2014年湖北省高考数学试卷（理科）

这是一份2014年湖北省高考数学试卷（理科），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2014年湖北省高考数学试卷（理科）
　
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）i为虚数单位，（）2=（　　）
A．﹣1 B．1 C．﹣i D．i
2．（5分）若二项式（2x+）7的展开式中的系数是84，则实数a=（　　）
A．2 B． C．1 D．
3．（5分）设U为全集，A，B是集合，则“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁UC”是“A∩B=∅”的（　　）
A．充分而不必要的条件 B．必要而不充分的条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（5分）根据如下样本数据，得到回归方程=bx+a，则（　　）
x
3
4
5
6
7
8
y
4.0
2.5
﹣0.5
0.5
﹣2.0
﹣3.0
A．a＞0，b＞0 B．a＞0，b＜0 C．a＜0，b＞0 D．a＜0，b＜0
5．（5分）在如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz中，一个四面体的顶点坐标分别为（0，0，2），（2，2，0），（1，2，1），（2，2，2），给出的编号为①，②，③，④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（　　）
A．①和② B．③和① C．④和③ D．④和②
6．（5分）若函数f（x），g（x）满足f（x）g（x）dx=0，则f（x），g（x）为区间[﹣1，1]上的一组正交函数，给出三组函数：
①f（x）=sinx，g（x）=cosx；
②f（x）=x+1，g（x）=x﹣1；
③f（x）=x，g（x）=x2，
其中为区间[﹣1，1]上的正交函数的组数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
7．（5分）由不等式组确定的平面区域记为Ω1，不等式组确定的平面区域记为Ω2，在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为（　　）
A． B． C． D．
8．（5分）《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式V≈L2h，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3，那么，近似公式V≈L2h相当于将圆锥体积公式中的π近似取为（　　）
A． B． C． D．
9．（5分）已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点．且∠F1PF2=，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（　　）
A． B． C．3 D．2
10．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=（|x﹣a2|+|x﹣2a2|﹣3a2），若∀x∈R，f（x﹣1）≤f（x），则实数a的取值范围为（　　）
A．[﹣，] B．[﹣，] C．[﹣，] D．[﹣，]
　
二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．
11．（5分）设向量=（3，3），=（1，﹣1），若（+λ）⊥（﹣λ），则实数λ=　 　．
12．（5分）直线l1：y=x+a和l2：y=x+b将单位圆C：x2+y2=1分成长度相等的四段弧，则a2+b2=　 　．
13．（5分）设a是一个各位数字都不是0且没有重复数字三位数，将组成a的3个数字按从小到大排成的三位数记为I（a），按从大到小排成的三位数记为D（a）（例如a=815，则I（a）=158，D（a）=851），阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个a，输出的结果b=　 　．

　
三、解答题
14．设f（x）是定义在（0，+∞）上的函数，且f（x）＞0，对任意a＞0，b＞0，若经过点（a，f（a）），（b，﹣f（b））的直线与x轴的交点为（c，0），则称c为关于函数f（x）的平均数，记为Mf（a，b），例如，当f（x）=1（x＞0）时，可得Mf（a，b）=c=，即Mf（a，b）为a，b的算术平均数．
（1）当f（x）=　 　（x＞0）时，Mf（a，b）为a，b的几何平均数；
