣8x+1．记f（x）≤1的解集为M，g（x）≤4的解集为N．
（Ⅰ）求M；
（Ⅱ）当x∈M∩N时，证明：x2f（x）+x[f（x）]2≤．
【分析】（Ⅰ）由所给的不等式可得①，或 ②，分别求得①、②的解集，再取并集，即得所求．
（Ⅱ）由g（x）≤4，求得N，可得M∩N=[0，]．当x∈M∩N时，f（x）=1﹣x，不等式的左边化为﹣，显然它小于或等于 ，要证的不等式得证．
【解答】解：（Ⅰ）由f（x）=2|x﹣1|+x﹣1≤1 可得①，或 ②．
解①求得1≤x≤，解②求得 0≤x＜1．
综上，原不等式的解集为[0，]．
（Ⅱ）证明：
由g（x）=16x2﹣8x+1≤4，求得﹣≤x≤，
∴N=[﹣，]，
∴M∩N=[0，]．
∵当x∈M∩N时，f（x）=1﹣x，
∴x2f（x）+x[f（x）]2 =xf（x）[x+f（x）]=﹣≤，
故要证的不等式成立．
【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了分类讨论、等价转化的数学思想，属于中档题．