高中数学人教版新课标A必修12.3 幂函数课文内容课件ppt

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一、幂函数的定义1.函数y=2x与y=x2有什么不同?提示:在函数y=2x中,常数2为底数,自变量x为指数,故为指数函数;而在函数y=x2中,自变量x为底数,常数2为指数,故为幂函数.
提示:底数是自变量,自变量的系数为1;指数为常数;幂xα的系数为1;解析式等号右边只有1项.3.填空:一般地,函数y=xα叫做幂函数,其中x是自变量,α是常数.
4.做一做:在函数y= ,y=3x2,y=x2+2x,y=1中,幂函数的个数为　　　　　. 解析:函数y= =x-4为幂函数;函数y=3x2中x2的系数不是1,所以它不是幂函数;函数y=x2+2x不是y=xα(α∈R)的形式,所以它不是幂函数;函数y=1与y=x0=1(x≠0)不是同一函数,所以y=1不是幂函数.答案:1
二、幂函数的图象及性质
(1)它们的图象都过同一定点吗?提示:是的,都过定点(1,1).(2)上述5个函数中,在(0,+∞)内是增函数的有哪几个?是减函数的呢?提示:在(0,+∞)内是增函数的有:y=x,y=x2,y=x3,y= .在(0,+∞)内是减函数的有:y=x-1.(3)上述5个函数中,图象关于原点对称,是奇函数的有哪几个?图象关于y轴对称,是偶函数的呢?提示:图象关于原点对称,是奇函数的有:y=x,y=x3,y=x-1;图象关于y轴对称,是偶函数的有:y=x2.
2.填表:幂函数的性质
3.判断正误:(1)幂函数的图象可以出现在平面直角坐标系中的任意一个象限.(　　)(2)幂函数的图象必过(0,0)和(1,1).(　　)答案:(1)×　(2)×
4.做一做:A.奇函数且在(0,+∞)上单调递增B.偶函数且在(0,+∞)上单调递减C.非奇非偶函数且在(0,+∞)上单调递增D.非奇非偶函数且在(0,+∞)上单调递减
答案:(1)C　(2)C
探究一幂函数的概念例1 函数f(x)=(m2-m-5)xm-1是幂函数,且当x∈(0,+∞)时,f(x)是增函数,试确定m的值.分析:由f(x)=(m2-m-5)xm-1是幂函数,且当x>0时是增函数,可先利用幂函数的定义求出m的值,再利用单调性确定m的值.解:根据幂函数的定义,得m2-m-5=1,解得m=3或m=-2.当m=3时,f(x)=x2在(0,+∞)上是增函数;当m=-2时,f(x)=x-3在(0,+∞)上是减函数,不符合要求.故m=3.反思感悟判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y=xα(α为常数)的形式,即:(1)系数为1;(2)指数为常数;(3)后面不加任何项.反之,若一个函数为幂函数,则该函数必具有这种形式.
变式训练1如果幂函数y=(m2-3m+3) 的图象不过原点,求实数m的取值.解:由幂函数的定义得m2-3m+3=1,解得m=1或m=2;当m=1时,m2-m-2=-2,函数为y=x-2,其图象不过原点,满足条件;当m=2时,m2-m-2=0,函数为y=x0,其图象不过原点,满足条件.综上所述,m=1或m=2.
探究二幂函数的图象例2已知函数y=xa,y=xb,y=xc的图象如图所示,则a,b,c的大小关系为 (　　)A.c1,0反思感悟1.本题也可采用特殊值法,如取x=2,结合图象可知2a>2b>2c,又函数y=2x在R上是增函数,于是a>b>c.2.对于函数y=xα(α为常数)而言,其图象有以下特点:(1)恒过点(1,1),且不过第四象限.(2)当x∈(0,1)时,指数越大,幂函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”);当x∈(1,+∞)时,指数越大,幂函数的图象越远离x轴(简记为“指大图高”).(3)由幂函数的图象确定幂指数α与0,1的大小关系,即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于y=x-1或y= ,y=x3)来判断.(4)当α>0时,幂函数的图象在区间(0,+∞)上都是增函数;当α<0时,幂函数的图象在区间(0,+∞)上都是减函数.
