2015年山东省高考数学试卷（理科）

这是一份2015年山东省高考数学试卷（理科），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2015年山东省高考数学试卷（理科）
　
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
1．（5分）已知集合A={x|x2﹣4x+3＜0}，B={x|2＜x＜4}，则A∩B=（　　）
A．（1，3） B．（1，4） C．（2，3） D．（2，4）
2．（5分）若复数z满足=i，其中i为虚数单位，则z=（　　）
A．1﹣i B．1+i C．﹣1﹣i D．﹣1+i
3．（5分）要得到函数y=sin（4x﹣）的图象，只需要将函数y=sin4x的图象（　　）个单位．
A．向左平移 B．向右平移 C．向左平移 D．向右平移
4．（5分）已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC=60°，则=（　　）
A．﹣a2 B．﹣a2 C．a2 D．a2
5．（5分）不等式|x﹣1|﹣|x﹣5|＜2的解集是（　　）
A．（﹣∞，4） B．（﹣∞，1） C．（1，4） D．（1，5）
6．（5分）已知x，y满足约束条件，若z=ax+y的最大值为4，则a=（　　）
A．3 B．2 C．﹣2 D．﹣3
7．（5分）在梯形ABCD中，∠ABC=，AD∥BC，BC=2AD=2AB=2，将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（　　）
A． B． C． D．2π
8．（5分）已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布N（0，32），从中随机抽取一件，其长度误差落在区间（3，6）内的概率为（　　）
（附：若随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜ξ＜μ+σ）=68.26%，P（μ﹣2σ＜ξ＜μ+2σ）=95.44%）
A．4.56% B．13.59% C．27.18% D．31.74%
9．（5分）一条光线从点（﹣2，﹣3）射出，经y轴反射后与圆（x+3）2+（y﹣2）2=1相切，则反射光线所在直线的斜率为（　　）
A．﹣或﹣ B．﹣或﹣ C．﹣或﹣ D．﹣或﹣
10．（5分）设函数f（x）=，则满足f（f（a））=2f（a）的a的取值范围是（　　）
A．[，1] B．[0，1] C．[，+∞） D．[1，+∞）
　
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
11．（5分）观察下列各式：
C=40；
C+C=41；
C+C+C=42；
C+C+C+C=43；
…
照此规律，当n∈N*时，
C+C+C+…+C=　 　．
12．（5分）若“∀x∈[0，]，tanx≤m”是真命题，则实数m的最小值为　 　．
13．（5分）执行右边的程序框图，输出的T的值为　 　．

14．（5分）已知函数f（x）=ax+b（a＞0，a≠1）的定义域和值域都是[﹣1，0]，则a+b=　 　．
15．（5分）平面直角坐标系xOy中，双曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线与抛物线C2：x2=2py（p＞0）交于点O，A，B，若△OAB的垂心为C2的焦点，则C1的离心率为　 　．
　
三、解答题
16．（12分）设f（x）=sinxcosx﹣cos2（x+）．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（）=0，a=1，求△ABC面积的最大值．
17．（12分）如图，在三棱台DEF﹣ABC中，AB=2DE，G，H分别为AC，BC的中点．
（Ⅰ）求证：BD∥平面FGH；
（Ⅱ）若CF⊥平面ABC，AB⊥BC，CF=DE，∠BAC=45°，求平面FGH与平面ACFD所成的角（锐角）的大小．

18．（12分）设数列{an}的前n项和为Sn，已知2Sn=3n+3．
（Ⅰ）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{bn}，满足anbn=log3an，求{bn}的前n项和Tn．
