人教版新课标A选修1-1第三章 导数及其应用综合与测试课后测评

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[学业达标]

一、选择题

1.已知函数y＝f(x)的图象如图3－1－6，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是(　　)

图3－1－6

A．f′(xA)>f′(xB)

B．f′(xA)<f′(xB)

C．f′(xA)＝f′(xB)

D．不能确定

【解析】　f′(A)与f′(B)分别表示函数图象在点A，B处的切线斜率，故f′(A)<f′(B)．

【答案】　B

2．设f′(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线(　　)

A．不存在　　　　　　　 B．与x轴平行或重合

C．与x轴垂直 D．与x轴斜交

【解析】　f′(x0)＝0，说明曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率为0，所以与x轴平行或重合．

【答案】　B

3．在曲线y＝x2上切线倾斜角为的点是(　　)

A．(0,0) B．(2,4)

C.   D.

【解析】　∵y＝x2，

∴k＝y′＝ ＝

＝ (2x＋Δx)＝2x，

∴2x＝tan＝1，

∴x＝，则y＝.

【答案】　D

4．若曲线y＝x2上的点P处的切线与直线y＝－x＋1垂直，则过点P处的切线方程为(　　)

A．2x－y－1＝0 B．2x－y－2＝0

C．x＋2y＋2＝0 D．2x－y＋1＝0

【解析】　与直线y＝－x＋1垂直的直线的斜率为k＝2.

由y＝x2知，y′＝ ＝ (2x＋Δx)＝2x.

设点P的坐标为(x0，y0)，则2x0＝2，即x0＝1，故y0＝1.

所以过P(1,1)且与直线y＝－x＋1垂直的直线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.

【答案】　A

5．曲线y＝f(x)＝x3在点P处切线的斜率为k，当k＝3时点P的坐标为(　　)

A．(－2，－8) B．(－1，－1)或(1,1)

C．(2,8)   D.

【解析】　设点P的坐标为(x0，y0)，

则k＝f′(x0)＝

＝

＝[(Δx)2＋3x＋3x0·Δx]＝3x.

∵k＝3，∴3x＝3.

∴x0＝1或x0＝－1，

∴y0＝1或y0＝－1.

∴点P的坐标为(－1，－1)或(1,1)．

【答案】　B

二、填空题

6．已知函数y＝f(x)在点(2,1)处的切线与直线3x－y－2＝0平行，则y′|x＝2等于________．

【解析】　因为直线3x－y－2＝0的斜率为3，所以由导数的几何意义可知y′|x＝2＝3.

【答案】　3

7．若抛物线y＝2x2＋1与直线4x－y＋m＝0相切，则m＝________.               【导学号：26160074】

【解析】　设切点P(x0，y0)，则Δy＝2(x0＋Δx)2＋1－2x－1＝4x0·Δx＋2(Δx)2.

∴＝4x0＋2Δx.

当Δx无限趋近于零时，无限趋近于4x0，即f′(x0)＝4x0.y′|x＝x0＝4x0，

由⇒

即P(1,3)．

又P(1,3)在直线4x－y＋m＝0上，

故4×1－3＋m＝0，∴m＝－1.

【答案】　－1

8．若函数y＝f(x)的图象在点P(4，f(4))处的切线方程是y＝－2x＋9，则f(4)＋f′(4)＝________.

【解析】　由导数的几何意义知，f′(4)＝－2，又点P在切线上，则f(4)＝－2×4＋9＝1，故f(4)＋f′(4)＝－1.

【答案】　－1

三、解答题

9．求过点P(－1,2)且与曲线y＝3x2－4x＋2在点M(1,1)处的切线平行的直线．

【解】　曲线y＝3x2－4x＋2在点M(1,1)处的切线斜率

k＝y′|x＝1＝ ＝ (3Δx＋2)＝2.

∴过点P(－1,2)的直线的斜率为2，

由点斜式得y－2＝2(x＋1)，

即2x－y＋4＝0.

所以所求直线方程为2x－y＋4＝0.

10．已知曲线y＝2x2－7，求：

(1)曲线上哪一点的切线平行于直线4x－y－2＝0?

(2)过点P(3,9)与曲线相切的切线方程．

【解】　y′＝

＝ ＝ (4x＋2Δx)＝4x.

(1)设切点为(x0，y0)，则4x0＝4，x0＝1，y0＝－5，

∴切点坐标为(1，－5)．

(2)由于点P(3,9)不在曲线上．

设所求切线的切点为A(x0，y0)，则切线的斜率k＝4x0，

故所求的切线方程为y－y0＝4x0(x－x0)．

将P(3,9)及y0＝2x－7代入上式，

得9－(2x－7)＝4x0(3－x0)．

解得x0＝2或x0＝4，所以切点为(2,1)或(4,25)．

从而所求切线方程为8x－y－15＝0和16x－y－39＝0.

[能力提升]

1．设f(x)为可导函数，且满足 ＝－1，则过曲线y＝f(x)上点(1，f(1))的切线斜率为(　　)

A．1　　　　B．－1   C．2　　　　D．－2

【解析】　令x→0，则2x→0，所以 ＝ ＝f′(1)＝－1，故过曲线y＝f(x)上点(1，f(1))的切线斜率为－1.

【答案】　B

 2.已知函数y＝f(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数y＝f′(x)的图象如图3－1－7所示，则该函数的图象是(　　)

图3－1－7

【解析】　由函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象自左至右先增后减，可知函数y＝f(x)图象的切线的斜率自左至右先增大后减小．

【答案】　B

3．如图3－1－8是函数f(x)及f(x)在点P处切线的图象，则f(2)＋f′(2)＝________.

图3－1－8

【解析】　由题图可知切线方程为y＝－x＋，

所以f(2)＝，f′(2)＝－，

所以f(2)＋f′(2)＝.

【答案】　

4．已知曲线y＝x2＋1，是否存在实数a，使得经过点(1，a)能够作出该曲线的两条切线？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由.               【导学号：26160075】

【解】　由＝＝2x＋Δx，

得y′＝ ＝ (2x＋Δx)＝2x.

设切点为P(x0，y0)，则切线斜率为k＝y′|x＝x0＝2x0，

由点斜式得所求切线方程为：

y－y0＝2x0(x－x0)．

又因为切线过点(1，a)，且y0＝x＋1，

所以a－(x＋1)＝2x0(1－x0)，

即x－2x0＋a－1＝0.

因为切线有两条，

所以Δ＝(－2)2－4(a－1)>0，解得a<2.

故存在实数a，使得经过点(1，a)能够作出该曲线的两条切线，且a的取值范围是(－∞，2)．