（2）当f（x）=　 　（x＞0）时，Mf（a，b）为a，b的调和平均数；
（以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可）
15．如图，P为⊙O外一点，过P点作⊙O的两条切线，切点分别为A，B，过PA的中点Q作割线交⊙O于C，D两点，若QC=1，CD=3，则PB=　 　．

16．已知曲线C1的参数方程是（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ=2，则C1与C2交点的直角坐标为　 　．
17．（11分）某实验室一天的温度（单位：℃）随时间t（单位：h）的变化近似满足函数关系：
f（t）=10﹣，t∈[0，24）
（Ⅰ）求实验室这一天的最大温差；
（Ⅱ）若要求实验室温度不高于11℃，则在哪段时间实验室需要降温？
18．（12分）已知等差数列{an}满足：a1=2，且a1，a2，a5成等比数列．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）记Sn为数列{an}的前n项和，是否存在正整数n，使得Sn＞60n+800？若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由．
19．（12分）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，M，N分别是棱AB，AD，A1B1，A1D1的中点，点P，Q分别在棱DD1，BB1上移动，且DP=BQ=λ（0＜λ＜2）
（Ⅰ）当λ=1时，证明：直线BC1∥平面EFPQ；
（Ⅱ）是否存在λ，使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．

20．（12分）计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水年入流量X（年入流量：一年内上游来水与库区降水之和，单位：亿立方米）都在40以上，其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年，将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立．
（1）求未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率．
（2）水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制，并有如下关系：
年入流量X
40＜X＜80
80≤X≤120
X＞120
发电机最多
可运行台数
1
2
3
若某台发电机运行，则该台年利润为1000万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损160万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？
21．（14分）在平面直角坐标系xOy中，点M到点F（1，0）的距离比它到y轴的距离多1，记点M的轨迹为C．
（Ⅰ）求轨迹C的方程；
（Ⅱ）设斜率为k的直线l过定点P（﹣2，1），求直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围．
22．（14分）π为圆周率，e=2.71828…为自然对数的底数．
（Ⅰ）求函数f（x）=的单调区间；
（Ⅱ）求e3，3e，eπ，πe，3π，π3这6个数中的最大数和最小数；
（Ⅲ）将e3，3e，eπ，πe，3π，π3这6个数按从小到大的顺序排列，并证明你的结论．
　

2014年湖北省高考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
　
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）i为虚数单位，（）2=（　　）
A．﹣1 B．1 C．﹣i D．i
【分析】可先计算出的值，再计算平方的值．
【解答】解：由于，所以，（）2=（﹣i）2=﹣1
故选：A．
【点评】本题考查复数代数形式的计算，属于容易题
　
2．（5分）若二项式（2x+）7的展开式中的系数是84，则实数a=（　　）
A．2 B． C．1 D．
【分析】利用二项式定理的展开式的通项公式，通过x幂指数为﹣3，求出a即可．
【解答】解：二项式（2x+）7的展开式即（+2x）7的展开式中x﹣3项的系数为84，
所以Tr+1==，
令﹣7+2r=﹣3，解得r=2，
代入得：，
解得a=1，
故选：C．