19．（12分）若n是一个三位正整数，且n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”（如137，359，567等）．在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次，得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分，若能被5整除，但不能被10整除，得﹣1分，若能被10整除，得1分．
（Ⅰ）写出所有个位数字是5的“三位递增数”；
（Ⅱ）若甲参加活动，求甲得分X的分布列和数学期望EX．
20．（13分）平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，左、右焦点分别是F1，F2，以F1为圆心以3为半径的圆与以F2为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C上．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设椭圆E：+=1，P为椭圆C上任意一点，过点P的直线y=kx+m交椭圆E于A，B两点，射线PO交椭圆E于点Q．
（i）求||的值；
（ii）求△ABQ面积的最大值．
21．（14分）设函数f（x）=ln（x+1）+a（x2﹣x），其中a∈R，
（Ⅰ）讨论函数f（x）极值点的个数，并说明理由；
（Ⅱ）若∀x＞0，f（x）≥0成立，求a的取值范围．
　

2015年山东省高考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
　
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
1．（5分）已知集合A={x|x2﹣4x+3＜0}，B={x|2＜x＜4}，则A∩B=（　　）
A．（1，3） B．（1，4） C．（2，3） D．（2，4）
【分析】求出集合A，然后求出两个集合的交集．
【解答】解：集合A={x|x2﹣4x+3＜0}={x|1＜x＜3}，B={x|2＜x＜4}，
则A∩B={x|2＜x＜3}=（2，3）．
故选：C．
【点评】本题考查集合的交集的求法，考查计算能力．
　
2．（5分）若复数z满足=i，其中i为虚数单位，则z=（　　）
A．1﹣i B．1+i C．﹣1﹣i D．﹣1+i
【分析】直接利用复数的乘除运算法则化简求解即可．
【解答】解：=i，则=i（1﹣i）=1+i，
可得z=1﹣i．
故选：A．
【点评】本题考查复数的基本运算，基本知识的考查．
　
3．（5分）要得到函数y=sin（4x﹣）的图象，只需要将函数y=sin4x的图象（　　）个单位．
A．向左平移 B．向右平移 C．向左平移 D．向右平移
【分析】直接利用三角函数的平移原则推出结果即可．
【解答】解：因为函数y=sin（4x﹣）=sin[4（x﹣）]，
要得到函数y=sin（4x﹣）的图象，只需将函数y=sin4x的图象向右平移单位．
故选：B．
【点评】本题考查三角函数的图象的平移，值域平移变换中x的系数是易错点．
　
4．（5分）已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC=60°，则=（　　）
A．﹣a2 B．﹣a2 C．a2 D．a2
【分析】由已知可求，，根据=（）•=代入可求
【解答】解：∵菱形ABCD的边长为a，∠ABC=60°，
∴=a2，=a×a×cos60°=，
则=（）•==
故选：D．
【点评】本题主要考查了平面向量数量积的定义的简单运算，属于基础试题
　
5．（5分）不等式|x﹣1|﹣|x﹣5|＜2的解集是（　　）
A．（﹣∞，4） B．（﹣∞，1） C．（1，4） D．（1，5）
【分析】运用零点分区间，求出零点为1，5，讨论①当x＜1，②当1≤x≤5，③当x＞5，分别去掉绝对值，解不等式，最后求并集即可．
【解答】解：①当x＜1，不等式即为﹣x+1+x﹣5＜2，即﹣4＜2成立，故x＜1；
②当1≤x≤5，不等式即为x﹣1+x﹣5＜2，得x＜4，故1≤x＜4；
③当x＞5，x﹣1﹣x+5＜2，即4＜2不成立，故x∈∅．
综上知解集为（﹣∞，4）．
故选：A．
【点评】本题考查绝对值不等式的解法，主要考查运用零点分区间的方法，考查运算能力，属于中档题．
　
6．（5分）已知x，y满足约束条件，若z=ax+y的最大值为4，则a=（　　）
A．3 B．2 C．﹣2 D．﹣3
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最大值．