变式训练2如图所示,曲线C1与C2分别是函数y=xm和y=xn在第一象限内的图象,则下列结论正确的是(　　)A.nm>0D.m>n>0解析:画出直线y=x0的图象,作出直线x=2,与三个函数图象交于点(2,20),(2,2m),(2,2n).由三个点的位置关系可知,n探究三利用幂函数的单调性比较大小例3比较下列各组中两个数的大小:
反思感悟1.比较幂大小的三种常用方法
2.利用幂函数单调性比较大小时要注意的问题比较大小的两个实数必须在同一函数的同一个单调区间内,否则无法比较大小.
A.bb,a探究四幂函数图象的应用例4已知点 在幂函数g(x)的图象上,问当x为何值时,有:(1)f(x)>g(x),(2)f(x)=g(x),(3)f(x)在同一直角坐标系中作出f(x)=x2和g(x)=x-2的图象,如图所示:(1)当x>1或x<-1时,f(x)>g(x);(2)当x=1或x=-1时,f(x)=g(x);(3)当-1变式训练 4已知(0.71.3)m<(1.30.7)m,求m的取值范围.解:根据幂函数y=x1.3的图象,知当01时,y>1,∴1.30.7>1.于是有0.71.3<对于幂函数y=xm,由(0.71.3)m<(1.30.7)m,知当x>0时,随着x的增大,函数值y也增大,所以m>0.
数形结合与分类讨论思想在幂函数中的应用典例 已知函数 (m∈Z)为偶函数,且f(3)0且a≠1)在[2,3]上为增函数,求实数a的取值范围.分析:(1)根据单调性明确-2m2+m+3的符号,从而得出m的取值范围.由m∈Z可得m的具体值,再根据奇偶性进行取舍.(2)分01进行讨论,研究内、外层函数的单调性,注意当x∈[2,3]时,真数应恒为正.
归纳总结幂函数综合应用中应注意1.充分利用幂函数的性质,如单调性、奇偶性等.注意分类讨论、数形结合思想的应用.2.数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法,它将抽象的数量关系与直观的图形结合起来,使问题变得简单易懂.
变式训练 已知幂函数 满足f(2)解:(1)∵f(x)是幂函数,∴p2-3p+3=1,解得p=1或p=2.(2)令t=f(x),x∈[1,9],则t∈[1,3],记φ(t)=t2+mt,t∈[1,3].综上所述,存在m=-1使得g(x)的最小值为0.
1.幂函数y=kxα过点(4,2),则k-α的值为(　　)
解析:幂函数y=kxα过点(4,2),
2.幂函数 在第一象限内的图象依次是下图中的曲线(　　)A.C2,C1,C3,C4B.C4,C1,C3,C2C.C3,C2,C1,C4D.C1,C4,C2,C3解析:幂函数图象在第一象限内直线x=1右侧的“高低”关系是“指大图高”,故幂函数y=x2在第一象限内的图象为C1,y=x-1在第一象限内的图象为C4, 在第一象限内的图象为C2, 在第一象限内的图象为C3.答案:D
3.幂函数f(x)=x3m-5(m∈N)在(0,+∞)上是减函数,且f(-x)=f(x),则m等于(　　)A.0B.1C.2D.3解析:幂函数f(x)=x3m-5(m∈N)在(0,+∞)上是减函数,则3m-5<0,即m< .又m∈N,故m=0或m=1.∵f(-x)=f(x),∴f(x)是偶函数.当m=0时,f(x)=x-5是奇函数;当m=1时,f(x)=x-2是偶函数,符合题意.答案:B