高中数学人教版新课标A必修51.1 正弦定理和余弦定理第2课时巩固练习

 www.ks5u.com第一章　1.1　第2课时

一、选择题

1．在△ABC中，a＝3，b＝，c＝2，那么B等于(　　)

A．30° B．45°

C．60° D．120°

[答案]　C

[解析]　cosB＝＝＝，

∴B＝60°.

2．在△ABC中，已知a＝1，b＝2，C＝60°，则边c等于(　　)

A． B．

C．3 D．4

[答案]　A

[解析]　由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcosC＝1＋4－2×1×2×cos60°＝1＋4－2×1×2×＝3，

∴c＝.

3．在△ABC中，若a<b<c，且c2<a2＋b2，则△ABC为(　　)

A．直角三角形 B．锐角三角形

C．钝角三角形 D．不存在

[答案]　B

[解析]　∵c2<a2＋b2，∴∠C为锐角．

∵a<b<c，∴∠C为最大角，∴△ABC为锐角三角形．

4．(2013·天津理，6)在△ABC中，∠ABC＝，AB＝，BC＝3，则sin∠BAC＝(　　)

A． B．

C．　 D．

[答案]　C

[解析]　本题考查了余弦定理、正弦定理．

由余弦定理，得AC2＝AB2＋BC2－2AB×BC·cos

＝2＋9－2××3×＝5.∴AC＝.

由正弦定理，得＝，

∴sinA＝＝＝.

5．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若(a2＋c2－b2)tanB＝ac，则角B的值为(　　)

A． B．

C．或　 D．或

[答案]　D

[解析]　依题意得，·tanB＝，

∴sinB＝，∴B＝或B＝，选D．

6．如果等腰三角形的周长是底边边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为(　　)

A． B．

C．　 D．

[答案]　D

[解析]　设等腰三角形的底边边长为x，则两腰长为2x(如图)，

由余弦定理得

cosA＝＝，

故选D．

二、填空题

7．以4、5、6为边长的三角形一定是________三角形．(填：锐角、直角、钝角)

[答案]　锐角

[解析]　由题意可知长为6的边所对的内角最大，设这个最大角为α，则cosα＝＝>0，因此0°<α<90°.故填锐角．

8．在△ABC中，若a＝5，b＝3，C＝120°，则sinA＝________.

[答案]　

[解析]　∵c2＝a2＋b2－2abcosC

＝52＋32－2×5×3×cos120°＝49，

∴c＝7.

故由＝，得sinA＝＝.

三、解答题

9．在△ABC中，已知sinC＝，a＝2，b＝2，求边C．

[解析]　∵sinC＝，且0<C<π，∴C为或.

当C＝时，cosC＝，

此时，c2＝a2＋b2－2abcosC＝4，即c＝2.

当C＝时，cosC＝－，

此时，c2＝a2＋b2－2abcosC＝28，即c＝2.

10．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且2b·cosA＝c·cosA＋a·cosC．

(1)求角A的大小；

(2)若a＝，b＋c＝4，求bc的值．

[解析]　(1)根据正弦定理

2b·cosA＝c·cosA＋a·cosC可化为

2cosAsinB＝sinCcosA＋sinAcosC＝sin(A＋C)＝sinB，

∵sinB≠0，∴cosA＝，

∵0°<A<180°，∴A＝60°.

(2)由余弦定理，得

7＝a2＝b2＋c2－2bc·cos60°＝b2＋c2－bc＝(b＋c)2－3bc，

把b＋c＝4代入得bc＝3.

一、选择题

1．在△ABC中，若AB＝－1，BC＝＋1，AC＝，则B的度数为(　　)

A．30° B．45°

C．60° D．120°

[答案]　C

[解析]　∵cosB＝

＝＝，∴B＝60°.

2．在△ABC中，已知AB＝3，AC＝2，BC＝，则·等于(　　)

A．－ B．－

C．　 D．

[答案]　D

[解析]　∵·＝||·||·cos<，>，由向量模的定义和余弦定理可以得出||＝3，||＝2，cos<，>＝＝.

故·＝3×2×＝.

3．在△ABC中，已知AB＝3，BC＝，AC＝4，则边AC上的高为(　　)

A． B．

C． D．3

[答案]　B

[解析]　如图，在△ABC中，BD为AC边上的高，且AB＝3，BC＝，AC＝4.∵cosA＝＝，

∴sinA＝.

故BD＝AB·sinA＝3×＝.

4．△ABC的三内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，设向量p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)，若p∥q，则C的大小为(　　)

A． B．

C．　 D．

[答案]　B

[解析]　∵p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)，p∥q，

∴(a＋c)(c－a)－b(b－a)＝0，

即a2＋b2－c2＝ab.

由余弦定理，得cosC＝＝＝，

∵0<C<π，∴C＝.

二、填空题

5．在△ABC中，已知sinAsinBsinC＝456，则cosAcosBcosC＝________.

[答案]　1292

[解析]　由正弦定理，得＝＝，得abc＝sinAsinBsinC＝456，

令a＝4k，b＝5k，c＝6k(k>0)，

由余弦定理得

cosA＝＝，

同理可得cosB＝，cosC＝，

故cosAcosBcosC＝＝1292.

6．在△ABC中，a＝b＋2，b＝c＋2，又最大角的正弦等于，则三边长为__________．

[答案]　3,5,7

[解析]　∵a－b＝2，b－c＝2，∴a>b>c，

∴最大角为A．sinA＝，∴cosA＝±，

设c＝x，则b＝x＋2，a＝x＋4，

∴＝±，

∵x>0，∴x＝3，故三边长为3,5,7.

三、解答题

7．△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知a＝2，c＝3，cosB＝.

(1)求边b的值；

(2)求sinC的值．

[解析]　(1)由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accosB

＝4＋9－2×2×3×＝10，

∴b＝.

(2)∵cosB＝，∴sinB＝.

由正弦定理，得sinC＝＝＝.

8．设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且a＋c＝6，b＝2，cosB＝.

(1)求a、c的值；

(2)求sin(A－B)的值．

[解析]　(1)由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accosB，b2＝(a＋c)2－2ac(1＋cosB)，

又已知a＋c＝6，b＝2，cosB＝，∴ac＝9.

由a＋c＝6，ac＝9，解得a＝3，c＝3.

(2)在△ABC中，∵cosB＝，

∴sinB＝＝.

由正弦定理，得sinA＝＝，

∵a＝c，∴A为锐角，∴cosA＝＝.

∴sin(A－B)＝sinAcosB－cosAsinB＝.