【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．
则A（2，0），B（1，1），
若z=ax+y过A时取得最大值为4，则2a=4，解得a=2，
此时，目标函数为z=2x+y，
即y=﹣2x+z，
平移直线y=﹣2x+z，当直线经过A（2，0）时，截距最大，此时z最大为4，满足条件，
若z=ax+y过B时取得最大值为4，则a+1=4，解得a=3，
此时，目标函数为z=3x+y，
即y=﹣3x+z，
平移直线y=﹣3x+z，当直线经过A（2，0）时，截距最大，此时z最大为6，不满足条件，
故a=2，
故选：B．

【点评】本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法，确定目标函数的斜率关系是解决本题的关键．
　
7．（5分）在梯形ABCD中，∠ABC=，AD∥BC，BC=2AD=2AB=2，将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（　　）
A． B． C． D．2π
【分析】画出几何体的直观图，利用已知条件，求解几何体的体积即可．
【解答】解：由题意可知几何体的直观图如图：旋转体是底面半径为1，高为2的圆柱，挖去一个相同底面高为1的倒圆锥，
几何体的体积为：=．
故选：C．

【点评】本题考查几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．画出几何体的直观图是解题的关键．
　
8．（5分）已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布N（0，32），从中随机抽取一件，其长度误差落在区间（3，6）内的概率为（　　）
（附：若随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜ξ＜μ+σ）=68.26%，P（μ﹣2σ＜ξ＜μ+2σ）=95.44%）
A．4.56% B．13.59% C．27.18% D．31.74%
【分析】由题意P（﹣3＜ξ＜3）=68.26%，P（﹣6＜ξ＜6）=95.44%，可得P（3＜ξ＜6）=（95.44%﹣68.26%），即可得出结论．
【解答】解：由题意P（﹣3＜ξ＜3）=68.26%，P（﹣6＜ξ＜6）=95.44%，
所以P（3＜ξ＜6）=（95.44%﹣68.26%）=13.59%．
故选：B．
【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量μ和σ的应用，考查曲线的对称性，属于基础题．
　
9．（5分）一条光线从点（﹣2，﹣3）射出，经y轴反射后与圆（x+3）2+（y﹣2）2=1相切，则反射光线所在直线的斜率为（　　）
A．﹣或﹣ B．﹣或﹣ C．﹣或﹣ D．﹣或﹣
【分析】点A（﹣2，﹣3）关于y轴的对称点为A′（2，﹣3），可设反射光线所在直线的方程为：y+3=k（x﹣2），利用直线与圆相切的性质即可得出．
【解答】解：点A（﹣2，﹣3）关于y轴的对称点为A′（2，﹣3），
故可设反射光线所在直线的方程为：y+3=k（x﹣2），化为kx﹣y﹣2k﹣3=0．
∵反射光线与圆（x+3）2+（y﹣2）2=1相切，
∴圆心（﹣3，2）到直线的距离d==1，
化为24k2+50k+24=0，
∴k=或﹣．
故选：D．
【点评】本题考查了反射光线的性质、直线与圆相切的性质、点到直线的距离公式、点斜式、对称点，考查了计算能力，属于中档题．
　
10．（5分）设函数f（x）=，则满足f（f（a））=2f（a）的a的取值范围是（　　）
A．[，1] B．[0，1] C．[，+∞） D．[1，+∞）
【分析】令f（a）=t，则f（t）=2t，讨论t＜1，运用导数判断单调性，进而得到方程无解，讨论t≥1时，以及a＜1，a≥1，由分段函数的解析式，解不等式即可得到所求范围．
【解答】解：令f（a）=t，
则f（t）=2t，
当t＜1时，3t﹣1=2t，
由g（t）=3t﹣1﹣2t的导数为g′（t）=3﹣2tln2，
在t＜1时，g′（t）＞0，g（t）在（﹣∞，1）递增，
即有g（t）＜g（1）=0，
则方程3t﹣1=2t无解；
当t≥1时，2t=2t成立，
由f（a）≥1，即3a﹣1≥1，解得a≥，且a＜1；
或a≥1，2a≥1解得a≥0，即为a≥1．
综上可得a的范围是a≥．
故选：C．
【点评】本题考查分段函数的运用，主要考查函数的单调性的运用，运用分类讨论的思想方法是解题的关键．