【点评】本题考查二项式定理的应用，特定项的求法，基本知识的考查．
　
3．（5分）设U为全集，A，B是集合，则“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁UC”是“A∩B=∅”的（　　）
A．充分而不必要的条件 B．必要而不充分的条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】通过集合的包含关系，以及充分条件和必要条件的判断，推出结果．
【解答】解：由题意A⊆C，则∁UC⊆∁UA，当B⊆∁UC，可得“A∩B=∅”；若“A∩B=∅”能推出存在集合C使得A⊆C，B⊆∁UC，
∴U为全集，A，B是集合，则“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁UC”是“A∩B=∅”的充分必要的条件．
故选：C．
【点评】本题考查集合与集合的关系，充分条件与必要条件的判断，是基础题．
　
4．（5分）根据如下样本数据，得到回归方程=bx+a，则（　　）
x
3
4
5
6
7
8
y
4.0
2.5
﹣0.5
0.5
﹣2.0
﹣3.0
A．a＞0，b＞0 B．a＞0，b＜0 C．a＜0，b＞0 D．a＜0，b＜0
【分析】通过样本数据表，容易判断回归方程中，b、a的符号．
【解答】解：由题意可知：回归方程经过的样本数据对应的点附近，是减函数，所以b＜0，且回归方程经过（3，4）与（4，2.5）附近，所以a＞0．
故选：B．
【点评】本题考查回归方程的应用，基本知识的考查．
　
5．（5分）在如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz中，一个四面体的顶点坐标分别为（0，0，2），（2，2，0），（1，2，1），（2，2，2），给出的编号为①，②，③，④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（　　）
A．①和② B．③和① C．④和③ D．④和②
【分析】在坐标系中，标出已知的四个点，根据三视图的画图规则，可得结论．
【解答】解：在坐标系中，标出已知的四个点，根据三视图的画图规则，可得三棱锥的正视图和俯视图分别为④②，
故选：D．

【点评】本题考查三视图的画法，做到心中有图形，考查空间想象能力，是基础题．
　
6．（5分）若函数f（x），g（x）满足f（x）g（x）dx=0，则f（x），g（x）为区间[﹣1，1]上的一组正交函数，给出三组函数：
①f（x）=sinx，g（x）=cosx；
②f（x）=x+1，g（x）=x﹣1；
③f（x）=x，g（x）=x2，
其中为区间[﹣1，1]上的正交函数的组数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】利用新定义，对每组函数求积分，即可得出结论．
【解答】解：对于①：[sinx•cosx]dx=（sinx）dx=﹣cosx=0，∴f（x），g（x）为区间[﹣1，1]上的一组正交函数；
对于②：（x+1）（x﹣1）dx=（x2﹣1）dx=（）≠0，∴f（x），g（x）不是区间[﹣1，1]上的一组正交函数；
对于③：x3dx=（）=0，∴f（x），g（x）为区间[﹣1，1]上的一组正交函数，
∴正交函数有2组，
故选：C．
【点评】本题考查新定义，考查微积分基本定理的运用，属于基础题．
　
7．（5分）由不等式组确定的平面区域记为Ω1，不等式组确定的平面区域记为Ω2，在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为（　　）
A． B． C． D．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，求出对应的面积，利用几何槪型的概率公式即可得到结论．
【解答】解：平面区域Ω1，为三角形AOB，面积为，
平面区域Ω2，为△AOB内的四边形BDCO，
其中C（0，1），
由，解得，即D（，），
则三角形ACD的面积S==，
则四边形BDCO的面积S=，
则在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为，
故选：D．

【点评】本题主要考查几何槪型的概率计算，利用线性规划的知识求出对应的区域和面积是解决本题的关键．
　
8．（5分）《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式V≈L2h，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3，那么，近似公式V≈L2h相当于将圆锥体积公式中的π近似取为（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据近似公式V≈L2h，建立方程，即可求得结论．