　
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
11．（5分）观察下列各式：
C=40；
C+C=41；
C+C+C=42；
C+C+C+C=43；
…
照此规律，当n∈N*时，
C+C+C+…+C=　4n﹣1　．
【分析】仔细观察已知条件，找出规律，即可得到结果．
【解答】解：因为C=40；
C+C=41；
C+C+C=42；
C+C+C+C=43；
…
照此规律，可以看出等式左侧最后一项，组合数的上标与等式右侧的幂指数相同，
可得：当n∈N*时，C+C+C+…+C=4n﹣1；
故答案为：4n﹣1．
【点评】本题考查归纳推理的应用，找出规律是解题的关键．
　
12．（5分）若“∀x∈[0，]，tanx≤m”是真命题，则实数m的最小值为　1　．
【分析】求出正切函数的最大值，即可得到m的范围．
【解答】解：“∀x∈[0，]，tanx≤m”是真命题，
可得tanx≤1，所以，m≥1，
实数m的最小值为：1．
故答案为：1．
【点评】本题考查函数的最值的应用，命题的真假的应用，考查计算能力．
　
13．（5分）执行右边的程序框图，输出的T的值为　　．

【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．
【解答】解：赋值：n=1，T=1，
判断1＜3，
执行T=1+=1+=1+，n=2；
判断2＜3，
执行T=+==，n=3；
判断3＜3不成立，算法结束，输出T=．
故答案为：．
【点评】本题考查程序框图，考查定积分的求法，是基础题．
　
14．（5分）已知函数f（x）=ax+b（a＞0，a≠1）的定义域和值域都是[﹣1，0]，则a+b=　　．
【分析】对a进行分类讨论，分别题意和指数函数的单调性列出方程组，解得答案．
【解答】解：当a＞1时，函数f（x）=ax+b在定义域上是增函数，
所以，
解得b=﹣1，=0不符合题意舍去；
当0＜a＜1时，函数f（x）=ax+b在定义域上是减函数，
所以 ，
解得b=﹣2，a=，
综上a+b=，
故答案为：
【点评】本题考查指数函数的单调性的应用，以及分类讨论思想，属于中档题．
　
15．（5分）平面直角坐标系xOy中，双曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线与抛物线C2：x2=2py（p＞0）交于点O，A，B，若△OAB的垂心为C2的焦点，则C1的离心率为　　．
【分析】求出A的坐标，可得=，利用△OAB的垂心为C2的焦点，可得×（﹣）=﹣1，由此可求C1的离心率．
【解答】解：双曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±x，
与抛物线C2：x2=2py联立，可得x=0或x=±，
取A（，），设垂心H（0，），
则kAH==，
∵△OAB的垂心为C2的焦点，
∴×（﹣）=﹣1，
∴5a2=4b2，
∴5a2=4（c2﹣a2）
∴e==．
故答案为：．
【点评】本题考查双曲线的性质，考查学生的计算能力，确定A的坐标是关键．
　
三、解答题
16．（12分）设f（x）=sinxcosx﹣cos2（x+）．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（）=0，a=1，求△ABC面积的最大值．
【分析】（Ⅰ）由三角函数恒等变换化简解析式可得f（x）=sin2x﹣，由2k≤2x≤2k，k∈Z可解得f（x）的单调递增区间，由2k≤2x≤2k，k∈Z可解得单调递减区间．
（Ⅱ）由f（）=sinA﹣=0，可得sinA，cosA，由余弦定理可得：bc，且当b=c时等号成立，从而可求bcsinA≤，从而得解．
【解答】解：（Ⅰ）由题意可知，f（x）=sin2x﹣
=sin2x﹣
=sin2x﹣
由2k≤2x≤2k，k∈Z可解得：k≤x≤k，k∈Z；
由2k≤2x≤2k，k∈Z可解得：k≤x≤k，k∈Z；
所以f（x）的单调递增区间是[k，k]，（k∈Z）；单调递减区间是：[k，k]，（k∈Z）；
（Ⅱ）由f（）=sinA﹣=0，可得sinA=，
由题意知A为锐角，所以cosA=，
由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA，
可得：1+bc=b2+c2≥2bc，即bc，且当b=c时等号成立．
因此S=bcsinA≤，
所以△ABC面积的最大值为．