【解答】解：设圆锥底面圆的半径为r，高为h，则L=2πr，
∴=（2πr）2h，
∴π=．
故选：B．
【点评】本题考查圆锥体积公式，考查学生的阅读理解能力，属于基础题．
　
9．（5分）已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点．且∠F1PF2=，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（　　）
A． B． C．3 D．2
【分析】根据双曲线和椭圆的性质和关系，结合余弦定理即可得到结论．
【解答】解：设椭圆的长半轴为a，双曲线的实半轴为a1，（a＞a1），半焦距为c，
由椭圆和双曲线的定义可知，
设|PF1|=r1，|PF2|=r2，|F1F2|=2c，
椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2
∵∠F1PF2=，
∴由余弦定理可得4c2=（r1）2+（r2）2﹣2r1r2cos，①
在椭圆中，①化简为即4c2=4a2﹣3r1r2，
即，②
在双曲线中，①化简为即4c2=4a12+r1r2，
即，③
联立②③得，=4，
由柯西不等式得（1+）（）≥（1×+）2，
即（）=
即，d当且仅当时取等号，
法2：设椭圆的长半轴为a1，双曲线的实半轴为a2，（a1＞a2），半焦距为c，
由椭圆和双曲线的定义可知，
设|PF1|=r1，|PF2|=r2，|F1F2|=2c，
椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2
∵∠F1PF2=，
∴由余弦定理可得4c2=（r1）2+（r2）2﹣2r1r2cos=（r1）2+（r2）2﹣r1r2，
由，得，
∴=，
令m===，
当时，m，
∴，
即的最大值为，
法3：设|PF1|=m，|PF2|=n，则，
则a1+a2=m，
则=，
由正弦定理得=，
即=sin（120°﹣θ）≤=
故选：A．
【点评】本题主要考查椭圆和双曲线的定义和性质，利用余弦定理和柯西不等式是解决本题的关键．难度较大．
　
10．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=（|x﹣a2|+|x﹣2a2|﹣3a2），若∀x∈R，f（x﹣1）≤f（x），则实数a的取值范围为（　　）
A．[﹣，] B．[﹣，] C．[﹣，] D．[﹣，]
【分析】把x≥0时的f（x）改写成分段函数，求出其最小值，由函数的奇偶性可得x＜0时的函数的最大值，由对∀x∈R，都有f（x﹣1）≤f（x），可得2a2﹣（﹣4a2）≤1，求解该不等式得答案．
【解答】解：当x≥0时，
f（x）=，
由f（x）=x﹣3a2，x＞2a2，得f（x）＞﹣a2；
当a2＜x≤2a2时，f（x）=﹣a2；
由f（x）=﹣x，0≤x≤a2，得f（x）≥﹣a2．
∴当x＞0时，．
∵函数f（x）为奇函数，
∴当x＜0时，．
∵对∀x∈R，都有f（x﹣1）≤f（x），
∴2a2﹣（﹣4a2）≤1，解得：．
故实数a的取值范围是．
故选：B．

【点评】本题考查了恒成立问题，考查了函数奇偶性的性质，运用了数学转化思想方法，解答此题的关键是由对∀x∈R，都有f（x﹣1）≤f（x）得到不等式2a2﹣（﹣4a2）≤1，是中档题．
　
二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．
11．（5分）设向量=（3，3），=（1，﹣1），若（+λ）⊥（﹣λ），则实数λ=　±3　．
【分析】根据向量垂直与向量坐标之间的关系建立方程关系，即可得到结论．
【解答】解：∵向量=（3，3），=（1，﹣1），
∴向量||=3，||=，向量•=3﹣3=0，
若（+λ）⊥（﹣λ），
则（+λ）•（﹣λ）=，
即18﹣2λ2=0，
则λ2=9，
解得λ=±3，
故答案为：±3，
【点评】本题主要考查向量垂直的坐标公式的应用，比较基础．
　
12．（5分）直线l1：y=x+a和l2：y=x+b将单位圆C：x2+y2=1分成长度相等的四段弧，则a2+b2=　2　．
【分析】由题意可得，圆心（0，0）到两条直线的距离相等，且每段弧长都是圆周的，即==cos45°，由此求得a2+b2的值．
【解答】解：由题意可得，圆心（0，0）到两条直线的距离相等，且每段弧长都是圆周的，
∴==cos45°=，∴a2+b2=2，
故答案为：2．
【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，得到==cos45°是解题的关键，属于基础题．
　
13．（5分）设a是一个各位数字都不是0且没有重复数字三位数，将组成a的3个数字按从小到大排成的三位数记为I（a），按从大到小排成的三位数记为D（a）（例如a=815，则I（a）=158，D（a）=851），阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个a，输出的结果b=　495　．

【分析】给出一个三位数的a值，实验模拟运行程序，直到满足条件，确定输出的a值，可得答案．
【解答】解：由程序框图知：例当a=123，第一次循环a=123，b=321﹣123=198；
第二次循环a=198，b=981﹣189=792；
第三次循环a=792，b=972﹣279=693；
第四次循环a=693，b=963﹣369=594；
第五次循环a=594，b=954﹣459=495；
第六次循环a=495，b=954﹣459=495，
满足条件a=b，跳出循环体，输出b=495．
故答案为：495．
【点评】本题通过新定义题型考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程模拟运行程序是解答此类问题的常用方法．
　
三、解答题
14．设f（x）是定义在（0，+∞）上的函数，且f（x）＞0，对任意a＞0，b＞0，若经过点（a，f（a）），（b，﹣f（b））的直线与x轴的交点为（c，0），则称c为关于函数f（x）的平均数，记为Mf（a，b），例如，当f（x）=1（x＞0）时，可得Mf（a，b）=c=，即Mf（a，b）为a，b的算术平均数．
（1）当f（x）=　　（x＞0）时，Mf（a，b）为a，b的几何平均数；
（2）当f（x）=　x　（x＞0）时，Mf（a，b）为a，b的调和平均数；
（以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可）
【分析】（1）设f（x）=，（x＞0），在经过点（a，）、（b，﹣）的直线方程中，令y=0，求得x=c=，
从而得出结论．
（2）设f（x）=x，（x＞0），在经过点（a，a）、（b，﹣b）的直线方程中，令y=0，求得x=c=，从而得出结论．
【解答】解：（1）设f（x）=，（x＞0），则经过点（a，）、（b，﹣）的直线方程为=，
令y=0，求得x=c=，
∴当f（x）=，（x＞0）时，Mf（a，b）为a，b的几何平均数，
故答案为：．
（2）设f（x）=x，（x＞0），则经过点（a，a）、（b，﹣b）的直线方程为=，
令y=0，求得x=c=，
∴当f（x）=x（x＞0）时，Mf（a，b）为a，b的调和平均数，
故答案为：x．
【点评】本题主要考查新定义，用两点式求直线的方程，属于中档题．
　
15．如图，P为⊙O外一点，过P点作⊙O的两条切线，切点分别为A，B，过PA的中点Q作割线交⊙O于C，D两点，若QC=1，CD=3，则PB=　4　．

【分析】利用切割线定理可得QA2=QC•QD，可求QA，可得PA，利用圆的切线长定理，可得PB．
【解答】解：∵QA是⊙O的切线，
∴QA2=QC•QD，
∵QC=1，CD=3，
∴QA2=4，
∴QA=2，
∴PA=4，
∵PA，PB是⊙O的切线，
∴PB=PA=4．
故答案为：4．
【点评】本题考查圆的切线长定理，考查切割线定理，考查学生的计算能力，属于基础题．
　
16．已知曲线C1的参数方程是（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ=2，则C1与C2交点的直角坐标为　（，1）　．
【分析】把参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程，再把两曲线的方程联立方程组求得 C1与C2交点的直角坐标．
【解答】解：把曲线C1的参数方程是（t为参数），
消去参数化为直角坐标方程为x2=3y2 （x≥0，y≥0），即 y=x （x≥0）．
曲线C2的极坐标方程是ρ=2，化为直角坐标方程为x2+y2=4．
解方程组 ，再结合x＞0、y＞0，求得 ，∴C1与C2交点的直角坐标为（，1），
故答案为：（，1）．
【点评】本题主要考查把参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程的方法，求两条曲线的交点，属于基础题．
　
17．（11分）某实验室一天的温度（单位：℃）随时间t（单位：h）的变化近似满足函数关系：
f（t）=10﹣，t∈[0，24）
（Ⅰ）求实验室这一天的最大温差；
（Ⅱ）若要求实验室温度不高于11℃，则在哪段时间实验室需要降温？