【点评】本题主要考查了正弦函数的图象和性质，余弦定理，基本不等式的应用，属于基本知识的考查．
　
17．（12分）如图，在三棱台DEF﹣ABC中，AB=2DE，G，H分别为AC，BC的中点．
（Ⅰ）求证：BD∥平面FGH；
（Ⅱ）若CF⊥平面ABC，AB⊥BC，CF=DE，∠BAC=45°，求平面FGH与平面ACFD所成的角（锐角）的大小．

【分析】（Ⅰ）根据AB=2DE便可得到BC=2EF，从而可以得出四边形EFHB为平行四边形，从而得到BE∥HF，便有BE∥平面FGH，再证明DE∥平面FGH，从而得到平面BDE∥平面FGH，从而BD∥平面FGH；
（Ⅱ）连接HE，根据条件能够说明HC，HG，HE三直线两两垂直，从而分别以这三直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，然后求出一些点的坐标．连接BG，可说明为平面ACFD的一条法向量，设平面FGH的法向量为，根据即可求出法向量，设平面FGH与平面ACFD所成的角为θ，根据cosθ=即可求出平面FGH与平面ACFD所成的角的大小．
【解答】解：（Ⅰ）证明：根据已知条件，DF∥AC，EF∥BC，DE∥AB；
△DEF∽△ABC，又AB=2DE，
∴BC=2EF=2BH，
∴四边形EFHB为平行四边形；
∴BE∥HF，HF⊂平面FGH，BE⊄平面FGH；
∴BE∥平面FGH；
同样，因为GH为△ABC中位线，∴GH∥AB；
又DE∥AB；
∴DE∥GH；
∴DE∥平面FGH，DE∩BE=E；
∴平面BDE∥平面FGH，BD⊂平面BDE；
∴BD∥平面FGH；
（Ⅱ）连接HE，则HE∥CF；
∵CF⊥平面ABC；
∴HE⊥平面ABC，并且HG⊥HC；
∴HC，HG，HE三直线两两垂直，分别以这三直线为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，设HC=1，则：

H（0，0，0），G（0，1，0），F（1，0，1），B（﹣1，0，0）；
连接BG，根据已知条件BA=BC，G为AC中点；
∴BG⊥AC；
又CF⊥平面ABC，BG⊂平面ABC；
∴BG⊥CF，AC∩CF=C；
∴BG⊥平面ACFD；
∴向量为平面ACFD的法向量；
设平面FGH的法向量为，则：
，取z=1，则：；
设平面FGH和平面ACFD所成的锐二面角为θ，则：cosθ=|cos|=；
∴平面FGH与平面ACFD所成的角为60°．
【点评】考查棱台的定义，平行四边形的定义，线面平行的判定定理，面面平行的判定定理及其性质，线面垂直的性质及线面垂直的判定定理，以及建立空间直角坐标系，利用空间向量求二面角的方法，平面法向量的概念及求法，向量垂直的充要条件，向量夹角余弦的坐标公式，平面和平面所成角的定义．
　
18．（12分）设数列{an}的前n项和为Sn，已知2Sn=3n+3．
（Ⅰ）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{bn}，满足anbn=log3an，求{bn}的前n项和Tn．
【分析】（Ⅰ）利用2Sn=3n+3，可求得a1=3；当n＞1时，2Sn﹣1=3n﹣1+3，两式相减2an=2Sn﹣2Sn﹣1，可求得an=3n﹣1，从而可得{an}的通项公式；
（Ⅱ）依题意，anbn=log3an，可得b1=，当n＞1时，bn=31﹣n•log33n﹣1=（n﹣1）×31﹣n，于是可求得T1=b1=；当n＞1时，Tn=b1+b2+…+bn=+（1×3﹣1+2×3﹣2+…+（n﹣1）×31﹣n），利用错位相减法可求得{bn}的前n项和Tn．
【解答】解：（Ⅰ）因为2Sn=3n+3，所以2a1=31+3=6，故a1=3，
当n＞1时，2Sn﹣1=3n﹣1+3，
此时，2an=2Sn﹣2Sn﹣1=3n﹣3n﹣1=2×3n﹣1，即an=3n﹣1，
所以an=．
（Ⅱ）因为anbn=log3an，所以b1=，
当n＞1时，bn=31﹣n•log33n﹣1=（n﹣1）×31﹣n，
所以T1=b1=；
当n＞1时，Tn=b1+b2+…+bn=+（1×3﹣1+2×3﹣2+…+（n﹣1）×31﹣n），
所以3Tn=1+（1×30+2×3﹣1+3×3﹣2+…+（n﹣1）×32﹣n），
两式相减得：2Tn=+（30+3﹣1+3﹣2+…+32﹣n﹣（n﹣1）×31﹣n）=+﹣（n﹣1）×31﹣n=﹣，
所以Tn=﹣，经检验，n=1时也适合，
综上可得Tn=﹣．
【点评】本题考查数列的求和，着重考查数列递推关系的应用，突出考查“错位相减法”求和，考查分析、运算能力，属于中档题．