【分析】（Ⅰ）利用两角和差的正弦公式化简函数解析式为f（t）10﹣2sin（t+），t∈[0，24），利用正弦函数的定义域和值域求得f（x）的最大值及最小值，可得实验室这一天的最大温差．
（Ⅱ）由题意可得，当f（t）＞11时，需要降温，由f（t）＞11，求得sin（t+）＜﹣，即 ＜t+＜，解得t的范围，可得结论．
【解答】解：（Ⅰ）∵f（t）=10﹣=10﹣2sin（t+），t∈[0，24），
∴≤t+＜，故当t+=时，及t=14时，函数取得最大值为10+2=12，
当t+=时，即t=2时，函数取得最小值为10﹣2=8，
故实验室这一天的最大温差为12﹣8=4℃．
（Ⅱ）由题意可得，当f（t）＞11时，需要降温，由（Ⅰ）可得f（t）=10﹣2sin（t+），
由10﹣2sin（t+）＞11，求得sin（t+）＜﹣，即 ＜t+＜，
解得10＜t＜18，即在10时到18时，需要降温．
【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象特征，两角和差的正弦公式，正弦函数的定义域和值域，三角不等式的解法，属于中档题．
　
18．（12分）已知等差数列{an}满足：a1=2，且a1，a2，a5成等比数列．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）记Sn为数列{an}的前n项和，是否存在正整数n，使得Sn＞60n+800？若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由．
【分析】（Ⅰ）设出数列的公差，利用等比中项的性质建立等式求得d，则数列的通项公式可得．
（Ⅱ）利用（Ⅰ）中数列的通项公式，表示出Sn根据Sn＞60n+800，解不等式根据不等式的解集来判断．
【解答】解：（Ⅰ）设数列{an}的公差为d，依题意，2，2+d，2+4d成比数列，故有（2+d）2=2（2+4d），
化简得d2﹣4d=0，解得d=0或4，
当d=0时，an=2，
当d=4时，an=2+（n﹣1）•4=4n﹣2．
（Ⅱ）当an=2时，Sn=2n，显然2n＜60n+800，
此时不存在正整数n，使得Sn＞60n+800成立，
当an=4n﹣2时，Sn==2n2，
令2n2＞60n+800，即n2﹣30n﹣400＞0，
解得n＞40，或n＜﹣10（舍去），
此时存在正整数n，使得Sn＞60n+800成立，n的最小值为41，
综上，当an=2时，不存在满足题意的正整数n，
当an=4n﹣2时，存在满足题意的正整数n，最小值为41
【点评】本题主要考查了等差数列和等比数列的性质．要求学生对等差数列和等比数列的通项公式，求和公式熟练记忆．
　
19．（12分）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，M，N分别是棱AB，AD，A1B1，A1D1的中点，点P，Q分别在棱DD1，BB1上移动，且DP=BQ=λ（0＜λ＜2）
（Ⅰ）当λ=1时，证明：直线BC1∥平面EFPQ；
（Ⅱ）是否存在λ，使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．

【分析】（Ⅰ）建立坐标系，求出=2，可得BC1∥FP，利用线面平行的判定定理，可以证明直线BC1∥平面EFPQ；
（Ⅱ）求出平面EFPQ的一个法向量、平面MNPQ的一个法向量，利用面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角，建立方程，即可得出结论．
【解答】（Ⅰ）证明：以D为原点，射线DA，DC，DD1分别为x，y，z轴的正半轴，建立坐标系，则B（2，2，0），C1（0，2，2），E（2，1，0），F（1，0，0），P（0，0，λ），
∴=（﹣2，0，2），=（﹣1，0，λ），=（1，1，0）
λ=1时，=（﹣2，0，2），=（﹣1，0，1），
∴=2，
∴BC1∥FP，
∵FP⊂平面EFPQ，BC1⊄平面EFPQ，
∴直线BC1∥平面EFPQ；
（Ⅱ）设平面EFPQ的一个法向量为=（x，y，z），则，
∴取=（λ，﹣λ，1）．
同理可得平面MNPQ的一个法向量为=（λ﹣2，2﹣λ，1），
若存在λ，使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角，则
•=λ（λ﹣2）﹣λ（2﹣λ）+1=0，∴λ=1±．
∴存在λ=1±，使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角．

【点评】本题考查直线与平面平行的证明，考查存在性问题，解题时要合理地化空间问题为平面问题，注意向量法的合理运用．
　
20．（12分）计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水年入流量X（年入流量：一年内上游来水与库区降水之和，单位：亿立方米）都在40以上，其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年，将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立．
（1）求未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率．
（2）水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制，并有如下关系：
年入流量X
40＜X＜80
80≤X≤120
X＞120
发电机最多
可运行台数
1
2
3
若某台发电机运行，则该台年利润为1000万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损160万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？
【分析】（1）依题意，p1=0.2，p2=0.7，p3=0.1．由二项分布能求出在未来4年中至多有1年的年入流量超过120的概率．
（2）记水电站年总利润为Y，分别求出安装1台、2台、3台发电机的对应的年利润的期望值，由此能求出欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装几台发电机．
【解答】解：（1）依题意，p1=P（40＜X＜80）==0.2，
p2=P（80≤X≤120）==0.7，
p3=P（X＞120）==0.1．
由二项分布得，在未来4年中至多有1年的年入流量超过120的概率为
p=（1﹣p3）4+（1﹣p3）3p3=0.94+4×0.93×0.1=0.9477．…（5分）
（2）记水电站年总利润为Y（单位：万元）．
①安装1台发电机的情形．
由于水库年入流量总大于40，故一台发电机运行的概率为1，对应的年利润Y=1000，E（Y）=1000×1=1000．…（7分）
②安装2台发电机的情形．
依题意，当40＜X＜80时，一台发电机运行，此时Y=1000﹣160=840，因此P（Y=840）=P（40＜X＜80）=p1=0.2；
当X≥80时，两台发电机运行，此时Y=1000×2=2 000，因此P（Y=2 000）=P（X≥80）=p2+p3=0.8．
由此得Y的分布列如下：
Y
840
2 000
P
0.2
0.8
所以，E（Y）=840×0.2+2 000×0.8=1768．…（9分）
③安装3台发电机的情形．
依题意，当40＜X＜80时，一台发电机运行，此时Y=1000﹣320=680，
因此P（Y=680）=P（40＜X＜80）=p1=0.2；
当80≤X≤120时，两台发电机运行，此时Y=1000×2﹣160=1840，
因此P（Y=1840）=P（80≤X≤120）=p2=0.7；
当X＞120时，三台发电机运行，此时Y=1000×3=3 000，
因此P（Y=3 000）=P（X＞120）=p3=0.1．
由此得Y的分布列如下：
Y
680
1840
3 000
P
0.2
0.7
0.1
所以，E（Y）=680×0.2+1840×0.7+3 000×0.1=1724．…（11分）
综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机2台…（12分）
【点评】本题考查概率的求法，考查欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装几台发电机的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意二项分布的性质的合理运用．
　
21．（14分）在平面直角坐标系xOy中，点M到点F（1，0）的距离比它到y轴的距离多1，记点M的轨迹为C．
（Ⅰ）求轨迹C的方程；
（Ⅱ）设斜率为k的直线l过定点P（﹣2，1），求直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围．
【分析】（Ⅰ）设出M点的坐标，直接由题意列等式，整理后即可得到M的轨迹C的方程；
（Ⅱ）设出直线l的方程为y﹣1=k（x+2），和（Ⅰ）中的轨迹方程联立化为关于y的一元二次方程，求出判别式，再在直线y﹣1=k（x+2）中取y=0得到．然后分判别式小于0、等于0、大于0结合x0＜0求解使直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）设M（x，y），依题意得：|MF|=|x|+1，即，