　
19．（12分）若n是一个三位正整数，且n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”（如137，359，567等）．在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次，得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分，若能被5整除，但不能被10整除，得﹣1分，若能被10整除，得1分．
（Ⅰ）写出所有个位数字是5的“三位递增数”；
（Ⅱ）若甲参加活动，求甲得分X的分布列和数学期望EX．
【分析】（Ⅰ）根据“三位递增数”的定义，即可写出所有个位数字是5的“三位递增数”；
（Ⅱ）随机变量X的取值为：0，﹣1，1分别求出对应的概率，即可求出分布列和期望．
【解答】解：（Ⅰ）根据定义个位数字是5的“三位递增数”有：125，135，145，235，245，345；
（Ⅱ）由题意知，全部“三位递增数”的个数为，
随机变量X的取值为：0，﹣1，1，
当X=0时，可以选择除去5以外的剩下8个数字中选择3个进行组合，即；
当X=﹣1时，首先选择5，由于不能被10整除，因此不能选择数字2，4，6，8，可以从1，3，7，9中选择两个数字和5进行组合，即；
当X=1时，有两种组合方式，第一种方案：首先选5，然后从2，4，6，8中选择2个数字和5进行组合，即；第二种方案：首先选5，然后从2，4，6，8中选择1个数字，再从1，3，7，9中选择1个数字，最后把3个数字进行组合，即．
则P（X=0）==，P（X=﹣1）==，P（X=1）==，
X
0
﹣1
1
P



EX=0×+（﹣1）×+1×=．
【点评】本题主要考查离散型随机变量的分布列和期望的计算，求出对应的概率是解决本题的关键．
　
20．（13分）平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，左、右焦点分别是F1，F2，以F1为圆心以3为半径的圆与以F2为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C上．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设椭圆E：+=1，P为椭圆C上任意一点，过点P的直线y=kx+m交椭圆E于A，B两点，射线PO交椭圆E于点Q．
（i）求||的值；
（ii）求△ABQ面积的最大值．
【分析】（Ⅰ）运用椭圆的离心率公式和a，b，c的关系，计算即可得到b，进而得到椭圆C的方程；
（Ⅱ）求得椭圆E的方程，（i）设P（x0，y0），||=λ，求得Q的坐标，分别代入椭圆C，E的方程，化简整理，即可得到所求值；
（ii）设A（x1，y1），B（x2，y2），将直线y=kx+m代入椭圆E的方程，运用韦达定理，三角形的面积公式，将直线y=kx+m代入椭圆C的方程，由判别式大于0，可得t的范围，结合二次函数的最值，又△ABQ的面积为3S，即可得到所求的最大值．
【解答】解：（Ⅰ）由题意可知，PF1+PF2=2a=4，可得a=2，
又=，a2﹣c2=b2，
可得b=1，即有椭圆C的方程为+y2=1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知椭圆E的方程为+=1，
（i）设P（x0，y0），||=λ，由题意可知，
Q（﹣λx0，﹣λy0），由于+y02=1，
又+=1，即（+y02）=1，
所以λ=2，即||=2；
（ii）设A（x1，y1），B（x2，y2），将直线y=kx+m代入椭圆E的方程，可得
（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣16=0，由△＞0，可得m2＜4+16k2，①
则有x1+x2=﹣，x1x2=，所以|x1﹣x2|=，
由直线y=kx+m与y轴交于（0，m），
则△AOB的面积为S=|m|•|x1﹣x2|=|m|•
=2，设=t，则S=2，
将直线y=kx+m代入椭圆C的方程，可得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0，
由△≥0可得m2≤1+4k2，②
由①②可得0＜t≤1，则S=2在（0，1]递增，即有t=1取得最大值，
即有S，即m2=1+4k2，取得最大值2，
由（i）知，△ABQ的面积为3S，
即△ABQ面积的最大值为6．