化简得，y2=2|x|+2x．
∴点M的轨迹C的方程为；
（Ⅱ）在点M的轨迹C中，记C1：y2=4x（x≥0），C2：y=0（x＜0）．
依题意，可设直线l的方程为y﹣1=k（x+2）．
由方程组，可得ky2﹣4y+4（2k+1）=0．
①当k=0时，此时y=1，把y=1代入轨迹C的方程，得．
故此时直线l：y=1与轨迹C恰好有一个公共点（）．
②当k≠0时，方程ky2﹣4y+4（2k+1）=0的判别式为△=﹣16（2k2+k﹣1）．
设直线l与x轴的交点为（x0，0），
则由y﹣1=k（x+2），取y=0得．
若，解得k＜﹣1或k＞．
即当k∈时，直线l与C1没有公共点，与C2有一个公共点，
故此时直线l与轨迹C恰好有一个公共点．
若或，解得k=﹣1或k=或．
即当k=﹣1或k=时，直线l与C1只有一个公共点，与C2有一个公共点．
当时，直线l与C1有两个公共点，与C2无公共点．
故当k=﹣1或k=或时，直线l与轨迹C恰好有两个公共点．
若，解得﹣1＜k＜﹣或0＜k＜．
即当﹣1＜k＜﹣或0＜k＜时，直线l与C1有两个公共点，与C2有一个公共点．
此时直线l与C恰有三个公共点．
综上，当k∈∪{0}时，直线l与C恰有一个公共点；
当k∪{﹣1，}时，直线l与C恰有两个公共点；
当k∈时，直线l与轨迹C恰有三个公共点．
【点评】本题考查轨迹方程，考查了直线与圆锥曲线的关系，体现了分类讨论的数学思想方法，重点是做到正确分类，是中档题．
　
22．（14分）π为圆周率，e=2.71828…为自然对数的底数．
（Ⅰ）求函数f（x）=的单调区间；
（Ⅱ）求e3，3e，eπ，πe，3π，π3这6个数中的最大数和最小数；
（Ⅲ）将e3，3e，eπ，πe，3π，π3这6个数按从小到大的顺序排列，并证明你的结论．
【分析】（Ⅰ）先求函数定义域，然后在定义域内解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0即可得到单调增、减区间；
（Ⅱ）由e＜3＜π，得eln3＜elnπ，πlne＜πln3，即ln3e＜lnπe，lneπ＜ln3π．再根据函数y=lnx，y=ex，y=πx在定义域上单调递增，可得3e＜πe＜π3，e3＜eπ＜3π，从而六个数的最大数在π3与3π之中，最小数在3e与e3之中．由e＜3＜π及（Ⅰ）的结论，得f（π）＜f（3）＜f（e），即，由此进而得到结论；
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，3e＜πe＜π3＜3π，3e＜e3，又由（Ⅱ）知，，得πe＜eπ，故只需比较e3与πe和eπ与π3的大小．由（Ⅰ）可得0＜x＜e时，．，令x=，有ln＜，从而2﹣lnπ，即得lnπ．①，由①还可得lnπe＞lne3，3lnπ＞π，由此易得结论；
【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），
∵f（x）=，∴f′（x）=，
当f′（x）＞0，即0＜x＜e时，函数f（x）单调递增；
当f′（x）＜0，即x＞e时，函数f（x）单调递减．
故函数f（x）的单调递增区间为（0，e），单调递减区间为（e，+∞）．
（Ⅱ）∵e＜3＜π，
∴eln3＜elnπ，πlne＜πln3，即ln3e＜lnπe，lneπ＜ln3π．
于是根据函数y=lnx，y=ex，y=πx在定义域上单调递增，可得3e＜πe＜π3，e3＜eπ＜3π，
故这六个数的最大数在π3与3π之中，最小数在3e与e3之中．
由e＜3＜π及（Ⅰ）的结论，得f（π）＜f（3）＜f（e），即，
由，得lnπ3＜ln3π，∴3π＞π3；
由，得ln3e＜lne3，∴3e＜e3．
综上，6个数中的最大数是3π，最小数是3e．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，3e＜πe＜π3＜3π，3e＜e3，
又由（Ⅱ）知，，得πe＜eπ，
故只需比较e3与πe和eπ与π3的大小．
由（Ⅰ）知，当0＜x＜e时，f（x）＜f（e）=，即．
在上式中，令x=，又，则ln＜，
从而2﹣lnπ，即得lnπ．①
由①得，elnπ＞e（2﹣）＞2.7×（2﹣）＞2.7×（2﹣0.88）=3.024＞3，即elnπ＞3，亦即lnπe＞lne3，
∴e3＜πe．
又由①得，3lnπ＞6﹣＞6﹣e＞π，即3lnπ＞π，
∴eπ＜π3．
综上可得，3e＜e3＜πe＜eπ＜π3＜3π，即6个数从小到大顺序为3e，e3，πe，eπ，π3，3π．
【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性及其应用、数值的大小比较，考查学生综合运用知识分析解决问题的能力，难度较大．