【点评】本题考查椭圆的方程和性质，主要考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理，同时考查三角形的面积公式和二次函数的最值，属于中档题．
　
21．（14分）设函数f（x）=ln（x+1）+a（x2﹣x），其中a∈R，
（Ⅰ）讨论函数f（x）极值点的个数，并说明理由；
（Ⅱ）若∀x＞0，f（x）≥0成立，求a的取值范围．
【分析】（I）函数f（x）=ln（x+1）+a（x2﹣x），其中a∈R，x∈（﹣1，+∞）．=．令g（x）=2ax2+ax﹣a+1．对a与△分类讨论可得：（1）当a=0时，此时f′（x）＞0，即可得出函数的单调性与极值的情况．
（2）当a＞0时，△=a（9a﹣8）．①当时，△≤0，②当a时，△＞0，即可得出函数的单调性与极值的情况．
（3）当a＜0时，△＞0．即可得出函数的单调性与极值的情况．
（II）由（I）可知：（1）当0≤a时，可得函数f（x）在（0，+∞）上单调性，即可判断出．
（2）当＜a≤1时，由g（0）≥0，可得x2≤0，函数f（x）在（0，+∞）上单调性，即可判断出．
（3）当1＜a时，由g（0）＜0，可得x2＞0，利用x∈（0，x2）时函数f（x）单调性，即可判断出；
（4）当a＜0时，设h（x）=x﹣ln（x+1），x∈（0，+∞），研究其单调性，即可判断出
【解答】解：（I）函数f（x）=ln（x+1）+a（x2﹣x），其中a∈R，x∈（﹣1，+∞）．
=．
令g（x）=2ax2+ax﹣a+1．
（1）当a=0时，g（x）=1，此时f′（x）＞0，函数f（x）在（﹣1，+∞）上单调递增，无极值点．
（2）当a＞0时，△=a2﹣8a（1﹣a）=a（9a﹣8）．
①当时，△≤0，g（x）≥0，f′（x）≥0，函数f（x）在（﹣1，+∞）上单调递增，无极值点．
②当a时，△＞0，设方程2ax2+ax﹣a+1=0的两个实数根分别为x1，x2，x1＜x2．
∵x1+x2=，
∴，．
由g（﹣1）＞0，可得﹣1＜x1．
∴当x∈（﹣1，x1）时，g（x）＞0，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；
当x∈（x1，x2）时，g（x）＜0，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；
当x∈（x2，+∞）时，g（x）＞0，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增．
因此函数f（x）有两个极值点．
（3）当a＜0时，△＞0．由g（﹣1）=1＞0，可得x1＜﹣1＜x2．
∴当x∈（﹣1，x2）时，g（x）＞0，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；
当x∈（x2，+∞）时，g（x）＜0，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减．
因此函数f（x）有一个极值点．
综上所述：当a＜0时，函数f（x）有一个极值点；
当0≤a时，函数f（x）无极值点；
当a时，函数f（x）有两个极值点．
（II）由（I）可知：
（1）当0≤a时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．
∵f（0）=0，
∴x∈（0，+∞）时，f（x）＞0，符合题意．
（2）当＜a≤1时，由g（0）≥0，可得x2≤0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．
又f（0）=0，
∴x∈（0，+∞）时，f（x）＞0，符合题意．
（3）当1＜a时，由g（0）＜0，可得x2＞0，
∴x∈（0，x2）时，函数f（x）单调递减．
又f（0）=0，
∴x∈（0，x2）时，f（x）＜0，不符合题意，舍去；
（4）当a＜0时，设h（x）=x﹣ln（x+1），x∈（0，+∞），h′（x）=＞0．
∴h（x）在（0，+∞）上单调递增．
因此x∈（0，+∞）时，h（x）＞h（0）=0，即ln（x+1）＜x，
可得：f（x）＜x+a（x2﹣x）=ax2+（1﹣a）x，
当x＞时，
ax2+（1﹣a）x＜0，此时f（x）＜0，不合题意，舍去．
综上所述，a的取值范围为[0，1]．
【点评】本题考查了导数的运算法则、利用导数研究函数的单调性极值，考查了分析问题与解决问题的能力，考查了分类讨论思想方法、推理能力与计算能力，属于难题．